Iloczyn tensorowy pól

W matematyce iloczyn tensorowy dwóch pól jest ich iloczynem tensorowym jako algebry na wspólnym podpolu . Jeśli żadne podpole nie jest wyraźnie określone, oba pola muszą mieć tę samą charakterystykę , a wspólne podpole jest ich głównym podpolem .

Iloczyn tensorowy dwóch pól jest czasem polem, a często bezpośrednim iloczynem pól; W niektórych przypadkach może zawierać niezerowe elementy nilpotentne .

Iloczyn tensorowy dwóch pól wyraża w pojedynczej strukturze różne sposoby osadzania dwóch pól we wspólnym polu rozszerzenia .

Compositum pól

Najpierw definiuje się pojęcie compositum pól. Taka konstrukcja często występuje w teorii pola . Ideą Compositum jest stworzenie najmniejszego pola zawierającego dwa inne pola. Aby formalnie zdefiniować compositum, należy najpierw określić wieżę pól . Niech k będzie ciałem, a L i K będą dwoma rozszerzeniami k . Compositum, oznaczone jako , jest zdefiniowane jako ${\ Displaystyle KL = k (K \ puchar L)}$ gdzie prawa strona oznacza rozszerzenie generowane przez K i L. Zauważ, że zakłada to pewne pole zawierające zarówno K , jak i L . Albo zaczyna się w sytuacji, gdy pole otoczenia jest łatwe do zidentyfikowania (na przykład, jeśli K i L są obydwoma podpolami liczb zespolonych ), albo udowadnia się wynik, który pozwala umieścić zarówno K , jak i L (jako izomorficzne kopii) na dość dużym polu.

wielu przypadkach można zidentyfikować K. L jako iloczyn tensorowy przestrzeni wektorowej , przejęty przez pole N , które jest przecięciem K i L. Na przykład, jeśli ktoś przylega √ 2 do pola wymiernego , aby uzyskać K , i √ 3, aby uzyskać $L$ , jest, że pole M uzyskało jako K . L wewnątrz liczb zespolonych ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$ jest ( do izomorfizmu)

{\ Displaystyle K \ otimes _ {\ mathbb {Q}} L}

jako przestrzeń wektorowa nad ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ . (Ten typ wyniku można ogólnie zweryfikować za pomocą teorii rozgałęzień algebraicznej teorii liczb ).

Podpola K i L z M są liniowo rozłączne (nad podciałem N ), gdy w ten sposób naturalna N -liniowa mapa

{\ Displaystyle K \ otimes _ {N} L}

do K. _ L jest iniekcyjne . Oczywiście nie zawsze tak jest, na przykład gdy K = L . Kiedy stopnie są skończone, iniektywność jest tutaj równoważna z bijektywnością . Stąd, gdy K i L są liniowo rozłącznymi polami rozszerzenia skończonego stopnia na N , ${\ Displaystyle KL \ cong K \ otimes _ {N} L}$ , podobnie jak w przypadku wspomnianych rozszerzeń wymiernych.

Znaczącym przypadkiem w teorii pól cyklotomicznych jest to, że dla n -tego pierwiastka jedności , dla n liczby złożonej , podpola generowane przez p ^k -te pierwiastki jedności dla potęg pierwszych dzielących n są liniowo rozłączne dla różnych p .

Produkt tensorowy jako pierścień

Aby uzyskać ogólną teorię, należy rozważyć strukturę pierścienia na ${\ Displaystyle K \ otimes _ {N} L}$ . Można zdefiniować iloczyn $\ Displaystyle (a \ otimes b) (c \$ do otimes $}$ Tensor algebr ). Ta formuła jest wieloliniowa po N w każdej zmiennej; iw ten - algebrę sposób definiuje strukturę pierścienia na iloczynie tensorowym, czyniąc przemienną $N$ iloczynem .

Analiza struktury pierścienia

Strukturę pierścienia można przeanalizować, rozważając wszystkie sposoby osadzania zarówno K , jak i L w pewnym rozszerzeniu pola N . Zauważ, że konstrukcja tutaj zakłada wspólne podpole N ; ale nie zakłada a priori , że K i L są podpolami jakiegoś pola M (omijając w ten sposób zastrzeżenia dotyczące konstruowania pola compositum). Ilekroć ktoś osadza K i L w takim polu M , powiedzmy, używając osadzania α z K i β z L , wynika homomorfizm pierścienia γ z M do M zdefiniowanego przez ${\ Displaystyle K \ otimes _ {N} L}$

{\ Displaystyle \ gamma (a \ otimes b) = (\ alfa (a) \ otimes 1) \ gwiazda (1 \ otimes \ beta (b)) = \ alfa (a). \ beta (b).}

Jądro γ będzie ideałem pierwszym iloczynu tensorowego; i odwrotnie , każdy ideał pierwszy iloczynu tensorowego da homomorfizm N -algebr do dziedziny integralnej (wewnątrz ciała ułamków ), a więc zapewni osadzenie K i L w pewnym polu jako rozszerzenia (kopii) N .

W ten sposób można przeanalizować strukturę : w zasadzie może istnieć niezerowy nilradical (przecięcie wszystkich ideałów pierwszych) - i po przyjęciu ilorazu przez ${\ Displaystyle K \ otimes _ {N} L}$ że można mówić o iloczynie wszystkich zanurzeń K i L w różnych M , po N .

W przypadku, gdy K i L są skończonymi rozszerzeniami N , sytuacja jest szczególnie prosta, ponieważ iloczyn tensorowy ma skończony wymiar jako N -algebra (a zatem pierścień Artina ). Można wtedy powiedzieć, że jeśli $iloczyn$ ma jako skończenie wielu Każde takie pole jest przedstawicielem klasy równoważności (zasadniczo odrębnych) zanurzeń pól dla K i L w pewnym rozszerzeniu M .

Przykłady

Na przykład, jeśli K jest generowany przez pierwiastek sześcienny $z$ 2, to jest iloczynem $Displaystyle K \ otimes _ {\ mathbb {Q}} K}$ (kopia) K i pole podziału

X ³ - 2,

stopnia 6 nad ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ . Można to udowodnić, obliczając wymiar iloczynu tensorowego $dwie$ (w rzeczywistości trzy) kopie K i jest kompozytem dwóch z ich. To nawiasem mówiąc pokazuje, że R = {0} w tym przypadku.

Przykład prowadzący do niezerowego nilpotentu: niech

P. ( X ) = X ^p - T

z K pole funkcji wymiernych w nieokreślonym T nad polem skończonym z elementami p (patrz Wielomian separowalny : chodzi o to, że P nie jest rozdzielalny). Jeśli L jest rozszerzeniem pola K ( T ^{1/ p} ) ( ciałem rozdzielającym P ), to L / K jest przykładem czysto nierozłączne rozszerzenie pola . W ${\ displaystyle L \ otimes _ {K} L}$ element

{\ Displaystyle T ^ {1/p} \ czasami 1-1 \ czasami T ^ {1/p}}

jest nilpotentny: biorąc jego p -tą potęgę, otrzymujemy 0, używając K -liniowości.

Klasyczna teoria zanurzeń rzeczywistych i złożonych

W algebraicznej teorii liczb iloczyny tensorowe pól są (często pośrednio) podstawowym narzędziem. Jeśli K jest rozszerzeniem skończonego stopnia n , $K \ otimes _ {\ mathbb {Q}} \ mathbb {R}}$ $Displaystyle$ zawsze iloczynem $izomorficzne$ z lub $.$ _ Całkowicie rzeczywiste pola liczbowe to takie, dla których są tylko rzeczywiste występują pola: na ogół istnieje r ₁ rzeczywistych i r ₂ złożonych pól, przy czym r ₁ + 2 r ₂ = n , jak widać po zliczeniu wymiarów. Czynniki pola są w zgodności 1–1 z rzeczywistymi osadzeniami i parami złożonych osadzeń sprzężonych , opisanymi w literaturze klasycznej.

$_$ ten $_$ do _{_} _ pole liczb p -adycznych . Jest to iloczyn skończonych rozszerzeń $metryki$ , w zgodności 1–1 z uzupełnieniami K dla rozszerzeń p -adic na $\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ _{ .

Konsekwencje dla teorii Galois

Daje to ogólny obraz, a nawet sposób rozwijania teorii Galois (wzdłuż linii wykorzystanych w teorii Galois Grothendiecka ). Można pokazać, że dla rozłącznych rozszerzeń pierwiastek jest zawsze {0}; dlatego przypadek teorii Galois jest przypadkiem półprostym , dotyczącym produktów samych pól.

Zobacz też

Rozszerzenie skalarów — iloczyn tensorowy rozszerzenia pola i przestrzeni wektorowej nad tym polem

Notatki

„Compositum rozszerzeń pól” , Encyklopedia matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
Kempf, George R. (2012) [1995]. „9.2 Rozkład iloczynów tensorowych pól” . Struktury algebraiczne . Skoczek. s. 85–87. ISBN 978-3-322-80278-1 .
Milne, JS (18 marca 2017). Algebraiczna teoria liczb (PDF) . P. 17. 3.07.
Stein, William (2004). „Krótkie wprowadzenie do klasycznej i adelicznej algebraicznej teorii liczb” (PDF) . s. 140–2.
Zański, Oskar ; Samuel, Pierre (1975) [1958]. Algebra przemienna I . Absolwent Teksty z matematyki. Tom. 28. Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90089-6 . MR 0090581 .

Linki zewnętrzne

Wątek MathOverflow dotyczący definicji rozłączności liniowej