Snop modułów

W matematyce snop O -modułów lub po prostu O -moduł nad przestrzenią pierścieniową ( X , O ) jest snopkiem F takim, że dla dowolnego otwartego podzbioru U z X , F ( U ) jest O ( U ) - moduł i mapy restrykcyjne F ( U ) → F ( V ) są kompatybilne z mapami restrykcyjnymi O ( U ) → O ( V ): ograniczenie fs jest ograniczeniem f razy ograniczenie s dla dowolnego f w O ( U ) i s w F ( U ).

Standardowym przypadkiem jest sytuacja, w której X jest schematem , a O jego snopkiem struktury. Jeśli O jest snopem stałym $,$ to snop modułów O jest tym samym, snop grup abelowych (tj. abelowy ).

Jeśli X jest widmem pierwszym pierścienia R , to dowolny moduł R w naturalny sposób definiuje moduł O _X (nazywany snopem powiązanym ). Podobnie , jeśli R jest stopniowanym pierścieniem , a X jest Proj R , to każdy stopniowany moduł definiuje moduł O _X w naturalny sposób. Powstające w ten sposób O -moduły są przykładami snopów quasi-spójnych , i faktycznie, na schematach afinicznych lub rzutowych, uzyskuje się w ten sposób wszystkie quasi-spójne snopy.

Snopy modułów nad przestrzenią pierścieniową tworzą kategorię abelową . $wystarczającą liczbę$ ta kategoria ma iniekcji , w związku można i definiuje snopów i - tą pochodny funktor globalnego funktora sekcji ${\ Displaystyle \ Gamma (X, -)}$ .

Przykłady

• Biorąc pod uwagę przestrzeń pierścieniową ( X , O ), jeśli F jest O -podmodułem O , to nazywamy go snopem ideałów lub snopem idealnym O , ponieważ dla każdego podzbioru otwartego U z X , F ( U ) jest ideałem pierścienia O ( U ).
• Niech X będzie gładką rozmaitością wymiaru n . Wtedy snop styczny X jest liczbą podwójną cotangensa snopka, a snop kanoniczny jest n -tą potęgą zewnętrzną ( wyznacznik $X}}$$Displaystyle \ Omega _$ { ) ${\ Displaystyle \ Omega _ {X}}$ .
• Snop algebr to snop modułów, który jest również snopem pierścieni.

Operacje

Niech ( X , O ) będzie przestrzenią pierścieniową. Jeśli F i G są modułami O , to ich iloczyn tensorowy, oznaczony przez

${\ Displaystyle F \ otimes _ {O} G}$ lub ${\ Displaystyle F \ otimes G}$ ,

jest modułem O , który jest snopkiem skojarzonym z presnopem ${\ Displaystyle U \ mapsto F (U) \ otimes _ {O (U)} G (U).} ($ Aby zobaczyć, że nie można uniknąć splatania, oblicz globalne sekcje ${\ Displaystyle O (1) \ czasami O (-1) = O}$ gdzie O (1) to skręcający się snop Serre'a w przestrzeni rzutowej.)

Podobnie, jeśli F i G są O -modułami, to wtedy

${\ Displaystyle {\ mathcal {H}} om_ {O} (F, G)}$

oznacza O -moduł, czyli snop ${\ Displaystyle U \ mapsto \ nazwa operatora {Hom} _ {O | _ {U}} (F | _ {U}, G | _ {U})}$ . W szczególności moduł O

${\ Displaystyle {\ mathcal {H}} om_ {O} (F, O)}$

nazywa się podwójnym modułem F i jest oznaczony przez ${\ displaystyle {\ check {F}}}$ . Uwaga: dla dowolnych modułów O E , F istnieje kanoniczny homomorfizm

${\ Displaystyle {\ sprawdź {E}} \ czasami F \ do {\ mathcal {H}} om_ {O} (E, F)}$ ,

co jest izomorfizmem, jeśli E jest lokalnie swobodnym snopem skończonego rzędu. W szczególności, jeśli L jest lokalnie wolny od rangi pierwszej (takie L nazywamy snopem odwracalnym lub wiązką liniową ), to brzmi to:

${\ Displaystyle {\ sprawdź {L}} \ czasami L \ simeq O,}$

implikując, że klasy izomorfizmu odwracalnych krążków tworzą grupę. Ta grupa nazywana jest grupą Picarda X i jest kanonicznie identyfikowana z pierwszą grupą kohomologii ${\ Displaystyle \ operatorname {H} ^ {1} (X, {\ mathcal {O}} ^ {*})}$ (przez standardowy argument z kohomologią Čecha ).

Jeśli E jest lokalnie wolnym snopem o skończonej randze, to istnieje mapa O - liniowa ${\ Displaystyle {\ check {E}} \ czasami E \ simeq \ operatorname$ podane przez parowanie; nazywa się to mapą śladową E .

Dla dowolnego O -modułu F , algebra tensorowa , algebra zewnętrzna i algebra symetryczna F są zdefiniowane w ten sam sposób. Na przykład k -ta moc zewnętrzna

${\ Displaystyle \ bigwedge ^ {k} F}$

${\ textstyle U \ mapsto \ bigwedge _ {O (U)} ^ {k} F (U)$ } . Jeśli F jest lokalnie wolny od rangi n , to $F$ linii wyznacznikowych (chociaż technicznie odwracalny snop ) , oznaczoną przez det ( F . Istnieje naturalne idealne połączenie:

${\ Displaystyle \ bigwedge ^ {r} F \ czasami \ bigwedge ^ {nr} F \ do \ det (F).}$

Niech f : ( X , O ) →( X ' , O ' ) będzie morfizmem przestrzeni pierścieniowych. Jeśli F jest modułem O O , to $snop$ obrazu bezpośredniego jest modułem ' ' przechodzącym przez mapę naturalną → f _* O (taka częścią dane morfizmu przestrzeni pierścieniowych).

Jeśli G jest modułem O ' , to odwrotny obraz modułu G jest modułem O podanym jako iloczyn tensorowy modułów: ${\ displaystyle f ^ {*} G}$

${\ Displaystyle f ^ {- 1} G \ czasami _ {f ^ {- 1} O'} O}$

gdzie $f ^ {-1}$ \ $.$ jest snopem obrazu G i ${\ Displaystyle O '\ do f_ {*} O}$ przez przymiotnik .

Istnieje sprzężona relacja między i fa $\ Displaystyle f ^$${*}}$ : dla dowolnego O F i O' - modułu G ,

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Hom} _ {O} (f ^ {*} G, F) \ simeq \ nazwa operatora {Hom } _{O'}(G,f_{*}F)}$

jako grupa abelowa. Istnieje również wzór projekcji : dla O -modułu F i lokalnie wolnego O' -modułu E skończonego rzędu,

${\ Displaystyle f_ {*} (F \ czasami f ^ {*} E) \ simeq f_ {*} F \ czasami E.}$

Nieruchomości

Niech ( X , O ) będzie przestrzenią pierścieniową. Mówi się, że O - moduł F jest generowany przez sekcje globalne, jeśli istnieje surjekcja O -modułów:

${\ Displaystyle \ bigoplus _ {i \ w ja} O \ do F \ do 0.}$

_, że istnieją globalne sekcje s _i F takie, że obrazy si w każdej łodydze F _x generują F _x jako moduł O _x .

Przykładem takiego snopka jest związany w geometrii algebraicznej z R -modułem M , przy czym R jest dowolnym pierścieniem przemiennym w widmie pierścienia Spec ( R ). Inny przykład: zgodnie z twierdzeniem Cartana A , każdy spójny snop na rozmaitości Steina jest rozpięty przez globalne sekcje. (por. twierdzenie Serre'a A poniżej). W teorii schematów pokrewnym pojęciem jest duża wiązka linii . (Na przykład, jeśli L jest obszerną wiązką linii, część jej mocy jest generowana przez sekcje globalne).

Iniekcyjny O -moduł jest flasque (tzn. wszystkie odwzorowania restrykcyjne F ( U ) → F ( V ) są suriekcyjne.) Ponieważ snop kolby jest acykliczny w kategorii snopów abelowych, implikuje to, że i - ty prawy funktor pochodnej globalny funktor sekcji w kategorii modułów O pokrywa się ze zwykłym i ${\ Displaystyle \ Gamma (X, -)}$ -ta kohomologia snopów w kategorii snopów abelowych.

Snop powiązany z modułem

Niech będzie modułem nad pierścieniem $A}$$displaystyle$ . Umieść ${\ Displaystyle X = \ operatorname {Spec} (A)}$ i napisz ${\ Displaystyle D (f )=\{f\neq 0\}=\operatorname {Spec} (A[f^{-1}])}$ . Dla każdej pary ${\ Displaystyle D (f) \ subseteq D (g)}$ dzięki uniwersalnej właściwości lokalizacji istnieje naturalna mapa

${\ Displaystyle \ rho _ {g, f}: M [g ^ {-1}] \ do M [f ^ {- 1}] }$

mając tę ​​właściwość, że ${\ Displaystyle \ rho _ {g, f} = \ rho _ {g, h} \ circ \ rho _ {h, f}}$ . Następnie

${\ Displaystyle D (f) \ mapsto M [f ^ {- 1}]}$

jest funktorem kontrawariantnym z kategorii, której obiektami są zbiory D ( f ) i morfizmami inkluzji zbiorów do kategorii grup abelowych . Można pokazać, że w rzeczywistości jest to $,$ B a tym samym definiuje snop na X zwany snopem powiązanym z M .

Najbardziej podstawowym przykładem jest snop struktury na X ; tj. ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} = {\ widetilde {A}}}$ . $\ Displaystyle {\ widetilde {M$ więcej, ma strukturę $}$ w ten sposób otrzymuje się dokładny funktor z Mod _A. ${\ Displaystyle M \ mapsto {\ widetilde {M}}}$ , kategoria modułów nad A do kategorii modułów nad ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$ . Definiuje równoważność z Mod $X$ _do kategorii quasi -spójnych snopów , z odwrotnością , Kiedy X jest noetherowskie , funktor jest równoważnością z kategorii A -modułów skończenie generowanych do kategorii spójnych krążków na X .

Konstrukcja ma następujące własności: dla dowolnych modułów A M , N ,

• ${\ Displaystyle M [f ^ {- 1}] ^ {\ sim} = {\ widetilde {M}} | _ {D (f)}}$ .
• Dla każdego ideału pierwszego p z ZA , ${\ Displaystyle {\ widetilde {M}} _ {p} \ simeq M_ {p}}$ jako O _p = A _p -moduł.
• ${\ Displaystyle (M \ otimes _ {A} N) ^ {\ sim} \ simeq {\ widetilde {M}} \ otimes _ {\ widetilde {A }}{\widetylda {N}}}$ .
• Jeśli M jest skończenie przedstawione , ${\ Displaystyle \ operatorname {Hom} _ {A} (M, N) ^ {\ sim} \simeq {\mathcal {H}}om_ {\widetilde {A}}({\widetilde {M}},{\widetilde {N}})}$ .
• ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Hom} _ {A} (M, N) \ simeq \ Gamma (X, {\mathcal {H}}om_{\widetilde {A}}({\widetilde {M}},{\widetilde {N}})}} , ponieważ równoważność między$ Mod _A a kategorią quasi-spójnych snopów na X. _
• ${\ Displaystyle (\ varinjlim M_ {i}) ^ {\ sim} \ simeq \ varinjlim {\ widetilde {M_ {i}}}}$ ; w szczególności biorąc bezpośrednią sumę i ~ dojazdy.

Arkusz powiązany z ocenianym modułem

₀₀ W poprzedniej sekcji znajduje się stopniowany analog konstrukcji i równoważności. Niech R będzie stopniowanym pierścieniem generowanym przez elementy stopnia pierwszego jako R -algebra ( R oznacza element stopnia zero), a M stopniowanym modułem R. Niech X będzie Proj R (więc X jest schematem rzutowym , jeśli R jest noetherowskie). Następnie jest moduł O. ${\ Displaystyle {\ widetilde {M}}}$ takie, że dla dowolnego jednorodnego elementu f o dodatnim stopniu R istnieje naturalny izomorfizm

${\ Displaystyle {\ widetilde {M}} | _ {\ {f \ neq 0 \}} \ simeq (M [f ^ {-1}] _ { 0})^{\sim}}$

jako snopki modułów na schemacie afinicznym ${\ Displaystyle \ {f \ neq 0 \} = \ operatorname {Spec} (R [f ^ {-1}] _{0})}$ ; $przez$ rzeczywistości definiuje to .

Przykład : Niech R (1) będzie stopniowanym modułem R określonym przez R (1) _n = R _{n +1} . Wtedy ${\ Displaystyle O (1) = {\ widetilde {R (1)}}}$ nazywa się skręcającym snopem Serre'a , który jest liczbą podwójną tautologicznej wiązki linii , jeśli R jest generowany w sposób skończony w stopniu pierwszym.

Jeśli F jest modułem O na X , to pisząc , istnieje kanoniczny homomorfizm : ${\ Displaystyle F (n) = F \ czasami O (n)}$

${\ Displaystyle \ lewo (\ bigoplus _ {n \ geq 0} \ Gamma (X, F (n)) \ prawej) ^ {\ sim }\do F,}$ ,

który jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy F jest quasi-spójny.

Obliczanie kohomologii snopów

Główny artykuł: kohomologia snopów

Kohomologia snopów ma reputację trudnej do obliczenia. Z tego powodu następny ogólny fakt ma fundamentalne znaczenie dla wszelkich praktycznych obliczeń:

Twierdzenie - Niech X będzie przestrzenią topologiczną, fa snopem abelowym na niej i $otwartą$${\ Displaystyle \ operatorname {H} ^ {i} (U_ {i_ {0}} \ cap \ cdots \ cap U_ {i_ {p}}, F) = 0}$ X taką , że dla dowolnego ja , p i ${\ Displaystyle U_ {i_ {j}}}$ jest w ${\ Displaystyle {\ mathfrak {U}}}$ . Wtedy dla dowolnego i ,

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {H} ^ {i} (X, F) = \ nazwa operatora {H} ^ {i} (C ^{\bullet}({\mathfrak {U}},F))}$

gdzie prawa strona to i -ta kohomologia Czecha .

Twierdzenie Serre'a A mówi, że jeśli X jest rozmaitością rzutową, a F spójnym snopkiem, to dla dostatecznie dużego n F ( n ) jest generowane przez skończenie wiele globalnych przekrojów. Ponadto,

1. ₀ Dla każdego i , H ⁱ ( X , F ) jest skończenie generowane przez R , i
2. ₀ (Twierdzenie Serre'a B) Istnieje liczba całkowita n zależna od F taka, że
   $${\ Displaystyle \ nazwa operatora {H} ^ {i} (X, F (n)) = 0, \, i \ geq 1, n \ geq n_ {0}.}$$

Przedłużenie snopka

Niech ( X , O ) będzie przestrzenią pierścieniową i niech F , H będzie snopem O -modułów na X . Przedłużenie H o F jest krótkim dokładnym ciągiem O - modułów

${\ Displaystyle 0 \ strzałka w prawo F \ strzałka w prawo G \ strzałka w prawo H \ strzałka w prawo 0.}$

Podobnie jak w przypadku rozszerzeń grupowych, jeśli ustalimy F i H , to wszystkie klasy równoważności rozszerzeń H o F tworzą grupę abelową (por. Baer sum ), która jest izomorficzna z grupą Ext ${ \displaystyle \operatorname {Ext} _{O}^{1}(H,F)}$ , gdzie element tożsamości w ${\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {O} ^ {1} (H, F)}$ odpowiada trywialnemu rozszerzeniu.

W przypadku, gdy H jest O , mamy: dla dowolnego i ≥ 0,

${\ Displaystyle \ operatorname {H} ^ {i} (X, F) = \ operatorname {Ext} _ {O} ^ {i} (Z),}$

ponieważ obie strony są prawymi wyprowadzonymi funktorami tego samego funktora ${\ Displaystyle \ Gamma (X, -) = \ nazwa operatora {Hom} _ {O} (O, -).}$

Uwaga : Niektórzy autorzy, zwłaszcza Hartshorne, odrzucają indeks dolny O .

₀ Załóżmy, że X jest schematem rzutowym na pierścieniu noetherowskim. Niech F , G będą spójnymi snopami na X , a i liczbą całkowitą. Wtedy istnieje n takie, że

${\ Displaystyle \ operatorname {Ext} _ {O} ^ {i }(F,G(n))=\Gamma (X,{\mathcal {E}}xt_{O}^{i}(F,G(n))),\,n\geq n_{0}}$ .

Zobacz też: lokalna-globalna sekwencja widmowa Ext

Lokalnie darmowe rozdzielczości

${\ Displaystyle {\ mathcal {Ext}} ({\ mathcal {F}}, {\ mathcal {G}})}$ można łatwo obliczyć dla dowolnego spójnego snopka ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$ przy użyciu lokalnie swobodnej rozdzielczości: biorąc pod uwagę kompleks

${\ Displaystyle \ cdots \ do {\ mathcal {L}} _ {2} \ do {\ mathcal {L}} _ {1} \ do {\ mathcal {L }}_{0}\do {\mathcal {F}}\do 0}$

Następnie

${\ Displaystyle {\ mathcal {RHom}} ({\ mathcal {F}}, {\ mathcal {G}}) = {\ mathcal {Hom}}({\mathcal {L}}_{\bullet},{\mathcal {G}})}$

stąd

${\ Displaystyle {\ mathcal {Ext}} ^ {k} ({\ mathcal {F}}, {\ mathcal { G}})=h^{k}({\mathcal {Hom}}({\mathcal {L}}_{\bullet},{\mathcal {G}}))}$

Przykłady

hiperpowierzchnia

$Rozważmy$ gładką stopnia $.$ _ Następnie możemy obliczyć rozdzielczość

${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} (-d) \ do {\ mathcal {O}}}$

i znajdź to

${\ Displaystyle {\ mathcal {Ext}} ^ {i} ({\ mathcal {O} }_{X},{\mathcal {F}})=h^{i}({\mathcal {Hom}}({\mathcal {O}}(-d)\to {\mathcal {O}}, {\mathcal {F}}})}$

Unia gładkich pełnych skrzyżowań

Rozważ schemat

${\ Displaystyle X = {\ tekst {Proj}} \ lewo ({\ Frac {\ mathbb {C} [x_{0},\ldots,x_{n}]}{(f)(g_{1},g_{2},g_{3})}}\right)\subseteq \mathbb {P } ^{n}}$

gdzie ${\ Displaystyle (f, g_ {1}, g_ {2}, g_ {3})}$ jest gładkim pełnym przecięciem i ${\ displaystyle \ deg (f) = d}$ , ${\ Displaystyle \ deg (g_ {i}) = e_ {i}}$ . Mamy kompleks

${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} (-de_ {1} -e_ {2} -e_ {3}) {\ xrightarrow {\ rozpocząć {bmatrix} g_ {3} \\ -g_ {2} \ \-g_{1}\end{bmatrix}}}{\begin{matrix}{\mathcal {O}}(-d-e_{1}-e_{2})\\\oplus \\{\mathcal { O}}(-d-e_{1}-e_{3})\\\oplus \\{\mathcal {O}}(-d-e_{2}-e_{3})\end{macierz}} {\xrightarrow {\begin{bmatrix}g_{2}&g_{3}&0\\-g_{1}&0&-g_{3}\\0&-g_{1}&g_{2}\end{bmatrix}}} {\begin{matrix}{\mathcal {O}}(-d-e_{1})\\\oplus \\{\mathcal {O}}(-d-e_{2})\\\oplus \\ {\mathcal {O}}(-d-e_{3})\end{matrix}}{\xrightarrow {\begin{bmatrix}fg_{1}&fg_{2}&fg_{3}\end{bmatrix}}} {\mathcal {O}}}$

mi ${O}} _ {X$$}} ^ {i} O X ,$ mathcal .

Zobacz też

• D-moduł (zamiast O można również rozważyć D , snop operatorów różniczkowych).
• ułamkowy ideał
• wiązka wektorów holomorficznych
• ogólna swoboda

Notatki

•   Grothendieck, Aleksandr ; Dieudonné, Jean (1960). „Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas” . Publikacje Mathématiques de l'IHÉS . 4 . doi : 10.1007/bf02684778 . MR 0217083 .
•    Hartshorne, Robin (1977), Geometria algebraiczna , Absolwent Teksty z matematyki , tom. 52, Nowy Jork: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9 , MR 0463157
•   Costa, Laura; Miró-Roig, Rosa María; Pons-Llopis, Joan (2021). Pakiety Ulricha . doi : 10.1515/9783110647686 . ISBN 9783110647686 .
•   „Powiązania z kohomologią snopów”. Kohomologia lokalna . 2012. s. 438–479. doi : 10.1017/CBO9781139044059.023 . ISBN 9780521513630 .
•    Serre , Jean - Pierre ( 1955 ) _ _ _ _ _ JSTOR 1969915 , MR 0068874