Dyrygent (klasowa teoria pola)

W algebraicznej teorii liczb dyrygent skończonego abelowego rozszerzenia pól lokalnych lub globalnych zapewnia ilościową miarę rozgałęzienia w rozszerzeniu . Definicja przewodnika jest związana z mapą Artina .

Lokalny dyrygent

Niech L / K będzie skończonym abelowym rozszerzeniem niearchimedesowych ciał lokalnych . Przewodnik L / K $,$ oznaczony , najmniejszą nieujemną liczbą całkowitą n grupa

${\ Displaystyle U ^ {(n)} = 1 + {\ mathfrak {m}} _ { K}^{n}=\left\{u\in {\mathcal {O}}^{\times}:u\equiv 1\,\left(\operatorname {mod} {\mathfrak {m}}_{ K}^{n}\prawo)\prawo\}}$

$jest$ w N _{L / K} ( L ^× ), gdzie N _{L / K} jest mapą norm polowych i jest maksymalnym ideałem K Równoważnie n jest najmniejszą liczbą całkowitą taką, że lokalna mapa Artina jest trywialna na ${\ Displaystyle U_ {K} ^ {(n)}}$ . Czasami przewodnik jest definiowany $powyżej$ jest jak .

Przewodnik przedłużenia mierzy rozgałęzienie. Jakościowo, rozszerzenie jest nierozgałęzione wtedy i tylko wtedy, gdy przewodnik jest zerem, i jest potulnie rozgałęzione wtedy i tylko wtedy, gdy przewodnik jest równy 1. Dokładniej, przewodnik oblicza nietrywialność wyższych grup rozgałęzień : jeśli s jest największą liczbą całkowitą, dla której „ niższa numeracja ” wyższa grupa rozgałęzień G _s jest nietrywialna, wtedy ${\ Displaystyle {\ mathfrak {f}} (L /K)=\eta _{L/K}(s)+1}$ , gdzie η _{L / K} jest funkcją, która tłumaczy z „niższej numeracji” na „ górną numerację ” wyższych grup rozgałęzień.

Dyrygent L / K jest również spokrewniony z dyrygentami Artin postaciami grupy Galois Gal ( L / K ). Konkretnie,

${\ Displaystyle {\ mathfrak {m}} _ {K} ^ {{\ mathfrak {f}} (L/K)} = \ operatorname {lcm } \limits _{\chi }{\mathfrak {m}}_{K}^{{\mathfrak {f}}_{\chi }}}$

gdzie χ zmienia się we wszystkich multiplikatywnych złożonych znakach Gal ( L / K ) , jest przewodnikiem Artina χ, a lcm jest $najmniejszą$ wielokrotnością

Bardziej ogólne pola

Przewodnik można zdefiniować w ten sam sposób dla L / K niekoniecznie abelowego skończonego rozszerzenia lokalnych pól Galois. Jednak zależy to tylko od L ^ab / K , maksymalnego abelowego rozszerzenia K w L , z powodu „twierdzenia o ograniczeniu normy”, które stwierdza, że ​​w tej sytuacji

${\ Displaystyle N_ {L/K} \ lewo (L ^ {\ razy} \ prawej) = N_ {L ^ {\ tekst {ab}}/K} \ lewo (\ lewo (L ^ {\ tekst {ab} }\right)^{\razy }\right).}$

Ponadto przewodnik można zdefiniować, gdy L i K mogą być nieco bardziej ogólne niż lokalne, a mianowicie jeśli są polami o pełnych wartościach z quasi-skończonym polem resztkowym.

Pola Archimedesa

Głównie ze względu na globalne przewodniki, przewodnik trywialnego rozszerzenia R / R jest zdefiniowany jako 0, a przewodnik rozszerzenia C / R jest zdefiniowany jako 1.

Światowy dyrygent

Pola liczb algebraicznych

Przewodnik abelowego rozszerzenia L / K pól liczbowych można zdefiniować, podobnie jak w przypadku lokalnym, za pomocą mapy Artina . W szczególności niech θ : I ^m → Gal( L / K ) będzie globalną mapą Artina , gdzie moduł m jest modułem definiującym L / K ; mówimy, że wzajemność Artina zachodzi dla m , jeśli czynniki θ przechodzą przez grupę klas promieni modulo m . Definiujemy przewodnik L / K , oznaczony $;$ najwyższy wspólny czynnik ze wszystkich modułów $w rzeczywistości$ zachodzi dla moduł.

Przykład

• Biorąc za podstawę pole liczb wymiernych, twierdzenie Kroneckera – Webera stwierdza, że ​​pole liczb algebraicznych K jest abelowe względem Q wtedy i tylko wtedy, gdy jest podciałem pola cyklotomicznego $)}$${\ Displaystyle \ mathbf {Q} \$$left (\ zeta _ {n} \$ , gdzie oznacza prymitywny n -ty pierwiastek jedności Jeśli n jest najmniejszą liczbą całkowitą, dla której to zachodzi, przewodnikiem K jest wtedy n , jeśli K jest ustalone przez zespoloną koniugację, aw przeciwnym razie ${\ displaystyle n \ infty}$
• Niech L / K będzie $_$ d . _ _ _ Wtedy

  ${\ Displaystyle {\ mathfrak {f}} \ lewo (\ mathbf {Q} \ lewo ({\ sqrt {d}} \ prawej) / \ mathbf {Q} \ prawej) = {\ rozpocząć {przypadki} \left|\Delta _{\mathbf {Q} \left({\sqrt {d}}\right)}\right|&{\text{for }}d>0\\\infty \left|\Delta _ {\mathbf {Q} \left({\sqrt {d}}\right)}\right|&{\text{for}}d<0\end{przypadków}}}$

gdzie $)$ wyróżnikiem ${\sqrt {d}}\right)/\mathbf {Q}}$$mathbf {Q$ } \ .

Stosunek do lokalnych przewodników i rozgałęzienia

Globalny przewodnik jest produktem lokalnych przewodników:

${\ Displaystyle {\ mathfrak {f}} (L / K) = \ prod _ {\ mathfrak {p}} {\ mathfrak {p}} ^ {{\ mathfrak {f}} \ lewo (L _ {\ mathfrak { p}}/K_{\mathfrak {p}}\right)}.}$

W konsekwencji skończona liczba pierwsza jest rozgałęziona w L / K wtedy i tylko wtedy, gdy dzieli ${\ Displaystyle {\ mathfrak {f}} (L / K)}$ . Nieskończona liczba pierwsza v występuje w przewodniku wtedy i tylko wtedy, gdy v jest rzeczywiste i staje się złożone w L .

Notatki

•    Artin, Emil ; Tate, John (2009) [1967], teoria pola klas , Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne , ISBN 978-0-8218-4426-7 , MR 2467155
•   Cohen, Henri (2000), Zaawansowane tematy z obliczeniowej teorii liczb , Graduate Texts in Mathematics , tom. 193, Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98727-9
•    Janusz, Gerald (1973), Pola liczb algebraicznych , Matematyka czysta i stosowana, tom. 55, Prasa Akademicka, ISBN 0-12-380250-4 , Zbl 0307.12001
• Milne, James (2008), teoria pola klas (wyd. v4.0) , dostęp 22.02.2010
•     Neukirch, Jürgen (1999). Algebraische Zahlentheorie . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften . Tom. 322. Berlin: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8 . MR 1697859 . Zbl 0956.11021 .
•    Serre, Jean-Pierre (1967), „Teoria pola klas lokalnych”, w: Cassels, JWS ; Fröhlich, Albrecht (red.), Algebraic Number Theory, Proceedings of the instruktażowej konferencji na Uniwersytecie Sussex, Brighton, 1965 , Londyn: Academic Press, ISBN 0-12-163251-2 , MR 0220701