Algebra dzielenia

W dziedzinie matematyki zwanej algebrą abstrakcyjną , algebra dzielenia jest, z grubsza mówiąc, algebrą na polu , w którym dzielenie , z wyjątkiem zera, jest zawsze możliwe.

Definicje

Formalnie zaczynamy od niezerowej algebry D nad ciałem . Nazywamy D algebrą dzielenia , jeśli dla dowolnego elementu a w D i dowolnego niezerowego elementu b w D istnieje dokładnie jeden element x w D z a = bx i dokładnie jeden element y w D taki, że a = yb .

W przypadku algebr asocjacyjnych definicję można uprościć w następujący sposób: niezerowa algebra asocjacyjna na ciele jest algebrą dzielenia wtedy i tylko wtedy, gdy ma multiplikatywny element tożsamości 1 i każdy niezerowy element a ma multiplikatywną odwrotność (tj. element x z ax = xa = 1 ).

Algebry dzielenia asocjacyjnego

Najbardziej znanymi przykładami algebr z podziałem asocjacyjnym są algebry rzeczywiste o skończonych wymiarach (tj. algebry nad ciałem R liczb rzeczywistych , które są skończenie wymiarowe jako przestrzeń wektorowa nad liczbami rzeczywistymi). Twierdzenie Frobeniusa stwierdza, że aż do izomorfizmu istnieją trzy takie algebry: same liczby rzeczywiste (wymiar 1), pole liczb zespolonych (wymiar 2) i kwaterniony (wymiar 4).

Małe twierdzenie Wedderburna stwierdza, że jeśli D jest skończoną algebrą dzielenia, to D jest ciałem skończonym .

W algebraicznie zamkniętym polu K (na przykład liczbach zespolonych C ) nie ma skończonych wymiarowych algebr z podziałem asocjacyjnym, z wyjątkiem samego K.

Algebry z dzieleniem asocjacyjnym nie mają dzielników zera . Skończenie -wymiarowa algebra asocjacyjna jednostek (na dowolnym polu) jest algebrą dzielenia wtedy i tylko wtedy, gdy nie ma dzielników zera.

Ilekroć A jest asocjacyjną algebrą jednostkową na ciele F i S jest prostym modułem na A , to pierścień endomorfizmu S jest algebrą dzielenia na F ; każda asocjacyjna algebra dzielenia nad F powstaje w ten sposób.

Środek asocjacyjnej algebry dzielenia D nad polem K to pole zawierające K . Wymiar takiej algebry nad jej środkiem, jeśli jest skończony, jest doskonałym kwadratem : jest równy kwadratowi wymiaru maksymalnego podobszaru D nad środkiem. Biorąc pod uwagę pole F , klasy równoważności Brauera prostych (zawierających tylko trywialne dwustronne ideały) asocjacyjnych algebr z podziałem, których środkiem jest F i które są skończenie wymiarowe nad F , można przekształcić w grupę, grupę Brauera pola F .

Jednym ze sposobów konstruowania skończenie wymiarowych algebr z podziałem asocjacyjnym na dowolnych polach są algebry kwaternionów (patrz także kwaterniony ).

W przypadku nieskończenie wymiarowych algebr z podziałem asocjacyjnym najważniejsze są te przypadki, w których przestrzeń ma jakąś rozsądną topologię . Zobacz na przykład algebra z podziałem znormalizowanym i algebry Banacha .

Niekoniecznie asocjacyjne algebry dzielenia

Jeśli zakłada się, że algebra dzielenia nie jest asocjacyjna, zwykle zamiast tego narzuca się jakiś słabszy warunek (taki jak alternatywność lub łączność potęgowa ). Zobacz algebrę nad polem, aby zapoznać się z listą takich warunków.

Nad liczbami rzeczywistymi istnieją (z dokładnością do izomorfizmu) tylko dwie jednostkowe przemienne algebry dzielenia skończonych wymiarów: same liczby rzeczywiste i liczby zespolone. Są to oczywiście asocjacje. Jako przykład nieasocjacyjny rozważmy liczby zespolone z mnożeniem zdefiniowanym przez wzięcie zespolonego sprzężenia zwykłego mnożenia:

{\ Displaystyle a * b = {\ overline {ab}}.}

to przemienna, nieasocjacyjna algebra dzielenia wymiaru 2 na liczbach rzeczywistych i nie ma elementu jednostkowego. Istnieje nieskończenie wiele innych nieizomorficznych, przemiennych, nieasocjacyjnych, skończonych wymiarów rzeczywistych algebr dzielenia, ale wszystkie mają wymiar 2.

W rzeczywistości każda skończenie wymiarowa rzeczywista przemienna algebra dzielenia jest albo 1-, albo 2-wymiarowa. Jest to znane jako Hopfa i zostało udowodnione w 1940 roku. Dowód wykorzystuje metody z topologii . Chociaż znaleziono późniejszy dowód przy użyciu geometrii algebraicznej , nie jest znany żaden bezpośredni dowód algebraiczny. Podstawowe twierdzenie algebry jest następstwem twierdzenia Hopfa.

Odrzucając wymóg przemienności, Hopf uogólnił swój wynik: Każda skończona wymiarowa algebra dzielenia rzeczywistego musi mieć wymiar potęgi 2.

Późniejsze prace wykazały, że w rzeczywistości każda skończenie wymiarowa algebra podziału rzeczywistego musi mieć wymiar 1, 2, 4 lub 8. Zostało to niezależnie udowodnione przez Michela Kervaire'a i Johna Milnora w 1958 r., Ponownie używając technik topologii algebraicznej , w szczególności K -teoria . Adolf Hurwitz wykazał w 1898 r., Że tożsamość $zachodzi$ wymiarów 1, 2, 4 (Zobacz twierdzenie Hurwitza .) Kilku wczesnych matematyków podjęło wyzwanie skonstruowania algebry dzielenia w trzech wymiarach. Kenneth O. May dokonał przeglądu tych prób w 1966 roku.

Każda rzeczywista skończenie wymiarowa algebra dzielenia liczb rzeczywistych musi być

izomorficzny z R lub C , jeśli jest jednostkowy i przemienny (odpowiednik: asocjacyjny i przemienny)
izomorficzny z czwartorzędami, jeśli jest nieprzemienny, ale asocjacyjny
izomorficzne z oktonionami , jeśli nie asocjacyjne, ale alternatywne .

O wymiarze skończenie wymiarowej algebry dzielenia A na polu K wiadomo, co następuje :

dim A = 1 jeśli K jest algebraicznie domknięte ,
dim A = 1, 2, 4 lub 8, jeśli K jest rzeczywiście domknięte i
Jeśli K nie jest ani algebraicznie, ani realnie domknięte, to istnieje nieskończenie wiele wymiarów, w których istnieją algebry dzielenia nad K .

Zobacz też

Notatki

Bibliografia _ _ 203
^ Cohn (2003), Twierdzenie 5.4.5, s. 150
Bibliografia _ _ Droga do rzeczywistości . Klasyczny. ISBN 0-09-944068-7 . , s. 202
^ Kenneth O. May (1966) „Niemożliwość podziału algebry wektorów w przestrzeni trójwymiarowej”, American Mathematical Monthly 73 (3): 289–91 doi : 10.2307/2315349

Cohna, Paula Moritza (2003). Algebra podstawowa: grupy, pierścienie i ciała . Londyn: Springer-Verlag. doi : 10.1007/978-0-85729-428-9 . ISBN 978-1-85233-587-8 . MR 1935285 .
Lam, Tsit-Yuen (2001). Pierwszy kurs o pierścieniach nieprzemiennych . Absolwent Teksty z matematyki . Tom. 131 (wyd. 2). Skoczek. ISBN 0-387-95183-0 .

Linki zewnętrzne

„Algebra podziału” , Encyklopedia matematyki , EMS Press , 2001 [1994]

[1] Bibliografia _ _ 203

[2] Cohn (2003), Twierdzenie 5.4.5, s. 150

[3] Bibliografia _ _ Droga do rzeczywistości . Klasyczny. ISBN 0-09-944068-7 . , s. 202

[4] Kenneth O. May (1966) „Niemożliwość podziału algebry wektorów w przestrzeni trójwymiarowej”, American Mathematical Monthly 73 (3): 289–91 doi : 10.2307/2315349