Twierdzenie o ideale głównym

Ten artykuł dotyczy Hauptidealsatz teorii pola klas. Aby zapoznać się z twierdzeniem o pierścieniach noetherowskich, zobacz twierdzenie Krulla o głównym ideale .

W matematyce główne idealne twierdzenie teorii pola klas , gałęzi algebraicznej teorii liczb , mówi, że rozszerzanie ideałów daje odwzorowanie grupy klas algebraicznego pola liczbowego na grupę klas jego pola klasy Hilberta , co wysyła wszystkie idealne klasy do klasy ideału głównego. Zjawisko to zostało również nazwane pryncypiacją , a czasami kapitulacją .

Oświadczenie formalne

Dla dowolnego pola liczb algebraicznych K i dowolnego ideału I pierścienia liczb całkowitych K , jeśli L jest polem klasy Hilberta K , to

${\ Displaystyle IO_ {L} \}$

jest ideałem głównym α O _L , dla O _L pierścieniem liczb całkowitych L i pewnym elementem α w nim.

Historia

Twierdzenie o idealnym idealnym zostało wymyślone przez Davida Hilberta ( 1902 ) i było ostatnim aspektem jego programu dotyczącego pól klas, który miał zostać ukończony w 1929 roku.

Emil Artin ( 1927 , 1929 ) zredukował twierdzenie o idealnym idealnym do pytania o skończone grupy abelowe: wykazał, że wynikałoby to z tego, że przejście z grupy skończonej do jej pochodnej podgrupy jest trywialne. Wynik ten został udowodniony przez Philippa Furtwänglera (1929).

•   Artin, Emil (1927), "Beweis des allgemeinen Reziprozitätsgesetzes", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg , 5 (1): 353–363, doi : 10.1007/BF02952531 , S2CID 123050778
•   Artin, Emil (1929), "Idealklassen in Oberkörpern und allgemeines Reziprozitätsgesetz", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg , 7 (1): 46–51, doi : 10.1007/BF02941159 , S2CID 121475651
•    Furtwängler, Filip (1929). „Beweis des Hauptidealsatzes fur Klassenkörper algebraischer Zahlkörper”. Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg . 7 : 14–36. doi : 10.1007/BF02941157 . JFM 55.0699.02 . S2CID 123544263 .
•    Graś, Georges (2003). Teoria pola klas. Od teorii do praktyki . Monografie Springera z matematyki. Berlin: Springer-Verlag . ISBN 3-540-44133-6 . Zbl 1019.11032 .
• Hilbert, David (1902) [1898], "Über die Theorie der relativ-Abel'schen Zahlkörper", Acta Mathematica , 26 (1): 99–131, doi : 10.1007/BF02415486
•    Kocha, Helmut (1997). Algebraiczna teoria liczb . Encykl. Matematyka nauka Tom. 62 (drugi druk pierwszego wyd.). Springer-Verlag . P. 104. ISBN 3-540-63003-1 . Zbl 0819.11044 .
•    Serre, Jean-Pierre (1979). Pola lokalne . Absolwent Teksty z matematyki . Tom. 67. Przetłumaczone przez Greenberga, Marvina Jaya . Springer-Verlag . s. 120–122. ISBN 0-387-90424-7 . Zbl 0423.12016 .