Główny ideał

W matematyce , a konkretnie w $teorii$ pierścieni $który jest generowany$ głównym $ideałem$ jest ideał w pierścieniu $,$ przez pojedynczy poprzez przez każdy element ${\ displaystyle R.}$ Termin ten ma również inne, podobne znaczenie w teorii porządku , gdzie odnosi się do ideału (porządku) w pozecie $generowanym$ przez pojedynczy element, czyli zbiór wszystkich elementów mniejszych lub równych $w P.$$\ Displaystyle x$ w ${\ Displaystyle P.}$

Pozostała część tego artykułu dotyczy koncepcji teorii pierścieni.

Definicje

• lewy główny ideał R $\ displaystyle R}$ jest podzbiorem R ${\ displaystyle R}$ określonym przez $: r \ w R \}}$ dla jakiegoś elementu ${\ displaystyle a,}$
• prawy główny ideał R $\ Displaystyle R}$ jest podzbiorem ${\ displaystyle R}$ określonym przez ${\ displaystyle aR = \ {ar: r \ w R \}}$ dla jakiegoś elementu ${\ displaystyle a,}$
• dwustronny główny ideał R $\ displaystyle R}$ jest podzbiorem ${\ displaystyle R}$ określonym przez ${\ Displaystyle RaR = \ {r_ {1} jak_ {1} + \ ldots + r_ {n} jak_ {n}: r_ {1}, s_ {1}, \ ldots, r_ {n}, s_ {n} \ w R \}}$ dla pewnego elementu $mianowicie$ zbioru wszystkich skończonych sum elementów postaci ${\ Displaystyle Ras.}$

Chociaż ta definicja dwustronnego ideału głównego może wydawać się bardziej skomplikowana niż inne, konieczne jest upewnienie się, że ideał pozostaje zamknięty po dodaniu.

Jeśli jest $przemiennym$ z tożsamością, to wszystkie trzy powyższe pojęcia są takie same . $\ displaystyle \ langle a \ rangle$ takim przypadku często zapisuje się ideał wygenerowany przez ⟨ ${$ lub ${\ Displaystyle (a).}$

Przykłady ideału niegłównego

Nie wszystkie ideały są główne. $wielomianów$ pierścień $y$ wszystkich w dwóch zmiennych i $złożonym$ } ze współczynniki. Idealny ${\ Displaystyle \ langle x, y \ rangle}$ generowany przez ${\ displaystyle x}$ i ${\ Displaystyle y}$ , który składa się ze wszystkich wielomianów $w członie stałym,$ zero dla stałego składnika . Aby to zobaczyć, załóżmy, że $były$${\ Displaystyle \ langle x, y \ rangle.}$ dla Następnie ${\ Displaystyle x}$ i ${\ Displaystyle y}$ oba byłyby podzielne przez $, chyba$ jest niemożliwe $niezerową$ stałą. Ale zero jest jedyną stałą w ${\ Displaystyle \ langle x, y \ rangle,}$ więc mamy sprzeczność .

Z ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [{\ sqrt {-3}}] = \ {a + b {\$$.$ liczby, w których nawet tworzą ideał inny niż główny Ten ideał tworzy regularną sześciokątną siatkę na płaszczyźnie zespolonej. Rozważmy ${\ Displaystyle (a, b) = (2,0)}$ i $Liczby$ te są elementami tego ideału o tej samej normie (dwa), ale ponieważ jedynymi jednostkami w pierścieniu są ${\ Displaystyle 1}$ i ${\ Displaystyle -1, }$ nie są współpracownikami.

Powiązane definicje

Pierścień, w którym każdy ideał jest główny, nazywa się głównym lub głównym idealnym . Domena głównego ideału (PID) to dziedzina integralna , w której każdy ideał jest główny. Każdy PID jest unikalną dziedziną faktoryzacji ; normalny dowód jednoznacznego rozkładu na czynniki w liczbach całkowitych (tzw. fundamentalne twierdzenie arytmetyki ) zachodzi w każdym PID.

Przykłady ideału głównego

Główne ideały $postać$ mają $Z}.}$$mathbb {$ W rzeczywistości jest to główna domena idealna, którą można przedstawić w następujący sposób. Załóżmy, że ${\ Displaystyle I = \ langle n_ {1}, n_ {2}, \ ldots \ rangle}$ gdzie ${\ Displaystyle n_ {1} \ neq 0,}$ i rozważ surjektywne homomorfizmy ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / \ langle n_ {1} \ rangle \ rightarrow \ mathbb {Z} / \ langle n_ {1}, n_ {2} \ rangle \ rightarrow \ mathbb {Z} / \ langle n_ { 1}, n_ {2}, n_ {3} \ rangle \ rightarrow \ cdots .}$ Ponieważ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / \ langle n_ {1} \ rangle}$ jest skończony, wystarczająco duży ${\ displaystyle k}$ mamy ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / \ langle n_ {1}, n_ {2}, \ ldots, n_ {k} \ rangle = \ mathbb {Z} / \ langle n_ {1}, n_ {2}, \ ldots, n_ {k + 1} \ rangle = \ cdots.}$ Zatem ${\ Displaystyle I = \ langle n_ {1}, n_ {2}, \ ldots ,n_{k}\rangle ,}$ co implikuje ${\ displaystyle I}$ jest zawsze generowany w sposób skończony. Ponieważ ideał ${\ Displaystyle \ langle a, b \ rangle}$ generowany przez dowolne liczby całkowite $Displaystyle$ b $b}$ jest dokładnie ${\ Displaystyle \ langle \ mathop {\ operatorname {gcd}} (a, b) \ rangle,}$ przez indukcję liczby generatorów wynika, że ${\ displaystyle I}$ jest główny.

Jednak wszystkie pierścienie mają ideały główne, a mianowicie każdy ideał generowany przez dokładnie jeden element. Na przykład ideał $}$ głównym ideałem ${ \ displaystyle \ langle {\ sqrt {-3}} \ rangle }$$langle$ \ jest głównym ideałem ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [{\ sqrt {-3}}].}$ W rzeczywistości i ${\ Displaystyle R = \ langle 1 \$$}$${\ Displaystyle R.}$ pierścienia

Nieruchomości

Każda domena euklidesowa jest PID ; algorytm użyty do obliczenia największych wspólnych dzielników może być użyty do znalezienia generatora dowolnego ideału. Mówiąc bardziej ogólnie, dowolne dwa główne ideały w pierścieniu przemiennym mają największy wspólny dzielnik w sensie mnożenia ideału. W głównych dziedzinach idealnych pozwala nam to obliczyć największe wspólne dzielniki elementów pierścienia, aż do pomnożenia przez jednostkę ; definiujemy ${\ Displaystyle \ gcd (a, b)}$ jako dowolny generator ideału ${\ Displaystyle \ langle a, b \ rangle.}$

Dla domeny Dedekinda możemy również zapytać, biorąc pod uwagę niegłówny ideał $displaystyle R}$$,$$czy$ \ istnieje jakieś rozszerzenie $displaystyle S$ \ $displaystyle R}$$jest$ taki, że ideał $generowany$ przez główny (mówiąc luźniej, staje się głównym w $displaystyle I}$ ${\ displaystyle S}$ ). Pytanie to powstało w związku z badaniem pierścieni algebraicznych liczb całkowitych (które są przykładami dziedzin Dedekinda) w teorii liczb i doprowadziło do rozwoju teorii pola klas przez Teiji Takagi , Emila Artina , Davida Hilberta i wielu innych.

Główne idealne twierdzenie teorii pola klas stwierdza, że ​​​​każdy pierścień $)$$liczb całkowitych$ (tj. Pierścień liczb całkowitych jakiegoś pola liczbowego jest zawarty w większym pierścieniu , który ma tę właściwość, że każdy ideał z ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle S.}$ się głównym ideałem W tym twierdzeniu możemy przyjąć, że jest to pierścień liczb całkowitych ${\ displaystyle S}$ klasy Hilberta ${\ displaystyle R}$ ; to znaczy maksymalne nierozgałęzione rozszerzenie abelowe (to znaczy rozszerzenie Galois ${\ Displaystyle R.}$ którego grupa Galois jest abelowa ) pola ułamkowego $jest$ to jednoznacznie określone przez

Główne twierdzenie idealne Krulla stwierdza, że ​​​​jeśli jest pierścieniem noetherowskim i $}$ głównym , właściwym ideałem ${\ displaystyle R$$.$ to $wysokość$ najwyżej jeden.

Zobacz też

• Rosnący stan łańcucha dla głównych ideałów

•   Gallian, Joseph A. (2017). Współczesna algebra abstrakcyjna (wyd. 9). Nauka Cengage'a. ISBN 978-1-305-65796-0 .