Budowa projektu

W geometrii algebraicznej Proj jest konstrukcją analogiczną do konstrukcji widma pierścienia schematów afinicznych , w wyniku której powstają obiekty o typowych właściwościach przestrzeni rzutowych i rozmaitości rzutowych . Konstrukcja, choć nie jest funkcjonalna , jest podstawowym narzędziem w teorii schematów .

przyjmuje się , że wszystkie pierścienie są przemienne i identyczne.

Projekt stopniowanego pierścienia

Proj jako zestaw

Niech $pierścieniem$ stopniowanym , gdzie

{\ Displaystyle S = \ bigoplus _ {i \ geq 0} S_ {i}}

jest bezpośrednim rozkładem sumy związanym z gradacją. Nieistotny ideał jest ideałem elementów o

dodatnim

{\ Displaystyle S_ {+} = \ bigoplus _ {i> 0} S_ {i}.}

Mówimy, że ideał jest jednorodny , jeśli jest generowany przez jednorodne elementy. Następnie jako zestaw

{\ Displaystyle \ operatorname {Proj} S = \ {P \ podzbiór S {\ tekst {jednorodny ideał pierwszy,}} S_ {+} \ nie \ podzbiór P \}.}

\ nazwa operatora {Proj} S}

będziemy pisać dla

displaystyle

.

Proj jako przestrzeń topologiczna

Możemy zdefiniować $topologię$ , zwaną Zariskiego , poprzez zbiorów domkniętych w postaci

{\ Displaystyle V (a) = \ {p \ w \ nazwa operatora {Proj} S \ środek a \ podzbiór p \},}

gdzie $jest$ jednorodnym $_$ _ _ _ Podobnie $}$ w przypadku schematów afinicznych, szybko sprawdza się, czy tworzą zbiory zamknięte topologii na X $V (a)$

Rzeczywiście, jeśli ${\ displaystyle (a_ {i}) _ {i \ w ja}}$ to rodzina ideałów, to mamy ${ \textstyle \bigcap V(a_{i})=V\left(\sum a_{i}\right)}$ i jeśli zbiór indeksujący I jest skończony, to ${\textstyle \bigcup V (a_ {i}) = V \ lewo (\ prod a_ {i} \ prawo)}$ .

Równoważnie możemy przyjąć zbiory otwarte jako punkt wyjścia i zdefiniować

{\ Displaystyle D (a) = \ {p \ w \ operatorname {Proj} S \ w środku \ nie \ subseteq p \}.}

Powszechnym skrótem jest $displaystyle$ $}$ gdzie $jest$ ideałem przez re $D$ ( $f}$ . Dla każdego ideału $za )$ i $\ displaystyle D (a$ re $displaystyle$ $}$ są komplementarne, a zatem ten sam dowód co poprzednio pokazuje, że zbiory tworzą topologię na ${\ displaystyle \ nazwa operatora {Proj} S }$ . Zaletą $to$ $że$ $,$ zbiory, rozciągają się na wszystkie jednorodne elementy pierścienia tworzą $topologii$ , która jest niezbędnym narzędziem do analizy , podobnie dla widma pierścienia.

Proj jako schemat

Konstruujemy również snop na , zwany „ $snopem$ struktury ”, jak przypadku afinicznym, co tworzy z schemat Podobnie jak w przypadku konstrukcji Spec, sposobów postępowania jest wiele: najbardziej bezpośredni, który również w dużym stopniu sugeruje konstrukcję funkcji regularnych na rozmaitości rzutowej w klasycznej geometrii algebraicznej, jest następujący. Dla dowolnego otwartego zestawu Proj ${ \ displaystyle \ operatorname$ $Proj} S$ (który z definicji jest zbiorem jednorodnych ideałów pierwszych nie zawierającym ) definiujemy pierścień. ${X} (U$ $O_$ $displaystyle$ będzie zbiorem wszystkich funkcji

{\ Displaystyle f \ dwukropek U \ do \ bigcup _ {p \ w U} S_ {(p)}}

$}$ gdzie oznacza podpierścień pierścienia ułamków składającego się z ułamków jednorodnych elementów tego samego stopnia) takiego, że dla każdej liczby pierwszej S ( $S_ {(p)$ idealny: ${\ displaystyle p}$ z ${\ displaystyle U$ }

${\ Displaystyle f (p)}$ jest elementem ${\ Displaystyle S_ {(p)}}$ ;
Istnieje otwarty podzbiór zawierający i jednorodne elementy $displaystyle$ $s,t$ samego stopnia $\$ $V\subset U$ ${ \$ $p$ $U}$ każdy ideał pierwszy z $}$ $V$ $displaystyle q$ $q$ \
- ${\ displaystyle t}$ nie jest w ${\ displaystyle q}$ ;
- ${\ displaystyle f (q) = s / t}$

Z definicji wynika bezpośrednio, że tworzą snop pierścieni na $} S}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Proj)$ $displaystyle O_ {X}$ $( U ) {$ $schematem$ można wykazać, że para ( $,$ w ( osiąga się to poprzez pokazanie każdy z podzbiorów otwartych ${\ displaystyle D (f)}$ jest w rzeczywistości schematem afinicznym).

Snop powiązany z modułem stopniowanym

Zasadniczą właściwością powyższej konstrukcji była możliwość tworzenia lokalizacji $dla$ $każdego$ ideału pierwszego S $}$ $Displaystyle$ $}$ . Właściwość $moduł$ posiada również dowolny stopniowany $i$ dlatego po odpowiednich drobnych modyfikacjach konstruuje się poprzednią sekcję dla każdego ${\ Displaystyle M}$ snop, oznaczony ${\ Displaystyle {\ tylda {M}}}$ , z ${\ Displaystyle O_ {X}}$ -moduły na ${\ displaystyle \ nazwa operatora {Proj} S}$ . Ten snop jest ze względu na konstrukcję quasikoherentny . Jeśli jest generowany przez skończenie wiele elementów stopnia $wielomianowy$ lub jego jednorodny iloraz), wszystkie quasikoherentne $na$ ${\ displaystyle \ operatorname {Proj} S}$ wynikają z stopniowanych modułów według tej konstrukcji. Odpowiedni stopniowany moduł nie jest unikalny.

Skręcony snop Serre'a

Szczególnym przypadkiem snopka powiązanego z modułem stopniowanym jest sytuacja, w której przyjmujemy, że jest to sam $był$ $elementem$ : mianowicie pozwalamy, aby stopień $\ displaystyle M}$ M $elementów$ być stopniem ${\ Displaystyle (d + 1)}$ S $\ displaystyle S$ }

{\ displaystyle M_ {d} = S_ {d + 1}}

i oznaczają

{\ displaystyle M = S (1)

}

(

otrzymujemy jako quasispójny snop na

{\ displaystyle \ operatorname {Proj} S}

displaystyle O_ {X} (1 )}

X lub po prostu , zwany skręconym snopem Serre'a

{\ displaystyle {\ mathcal {O}} (1)

} . Można sprawdzić,

że

rzeczywistości snop .

Jednym z powodów użyteczności jest to, że odzyskuje informacje algebraiczne , które zostały utracone podczas konstrukcji $}} ($ ${\ displaystyle {\ mathcal {$ $} \displaystyle O_{X}}$ przeszliśmy do ułamków stopnia zerowego. W przypadku Spec A dla pierścienia A , globalne sekcje snopa struktury tworzą sam A , podczas gdy globalne sekcje ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$ $zerowego$ stopnia . Jeśli zdefiniujemy

{\ Displaystyle {\ mathcal {O}} (n) = \ bigotimes _ {i = 1} ^ {n} {\ mathcal {O}} (1) }

wtedy $oznaczoną$ $o$ informację stopniu , $S$ $}$ i razem zawierają wszystkie utracone informacje o ocenach. Podobnie dla dowolnego snopa stopniowanych modułów definiujemy $O}} _ {X}$ $}$

{\ Displaystyle N (n) = N \ otimes {\ mathcal {O}} (n)}

$, że$ ten „skręcony” plik będzie zawierał informacje o . W szczególności, jeśli $ocenach$ snopem powiązanym z modułem stopniowanym, $podobnie$ oczekujemy $,$ $że$ informacje o . $,$ choć błędnie, że w rzeczywistości można zrekonstruować z tych snopów; Jak

{\ Displaystyle \ bigoplus _ {n \ geq 0} H ^ {0} (X, {\ mathcal {O}} _ {X} (n))}

jest to jednak prawdą w przypadku, gdy $jest$ pierścień wielomianowy poniżej. Sytuację tę należy skontrastować z faktem, że funktor spec przylega do funktora sekcji globalnych w kategorii przestrzeni lokalnie obrączkowanych .

Rzutowa n -przestrzeń

Jeśli jest $pierścieniem$ , definiujemy $.$ n nad schematem

{\ Displaystyle \ mathbb {P} _ {A} ^ {n} = \ nazwa operatora {Proj} A [x_ {0}, \ ldots, x_ {n}].}

Ocena na pierścieniu wielomianowym $S = A [x_ {0}, \ ldots$ poprzez umożliwienie każdemu $ja}} mają$ $displaystyle$ $zerowego$ pierwszy i każdy element stopnia . Porównując to z definicją , widzimy, że sekcje ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} ($ $są$ $przez$ rzeczywistości liniowymi jednorodnymi wielomianami, generowanymi . Sugeruje to inną interpretację $mianowicie$ $dosłownie$ snop „współrzędnych” dla $Proj} S}$ \ operatorname współrzędnymi $przestrzeni$ .

Przykłady proj

Proj nad linią afiniczną

Jeśli pozwolimy, aby pierścień podstawowy był , to $\ mathbb {C} [\ lambda]}$ ]

{\ Displaystyle X = \ operatorname {Proj} \ lewo ({\ Frac {A[X,Y,Z]_{\bullet }}{(ZY^{2}-X(XZ)(X-\lambda Z))_{\bullet }}}\right)}

rzutowy

linii afinicznej,

włókna

są z wyjątkiem punktów gdzie krzywe przeradzają się w krzywe węzłowe. Zatem następuje fibracja

{\ Displaystyle {\ początek {matrix} E _ {\ lambda} i \ longrightarrow & X \\&& \ downarrow \\&& \ mathbb {A} _ {\ lambda} ^ {1}-\{0,1\}\end{macierz}}}

co jest również gładkim morfizmem schematów (co można sprawdzić za pomocą kryterium Jakobianu ).

Hiperpowierzchnie rzutowe i odmiany

Rzutowa hiperpowierzchnia ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Proj} \ lewo (\ mathbb {C} [X_ {0}, \ ldots ,X_{4}]/(X_{0}^{5}+\cdots +X_{4}^{5})\right)}$ jest przykładem kwintyki potrójnej Fermata , która jest również rozmaitością Calabiego – Yau . Oprócz hiperpowierzchni rzutowych dowolna odmiana rzutowa wycięta przez układ jednorodnych wielomianów

{\ Displaystyle f_ {1} = 0, \ ldots, f_ {k} = 0}

in

{\ Displaystyle (n+1)}

-zmienne można przekształcić w schemat rzutowy za pomocą konstrukcji proj dla algebry stopniowanej

{\ Displaystyle {\ Frac {k [X_ {0}, \ ldots, X_ {n}] _ {\ kula}} {( f_{1},\ldots,f_{k})_{\bullet }}}}

dając osadzenie odmian rzutowych w schematach rzutowych.

Ważona przestrzeń projekcyjna

Ważone przestrzenie rzutowe można konstruować za pomocą pierścienia wielomianowego, którego zmienne mają niestandardowe stopnie. $_$ przykład A $_$ _ ${\ Displaystyle A [X_ {0}, X_ {1}, X_ {2}]}$ gdzie ${\ displaystyle X_ {0}, X_ {1}}$ mają wagę ${\ displaystyle 1}$ , podczas gdy ${\ displaystyle X_ {2}}$ ma wagę 2.

Duże pierścienie

Konstrukcja proj obejmuje pierścienie dwustopniowe i wielostopniowe. Geometrycznie odpowiada to przyjmowaniu iloczynów schematów rzutowych. Na przykład biorąc pod uwagę stopniowane pierścienie

{\ Displaystyle A _ {\ kula} = \ mathbb {C} [X_ {0}, X_ {1}], {\ tekst { }}B_{\bullet }=\mathbb {C} [Y_{0},Y_{1}]}

ze stopniem

generatora

. Następnie iloczyn tensorowy tych algebr przez daje algebrę bigraded do {\ displaystyle \ mathbb {

}}

{wyrównane} A _ {\ kula} \ otimes _ {\ mathbb {C}} B_ { \bullet }&=S_{\bullet ,\bullet }\\&=\mathbb {C} [X_{0},X_{1},Y_{0},Y_{1}]\end{aligned}}}

gdzie

{\ displaystyle X_ {i}}

mają wagę

{\ displaystyle (1,0)}

i

{\ displaystyle Y_ {i}}

mają wagę

{\ displaystyle (0 ,1)}

. Następnie daje konstrukcję proj

{\ Displaystyle {\ tekst {Proj}} (S _ {\ kula, \ kula}) = \ mathbb {P} ^ {1} \ razy _ {{\text{Spec}}(\mathbb {C} )}\mathbb {P} ^{1}}

który jest produktem schematów projekcyjnych. Istnieje osadzenie takich schematów w przestrzeni rzutowej poprzez przyjęcie całkowitej algebry stopniowanej

{\ Displaystyle S _ {\ kula, \ kula} \ do S _ {\ kula}}

, b

stopnia , b

a

jest

to

,

modułem .

{\ Displaystyle S_ {k} = \ bigoplus _ {a + b = k} S_ {a, b}}

Ponadto schemat

}

O

wyposażony w duże krążki linowe. które są iloczynem tensorowym krążków

gdzie

gdzie

{\ Displaystyle \ pi _ {1}: {\ tekst {Proj}} (S _ {\ punktor, \ punktor}) \ do {\ tekst {Proj }}(Pocisk })}

I

{\ Displaystyle \ pi _ {2}: {\ tekst {Proj}} (S _ {\ kula, \ kula}) \ do {\ tekst {Proj }}(B_{\bullet})}

są rzutami kanonicznymi pochodzącymi z wstrzyknięć tych algebr z diagramu iloczynu tensorowego algebr przemiennych.

Globalny projekt

Uogólnienie konstrukcji Proj zastępuje pierścień S snopem algebr i tworzy w rezultacie schemat, który można uznać za włóknienie pierścieni Proj. Konstrukcja ta jest często wykorzystywana na przykład do konstruowania rzutowych wiązek przestrzeni na schemacie podstawowym .

Założenia

Formalnie niech X będzie dowolnym schematem $}$ -modułów a S będzie snopem stopniowanych algebr (których definicja jest podobna do definicji na $}$ przestrzeń lokalnie obrączkowana ): czyli snop z bezpośrednim rozkładem sumarycznym

{\ Displaystyle S = \ bigoplus _ {i \ geq 0} S_ {i}}

gdzie każdy $dla$ modułem $displaystyle O_{X}(U)}$ , że każdego otwartego podzbioru U $U$ , S ) jest X { -algebra i wynikający z niej rozkład sumy bezpośredniej

{\ Displaystyle S (U) = \ bigoplus _ {i \ geq 0} S_ {i} (U)}

jest stopniowaniem tej algebry jako pierścienia. $_$ zakładamy _ Przyjmujemy dodatkowe założenie, że S jest snopem quasi-spójnym ; jest to założenie o „spójności” przekrojów w różnych zbiorach otwartych, które jest niezbędne do kontynuacji konstrukcji.

Budowa

W tej konfiguracji możemy skonstruować schemat i mapę „ rzutowania ” p na $że$ tak otwartego U X

{\ Displaystyle (\ operatorname {\ mathbf {Proj}} S) | _ {p ^ {-1} (U)} = \ operatorname {Proj} (S (U)).}

$\ displaystyle \ operatorname {\ mathbf {$ że konstruujemy najpierw definiując schematy dla każdego otwartego afinicznego U , ustawiając $}} S}$

{\ Displaystyle Y_ {U} = \ nazwa operatora {Proj} S (U),}

i mapy $do$ następnie pokazanie ” każdym przecięciem dwóch otwartych affines i V tworzą schemat Y , który definiujemy jako ${\ displaystyle \ operatorname {\ mathbf {Proj}} S}$ . Nie jest trudno pokazać, że zdefiniowanie każdego z nich jest ${\ displaystyle p_ {U}}$ być $}}$ włączeniu do $.$ $,$ elementy stopnia zerowego zapewniają niezbędną spójność , podczas gdy spójność samych siebie wynika z założenia quasi-koherencji na S. ${\ displaystyle Y_ {U}$ }

Skręcający się snop

Jeśli S $łodygi$ dodatkową właściwość, że jest spójnym snopem i lokalnie generuje S nad $($ , kiedy przechodzimy do snopka S w punkt x z X , który jest algebrą stopniowaną, której elementy stopnia zerowego tworzą pierścień. ${\ displaystyle O_ {X, x}}$ wówczas elementy pierwszego stopnia tworzą na nim skończenie wygenerowany moduł, $.$ łodygę jako algebrę), wtedy możemy dokonać Nad każdym otwartym afinicznym $,$ , Proj S ( U ) nosi odwracalny snop O (1) , a założenie które właśnie przyjęliśmy, zapewnia, że te snopki mogą być sklejone tak jak powyżej powstały snop na ${\ Displaystyle \ operatorname {\ mathbf {Proj}} S}$ jest również oznaczone jako O (1) i służy temu samemu celowi dla ${\ displaystyle \ operatorname {\ mathbf {Proj}} S}$ tak jak robi to skręcający się snop na Proj pierścienia.

Proj snopa quasi-spójnego

Niech $będzie$ quasi-spójnym $snopem$ . Snop algebr symetrycznych $} \ displaystyle O_ {X}}$ -spójnym snopem stopniowanych $displaystyle \ mathbf {Sym} _ {O_ {X}} ({\ mathcal {E}})$ -moduły, generowane przez elementy stopnia 1. Powstały schemat jest oznaczony przez ${\ displaystyle \ mathbb {P} ({\ mathcal {E}})}$ . Jeśli $\ mi {\ displaystyle {$ typu skończonego, to jego morfizm kanoniczny jest $\ mathcal {E}}} do X}$ jest morfizmem projekcyjnym .

Dla dowolnego $x$ powyższego morfizmu jest przestrzeń projekcyjna. ${E}} (x))}$ ${ \ displaystyle$ $mathbb {P} ($ związany z dualnością przestrzeni wektorowej ${\ displaystyle {\ mathcal {E}} (x): = {\ mathcal { E}}\otimes _{O_{X}}k(x)}$ ponad ${\ Displaystyle k (x)}$ .

Jeśli $jest$ quasi-spójnym snopem stopniowanych $displaystyle$ , wygenerowanym przez $1}}$ ${\ mathcal {S}}$ i taki, że $}}$ typu skończonego, a następnie $S {\ displaystyle \ mathbf {Proj} {$ jest zamkniętym podschematem $i$ jest następnie rzutowany na ${\ displaystyle X}$ . $W rzeczywistości$ zamknięty podschemat rzutowy postać

Wiązki przestrzeni projekcyjnej

Jako szczególny przypadek, gdy $\ mathbb {$ $displaystyle$ od rangi $,$ otrzymujemy pakiet projekcyjny. ponad ${\ displaystyle X}$ względnego wymiaru ${\ displaystyle n}$ . Rzeczywiście, jeśli weźmiemy otwarte pokrycie X przez otwarte affines ${\ Displaystyle U = \ operatorname {Spec} (A)}$ tak, że gdy jest ograniczony do każdego z nich, jest wolny nad A , to mi $\ displaystyle {\ mathcal {E}}}$

{\ Displaystyle \ mathbb {P} ({\ mathcal {E}}) | _ {p ^ { -1}(U)}\simeq \operatorname {Proj} A[x_{0},\dots ,x_{n}]=\mathbb {P} _{A}^{n}=\mathbb {P} _ {U}^{n},}

i $stąd$ . Wiele rodzin rozmaitości można skonstruować jako podschematy tych wiązek rzutowych, na przykład rodzina krzywych eliptycznych Weierstrassa. Więcej szczegółów znajdziesz w głównym artykule.

Przykład globalnego projektu

Global proj może służyć do konstruowania ołówków Lefschetz . $_ \displaystyle f,g\in \mathbb {C} [x_{0},\ldots,x_{n}]}$ przykład $_$ przyjmiemy stopnia k. Możemy rozważyć idealny snop ${\ Displaystyle {\ mathcal {I}} = (sf + tg)}$ z ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} [x_ {0}, \ ldots, x_ {n}]}$ i skonstruuj globalny projekt tego snopa ilorazów algebr. ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} [x_ {0}, \ldots,x_{n}]/{\mathcal {I}}}$ . Można to wyraźnie opisać jako morfizm projekcyjny ${\ displaystyle \ operatorname {Proj} (\ mathbb {C} [s, t] [ x_{0},\ldots ,x_{n}]/(sf+tg))\to \mathbb {P} _{s,t}^{1}}$ .

Zobacz też

Grothendieck, Alexandre ; Dieudonné, Jean (1961). „Éléments de géométrie algébrique: II. Étude globale élémentaire de quelquesclass de morphismes” . Publikacje Mathématiques de l'IHÉS . 8 . doi : 10.1007/bf02699291 . MR 0217084 .
Hartshorne, Robin (1977), Geometria algebraiczna , Teksty magisterskie z matematyki , tom. 52, Nowy Jork: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9 , MR 0463157