Geometria algebraiczna przestrzeni rzutowych

Przestrzeń rzutowa odgrywa centralną rolę w geometrii algebraicznej . Celem artykułu jest zdefiniowanie tego pojęcia w kategoriach abstrakcyjnej geometrii algebraicznej oraz opisanie kilku podstawowych zastosowań przestrzeni rzutowej.

Jednorodne ideały wielomianowe

Niech k będzie algebraicznie domkniętym ciałem , a V będzie skończenie wymiarową przestrzenią wektorową nad k . Algebra symetryczna podwójnej przestrzeni wektorowej V* nazywana jest pierścieniem wielomianowym na V i oznaczana przez k [ V ]. Jest to naturalnie stopniowana algebra według stopnia wielomianów.

Rzutowy Nullstellensatz stwierdza, że ​​dla każdego jednorodnego ideału I , który nie zawiera wszystkich wielomianów pewnego stopnia (nazywanego ideałem nieistotnym ), wspólne miejsce zerowe wszystkich wielomianów w I (lub Nullstelle ) jest nietrywialne (tj. wspólne miejsce zerowe zawiera więcej niż pojedynczy element {0}), a dokładniej ideał wielomianów, które znikają w tym miejscu, pokrywa się z pierwiastkiem ideału I .

To ostatnie twierdzenie najlepiej podsumowuje wzór: dla dowolnego odpowiedniego ideału I ,

${\ Displaystyle {\ mathcal {I}} ({\ mathcal {V}} (I)) = {\ sqrt {I}}.}$

W szczególności maksymalne jednorodne istotne ideały k [ V ] są jeden do jednego z liniami przechodzącymi przez początek V .

Budowa schematów rzutowanych

Niech V będzie skończenie wymiarową przestrzenią wektorową nad ciałem k . Schemat nad k zdefiniowany przez Proj ( k [ V ] ) nazywamy rzutowaniem V . Rzutowa { n - przestrzeń na k to rzutowanie przestrzeni wektorowej $n + 1}}$ .

Definicja snopka jest dokonywana na podstawie zbiorów otwartych głównych zbiorów otwartych D ( P ), gdzie P zmienia się w zbiorze wielomianów jednorodnych, poprzez wyznaczenie przekrojów

${\ Displaystyle \ Gamma (D (P), {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {P} (V)})}$

być pierścieniem ${\ Displaystyle (k [V] _ {P}) _ {0}}$ , składową zerowego stopnia pierścienia uzyskaną przez lokalizację w P . Jego elementami są zatem funkcje wymierne z jednorodnym licznikiem i pewną potęgą P jako mianownikiem, w takim samym stopniu jak licznik.

Sytuacja jest najbardziej wyraźna w przypadku niezanikającej postaci liniowej φ. Ograniczenie snopka struktury do zbioru otwartego D (φ) jest następnie kanonicznie utożsamiane ze schematem afinicznym spec( k [ker φ]). Ponieważ D ( φ ) tworzą otwarte pokrycie X , schematy rzutowe można uważać za otrzymane przez sklejenie poprzez rzutowanie izomorficznych schematów afinicznych.

Można zauważyć, że pierścień przekrojów globalnych tego schematu jest polem, co oznacza, że ​​schemat nie jest afiniczny. Dowolne dwa zbiory otwarte przecinają się nietrywialnie, tzn. schemat jest nieredukowalny . Kiedy pole k jest $algebraicznie$ domknięte , jest w rzeczywistości rozmaitością abstrakcyjną kompletna. por. Słowniczek teorii schematów

Dzielniki i krążki skręcające

Funktor Proj w rzeczywistości daje więcej niż tylko schemat: snop w stopniowanych modułach nad snopem struktury jest definiowany w procesie. Jednorodne składniki tego stopniowanego snopka są $jako$ skręcone Wszystkie te krążki są w rzeczywistości wiązkami linek . Na podstawie zgodności między dzielnikami Cartiera a wiązkami liniowymi, pierwszy skręcony snop $jest$

Ponieważ pierścień wielomianów jest unikalną dziedziną faktoryzacji , każdy ideał pierwszy wysokości 1 jest główny , co pokazuje, że każdy dzielnik Weila jest liniowo równoważny pewnej potędze dzielnika hiperpłaszczyzny . Ta uwaga dowodzi, że grupa Picarda przestrzeni rzutowej jest wolna od rangi 1. To znaczy ${\ Displaystyle \ operatorname {Pic} \ \ mathbf {P} _ {\ mathbf {k}} ^ {n}=\mathbb {Z} }$ , a izomorfizm jest określony stopniem dzielników.

Klasyfikacja wiązek wektorowych

Odwracalne krążki lub wiązki liniowe w przestrzeni rzutowej dla k a pole są dokładnie skręconymi krążkami ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} (m), \ m \ in \ mathbb {Z}},$${\ Displaystyle \ mathbb {P} _ {k} ^ {n}, \,}$ więc grupa Picarda ${\ Displaystyle \ mathbb {P} _ {k} ^ {n}}$ jest izomorficzne z ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ . Izomorfizm podaje pierwsza klasa Cherna .

Przestrzeń przekrojów lokalnych na zbiorze otwartym wiązki $(k )}$ U $U \ subseteq \ mathbb {P} (V$ jest przestrzenią jednorodnego stopnia k funkcji regularnych na stożku w V związanym z U . W szczególności przestrzeń przekrojów globalnych

${\ Displaystyle \ Gamma (\ mathbb {P}, {\ mathcal {O}} (m))}$

znika, gdy m < 0, i składa się ze stałych w k dla m = 0 i wielomianów jednorodnych stopnia m dla m > 0 . (Stąd ma wymiar ${\ textstyle {\ binom {m + n} {m}} = {\ binom {m + n} {n}}})$ .

Birkhoffa -Grothendiecka mówi, że na prostej rzutowej każda wiązka wektorów rozdziela się w unikalny sposób jako bezpośrednia suma wiązek liniowych.

Ważne pakiety linii

Wiązka tautologiczna , która pojawia się na przykład jako wyjątkowy dzielnik wysadzenia gładkiego punktu, to snop . ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} (-1)$ } Pakiet kanoniczny

${\ Displaystyle {\ mathcal {K}} (\ mathbb {P} _ {k} ^ {n}), \,}$ jest ${\ Displaystyle { \mathcal {O}}(-(n+1))}$ .

Fakt ten wywodzi się z fundamentalnego twierdzenia geometrycznego dotyczącego przestrzeni rzutowych: sekwencji Eulera .

Negatywność wiązki linii kanonicznych sprawia, że ​​przestrzenie rzutowe są pierwszymi przykładami rozmaitości Fano , równoważnie ich wiązka linii antykanonicznych jest duża (w rzeczywistości bardzo duża). Ich indeks ( por. Odmiany Fano ) jest określony przez ${\ Displaystyle \ operatorname {Ind} (\ mathbb {P} ^ {n}) = n + 1$ } twierdzenie Kobayashi-Ochiai, przestrzenie rzutowe są charakteryzowane wśród odmian Fano przez właściwość

${\ Displaystyle \ operatorname {Ind} (X) = \ dim X + 1.}$

Morfizmy do schematów rzutowych

Ponieważ przestrzenie afiniczne mogą być osadzone w przestrzeniach rzutowych, wszystkie odmiany afiniczne mogą być również osadzone w przestrzeniach rzutowych.

Dowolny wybór skończonego systemu niejednocześnie znikających globalnych odcinków globalnie generowanej wiązki linii definiuje morfizm przestrzeni rzutowej. Wiązka linii, której podstawa może być osadzona w przestrzeni rzutowej za pomocą takiego morfizmu, nazywana jest bardzo obszerną .

Grupa symetrii przestrzeni rzutowej to grupa rzutowanych automorfizmów liniowych ${\ Displaystyle \ mathbb {P} _ {\ mathbf {k}} ^ {n}$$} styl wyświetlania \mathrm {PGL} _ {n+1}(\mathbf {k} )}$ . Wybór morfizmu do przestrzeni rzutowej modulo działanie $tej$ grupy jest z n -wymiarowy liniowy układ dzielników na wiązce linii na X . Wybór rzutowego osadzenia X , przekształceń rzutowych modulo jest podobnie równoważny wyborowi bardzo obszernej wiązki linii na X .

Morfizm do przestrzeni rzutowej $definiuje$$Displaystyle j ^$ wiązkę linii przez i układ liniowy

${\ Displaystyle j ^ {*} (\ Gamma (\ mathbf {P} ^ {n}, {\ mathcal {O}} (1)}} \ podzbiór \ Gamma (X, j ^ {*} {\ mathcal { O}}(1)).}$

Jeśli zakres morfizmu nie jest zawarty w dzielniku hiperpłaszczyzny, to cofnięcie jest iniekcją, a liniowy układ dzielników j {\ displaystyle $}$

${\ Displaystyle j ^ {*} (\ Gamma (\ mathbf {P} ^ {n}, {\ mathcal {O}} (1)})$ } układ liniowy o wymiarze n .

Przykład: osady Veronese

P ${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {n} \ do \ mathbb {P} ^ {N}}$ dla $\ textstyle N = {\binom {n+d}{d}}-1}$

Zobacz odpowiedź na MathOverflow , aby zapoznać się z zastosowaniem osadzania Veronese do obliczania grup kohomologii gładkich hiperpowierzchni rzutowych (gładkich dzielników).

Krzywe w przestrzeniach rzutowych

Jako rozmaitości Fano, przestrzenie rzutowe są rozmaitościami rządzonymi . Teoria przecięcia krzywych na płaszczyźnie rzutowej daje twierdzenie Bézouta .

Zobacz też

Ogólna geometria algebraiczna

• Schemat (matematyka)
• Różnorodność projekcyjna
• Budowa projektu

Ogólna geometria rzutowa

• Przestrzeń rzutowa
• Geometria rzutowa
• Jednorodny wielomian

Notatki

•   Robina Hartshorne'a (1977). Geometria algebraiczna . Springer-Verlag . ISBN 0-387-90244-9 .
• Arkusz ćwiczeń (w języku francuskim) na temat przestrzeni rzutowych, na stronie Yves Laszlo.