Zmiana pierścieni

W algebrze , biorąc pod uwagę homomorfizm $,$ trzy sposoby zmiany modułu mianowicie dla lewego modułu R M i lewego modułu S N ,

• ${\ Displaystyle f_ {!} M = S \ czasami _ {R} M}$ , moduł indukowany.
• ${\ Displaystyle f_ {*} M = \ nazwa operatora {Hom} _ {R} (S, M)}$ , moduł koindukowany.
• ${\ Displaystyle f ^ {*} N = N_ {R}}$ , ograniczenie skalarów.

Są one powiązane jako sprzężone funktory :

${\ Displaystyle f_ {!}: {\ tekst {Mod}} _ {R} \ leftrightarrows {\ text {Mod}} _ {S}: f ^ {*}}$

I

${\ Displaystyle f ^ {*}: {\ tekst {Mod}} _ {S} \ leftrightarrows {\ text {Mod}} _ {R}: f_ {*}.}$

Jest to związane z lematem Shapiro .

Operacje

Ograniczenie skalarów

W całej tej sekcji niech $displaystyle$ będą dwoma pierścieniami (mogą, ale nie muszą, być przemienne lub zawierać tożsamość ) $i$ niech : $f: R \ do S}$ będzie homomorfizmem. Ograniczenie skalarów zmienia S -moduły w R -moduły. W geometrii algebraicznej termin „ograniczenie skalarów” jest często używany jako synonim ograniczenia Weila .

Definicja

$Załóżmy$$. Wtedy można to$ że jest nad ${\ displaystyle R$ za moduł nad, w którym działanie jest podane przez $}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} M \ razy R & \ longrightarrow M \\ (m, r) & \ longmapsto m \ cdot f (r) \end{wyrównane}}}$

gdzie oznacza akcję zdefiniowaną przez $Displaystyle$ strukturę na $cdot f (r)$$m \$ .

Interpretacja jako funktor

$jako$ skalarów można postrzegać $funktor$ od -modułów -modułów . -homomorfizm -homomorfizm $: M \ do N}$$Displaystyle$$M}$ automatycznie staje się homomorfizmem $displaystyle$ między ograniczeniami i ${\ displaystyle S} N}$ . Rzeczywiście, jeśli $r \ in R}$$Displaystyle$ , to m

${\ Displaystyle u (m \ cdot r) = u (m \ cdot f (r))=u(m)\cdot f(r)=u(m)\cdot r\,}$ .

Jako funktor, ograniczenie skalarów jest prawym sprzężeniem rozszerzenia funktora skalarów.

Jeśli jest $liczb$ całkowitych, to jest to tylko zapominalski funktor od modułów do grup abelowych.

Rozszerzenie skalarów

Zobacz także: Iloczyn tensorowy modułów i Iloczyn tensorowy modułów § Rozszerzenie skalarów

Rozszerzenie skalarów zmienia R -moduły w S -moduły.

Definicja

Niech $pierścieniami$ i niech będzie nad $displaystyle$$}$ . Rozważmy $_$ tensorowy , $R$ lewy moduł $}$ przez ${\ displaystyle f}$ . Ponieważ jest również prawym modułem nad samym sobą, a dwie akcje dojeżdżają do pracy, to znaczy $r$$Displaystyle r \ cdot (s \ cdot s ') = (r \ cdot s) \ cdot s'}$ dla ${\ Displaystyle r \ w R}$ , ${\ Displaystyle s, s' \ w S}$ (w bardziej formalny sposób $jest dwumodułowy,$ , jest za ( $\ Displaystyle (R, S)}$ , ${\ Displaystyle M ^ {S}}$ dziedziczy właściwe działanie ${\ Displaystyle S}$ . Jest to podane przez ${\ Displaystyle (m \ otimes s) \ cdot s '= m \ otimes ss'}$ dla ${\ Displaystyle m \ in M}$ , ${\ Displaystyle s, s '\ w S}$ . Mówi się, że $rozszerzenia$ ten można uzyskać z skalarów .

Nieformalnie rozszerzenie skalarów to „iloczyn tensorowy pierścienia i modułu”; bardziej $-bimodułem$ i modułu - iloczyn tensorowy modułu R z modułem S. .

Przykłady

Jednym z najprostszych przykładów jest złożoność , czyli rozszerzenie skalarów od liczb rzeczywistych do liczb zespolonych . Mówiąc bardziej ogólnie, biorąc pod uwagę dowolne rozszerzenie pola K < L, można rozszerzyć skalary od K do L. W języku pól moduł nad polem nazywany jest przestrzenią wektorową , a zatem rozszerzenie skalarów przekształca przestrzeń wektorową nad K na a przestrzeń wektorowa nad L. Można to również zrobić dla algebr dzielenia , jak to ma miejsce w quaternionification (rozszerzenie od liczb rzeczywistych do kwaternionów ).

Mówiąc bardziej ogólnie, biorąc pod uwagę homomorfizm z ciała lub przemiennego pierścienia R do pierścienia S, pierścień S można traktować jako algebrę asocjacyjną nad R, a zatem kiedy rozciąga się skalary na R -moduł, wynikowy moduł można pomyśleć alternatywnie jako S -moduł lub jako R -moduł z algebrową reprezentacją S (jako R - algebra ). Na przykład wynik skomplikowania rzeczywistej przestrzeni wektorowej ( R = R , S = C ) może być interpretowany jako zespolona przestrzeń wektorowa ( moduł S ) lub jako rzeczywista przestrzeń wektorowa o liniowej strukturze zespolonej ( algebrowa reprezentacja S jako moduł R ).

Aplikacje

To uogólnienie jest przydatne nawet do badania pól - w szczególności wiele obiektów algebraicznych związanych z polem nie jest same w sobie polami, ale pierścieniami, takimi jak algebry nad polem, jak w teorii reprezentacji . Tak jak można rozszerzyć skalary na przestrzenie wektorowe, można również rozszerzyć skalary na algebry grupowe , a także moduły na algebry grupowe, tj. reprezentacje grupowe . Szczególnie przydatne jest odnoszenie się do tego, jak reprezentacje nieredukowalne zmieniają się pod wpływem rozszerzenia skalarów – na przykład reprezentacja grupy cyklicznej rzędu 4, dana przez obrót płaszczyzny o 90°, jest nieredukowalną dwuwymiarową reprezentacją rzeczywistą , ale na rozszerzeniu skalarów do liczb zespolonych podzielił się na 2 zespolone reprezentacje wymiaru 1. Odpowiada to faktowi, że wielomian charakterystyczny tego operatora jest nieredukowalny do stopnia 2 ${\ Displaystyle x ^ {2} + 1,}$ nad liczbami rzeczywistymi, ale rozkłada się na 2 czynniki stopnia 1 na liczbach zespolonych - nie ma rzeczywistych wartości własnych, ale 2 zespolone wartości własne.

Interpretacja jako funktor

$można$$interpretować$ jako funktor od do -modułów. Wysyła ${\ displaystyle M}$ do ${\ displaystyle M ^ {S}}$ , jak powyżej, i -homomorfizm $M {\ displaystyle M}$$} do N}$ do S ${\ Displaystyle S}$ -homomorfizm $}: M ^ {S} \ do N ^ {S}}$ zdefiniowany przez ${ \displaystyle u^{S}=u\otimes _{R}{\text{id}}_{S}}$ .

Związek między rozszerzeniem skalarów a ograniczeniem skalarów

Rozważmy $-M$ i moduł $displaystyle$ \ $}$$_$ _ $pod$ homomorfizm fa $_ displaystyle Fu:M^{S}\to N}$ jako kompozycję

${\ Displaystyle M ^ {S} = M \ otimes _ {R} S {\ xrightarrow {u \ otimes {\ text {id}} _{S}}}N_{R}\otimes _{R}S\to N}$ ,

gdzie ostatnia mapa to ${\ Displaystyle n \ otimes s \ mapsto n \ cdot s}$ . To jest $homomorfizmem$$-homomorfizmem$ , a zatem $Displaystyle F: {\ tekst {$ grup abelowych ).

W przypadku, gdy zarówno $,$ jak i mają $tożsamość$ , istnieje homomorfizm odwrotny $Displaystyle G: { \text{Hom}}_{S}(M^{S},N)\to {\text{Hom}}_{R}(M,N_{R})} , które jest zdefiniowane w następujący sposób$ . Niech ${\ Displaystyle v \ w {\ tekst {Hom}} _ {S} (M ^ {S}, N)}$ . Wtedy kompozycja jest ${\ displaystyle Gv}$

${\ Displaystyle M \ do M \ otimes _ {R} R {\ xrightarrow {{\ text {id}} _ {M} \ otimes f }}M\otimes _{R}S{\xrightarrow {v}}N}$ ,

gdzie pierwsza mapa to izomorfizm kanoniczny ${\ Displaystyle m \ mapsto m \ otimes 1}$ .

Ta konstrukcja pokazuje, że grupy ${\ Displaystyle {\ tekst {Hom}} _ {S} (M ^ {S}, N)}$ i ${\ Displaystyle {\text{Hom}}_{R}(M,N_{R})}$ są izomorficzne. $W$ rzeczywistości ten izomorfizm zależy tylko od homomorfizmu podobnie jak functorial . W języku teorii kategorii , rozszerzenie funktora skalarnego pozostaje w sąsiedztwie ograniczenia funktora skalarnego.

Zobacz też

• Sześć operacji
• Iloczyn tensorowy pól
• Dodatek tensor-hom

•    Dummit, David (2004). Algebra abstrakcyjna . Foote, Richard M. (3 wyd.). Hoboken, NJ: Wiley. s. 359 –377. ISBN 0471452343 . OCLC 248917264 .
• JP May, Uwagi na temat Tora i Ext
• NICOLAS BOURBAKI . Algebra I, rozdział II. ALGEBRA LINIOWA.§5. Rozszerzenie pierścienia skalarów;§7. Przestrzenie wektorowe. 1974 przez Hermanna.

Dalsza lektura

• Indukcja i koindukcja reprezentacji