Ideał Jakobianu

W matematyce ideał jakobianu lub ideał gradientu jest ideałem generowanym przez jakobian funkcji lub zarodka funkcji . Niech ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$ oznacza pierścień gładkich funkcji w zmiennych ${\ displaystyle n}$ i ${\ displaystyle f}$ funkcja w pierścieniu. Jakobian ideałem jest ${\ displaystyle f}$

${\ Displaystyle J_ {f}: = \ lewo \ langle {\ Frac {\ częściowe f} {\ częściowe x_ {1}}}, \ ldots, {\ Frac {\ częściowe f} {\ częściowe x_ {n}} }\prawo\szereg .}$

Związek z teorią deformacji

W teorii deformacji odkształcenia hiperpowierzchni określone wielomianem są klasyfikowane przez pierścień ${\ displaystyle f}$

$${\ Displaystyle {\ Frac {\ mathbb {C} [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]} {(f) + J_ { F}}}}$$

Pokazano to na mapie Kodaira – Spencer .

Związek z teorią Hodge'a

W teorii Hodge'a istnieją obiekty zwane rzeczywistymi strukturami Hodge'a $które$ są danymi rzeczywistej przestrzeni wektorowej rosnącej filtracji ${\ displaystyle F ^ {\ punktor}}$$\ Displaystyle H _ {\ mathbb {C}} = H _ {\ mathbb {R}} \ czasami _ {\ mathbb {R}} \ mathbb {C}} spełniające$ do zgodności Struktury. Dla płynnej różnorodności projekcyjnej ${\ displaystyle X}$ istnieje kanoniczna struktura Hodge'a.

Oświadczenie dla hiperpowierzchni stopnia d

W szczególnym przypadku wielomian $($$\ Displaystyle f \ in \ Gamma (\$$Γ$ ) tę strukturę Hodge'a można całkowicie zrozumieć na podstawie jakobianowego ideału. W przypadku stopniowanych elementów jest to podane na mapie

$${\ Displaystyle \ mathbb {C} [Z_ {0}, \ ldots, Z_ {n}] ^ {(d (n-1 + p) - (n + 2))} \ do {\ Frac {F ^ { p}H^{n}(X,\mathbb {C} )}{F^{p+1}H^{n}(X,\mathbb {C} )}}}$$

$}}$ względem kohomologii pierwotnej, oznaczoną ${$ J $Displaystyle J_ {$ . Zwróć $, że$$kohomologii$ klasy, które nie pochodzą z , co jest prostu klasą Lefschetza ${\ Displaystyle [L] ^ {n} = c_ {1} ({\ mathcal {O}} (1)) ^ {d}}$ .

Szkic dowodu

Redukcja do mapy pozostałości

Dla ${\ Displaystyle X \ podzbiór \ mathbb {P} ^ {n + 1}}$ istnieje powiązana krótka dokładna sekwencja kompleksów .

$${\ Displaystyle 0 \ do \ Omega _ {\ mathbb {P} ^ {n + 1}}^{\bullet }\to \Omega _{\mathbb {P} ^{n+1}}^{\bullet }(\log X)\xrightarrow {res} \Omega _{X}^{\ punktor }[-1]\do 0}$$

gdzie środkowy kompleks to zespół snopów form logarytmicznych , a mapa po prawej stronie to mapa pozostałości . Ma to powiązaną długą dokładną sekwencję w kohomologii. Z twierdzenia Lefschetza o hiperpłaszczyźnie $do$ tylko jedna interesująca grupa kohomologiczna którą jest ${\ Displaystyle H ^ {n} (X; \ mathbb {C}) = \ mathbb {H} ^ {n} (X; \ Omega _ {X} ^ {\ punktor})}$ . Z długiej dokładnej sekwencji tej krótkiej dokładnej sekwencji jest mapa reszt indukowanych

$${\ Displaystyle \ mathbb {H} ^ {n + 1} \left(\mathbb {P} ^{n+1},\Omega _{\mathbb {P} ^{n+1}}^{\bullet }\right)\to \mathbb {H} ^{n+ 1}(\mathbb {P} ^{n+1},\Omega _{X}^{\bullet }[-1])}$$

gdzie prawa strona jest równa ${\ Displaystyle \ mathbb {H} ^ {n} (\ mathbb {P} ^ {n + 1}, \ Omega _ {X } ^ {\ punktor}}}$ , który jest izomorficzny z ${\ Displaystyle \ mathbb {H} ^ {n} (X; \ Omega _ {X} ^ {\ punktor})}$ . Istnieje również izomorfizm

$${\ Displaystyle H_ {dR} ^ {n + 1} (\ mathbb {P } ^{n+1}-X)\cong \mathbb {H} ^{n+1}\left(\mathbb {P} ^{n+1};\Omega _{\mathbb {P} ^{n +1}}^{\punktor}\prawo)}$$

Dzięki tym izomorfizmom powstaje mapa reszt indukowanych

$${\ Displaystyle res: H_ {dR} ^ {n + 1} (\ mathbb {P} ^ {n +1}-X)\to H^{n}(X;\mathbb {C} )}$$

który jest iniekcyjny i suriekcyjny względem kohomologii pierwotnej. Istnieje również rozkład Hodge'a

$${\ Displaystyle H_ {dR} ^ {n + 1} (\ mathbb {P} ^{n+1}-X)\cong \bigoplus _{p+q=n+1}H^{q}(\Omega _{\mathbb {P}}^{p}(\log X))}$$

i ${\ Displaystyle H ^ {q} (\ Omega _ {\ mathbb {P}} ^ {p} (\ log X ))\cong {\text{pierwsza}}^{p-1,q}(X)}$ .

Obliczanie grupy kohomologii de Rham

Okazuje się, że grupa kohomologii jest H $\ Displaystyle H_ {dR} ^ {n + 1} (\ mathbb {P} ^ {n + 1} -X)}$ znacznie łatwiejszy w obsłudze i ma wyraźny opis w postaci wielomianów. Część $\ displaystyle$ rozpięta przez formy meromorficzne mające bieguny porządku, $F ^$ na ${\ Displaystyle F ^ {p}}$ część ${\ Displaystyle {\ tekst {Prim}} ^ {n} (X)}$ . Wynika to z izomorfizmu redukcji

$${\ Displaystyle F ^ {p + 1} H_ {dR} ^ {n + 1} (\ mathbb {P} ^ {n + 1} -X; \ mathbb {C}) \ cong {\ frac {\ Gamma ( \Omega _{\mathbb {P} ^{n+1}}(n-p+1))}{d\Gamma (\Omega _{\mathbb {P} ^{n+1}}(np)) }}}$$

Używając formy kanonicznej ${\ Displaystyle (n + 1)}$ -forma

$${\ Displaystyle \ Omega = \ suma _ {j = 0} ^ {n} (- 1)^{j}Z_{j}dZ_{0}\klin \cdots \klin {\hat {dZ_{j}}}\klin \cdots \klin dZ_{n+1}}$$

na ${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {n + 1}}$ gdzie ${\ Displaystyle {\ kapelusz {dZ_ {j}}}}$ oznacza usunięcie z indeksu, te meromorficzne różnice formy wyglądają

$${\ Displaystyle {\ Frac {A} {f ^ {np + 1}}} \ omega}$$

Gdzie

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ tekst {stopni}} (A) & = (np + 1) \ cdot {\ tekst {stopni}} (f) - {\ tekst {stopni}} (\ Omega )\\&=(n-p+1)\cdot d-(n+2)\\&=d(n-p+1)-(n+2)\end{wyrównane}}}$$

Wreszcie okazuje się, że ^{lemat jądra 8.11 dotyczy wszystkich} $displaystyle$ postaci gdzie $A'\ w J_ {$ . Zwróć uwagę na tożsamość Eulera

$${\ Displaystyle f = \ suma Z_ {j} {\ Frac {\ częściowe f} {\ częściowe Z_ {j}}}}$$

pokazuje ${\ Displaystyle f \ w J_ {f}}$ .

Zobacz też

• Numer Milnora
• Struktura Hodge'a
• Mapa Kodaira – Spencer
• Połączenie Gaussa-Manina
• Rozkładanie