Asocjatywność władzy

W matematyce , szczególnie w algebrze abstrakcyjnej , potęga asocjatywności jest właściwością operacji binarnej , która jest słabą formą asocjatywności .

Definicja

że algebra ( lub bardziej ogólnie magma ) jest asocjacyjna potęgowo, jeśli podalgebra generowana przez dowolny element jest asocjacyjna. Konkretnie oznacza to, że jeśli element wykonuje operację $kilka$ razy, nie ma znaczenia, w jakiej kolejności operacje są wykonywane, $na$${\ Displaystyle x * (x * (x * x)) = (x * (x * x)) * x = (x * x)*(x*x)}$ .

Przykłady i właściwości

Każda algebra asocjacyjna jest asocjacyjna potęgowo, ale tak samo jak wszystkie inne algebry alternatywne (takie jak octonions , które nie są asocjacyjne), a nawet niektóre algebry niealternatywne, takie jak sedenions i algebry Okubo . Każda algebra, której elementy są idempotentne , jest również asocjacyjna potęgowo.

Potęgowanie do potęgi dowolnej dodatniej liczby całkowitej można zdefiniować spójnie, ilekroć mnożenie jest mocą asocjacyjną. Na przykład nie ma potrzeby rozróżniania, czy x ³ należy zdefiniować jako ( xx ) x , czy jako x ( xx ), ponieważ są one równe. Potęgowanie do potęgi zera można również zdefiniować, jeśli operacja ma element tożsamości , więc istnienie elementów tożsamości jest przydatne w kontekstach związanych z mocą.

Na polu o charakterystyce 0 algebra jest potęgowo asocjacyjna wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia ${\ Displaystyle [x, x, x] = 0}$ i ${\ Displaystyle [x ^ {2}, x, x] = 0}$ , gdzie ${\ Displaystyle [x, y, z]: = (xy) zx (yz)}$ jest łącznikiem (Albert 1948).

W nieskończonym polu o $p>0$ charakterystyce nie ma skończonego zbioru tożsamości charakteryzującego asocjatywność władzy, ale istnieją nieskończone niezależne zbiory, jak opisał Gainov (1970): p > {\ displaystyle p>

• p ${\ Displaystyle p = 2}$ : ${\ Displaystyle [x, x ^ {2}, x] = 0$ i ${\ Displaystyle [x ^ {n-2}, x, x] = 0}$ dla ${\ Displaystyle n = 3,2 ^ {k}}$ ( ${\ displaystyle k = 2,3...}}$
• p ${\ Displaystyle p = 3}$ : ${\ Displaystyle [x ^ {n-2}, x, x] = 0$ dla ${\ Displaystyle n = 4,5,3 ^ {k}}$ ( ${\ Displaystyle k = 1,2 ...}}$
• p ${\ Displaystyle p = 5}$ : ${\ Displaystyle [x ^ {n-2}, x, x] = 0$ dla ${\ Displaystyle n = 3,4,6,5 ^ {k}}$ ( ${\ Displaystyle k = 1,2 ...}}$
• p ${\ Displaystyle p> 5}$ : ${\ Displaystyle [x ^ {n-2}, x, x] = 0$ dla ${\ Displaystyle n = 3,4, p ^ {k}}$ ( ${\ Displaystyle k = 1,2 ...}}$

Prawo podstawienia dotyczy algebr asocjacyjnych z potęgą rzeczywistą z jednostką, które w zasadzie stwierdzają, że mnożenie wielomianów działa zgodnie z oczekiwaniami. Dla f wielomianu rzeczywistego w x i dla dowolnego a w takiej algebrze zdefiniujmy f ( a ) jako element algebry wynikający z oczywistego podstawienia a na f . Wtedy dla dowolnych dwóch takich wielomianów f i g mamy, że ( fg )( a ) = fa ( za ) sol ( za ) .

Zobacz też

• Alternatywność

•      Albert, A. Adrian (1948). „Pierścienie asocjacyjne władzy” . Transakcje Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego . 64 : 552–593. doi : 10.2307/1990399 . ISSN 0002-9947 . JSTOR 1990399 . MR 0027750 . Zbl 0033.15402 .
•     Gainow, AT (1970). „Algebry asocjacyjne potęgowe nad polem o skończonej charakterystyce”. Algebra i logika . 9 (1): 5–19. doi : 10.1007/BF02219846 . ISSN 0002-9947 . MR 0281764 . Zbl 0208.04001 .
•    Knus, Max-Albert; Merkurjew Aleksander ; Rost, Markus ; Tignol, Jean-Pierre (1998). Księga inwolucji . Publikacje kolokwium. Tom. 44. Z przedmową Jacquesa Titsa . Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne . ISBN 0-8218-0904-0 . Zbl 0955.16001 .
•     Okubo, Susumu (1995). Wprowadzenie do octonionu i innych algebr niezespolonych w fizyce . Seria wykładów Montroll Memorial z fizyki matematycznej. Tom. 2. Cambridge University Press . P. 17. ISBN 0-521-01792-0 . MR 1356224 . Zbl 0841.17001 .
•   Schafer, RD (1995) [1966]. Wprowadzenie do algebr niezespolonych . Dover. s. 128–148 . ISBN 0-486-68813-5 .