Fermat quintic potrójny

Dwuwymiarowy przekrój potrójnej kwinty Fermata

W matematyce trójkrotność kwintyczna Fermata to specjalna trójka kwintyczna , innymi słowy hiperpowierzchnia stopnia 5, wymiar 3 w 4-wymiarowej złożonej przestrzeni rzutowej , określona równaniem

${\ Displaystyle V ^ {5} + W ^ {5} + X ^ {5} + Y ^ {5} + Z ^ {5} = 0}$ .

Ta trójka, nazwana tak na cześć Pierre'a de Fermata , jest rozmaitością Calabiego – Yau .

Diament Hodge'a nie pojedynczej kwintyczności 3-krotnej jest

		0		0
			1
	0		1		0
1		101		101		1
		0		0
	0		1		0
			1

Krzywe wymierne

Herbert Clemens ( 1984 ) przypuszczał, że liczba wymiernych krzywych danego stopnia na rodzajowej potrójnej kwintyce jest skończona. Trójkąt kwintyczny Fermata nie jest w tym sensie rodzajowy, a Alberto Albano i Sheldon Katz ( 1991 ) wykazali, że jego linie są zawarte w 50 jednowymiarowych rodzinach postaci

${\ Displaystyle (x: - \ zeta x: ay: by: cy)}$

dla ${\ Displaystyle \ zeta ^ {5} = 1}$ i za $\ Displaystyle a ^ {5} + b ^ {5} + c ^ {5} = 0}$ . Istnieje 375 linii w więcej niż jednej rodzinie formy

${\ Displaystyle (x: - \ zeta x: y: - \ eta y: 0)}$

dla piątych pierwiastków jedności ${\ displaystyle \ zeta}$ i ${\ displaystyle \ eta}$ .

•     Albano, Alberto; Katz, Sheldon (1991), „Linie na pięciokrotnej trójce Fermata i nieskończenie małej uogólnionej hipotezie Hodge'a”, Transactions of the American Mathematical Society , 324 (1): 353–368, doi : 10.2307/2001512 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 2001512 , MR 1024767
•   Clemens, Herbert (1984), „Niektóre wyniki dotyczące odwzorowań Abla-Jacobiego”, Tematy z transcendentalnej geometrii algebraicznej (Princeton, NJ, 1981/1982) , Annals of Mathematics Studies, tom. 106, Princeton University Press, s. 289–304, MR 0756858
•    Cox, David A .; Katz, Sheldon (1999), Lustrzana symetria i geometria algebraiczna , Mathematical Surveys and Monografie, tom. 68, Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne , ISBN 978-0-8218-1059-0 , MR 1677117