Moduł (algebraiczna teoria liczb)

W matematyce , w dziedzinie algebraicznej teorii liczb , moduł ( liczba mnoga ) (lub cykl lub ideał rozszerzony ) jest formalnym iloczynem miejsc pola globalnego (tj. pola liczby algebraicznej lub pola funkcji globalnej ). Służy do kodowania rozgałęzień dla abelowych rozszerzeń pola globalnego.

Definicja

Niech K będzie globalnym polem z pierścieniem liczb całkowitych R . Moduł jest iloczynem formalnym

{\ Displaystyle \ mathbf {m} = \ prod _ {\ mathbf {p}} \ mathbf {p} ^ {\ nu (\ mathbf {p}) },\,\,\nu (\mathbf {p} )\geq 0}

gdzie p przebiega przez wszystkie miejsca K , skończone lub nieskończone , wykładniki ν( p ) są równe zeru, z wyjątkiem skończenie wielu p . Jeśli K jest polem liczbowym, ν( p ) = 0 lub 1 dla miejsc rzeczywistych i ν ( p ) = 0 dla miejsc zespolonych. Jeśli K jest ciałem funkcyjnym, ν( p ) = 0 dla wszystkich nieskończonych miejsc.

W przypadku pola funkcyjnego moduł jest tym samym, co efektywny dzielnik , aw przypadku pola liczbowego moduł można uznać za specjalną postać dzielnika Arakelowa .

Pojęcie kongruencji można rozszerzyć na ustawienie modułów. Jeśli a i b są elementami K ^× , definicja a ≡ ^∗ b (mod p ^ν ) zależy od rodzaju liczby pierwszej p :

jeśli jest skończony, to

{\ Displaystyle a \ równoważnik ^ {\ ast} \! b \, (\ operatorname { mod} \,\mathbf {p} ^{\nu })\Leftrightarrow \mathrm {ord} _{\mathbf {p}}\left({\frac {a}{b}}-1\right)\geq \nu }

gdzie ord _p jest znormalizowaną wyceną powiązaną z p ;

jeśli jest to rzeczywiste miejsce (pola liczbowego) i ν = 1, to

{\ Displaystyle a \ równoważnik ^ {\ ast} \! b \, (\ mathrm {mod} \,\mathbf {p} )\Leftrightarrow {\frac {a}{b}}>0}

pod rzeczywistym osadzeniem powiązanym z p .

jeśli jest to jakiekolwiek inne nieskończone miejsce, nie ma warunku.

Wtedy, mając dany moduł m , a ≡ ^∗ b (mod m ) jeśli a ≡ ^∗ b (mod p ^{ν( p )} ) dla wszystkich p takich, że ν ( p ) > 0.

Grupa klasowa Ray

Promień modulo m wynosi

{\ Displaystyle K _ {\ mathbf {m.}, 1} = \ lewo \ {a \ w K ^ {\ razy}: a \ równoważnik ^ {\ ast} \! 1 \, (\ operatorname {mod} \, \ mathbf {m} )\right\}.}

Moduł m można podzielić na dwie części, m _f i m _∞ , iloczyn odpowiednio po skończonych i nieskończonych miejscach. Pozwól mi być jednym z następujących ^:

jeśli K jest ciałem liczbowym, podgrupa grupy ideałów ułamkowych generowanych przez ideały względnie pierwsze do m _f ;
jeśli K jest polem funkcyjnym krzywej algebraicznej nad k , grupą dzielników wymiernych nad k , o wsparciu oddalonym od m .

W obu przypadkach występuje homomorfizm grupowy i : K _{m ,1} → I ^m otrzymany przez wysłanie a do ideału głównego (odpowiednio dzielnika) ( a ).

Grupa klas promieni _{modulo ,1} m jest ilorazem Cm ₌ Im ^/ i( Km ). Kozbiór i( K _{m ,1} ) nazywany jest klasą promieniową modulo m .

Oryginalna definicja znaków Hecke'a autorstwa Ericha Hecke'a może być interpretowana w kategoriach znaków grupy klas promieni w odniesieniu do pewnego modułu m .

Nieruchomości

Gdy K jest polem liczbowym, obowiązują następujące właściwości.

Gdy m = 1, grupa klas promieni jest po prostu idealną grupą klas .
Grupa klas promieni jest skończona. Jego kolejność to numer klasy promienia .
Numer klasy promienia jest podzielny przez numer klasy K .

Notatki

Cohn, Harvey (1985), Wprowadzenie do konstrukcji pól klasowych , Cambridge studies in Advanced Mathematics, tom. 6, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-24762-7
Janusz, Gerald J. (1996), Pola liczb algebraicznych , Studia podyplomowe z matematyki , t. 7, Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne , ISBN 978-0-8218-0429-2
Lang, Serge (1994), algebraiczna teoria liczb , Graduate Texts in Mathematics , tom. 110 (2 wyd.), Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94225-4 , MR 1282723
Milne, James (2008), teoria pola klas (wyd. v4.0) , dostęp 22.02.2010
Neukirch, Jürgen (1999). Algebraische Zahlenteorie . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften . Tom. 322. Berlin: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8 . MR 1697859 . Zbl 0956.11021 .
Serre, Jean-Pierre (1988), Grupy algebraiczne i pola klas , Absolwent Teksty z matematyki , tom. 117, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-96648-9