Prinalizacja (algebra)

W matematycznej dziedzinie algebraicznej teorii liczb pojęcie pryncypializacji odnosi się do sytuacji, w której, biorąc pod uwagę rozszerzenie algebraicznych ciał liczbowych , jakiś ideał (lub bardziej ogólnie ideał ułamkowy ) pierścienia liczb całkowitych mniejszego ciała nie jest główny , ale jego rozszerzenie do pierścienia liczb całkowitych większego pola wynosi. Jego badania wywodzą się z prac Ernsta Kummera nad liczbami idealnymi XIX wieku, którzy w szczególności dowiedli, że dla każdego algebraicznego ciała liczbowego istnieje takie rozszerzenie liczbowe, że wszystkie ideały pierścienia liczb całkowitych ciała podstawowego (które zawsze mogą być generowane przez co najwyżej dwa elementy) stają się głównymi po rozciągnięciu do większe pole. W 1897 roku David Hilbert przypuszczał, że takim rozszerzeniem jest maksymalne abelowe nierozgałęzione rozszerzenie pola podstawowego, które później nazwano polem klasy Hilberta danego pola podstawowego. To przypuszczenie, znane obecnie jako twierdzenie o ideale głównym , zostało udowodnione przez Philipp Furtwängler w 1930 r., po przetłumaczeniu jej z teorii liczb na teorię grup przez Emila Artina w 1929 r., który wykorzystał swoje ogólne prawo wzajemności do ustanowienia przeformułowania. Ponieważ ten od dawna pożądany dowód został osiągnięty za pomocą transferów Artina grup nieabelowych o pochodnej długości po drugie, kilku badaczy próbowało dalej wykorzystać teorię takich grup, aby uzyskać dodatkowe informacje na temat pryncypializacji w polach pośrednich między polem podstawowym a polem klasy Hilberta. Pierwszy wkład w tym kierunku zawdzięczamy Arnoldowi Scholzowi i Oldze Taussky w 1934 r., którzy ukuli synonim kapitulacji dla pryncypializacji. Inny niezależny dostęp do problemu pryncypializacji poprzez kohomologię grup jednostek Galois również pochodzi od Hilberta i sięga do rozdziału o rozszerzeniach cyklicznych pól liczbowych pierwszego stopnia w swoim raporcie liczbowym , którego kulminacją jest słynne Twierdzenie 94 .

Przedłużenie zajęć

Niech $rozszerzeniem$$algebraicznym polem liczbowym$ zwanym polem podstawowym i niech będzie pola o skończonym Niech ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {K}, {\ mathcal {I}} _ {K}, {\ mathcal {P}} _ {K}}$ i ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {L}, {\ mathcal {I}} _ {L}, {\ mathcal {P}} _ {L}}$$grupę$ ułamkowych i jej podgrupę głównych ideałów ułamkowych odpowiednio pól. Następnie mapa rozszerzeń ułamkowych ideałów

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadki} \ jota _ {L / K}: {\ mathcal {I}} _ {K} \ do {\ mathcal {I}}_{L}\\{\mathfrak {a}}\mapsto {\mathfrak {a}}{\mathcal {O}}_{L}\end{przypadki}}}$$

jest iniekcyjnym homomorfizmem grupowym . ι ${L / K} ({\ mathcal {P}} _ {K}) \ subseteq {\ mathcal {P}} _ {L}}$ , ta mapa indukuje homomorfizm rozszerzenia idealnych grup klasowych

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadki} j_ {L / K}: {\ mathcal {I} }_{K}/{\mathcal {P}}_{K}\to {\mathcal {I}}_{L}/{\mathcal {P}}_{L}\\{\mathfrak {a} }{\mathcal {P}}_{K}\mapsto ({\mathfrak {a}}{\mathcal {O}}_{L}){\mathcal {P}}_{L}\end{przypadki} }}$$

Jeśli istnieje ideał inny niż główny ( $}}$${a}} {\ mathcal {P}} _ {K} \ neq {\ mathcal {P}} _ {K}}), którego$$mathcal$ { idealnym rozszerzeniem w ${\ Displaystyle L}$ jest główny (tj. ${\ Displaystyle {\ mathfrak {a}} {\ mathcal {O}} _ {L} = A {\ mathcal {O}} _ {L}} dla$ pewnego ${\ Displaystyle A \ w {\ mathcal {O}} _ {L}}$ i ${\ Displaystyle ({\ mathfrak {a}} { \mathcal {O}}_{L}){\mathcal {P}}_{L}=(A{\mathcal {O}}_{L}){\mathcal {P}}_{L}={ \mathcal {P}} _ {L}} )$ , wtedy mówimy o pryncypializacji lub kapitulacji w ${\ displaystyle L/K}$ . W tym przypadku idealny ${\ Displaystyle {\ mathfrak {a}}}$ i jego klasa ${\ Displaystyle {\ mathfrak {a}} {\ mathcal {P}} _ {K}}$ mówi się, że pryncypializują lub skapitulują w ${\ displaystyle L}$ . Zjawisko to najdogodniej opisuje jądro pryncypializacji lub jądro kapitulacji , czyli jądro ${\ Displaystyle \ ker (j_ {L/K})}$ homomorfizmu rozszerzenia klasy.

Mówiąc bardziej ogólnie, niech ${\ Displaystyle {\ mathfrak {m}} = {\ mathfrak {m}} _ {0} {\ mathfrak {m}} _ {\ infty}}$ będzie modułem w $K}$${ \$$displaystyle$ , gdzie $K$ niezerowym ideałem w i ${\mathfrak {m}}_{\infty}}$$\displaystyle$ jest formalnym iloczynem par różnych rzeczywistych nieskończonych liczb pierwszych ${\ Displaystyle K}$ . Następnie

$${\ Displaystyle {\ mathcal {S}} _ {K, {\ mathfrak {m}}} = \ langle \ alfa {\ mathcal {O}} _ {K }|\alpha \equiv 1{\bmod {\mathfrak {m}}}\rangle \leq {\mathcal {I}}_ {K}({\mathfrak {m}}),}$$

to promień modulo , gdzie ${\ mathcal {I}} _ {K} ({\ mathfrak {m} }) = {\ mathcal {I}} _ {K} ({\ mathfrak {m}} _ {0})}$$m$ to grupa niezerowych ideałów ułamkowych w ${\ displaystyle K}$ względnie pierwsza do ${\ displaystyle {} \mathfrak {m}}_{0}}$ i warunek ${\ Displaystyle \ alfa \ równoważnik 1 {\ bmod {\ mathfrak {m}}}}$ oznacza ${\ Displaystyle \ alfa \ równoważnik 1 {\ bmod {{\ mathfrak {m}} _ {0}} }}$ i ${\ Displaystyle v (\ alfa)> 0}$ dla każdej rzeczywistej nieskończonej liczby pierwszej $m$ ∞ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {m}} _ {\ infty}.}$ Niech ${\ Displaystyle {\ mathcal {S}} _ {K, {\ mathfrak {m}}} \ równoważnik {\ mathcal {H}} \ równoważnik {\ mathcal {I}} _ {K} ({\ mathfrak {m.}}),}$ następnie grupa ${\ Displaystyle {\ mathcal {I}} _ {K} ({\ mathfrak {m}}) / {\ mathcal {H}}}$ nazywamy uogólnioną idealną grupą klasową dla ${\ Displaystyle {\ mathfrak {m}}.}$ Jeśli ${\ mathfrak {m}} _ {L}) / {\ mathcal {H}} _ {L}} to uogólnione idealne grupy klas, takie$$}} _ {K}}$ ja ${\ Displaystyle {\ mathfrak {a}} {\ mathcal {O}} _ {L} \ in {\ mathcal {I}} _ {L} ({\ mathfrak {m}} _ {L})}$ że dla każdego ${\ Displaystyle {\ mathfrak {a}} \ w {\ mathcal {I}} _ {K} ({\ mathfrak {m}} _ {K})} i za O$ L ${ \ mathfrak {a}} {\ mathcal {O}} _ {L} \ in {\ mathcal {H}} _ {L}} dla każdego za ∈ H. K. {\ Displaystyle {\ mathfrak {$ a ${ \mathcal {H}}_ {K}}$ , to indukuje homomorfizm rozszerzenia uogólnionych idealnych grup klas: ${\ Displaystyle \ jota _ {L/K}}$

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadki} j_ {L / K}: {\ mathcal {I}} _ {K} ({\ mathfrak {m}} _ {K}) / {\ mathcal {H}} _ { K}\to {\mathcal {I}}_{L}({\mathfrak {m}}_{L})/{\mathcal {H}}_{L}\\{\mathfrak {a}}{ \mathcal {H}}_{K}\mapsto ({\mathfrak {a}}{\mathcal {O}}_{L}){\mathcal {H}}_{L}\end{przypadki}}}$$

Rozszerzenia Galois pól liczbowych

Niech będzie rozszerzeniem Galois algebraicznych pól liczbowych z grupą Galois $/$$Galois$ i niech ${\ Displaystyle \ mathbb {P} _ {K}, \ mathbb {P} _ {F}} oznaczają$ odpowiednio zbiór ideałów pierwszych pól ${\ Displaystyle K, F} .$ Przypuszczam, że ${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} \ in \ mathbb {P} _ {K}} jest$ ideałem pierwszym K. $\ Displaystyle K}$ , który nie dzieli względnego wyróżnika ${\ mathfrak {d}} (F / K)}$$i$ dlatego jest nierozgałęziony w i niech ${\ mathfrak {p}}}$$}} \ in \ mathbb {P} _ {F}}$ być ideałem pierwszym leżącym nad $displaystyle$ .

Automorfizm Frobeniusa

Istnieje unikalny automorfizm taki, że $p}} }} \ equiv \ sigma (A) {\ bmod {\ mathfrak {P}}}}$$($ dla wszystkich algebraicznych liczb całkowitych ${\ Displaystyle A \ in {\ mathcal {O}} _ {F}}$ , gdzie ${\ Displaystyle \ operatorname {N} ({\ mathfrak {p}})}$ jest norma p {\ displaystyle {\ mathfrak $p}}}$ . Mapa ${\textstyle \left[{\frac {F/K}{\mathfrak {P}}}\right]:=\sigma }$ nazywana jest automorfizmem Frobeniusa ${\ styl wyświetlania {\ mathfrak {P}}}$ . Generuje grupę dekompozycji $mathfrak {P}}}$$\ Displaystyle D _ {\ mathfrak {P}} = \ {\ sigma \ w G | \ sigma ({\ mathfrak {P}}) = {\ mathfrak {P}} \}} P. {\ Displaystyle {$ \ , a jego kolejność jest równa stopniowi bezwładności ${\ Displaystyle f: = f ({\ mathfrak {P}} |{\mathfrak {p}})=[{\mathcal {O}}_{F}/{\mathfrak {P}}:{\mathfrak {O}}_{K}/{\mathfrak {p}} ]}$ z ${\ Displaystyle {\ mathfrak {P}}}$ ponad ${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}}}$ . (Jeśli ${$ rozgałęziony, to jest [ $\ textstyle \ lewo [{\ Frac {F/K} {\ mathfrak {P}}} \ prawej]$ tylko zdefiniowane i generuje modulo podgrupy bezwładności re $_ {\ mathfrak {P}}}$

$${\ Displaystyle I _ {\ mathfrak {P}} = \ {\ sigma \ w G | \ sigma (A) \ równoważnik A {\ bmod {\ mathfrak {P}}} {\ tekst {dla wszystkich}} A \ w {\mathcal {O}}_{F}\}=\ker(D_{\mathfrak {P}}\to \mathrm {Gal} ({\mathcal {O}}_{F}/{\mathfrak {P }}|{\mathcal {O}}_ {K}/{\mathfrak {p}})}}$$

którego kolejność jest ${\ Displaystyle e ({\ mathfrak {P}} | {\ mathfrak {p}})}$ rozgałęzienia mi P. $\ Displaystyle {\ mathfrak {P}}}$ nad ${ \ Displaystyle {\ mathfrak {p}}}$ ). $\ mathfrak {P}})}$ inny ideał pierwszy dzielący ma $) {\ Displaystyle$ z pewnym ${$${\ Displaystyle \ tau \ w G}$ . Jego automorfizm Frobeniusa jest określony przez

$${\ Displaystyle \ lewo [{\ Frac {F / K} {\ tau ({\ mathfrak {P}})}} \ prawo]=\tau \lewo[{\frac {F/K}{\mathfrak {P}}}\prawo]\tau ^{-1},}$$

od

$${\ Displaystyle \ tau (A) ^ {\ operatorname {N} ({\ mathfrak {p}} )}\ równoważnik (\tau \sigma \tau ^{-1})(\tau (A)){\bmod {\tau ({\mathfrak {P}})}}}$$

dla wszystkich $)$ a zatem dla jego grupy dekompozycji $Displaystyle D _ {\ tau$ sprzężone z ${\ Displaystyle D _ {\ mathfrak {P}}}$ . W tej ogólnej sytuacji symbol Artina jest odwzorowaniem

$${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} \ mapsto \ lewo ({\ Frac {F / K} {\ mathfrak {p}}} \ prawej): = \ lewo. \ lewo \ {\ tau \ left[{\frac {F/K}{\mathfrak {P}}}\right]\tau ^{-1}\right|\tau \in G\right\}}$$

co wiąże całą klasę koniugacji automorfizmów z dowolnym nierozgałęzionym ideałem pierwszym $mathfrak {p}$ fa $} textstyle \ lewo ({\ Frac {F / K} {\ mathfrak {p}}} \ prawej) = 1}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}}}$ dzieli się całkowicie na ${\ displaystyle F }$ .

Faktoryzacja ideałów pierwszych

Gdy $L$$($ względną $_$$_ {L/K}}$ jota i $}$ są możliwe, ponieważ możemy skonstruować rozkład na czynniki (gdzie jest nierozgałęziony w jak wyżej $)$$displaystyle {\ mathcal {O}} _ {L}}$$displaystyle {\ displaystyle F} jak wyżej) p {\ displaystyle {\ mathfrak$$} {$ } $rozkładu$ na czynniki w następujący sposób. Pierwsze ideały leżące nad są w ${\$$Displaystyle {\$$G} -$ równoważna z $Displaystyle$ -zbiorem bijekcja lewych zestawów $/ D _ {\ mathfrak {P}}}$ sol ${\ Displaystyle \ tau ({\ mathfrak {P}})}$ odpowiada coset ${\ Displaystyle \ tau D _ {\ mathfrak {P}}}$ . Dla każdego ideału pierwszego w ${\ displaystyle {\ mathfrak {q}}}$$działa$$\ mathcal {O}} _ {L}}$ leżąca nad grupą Galois ${\ Displaystyle H}$ przechodnie na zbiorze ideałów pierwszych w ${ \ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {F}}$ leżącego nad ${\ Displaystyle {\ mathfrak {q}}}$ q ${\ Displaystyle {\ mathfrak {q}}}$ są w bijekcji z orbitami działania ${\ displaystyle H}$ na ${\ Displaystyle G/D _ {\ mathfrak {P}}}$ przez lewe mnożenie. $orbity$ kolei z podwójnymi cosetami Niech ${\ Displaystyle (\ tau _ {1}, \ ldots, \ tau _ {g})}$ będzie kompletnym systemem przedstawicieli tych podwójnych zestawów, więc ${\ Displaystyle G = {\ kropka {\ filiżanka}} _ {i = 1} ^ {g} \, H \ tau _ {i} D _ {\ mathfrak {P}}}$ . Ponadto niech ${\ Displaystyle H \ cdot \ tau _ {i} D _ {\ mathfrak {P}}}$ oznacza orbitę cosetu $}}$${\ Displaystyle \ tau _ {i} D_ {\ mathfrak {P$$}$$w$ działaniu na zbiorze lewych przez ${\ Displaystyle H \ tau _ {i} \ cdot D _ {\ mathfrak {P}}}$ oznacza orbitę coset w akcji ${\ Displaystyle H \ tau _ {i}}$ na $zbiorze$ prawych $_$ _ Następnie ${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}}}$ rozkłada na czynniki jako . ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {L}}$${\ textstyle {\ mathfrak {p}}} {\ mathcal {O}} _ {L} = \ prod _ {i = 1} ^ {g} {\ mathfrak {q }} _ {i}}$ , gdzie ${\ Displaystyle {\ mathfrak {q}} _ {i} \ in \ mathbb {P} _ {L}}$ przez $i\leq g}$${\ Displaystyle 1 \$$leq$ to główne ideały leżące nad satysfakcjonującymi p $displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ textstyle {\ mathfrak {q}} _ {i} {\ mathcal {O}} _ {F} = \ prod _ {\ varho} \ varho ({\ mathfrak {P}})}$ z produktem działającym w dowolnym systemie przedstawicieli ${\ Displaystyle H \ cdot \ tau _ {i} D _ {\ mathfrak {P}}}$ .

Mamy

$${\ Displaystyle \ # (H \ cdot \ tau _ {i} D _ {\ mathfrak {P}}} \ cdot \ # D _ {\ mathfrak {P}} = \ # H \ tau _ {i} D _ {\ mathfrak {P}}=\#(H\tau _{i}\cdot D_{\mathfrak {P}})\cdot \#H.}$$

Niech będzie grupą dekompozycji ${\ Displaystyle \ tau _ {i} ({\ mathfrak {$$P.$$.$ ) } Re ${\ Displaystyle D_ {i} = H \ czapka D _ {\ tau _ {i} ({\ mathfrak {P}})}}$ stabilizatorem ${\ Displaystyle \ tau _ {i} D _ {\ mathfrak {P}}}$ w akcji ${\ Displaystyle H}$ na ${\ Displaystyle G/D _ {\ mathfrak {P}}}$ , więc z twierdzenia o stabilizatorze orbity mamy ${\ Displaystyle \ # D_ {i} = \ # H / \ # (H \ cdot \ tau _ {i} D _ {\ mathfrak {P}})}$ . Z drugiej strony jest to ${\ Displaystyle \ # D_ {i} = f (\ tau _ {i} ({\ mathfrak {P}}) | {\ mathfrak {q}} _ {i})} , co razem$ daje

$${\ Displaystyle f ({\ mathfrak {q}} _ {i} | {\ mathfrak {p}}) = {\ Frac {f (\ tau _ {i} ({\ mathfrak {P}}) | {\ mathfrak {p}})}{f(\tau _{i}({\mathfrak {P}})|{\mathfrak {q}}_{i})}}={\frac {f({\mathfrak {P}}|{\mathfrak {p}})}{\#D_{i}}}={\frac {\#D_{\mathfrak {P}}}{\#H/\#(H\cdot \tau _{i}D_{\mathfrak {P}})}}={\frac {\#(H\cdot \tau _{i}D_{\mathfrak {P}})\cdot \#D_{\ mathfrak {P}}}{\#H}}={\frac {\#H\tau _{i}D_{\mathfrak {P}}}{\#H}}=\#(H\tau _{ i}\cdot D_{\mathfrak {P}}).}$$

Innymi słowy, stopień bezwładności ${\ Displaystyle f_ {i}: = f ({\ mathfrak {q}} _ {i} | {\ mathfrak {p}})}$$F/K} \mathfrak {P}}}\right]}$ równy rozmiarowi orbity cosetu w akcji $] {$ na zbiorze prawych cosetów ${\ Displaystyle H \ backslash G}$ przez prawe mnożenie. $_$ rozmiarowi _ ${\ Displaystyle \ tau _ {i} ^ {- 1} H}$ w akcji ${\ textstyle \ lewo [{\ Frac {F / K} {\ mathfrak {P }}} \ prawo]}$ na zestawie lewych zestawów ${\ Displaystyle G/H}$ przez lewe mnożenie. $.$ ideały pierwsze $leżące$ nad tej akcji

W konsekwencji idealne osadzenie jest dane przez ${\ textstyle \ jota _ {L/K} ({\ mathfrak {p}}) = {\ mathfrak {p}}{\mathcal {O}}_{L}=\prod _{i=1}^{g}{\mathfrak {q}}_{i}} i rozszerzenie klasy$ o

$${\ Displaystyle j_ {L / K} ({\ mathfrak {p}} {\ mathcal {H}} _ {K}) = ({\ mathfrak {p}} {\ mathcal {O}} _ {L}) {\mathcal {H}}_{L}=\prod _{i=1}^{g}{\mathfrak {q}}_{i}{\mathcal {H}}_{L}.}$$

Prawo wzajemności Artina

Teraz dalej załóżmy, $że$$to$ abelowym , jest abelową. Następnie wszystkie sprzężone grupy rozkładu $D _ {\ mathfrak { p}}:=D_{\tau ({\mathfrak {P}})}}$ pierwszych leżące nad pokrywają się, a więc $\$$displaystyle$ dla każdego ${\ Displaystyle \ tau \ in G}$ i symbol Artina ${\ textstyle \ lewo ({\ Frac {F / K} {\ mathfrak {p}}} \ right) = \ lewo [{\ Frac {F/K} {\ mathfrak {P}}} \ right]} staje się$ równe automorfizmowi Frobeniusa dowolnego ${\ Displaystyle {\ mathfrak {P}} \ mid { \mathfrak {p}}}$ i ${\ textstyle A ^ {\ operatorname {N} ({\ mathfrak {p}})} \ równoważnik \ lewo ({\ frac {F/K} {\ mathfrak {p}}} \ prawo) (A) {\ bmod {\ mathfrak {P}}}}$ dla wszystkich i każdego ZA $\ Displaystyle A \ in {\ mathcal {O}} _ {F}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {P}}\mid {\mathfrak {p}}}$ .

Zgodnie z klasową teorią pola rozszerzenie abelowe jednoznacznie $\ mathcal {S}} _ {$ grupie pośredniej ${$ Displaystyle $\ mathfrak {f}}}$ z ${\ Displaystyle K}$ ja ${\ Displaystyle {\ mathcal {I}} _ {K} ({\ mathfrak {f}})}$ , gdzie ${\ Displaystyle {\ mathfrak {f}} = {\ mathfrak {f}} _ {0} {\ mathfrak {f}} _ {\ infty} = {\ mathfrak {f}} (F/K)} oznacza względny przewodnik ( fa {\$ displaystyle { \ $} {f}} _ {0}}$ jest podzielna przez te same ideały pierwsze co ${\ Displaystyle {\ mathfrak {d}}}$ ). Znak Artina

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadki} \ mathbb {P} _ {K} ({\ mathfrak {f}}) \ do G \\ {\ mathfrak {p}}\mapsto \left({\frac {F/K}{\mathfrak {p}}}\right)\end{przypadki}}}$$

który wiąże automorfizm Frobeniusa z każdym ideałem pierwszym, który jest nierozgałęziony w $\ displaystyle$$}$$\ mathfrak {p}}}$$}$${\ displaystyle$ , można rozszerzyć przez multiplikatywność do surjektywnego homomorfizmu

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadki} {\ mathcal {I}} _ {K} ({\ mathfrak {f}}) \ do G \\ {\ mathfrak {a}} = \ prod {\ mathfrak {p} }^{v_{\mathfrak {p}}({\mathfrak {a}})}\mapsto \left({\frac {F/K}{\mathfrak {a}}}\right):=\prod \ left({\frac {F/K}{\mathfrak {p}}}\right)^{v_{\mathfrak {p}}({\mathfrak {a}})}\end{przypadki}}}$$

$mathcal {H}} = {\ mathcal {S}} _ {K, {\ mathfrak {f}}} \ cdot \ operatorname {N} _ {F / K} ({\ mathcal {I}} _ {F} ({\ mathfrak {f}}))} (gdzie ja fa ( fa )$ \ { ${ I}}_ {F}({\mathfrak {f}})}$ oznacza ${\ Displaystyle {\ mathcal {I}} _ {F} ({\ mathfrak {f}} _ {0} {\ mathcal {O}} _ {F}}}), zwany mapą Artina,$ która wywołuje izomorfizm

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadki} {\ mathcal {I}} _ {K} ({{ \mathfrak {f}})/{\mathcal {H}}\to G=\mathrm {Gal} (F/K)\\{\mathfrak {a}}{\mathcal {H}}\mapsto \left( {\frac {F/K}{\mathfrak {a}}}\right)\end {przypadki}}}$$

uogólnionej idealnej grupy klas ${\ Displaystyle {\ mathcal {I}} _ {K} ({\ mathfrak {f}}) / {\ mathcal {H}}}$ do grupy Galois ${\ Displaystyle G}$ . Ten wyraźny izomorfizm nazywany jest prawem wzajemności Artina lub ogólnym prawem wzajemności .

Rysunek 1: Diagram przemienny łączący rozszerzenie klasy z przeniesieniem Artina.

Sformułowanie problemu metodą teorii grup

$wzajemności$ pozwoliło Artinowi przetłumaczyć ogólny problem pryncypializacji dla pól liczbowych w oparciu o z teorii liczb na teorię Niech będzie rozszerzeniem Galois algebraicznych pól liczbowych z grupą automorfizmów $F/K$$operatorname$ . Załóżmy, że $Gal} (F$$sol$ fa i niech ${\ Displaystyle K'/K, L'/L}$ będzie maksymalnym abelowym rozszerzeniem podrzędnym odpowiednio w ciągu ${$$\ displaystyle K, L}$ . Wtedy odpowiednie grupy względne to podgrupy komutatora ${\ Displaystyle G' = \ operatorname {Gal} (F/K') \ równoważnik G}$ , odpowiednio. ${\ Displaystyle H' = \ operatorname {Gal} (F / L') \ równoważnik H}$ . Zgodnie z klasową teorią pola istnieją grupy pośrednie ${\ mathcal {H}} _ {K} \ leq {\ mathcal {I}} _ {K} ({\ mathfrak {d}})}$${\ Displaystyle {\ mathcal {S}} _ {K, {\ mathfrak {m}} _ {K}} \$ i ${\ Displaystyle {\ mathcal {S}} _ {L, {\ mathfrak {m}} _ {L}} \ równoważnik {\ mathcal {H}} _ {L} \ równoważnik {\ mathcal {I}} _ { L} ({\ mathfrak {d}})}$ takie, że mapy Artina ustalają izomorfizmy

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i \ lewo ({\ Frac {K '/ K} {\ cdot}} \ prawej): {\ mathcal {I}} _ {K }({\mathfrak {d}})/{\mathcal {H}}_{K}\to \mathrm {Gal} (K'/K)\simeq G/G'\\&\left({\frac {L'/L}{\cdot}}\right):{\mathcal {I}}_{L}({\mathfrak {d}})/{\mathcal {H}}_{L}\to \ mathrm {Gal} (L'/L)\simeq H/H'\end{wyrównane}}}$$

tutaj ${\ Displaystyle {\ mathfrak {d}} = {\ mathfrak {d}} (F / K), {\ mathcal {I}} _ {L} ({\ mathfrak {d}})}$ oznacza ${\ Displaystyle {\ mathcal {I}} _ {L} ({\ mathfrak {d}} {\ mathcal {O}} _ {L })}$ i ${\ Displaystyle {\ mathfrak {m}} _ {K}, {\ mathfrak {m}} _ {L}}$ to niektóre moduły podzielne przez ${\ Displaystyle {\ mathfrak {f}} (K '/ K), {\ mathfrak {f}} (L '/ L)}$ odpowiednio i przez wszystkie liczby pierwsze dzielenie odpowiednio ${\ Displaystyle {\ mathfrak {d}} {\ mathfrak {d}} {\ mathcal {O}} _ {L}}$

$K} ({\ mathfrak { d}}) \ do {\ mathcal {I}} _ {L} ({\ mathfrak {d}})}, indukowany transfer Artina$ { T ~ $Displaystyle {\ tylda {T}} _ {G ,H}}$ i te mapy Artina są połączone wzorem

$${\ Displaystyle {\ tylda {T}} _ {G, H} \ circ \ lewo ({\ Frac {K'/K} {\ cdot}} \ prawej) = \ lewo ({\ Frac {L'/L }{\cdot}}\right)\circ \iota _{L/K}.}$$

Ponieważ jest generowany przez ideały pierwsze $} ({\ mathfrak {d}})},$$\ displaystyle K}$ które nie dzielą $displaystyle {\mathfrak {d}}}$${$ wystarczy zweryfikować tę równość na tych generatorach. Załóżmy więc, że jest ideałem pierwszym $który$${\ displaystyle K},$ nie dzieli ${\ Displaystyle {\ mathfrak {d}}}$ i niech będzie ideałem pierwszym ${\ Displaystyle {\ mathfrak {P}} \ in \ mathbb {P} _ {F$$}$ leżąc na ${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$ . Z jednej strony idealny homomorfizm rozszerzenia odwzorowuje ideał pola bazowego $mathfrak$$\ displaystyle {\$$}$ do ideału rozszerzenia ${\ Displaystyle \ jota _ {L / K} ({\ mathfrak {p}}) = {\ mathfrak {p}} {\ mathcal { O}} _ {L} = \ prod _ {i = 1} ^ {g} {\ mathfrak {q}} _ {i}}$$w$ polu na mapie Artina ${\ textstyle \ lewo ({\ Frac {L '/ L} {\ cdot}} \ prawej)}$ pola ${\ Displaystyle L}$ odwzorowuje ten iloczyn ideałów pierwszych na iloczyn koniugatów automorfizmów Frobeniusa

$${\ Displaystyle \ prod _ {i = 1} ^ {g} \ lewo ({\ Frac {L'/L }{{\mathfrak {q}}_{i}}}\right)=\prod _{i=1}^{g}\left[{\frac {F/L}{\tau _{i}( {\mathfrak {P}}}}}\right]\cdot H'=\prod _{i=1}^{g}\tau _{i}\left[{\frac {F/L}{\mathfrak {P}}}\right]\tau _{i}^{-1}\cdot H'=\prod _{i=1}^{g}\tau _{i}\left[{\frac {F /K}{\mathfrak {P}}}\right]^{f_{i}}\tau _{i}^{-1}\cdot H',}$$

gdzie zastosowana tutaj dekompozycja podwójnego cosetu i jej przedstawicieli jest taka sama jak w przedostatniej sekcji. Z drugiej strony mapa Artina $}$ podstawowego mapuje ${\ textstyle \ lewo ({\ Frac {K'/ K} {\ cdot}} \ prawej)$ idealny do $fa$${\ textstyle \ lewo ({\ Frac {K'/K} {\ mathfrak {p}}} \ prawej) = \ lewo [{\ Frac {F/K} {\ mathfrak {P}}} \ po prawej]\cdot G'}$ . sol ${\ Displaystyle g} -$ krotka ${g} ^ {- 1})}$ to system przedstawicieli podwójnych cosetów ${\ Displaystyle D _ {\ mathfrak {P}} \ backslash G/H}$$,$${\ Displaystyle G/H}$ działania G przez lewe mnożenie i ${\ Displaystyle f_ {i} = \ # (H \ tau _ {i} \ cdot D _ {\ mathfrak {P}}) = \ # (D _ {\ mathfrak {P}} \ cdot \ tau _ {i} ^ {-1}H)}$ jest równy rozmiarowi orbity coset w tej akcji. ${\ Displaystyle \ tau _ {i} ^ {- 1} H} .$ Stąd indukowane mapy transferu Artina ${\ textstyle \ lewo [{\ frac {F/K} {\ mathfrak {P}}} \ prawo] \ cdot G'}$

$${\ Displaystyle {\ tylda {T}} _ {G, H} \ lewo (\ lewo [{\ Frac {F / K} {\ mathfrak {P}}} \ prawo] \ cdot G '\ prawo) = T_ {G,H}\left(\left[{\frac {F/K}{\mathfrak {P}}}\right]\right)=\prod _{i=1}^{g}(\tau _ {i}^{-1})^{-1}\left[{\frac {F/K}{\mathfrak {P}}}\right]^{f_{i}}\tau _{i}^ {-1}\cdot H'=\prod _{i=1}^{g}\tau _{i}\left[{\frac {F/K}{\mathfrak {P}}}\right]^ {f_{i}}\tau _{i}^{-1}\cdot H'.}$$

To wyrażenie iloczynowe było pierwotną formą homomorfizmu transferu Artina, odpowiadającą rozkładowi reprezentacji permutacji na rozłączne cykle .

Ponieważ jądra map Artina ${\ Displaystyle \ lewo ({\ tfrac {K'/K} {\ cdot}} \ prawej)}$ i ${\ Displaystyle \ po lewej ({\ tfrac {L'/L} {\ cdot}} \ prawej)}$ są ${\ Displaystyle {\ mathcal {H}} _ {K}}$ i ${\ Displaystyle {\ mathcal {H} odpowiednio }_{L}}$ , poprzedni wzór implikuje, że ${\ Displaystyle \ jota _ {L / K} ({\ mathcal {H}} _ {K}) \ subseteq {\ mathcal {H}} _ {L}}$ . Wynika z tego, że istnieje homomorfizm rozszerzenia klasy ${\ Displaystyle j_ {L/K}: {\ mathcal {I}} _ { K} ({\mathfrak {d}})/{\mathcal {H}}_ {K}\to {\mathcal {I}}_ {L}({\mathfrak {d}})/{\mathcal { H}}_{L}}$ i tyle ${\ Displaystyle j_ {L/K}}$ i indukowany transfer Artina są połączone diagramem przemiennym na rysunku 1 ${\ Displaystyle {\ tylda {T}} _ {G, H}}$ poprzez izomorfizmy indukowane mapami Artina, czyli mamy równość dwóch złożonych ${\ Displaystyle {\ tylda {T}} _ {G, H} \ circ \ lewo ({\ tfrac {K '/ K} {\ cdot}} \ prawej) = \ lewo ({\ tfrac {L '/L}{\cdot}}\right)\circ j_{L/K}}$ .

Wieża polowa klasy

Diagram przemienny w poprzedniej sekcji, który łączy homomorfizm rozszerzenia klasy teorii liczb $z$$, H}}$ H. , umożliwiło Furtwänglerowi udowodnienie twierdzenia głównego ideału poprzez specjalizację w sytuacji, w której jest (pierwszym) polem klasy Hilberta $}$$L = F ^ {1} (K)}$${\ Displaystyle$ , czyli maksymalne $,$$nierozgałęzione$ a drugim polem klasy $}$$K$$)$ czyli maksymalne nierozgałęzione $.$ ( nierozgałęzione rozszerzenie następnie ${\ Displaystyle K '= L, L' = F, {\ mathfrak {d}} = {\ mathcal { O}}_{K},{\mathcal {H}}_{K}={\mathcal {P}}_{K},{\mathcal {H}}_{L}={\mathcal {P} } _ {L}}$ i ${\ Displaystyle H = G'}$ jest podgrupą komutatora ${\ displaystyle G}$ . Dokładniej, Furtwängler wykazał, że generalnie przeniesienie Artina ze $G'}}$$G,$ metabelowej do pochodnej podgrupy wynosi $\ Displaystyle T_ {$ trywialny homomorfizm. W rzeczywistości jest to prawdą, nawet jeśli metabelowe, ponieważ możemy zredukować się do przypadku metabelowego, zastępując $G$$\ Displaystyle G}$ przez ${\ Displaystyle G / G ''}$ . Dotyczy to również grup nieskończonych, pod warunkiem, że $jest$ generowany w sposób skończony i ${\ displaystyle [G: G'] <\ infty$ . $każdy$$,$ ideał rozciąga na główny ideał

Jednak schemat przemienny zawiera potencjał dla wielu bardziej wyrafinowanych zastosowań. $}$ sytuacji, gdy ${\ Displaystyle K}$${$ , jest polem klasy p Hilberta z , czyli maksymalne metabelowe nierozgałęzione rozszerzenie stopnia a potęgi $displaystyle$$p, L$ zmienia się w polu pośrednim między $polem klasy$ a jego pierwszym polem klasy p Hilberta ${\ Displaystyle F_ {p} ^ {1} (K)}$ i ${\ Displaystyle H = \ operatorname {Gal} (F_ {p} ^ {2} (K) / L) \ równoważnik G = \ operatorname {Gal} (F_ {p} ^ {2} (K) / K) }$ odpowiednio zmienia się w grupach pośrednich między i ${\ Displaystyle$$G'}$ , obliczanie wszystkich jąder pryncypialnych $Displaystyle \ ker (j_ {L / K}) }$ i wszystkie grupy klasy p ${\ Displaystyle \ operatorname {Cl} _ {p} (L)}$ $_$$_$ o i _ ${\ Displaystyle T_ {G, H}}$ i pozwala na dokładną specyfikację drugiej grupy klasy ${\ Displaystyle G = \ operatorname {Gal} (F_ {p} ^ {2} (K) / K)}$ z ${\ Displaystyle K}$ poprzez rozpoznawanie wzorców , a często nawet pozwala wyciągnąć wnioski na temat całego p $K}$ Displaystyle , czyli grupa Galois $\ Displaystyle \ operatorname {Gal} (F_ {p} ^ {\ infty} (K )/K)}$ za maksymalnej nierozgałęzionej podpory -p rozszerzenie ${\ Displaystyle F_ {p} ^ {\ infty} (K)}$$\ Displaystyle K}$ { .

Idee te są już wyraźnie wyrażone w artykule A. Scholza i O. Taussky'ego z 1934 roku. Na tych wczesnych etapach rozpoznawanie wzorców polegało na określeniu ideałów anihilatora lub porządków symbolicznych oraz relacji Schreiera metabelowych grup p , a następnie użyciu twierdzenia O. Schreiera o wyjątkowości dotyczącego rozszerzeń grup . Obecnie używamy algorytmu generowania grup p MF Newmana i EA O'Briena do konstruowania drzew potomnych -grupy i wzorce wyszukiwania, zdefiniowane przez jądra i cele transferów Artina , wśród wierzchołków tych drzew.

Kohomologia Galois

W rozdziale dotyczącym cyklicznych rozszerzeń pól liczbowych stopnia pierwszego w swoim raporcie liczbowym z 1897 r. D. Hilbert udowadnia szereg kluczowych twierdzeń, których kulminacją jest Twierdzenie 94, pierwotny zalążek teorii pola klas. Dziś twierdzenia te można postrzegać jako początek tego, co obecnie nazywa się kohomologią Galois. $K$ rozszerzenie względne pól liczbowych z cykliczną grupą ${\ Displaystyle G = \ operatorname {Gal} (L / K) = \ langle \ sigma \ rangle}$ generowane przez automorfizm ${\ Displaystyle \ sigma}$ taki, że ${\ Displaystyle \ sigma ^ {\ ell} = 1}$$który$ względnego stopnia liczba pierwsza

Bada dwa endomorfizmy grupy jednostek $moduł$ rozszerzenia, postrzeganego jako w odniesieniu do grupy $G$ krótko a $G}$$displaystyle$ -moduł. Pierwszy endomorfizm

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadki} \ Delta: U \ do U \\ E \ mapsto E ^ {\ sigma -1}: =\sigma (E)/E\end{przypadki}}}$$

jest symbolicznym potęgowaniem z różnicą , a drugim endomorfizmem ${\ Displaystyle \ sigma -1 \ in \ mathbb {Z} [G]}$

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadki} N: U \ do U \\ E \ mapsto E ^ {T_ {G }}:=\prod _{i=0}^{\ell -1}\sigma ^{i}(E)\end{przypadki}}}$$

jest odwzorowaniem norm algebraicznych , czyli symbolicznym potęgowaniem ze śladem

$${\ Displaystyle T_ {G} = \ suma _ {i = 0} ^ {\ ell -1} \ sigma ^ {i} \ w \ mathbb {Z} [G].}$$

$=\mathrm {N} _{L/K}(E)}$ norm algebraicznych jest zawarty w grupie jednostek pola podstawowego i $)$$\ Displaystyle N (E$ pokrywa się ze zwykłą normą arytmetyczną (polową) jako iloczyn wszystkich koniugatów. Composita endomorfizmów spełnia relacje i ${\ Displaystyle \ Delta \ circ N = 1$ } ${\ Displaystyle N \ circ \ Delta = 1}$ .

Za pomocą jąder i obrazów tych endomorfizmów można zdefiniować dwie ważne grupy kohomologii. Zerowa grupa kohomologii Tate'a $Displaystyle$ U $U_ {L}}$ jest określona przez iloraz ker $)}$${\ Displaystyle H ^ {0} (G, U_ {L}): = \ ker (\ Delta) / \ operatorname {im} (N) = U_ {K} / \ operatorname {N} _ {L / K} (U_ {L$$}}$$się$ z reszt normowych i minus pierwszej grupy kohomologicznej Tate w U $Displaystyle$$U_ {L$ jest dane ilorazem ${\ Displaystyle H ^ {- 1} (G, U_ {L}): = \ ker (N) / \ operatorname {im} (\ Delta )=E_{L/K}/U_{L}^{\sigma -1}}$ grupy ${\ Displaystyle E_ {L/K} = \ {E \ w U_ {L} | N (E) = 1 \}$ } względnych jednostek ${\ Displaystyle L / K}$ modulo podgrupa symbolicznych potęg jednostek z wykładnikiem formalnym ${\ Displaystyle \ sigma -1}$ .

W swoim $H$ 92 Hilbert udowadnia istnienie jednostki względnej $) / E} ,$ wyrazić jako $displaystyle H = \$$sol$ jednostki co oznacza, że ​​minus pierwsza grupa kohomologiczna ${\ Displaystyle H ^ {-1} (G, U_ {L}) = E_ {L / K} / U_ {L} ^ {\ sigma -1}$ } nietrywialny porządek podzielny przez ${\ displaystyle \ ell}$ . Jednak za pomocą całkowicie podobnej konstrukcji minus pierwsza grupa kohomologiczna ${\ Displaystyle H ^ {- 1} (G, L ^ {\ razy}) = \ {A \ w L ^ {\ razy} | N (A) = 1 \ } / (L ^ {\ razy}) ^ {\ sigma -1}}$ modułu ${ 0 \}}$ \ razy $} = L \ setminus$$,$ multiplikatywną grupę superpola można zdefiniować, a Hilbert pokazuje jej trywialność ${\ Displaystyle H ^ {- 1} (G, L ^ {\ razy}) = 1}$ w jego słynnym Twierdzeniu 90 .

Ostatecznie Hilbert jest w stanie ogłosić swoje słynne Twierdzenie 94 : Jeśli $trywialnym$ cyklicznym rozszerzeniem pól liczbowych o nieparzystym $pierwszym$ względnym ${\ Displaystyle {\ mathfrak {d}} _ {L/K} = {\ mathcal {O}} _ {K}} , co oznacza, że ​​jest nierozgałęziony$ przy skończonych liczbach pierwszych , wtedy istnieje niegłówny ideał ${\ Displaystyle {\ mathfrak {j}} \ w {\ mathcal {I}} _ {K} \ setminus {\ mathcal {P}} _ {K}} pola podstawowego K {\$ Displaystyle $}$ który staje się głównym polem rozszerzenia $,$ czyli jot $\mathcal {O}} _ {L} \ in {\ mathcal {P}} _ {L}}$$\ Displaystyle {\ mathfrak {j}} {\ mathcal {O}} _ {L} = A$ dla niektórych ${\ Displaystyle A \ in {\ mathcal {O}} _ {L}}$ . Co więcej, $niegłównego$ ideału jest główna w polu podstawowym $,$${\ displaystyle {\mathfrak {j}}^{\ell}=\mathrm {N} _{L/K}(A){\mathcal {O}}_{K}\in {\mathcal {P}}_{ K}}$ szczególności , stąd numer klasy pola podstawowego musi być podzielny przez ${\ displaystyle \ ell}$ i pole rozszerzenia ${\ displaystyle L}$ można nazwać polem klasy K. $\ displaystyle K}$ . Dowód wygląda następująco: Twierdzenie 92 mówi, że istnieje jednostka ${\ Displaystyle H \ in E_ {L/K} \ setminus U_ {L} ^ {\ sigma -1}}$$zapewnia$ istnienie (koniecznie niejednostkowego że ${\ Displaystyle H = A ^ {\ sigma -1}}$ , tj. ${\ Displaystyle A ^ {\ sigma} = A \ cdot H}$ . Mnożąc $liczbę całkowitą$$,$ możemy założyć, że jest to liczba całkowita. Niejednostka $jest$ generatorem niejednoznacznego ideału , ponieważ $Displaystyle$${\ Displaystyle (A {\ mathcal {O}} _ {L}) ^ {\ sigma} = A ^ {\ sigma} {\ mathcal {O}}_{L}=A\cdot H{\mathcal {O}}_{L}=A{\mathcal {O}}_{L}}$ . Jednak podstawowy ideał ${\ Displaystyle {\ mathfrak {j}}: = (A {\ mathcal {O}} _ {L}) \ cap {\ mathcal {O} }_{K}}$ podpola ${\ Displaystyle K}$ nie może być głównym. Załóżmy przeciwnie, że ${\ Displaystyle {\ mathfrak {j}} = \ beta {\ mathcal {O}} _ {K}}$ dla pewnego ${\ Displaystyle \ beta \ w {\ matematyczny {O}}_{K}}$ . Ponieważ ${\ Displaystyle L / K}$ jest nierozgałęziony, każdy niejednoznaczny ideał jest windą ${\ Displaystyle {\ mathfrak {a}}}$ z ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {L}}$ pewnego ideału w ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {K}}$ , w szczególności ${\ Displaystyle {\ mathfrak {a}} = ({\ mathfrak {a}} \ cap {\mathcal {O}}_ {K}){\mathcal {O}}_ {L}}$ . Stąd ${\ Displaystyle \ beta {\ mathcal {O}} _ {L} = {\ mathfrak {j}}} {\ mathcal {O}} _ {L} = A { \ mathcal {O}} _ {L}},$ a zatem ${\ Displaystyle A = \ beta E}$ dla pewnej jednostki ${\ Displaystyle E \ w U_ {L}}$ . Oznaczałoby to sprzeczność ${\ Displaystyle H = A ^ {\ sigma -1} = (\ beta E) ^ {\ sigma -1} = E ^ {\ sigma -1}},$ ponieważ ${\ Displaystyle \ beta ^ {\ sigma -1} = 1}$ . Z drugiej strony,

$${\ Displaystyle {\ mathfrak {j}} ^ {\ ell} {\ mathcal {O}} _ {L} = ({\ mathfrak {j}}} {\ mathcal {O}} _ {L}) ^ {\ ell }=\mathrm {N} _{L/K}({\mathfrak {j}}{\mathcal {O}}_{L}){\mathcal {O}}_{L}=\mathrm {N } _{L/K}(A{\mathcal {O}}_{L}){\mathcal {O}}_{L}=\mathrm {N} _{L/K}(A){\mathcal {O}}_{L},}$$

więc jot $\ Displaystyle {\ mathfrak {j}} ^ {\ ell} = \ operatorname {N} _ {L / K} (A) {\ mathcal {O}} _ {K}}$$jest już$ głównym w polu .

Twierdzenia 92 i 94 nie obowiązują, jak stwierdzono dla pól ${\ Displaystyle \ ell = 2}$ , z polami ${\ Displaystyle K = \ mathbb {Q} ({\ sqrt {3}} )}$ i będąc kontrprzykładem (w tym konkretnym przypadku jest wąskim polem $ja )$ = K. $\ Displaystyle L =$$}$ ). Powodem jest $}$ , że Hilbert bierze pod uwagę rozgałęzienie tylko przy skończonych liczbach pierwszych, ale nie przy nieskończonych liczbach pierwszych (mówimy, że prawdziwa nieskończona liczba pierwsza rozgałęzia się w ${\ displaystyle L$ , jeśli istnieje nierzeczywiste rozszerzenie tej liczby pierwszej na ${\ displaystyle L}$ ). Nie ma to znaczenia, gdy $,$ ponieważ rozszerzenie jest wtedy nierozgałęzione przy Zauważa jednak, że twierdzenia 92 i 94 obowiązują dla ${\ displaystyle \ ell = 2} pod$${\ displaystyle K}$ , że dalej założymy, że liczba pól sprzężonych z rzeczywistymi $polami$ jest dwukrotnie większa od liczby pól rzeczywistych sprzężonych z . Ten warunek $\ Displaystyle L/K}$ równoważny temu, że $liczbach$ pierwszych, więc Twierdzenie 94 obowiązuje dla wszystkich liczb pierwszych, $jeśli$ , że jest wszędzie nierozgałęzione.

Twierdzenie 94 implikuje prostą nierówność ${\ Displaystyle \ # \ ker (j_ {L/K}) \ geq \ ell = [L: K]}$ dla kolejność jądra pryncypialnego rozszerzenia ${\ Displaystyle L / K}$ . Jednak dokładny wzór na porządek tego jądra można wyprowadzić dla cyklicznego nierozgałęzionego (w tym nieskończonych liczb pierwszych) rozszerzenia (niekoniecznie pierwszego stopnia) za pomocą iloraz Herbranda ${\ Displaystyle h (G, U_ {L}}}$ modułu -modułu ${\ displaystyle G}$${\ Displaystyle U_ {L}}$ , który jest określony przez sol {\ displaystyle G }

$${\ Displaystyle h (G, U_ {L}): = \ # H ^ {-1} (G, U_ {L}) / \ # H ^ {0} (G, U_ {L}) = (\ ker (N):\mathrm {im} (\Delta ))/(\ker(\Delta ):\mathrm {im} (N))=(E_{L/K}:U_{L}^{\sigma - 1})/(U_{K}:\mathrm {N} _{L/K}(U_{L})).}$$

Można wykazać, że ${\ Displaystyle h (G, U_ {L}) = [L: K]}$ (bez obliczania kolejności którejkolwiek z grup kohomologicznych). Ponieważ rozszerzenie jest nierozgałęzione, to $}_{K}{\mathcal {O}}_{L}$$K.$${\ Displaystyle {\ mathcal {I}} _ {L} ^ {G} = {\$ więc ${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} _ {L} ^ {G} = {\ mathcal {P}} _ {L} \ cap {\ mathcal {I}} _ { K}{\mathcal {O}}_{L}}$ . Za pomocą izomorfizmu K. Iwasawy ${\ Displaystyle H ^ {1} (G, U_ {L}) \ cong {\ mathcal {P}} _{L}^{G}/{\mathcal {P}}_{K}{\mathcal {O}}_{L}} , specjalizuje się w cyklicznym rozszerzeniu z$ okresową kohomologią długości ${\ displaystyle 2}$ , otrzymujemy

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ # \ ker (j_ {L / K}) & = \ # ({\ mathcal {P}} _ {L} \ cap {\ mathcal {I}} _{K}{\mathcal {O}}_{L}/{\mathcal {P}}_{K}{\mathcal {O}}_{L})=\#({\mathcal {P}} _{L}^{G}/{\mathcal {P}}_{K}{\mathcal {O}}_{L})=\#H^{1}(G,U_{L})=\ #H^{-1}(G,U_{L})\\&=h(G,U_{L})\cdot \#H^{0}(G,U_{L})=[L:K ]\cdot \#H^{0}(G,U_{L})=[L:K]\cdot (U_{K}:\mathrm {N} _{L/K}(U_{L})) \end{wyrównane}}}$$

Ta relacja zwiększa dolną granicę o współczynnik ${\ Displaystyle (U_ {K}: \ operatorname {N} _ {L / K} (U_ {L})}}$ , tak zwany wskaźnik normy jednostkowej .

Historia

Jak wspomniano w pierwszej części, kilku badaczy próbowało uogólnić twierdzenie Hilberta-Artina-Furtwänglera o ideale głównym z 1930 r. Z jednej strony ustalili ogólne twierdzenia o pryncypializacji nad dowolnymi polami liczbowymi, takie jak Ph. Furtwängler 1932, O. Taussky 1932, O. Taussky 1970 i H. Kisilevsky 1970. Z drugiej strony poszukiwali konkretnych przykłady pryncypializacji w nierozgałęzionych cyklicznych rozszerzeniach poszczególnych rodzajów pól bazowych.

Pola kwadratowe

K. ${\ sqrt {d}})}$$Displaystyle$ ( z klasą $displaystyle 3}$ { druga ranga w nierozgałęzionych cyklicznych rozszerzeniach sześciennych została obliczona ręcznie dla trzech wyróżników ${\ Displaystyle d \ in \ {-3299, -4027, -9748 \}}$ przez A. Scholza i O. Taussky'ego w 1934 r. Ponieważ obliczenia te wymagają złożenia binarnych postaci kwadratowych i wyraźnej znajomości podstawowych układów jednostek w polach liczb sześciennych, co było bardzo trudnym zadaniem w 1934 r., badania wstrzymano na pół godziny wieku aż do F.-P. Heider i B. Schmithals wykorzystali komputer CDC Cyber ​​76 na Uniwersytecie w Kolonii, aby rozszerzyć informacje dotyczące pryncypializacji do zakresu ${\ Displaystyle -2 \ cdot 10 ^ {4}<d < 10^{5}}$ zawierające ${\ displaystyle 27}$ odpowiednich dyskryminatorów w 1982 roku, zapewniając w ten sposób pierwszą analizę pięciu rzeczywistych pól kwadratowych. $złożonych$ lata później JR Brink obliczył typy pryncypiów pól kwadratowych. $_$ najobszerniejsze $pryncypialnych$$_ \displaystyle 3}$ kwadratowych z -class group of type jest zasługą DC Mayera w 2010 roku, który wykorzystał swoje niedawno odkryte połączenie między jądrami transferu a $transferu$ pryncypializacji .

${\ Displaystyle 2}$ -pryncypalizacja w nierozgałęzionych rozszerzeniach kwadratowych wyimaginowanych pól kwadratowych z -klasową grupą typu $(2,2)}$$Displaystyle$ była badana przez H. Kisilevsky'ego w 2 {\ Displaystyle 2 1976. Podobne badania rzeczywistych pól kwadratowych przeprowadzili E. Benjamin i C. Snyder w 1995 roku.

Pola sześcienne

${\ Displaystyle 2}$ -pryncypalizacja w nierozgałęzionych rozszerzeniach kwadratowych cyklicznych pól sześciennych z -klasową grupą typu $(2,2)}$$Displaystyle$ została zbadana przez A. Derhema w 2 {\ Displaystyle 2 1988. Siedem lat później M. Ayadi badał pryncypalizację w $nierozgałęzionych$ rozszerzeniach sześciennych cyklicznych pól sześciennych ${\ Displaystyle K \ podzbiór \ mathbb {Q} (\ zeta _ {f})}$ , $\ Displaystyle \ zeta _ {f} ^ {f} = 1}$ z ${\ Displaystyle 3}$$grupa$ typu i dyrygent $podzielna$ lub trzy

Pola sekstyczne

${3}] {D}})}$ MC Ismaili zbadał $rozszerzeniach$$sześciennych$ normalnego domknięcia czystych pól sześciennych , w przypadku, gdy to sekstyczne pole liczbowe ${\ Displaystyle N = K (\ zeta _ {3})}$ , ${\ Displaystyle \ zeta _ {3} ^ {3} = 1}$ ma grupę klas typu ${\ Displaystyle (3,3)}$${\ Displaystyle$ .

Pola kwarcowe

$\ sqrt {Q$ A. Azizi badał pryncypalizację $pól$ dwukwadratowych typu Dirichleta ( z ${\ Displaystyle 2}$ -class grupa typu ${\ Displaystyle (2,2)}$ . Ostatnio, w 2014 roku, A. Zekhnini rozszerzył badania na pola Dirichleta z -klasową grupą typu ${\ Displaystyle (2,2,2)}$$,$ w ten sposób pierwszego przykłady $-pryncypalizacji$$w$ warstwach nierozgałęzionych kwadratowych i dwukwadratowych rozszerzeń pól kwarcowych z grupami klas -rangi .

Zobacz też

Zarówno algebraiczny, grupowy dostęp do problemu pryncypializacji Hilberta-Artina-Furtwänglera, jak i arytmetyczny, kohomologiczny dostęp Hilberta-Herbranda-Iwasawy są również szczegółowo przedstawione w dwóch Bibliach kapitulacji autorstwa J.-F. Jaulent 1988 i K. Miyake 1989.

Drugorzędne źródła

•   Cassels, JWS ; Fröhlich, Albrecht , wyd. (1967). Algebraiczna teoria liczb . Prasa akademicka. Zbl 0153.07403 .
•     Iwasawa, Kenkichi (1986). Teoria pola klas lokalnych . Oksfordzkie monografie matematyczne. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-504030-2 . MR 0863740 . Zbl 0604.12014 .
•   Janusz, Gerald J. (1973). Pola liczb algebraicznych . Matematyka czysta i stosowana . Tom. 55. Prasa akademicka. P. 142. Zbl 0307.12001 .
•     Neukirch, Jürgen (1999). Algebraiczna teoria liczb . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Tom. 322. Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8 . MR 1697859 . Zbl 0956.11021 .
•    Neukirch, Jürgen ; Schmidt, Aleksander; Wingberg, Kay (2008). Kohomologia pól liczbowych . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (w języku niemieckim). Tom. 323 (wyd. 2). Springer-Verlag . ISBN 3-540-37888-X . Zbl 1136.11001 .