Abstrakcyjna algebra

Ten artykuł jest o gałęzi matematyki. Dla szwedzkiego zespołu zobacz Abstrakt Algebra .

„Nowoczesna algebra” przekierowuje tutaj. Aby zapoznać się z książką van der Waerdena, zobacz Moderne Algebra .

Permutacje kostki Rubika tworzą grupę , podstawową koncepcję algebry abstrakcyjnej .

W matematyce , a dokładniej algebrze , algebrze abstrakcyjnej lub algebrze współczesnej jest badaniem struktur algebraicznych . Struktury algebraiczne obejmują grupy , pierścienie , pola , moduły , przestrzenie wektorowe , kraty i algebry nad polem . Termin algebra abstrakcyjna został ukuty na początku XX wieku w celu odróżnienia tego obszaru badań od starszych części algebry, a dokładniej od algebry elementarnej , wykorzystania zmiennych do reprezentowania liczb w obliczeniach i rozumowaniu.

Struktury algebraiczne wraz z towarzyszącymi im homomorfizmami tworzą kategorie matematyczne . Teoria kategorii to formalizm, który umożliwia ujednolicony sposób wyrażania właściwości i konstrukcji, które są podobne dla różnych struktur.

Algebra uniwersalna to pokrewny przedmiot, który bada typy struktur algebraicznych jako pojedyncze obiekty. Na przykład struktura grup jest pojedynczym obiektem w algebrze uniwersalnej, co nazywa się rozmaitością grup .

Historia

Przed XIX wiekiem algebrę definiowano jako naukę o wielomianach . Algebra abstrakcyjna pojawiła się w XIX wieku wraz z rozwojem bardziej złożonych problemów i metod ich rozwiązywania. Konkretne problemy i przykłady pochodziły z teorii liczb, geometrii, analizy i rozwiązań równań algebraicznych . Większość teorii, które są obecnie uznawane za części algebry abstrakcyjnej, zaczynała jako zbiory odmiennych faktów z różnych gałęzi matematyki, zdobywała wspólny temat, który służył jako rdzeń, wokół którego grupowano różne wyniki, a ostatecznie została ujednolicona na podstawie wspólnego zestawu pojęć. To ujednolicenie nastąpiło na początku XX wieku i zaowocowało formalnymi aksjomatycznymi różnych struktur algebraicznych, takich jak grupy, pierścienie i ciała. Ten historyczny rozwój jest niemal przeciwieństwem traktowania w popularnych podręcznikach, takich jak Moderne Algebra van der Waerdena , które rozpoczynają każdy rozdział od formalnej definicji struktury, a następnie podają konkretne przykłady.

Algebra elementarna

Osobny artykuł: Historia algebry

Badanie równań wielomianowych lub równań algebraicznych ma długą historię. Około 1700 roku pne Babilończycy potrafili rozwiązywać równania kwadratowe określane jako zadania tekstowe. Ten etap zadania tekstowego jest klasyfikowany jako algebra retoryczna i był dominującym podejściem aż do XVI wieku. Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī zapoczątkował słowo „algebra” w 830 rne, ale jego praca była całkowicie algebrą retoryczną. W pełni symboliczna algebra pojawiła się dopiero w Nowej Algebrze François Viète'a z 1591 r. , a nawet ta miała określone słowa, którym nadano symbole w La Géométrie Kartezjusza z 1637 r . Formalne badanie rozwiązywania równań symbolicznych doprowadziło Leonharda Eulera do zaakceptowania tego, co wówczas uważano za „nonsensowne” pierwiastki, takie jak liczby ujemne i liczby urojone pod koniec XVIII wieku. Jednak europejscy matematycy w większości opierali się tym koncepcjom aż do połowy XIX wieku.

Traktat algebry George'a Peacocka z 1830 r. Był pierwszą próbą umieszczenia algebry na ściśle symbolicznej podstawie. Wyróżnił nową algebrę symboliczną , odrębną od starej algebry arytmetycznej . Podczas gdy w algebrze arytmetycznej $obowiązują$$ograniczone$ do bez Korzystanie z tego Peacocka może pokazać prawa, takie jak ${\ Displaystyle (-a) (-b) = ab}$ , pozwalając ${\ Displaystyle a = 0, c = 0}$ w $) (cd) = ac + bd-ad-bc}$ . Peacock użył tego, co nazwał zasadą trwałości równoważnych form, aby uzasadnić swój argument, ale jego rozumowanie cierpiało z powodu problemu indukcji . Na przykład $dla$ dla nieujemnych rzeczywistych , ale nie ogólnych

Wczesna teoria grup

Osobny artykuł: Historia teorii grup

Kilka dziedzin matematyki doprowadziło do badania grup. Badanie Lagrange'a z 1770 r. Dotyczące rozwiązań kwintyku doprowadziło do powstania wielomianu grupy Galois . Badanie Gaussa z 1801 roku dotyczące małego twierdzenia Fermata doprowadziło do pierścienia liczb całkowitych modulo n , multiplikatywnej grupy liczb całkowitych modulo n oraz bardziej ogólnych koncepcji grup cyklicznych i grup abelowych . Program Erlangen Kleina z 1872 r. Badał geometrię i doprowadził do grup symetrii , takich jak grupa euklidesowa i grupa przekształceń rzutowych . W 1874 Lie wprowadził teorię grup Liego , dążąc do „teorii równań różniczkowych Galois”. W 1876 roku Poincaré i Klein wprowadzili grupę transformacji Möbiusa i jej podgrupy, takie jak grupa modułowa i grupa fuchsowska , w oparciu o prace nad funkcjami automorficznymi w analizie.

Abstrakcyjna koncepcja grupy pojawiła się powoli w połowie XIX wieku. Galois w 1832 roku jako pierwszy użył terminu „grupa”, oznaczającego zbiór permutacji zamkniętych w ramach kompozycji. Arthura Cayleya z 1854 r. O teorii grup zdefiniował grupę jako zbiór z asocjacyjną operacją składu i tożsamością 1, dziś nazywaną monoidem . W $,$ abstrakcyjną operację binarną, która była anulowania , podobnie jak współczesne prawa dla skończonej grupy abelowej . Definicja grupy Webera z 1882 r. Była zamkniętą operacją binarną, która była asocjacyjna i miała lewe i prawe anulowanie. Walther von Dyck w 1882 roku jako pierwszy wymagał elementów odwrotnych jako części definicji grupy.

Po pojawieniu się tej abstrakcyjnej koncepcji grupy wyniki zostały przeformułowane w tym abstrakcyjnym kontekście. Na przykład twierdzenie Sylowa zostało odrzucone przez Frobeniusa w 1887 r. bezpośrednio z praw grupy skończonej, chociaż Frobenius zauważył, że twierdzenie to wynikało z twierdzenia Cauchy'ego o grupach permutacji i fakcie, że każda grupa skończona jest podgrupą grupy permutacji. Otto Hölder był szczególnie płodny w tej dziedzinie, definiując grupy ilorazowe w 1889 r., automorfizmy grupowe w 1893 r., a także grupy proste. Ukończył także twierdzenie Jordana-Höldera . Dedekind i Miller niezależnie scharakteryzowali grupy hamiltonowskie i wprowadzili pojęcie komutatora dwóch elementów. Burnside, Frobenius i Molien stworzyli pod koniec XIX wieku teorię reprezentacji grup skończonych. Monografia JA de Séguiera z 1905 r. Elements of the Theory of Abstract Groups przedstawiła wiele z tych wyników w abstrakcyjnej, ogólnej formie, przenosząc „konkretne” grupy do dodatku, chociaż ograniczała się do grup skończonych. Pierwszą monografią skończonych i nieskończonych grup abstrakcyjnych była Abstrakcyjna teoria grup OK Schmidta z 1916 roku .

Teoria wczesnego pierścienia

Zobacz także: Teoria pierścieni § Historia i Pierścień (matematyka) § Historia

Nieprzemienna teoria pierścieni rozpoczęła się wraz z rozszerzeniem liczb zespolonych do liczb hiperzespolonych , w szczególności kwaternionów Williama Rowana Hamiltona w 1843 r. Wkrótce pojawiło się wiele innych systemów liczbowych. W 1844 roku Hamilton przedstawił biquaternions , Cayley wprowadził oktonions , a Grassman wprowadził algebry zewnętrzne . James Cockle przedstawił tessaryny w 1848 r., A coquaternions w 1849 r . William Kingdon Clifford wprowadził rozdzielone biquaternions w 1873 r. Ponadto Cayley wprowadził algebry grupowe na liczbach rzeczywistych i zespolonych w 1854 r. Oraz macierze kwadratowe w dwóch artykułach z 1855 i 1858 r.

Kiedy było już wystarczająco dużo przykładów, pozostało je sklasyfikować. W monografii z 1870 roku Benjamin Peirce sklasyfikował ponad 150 hiperzłożonych systemów liczbowych o wymiarze poniżej 6 i podał wyraźną definicję algebry asocjacyjnej . Zdefiniował elementy nilpotentne i idempotentne oraz udowodnił, że każda algebra zawiera jeden lub drugi element. Zdefiniował również rozkład Peirce'a . $,$ w 1878 i Charles Sanders Peirce w 1881 niezależnie udowodnili że jedynymi skończonymi wymiarowymi algebrami dzielenia nad były liczby rzeczywiste, liczby zespolone i kwaterniony. W latach osiemdziesiątych XIX wieku Killing i Cartan wykazali, że półproste algebry Liego można rozłożyć na proste i sklasyfikować wszystkie proste algebry Liego. Zainspirowani tym, w latach 90. XIX wieku Cartan, Frobenius i Molien udowodnili $mathbb {R}}$ niezależnie), że skończenie wymiarowa algebra asocjacyjna nad lub jednoznacznie rozkłada się na ${\ displaystyle \$ bezpośrednie sumy algebry nilpotentnej i algebry półprostej, która jest iloczynem pewnej liczby algebr prostych , macierze kwadratowe nad algebrami dzielenia. Cartan jako pierwszy zdefiniował pojęcia, takie jak suma bezpośrednia i prosta algebra, a koncepcje te okazały się dość wpływowe. W 1907 Wedderburn rozszerzył wyniki Cartana na dowolne pole, w tym, co obecnie nazywa się głównym twierdzeniem Wedderburna i twierdzeniem Artina – Wedderburna .

W przypadku pierścieni przemiennych kilka obszarów razem doprowadziło do teorii pierścieni przemiennych. W dwóch artykułach z 1828 i 1832 roku Gauss sformułował liczby całkowite Gaussa i wykazał, że tworzą one unikalną dziedzinę faktoryzacji (UFD) oraz udowodnił dwukwadratowe prawo wzajemności . Jacobi i Eisenstein mniej więcej w tym samym czasie udowodnili sześcienne prawo wzajemności dla liczb całkowitych Eisensteina . Badanie ostatniego twierdzenia Fermata doprowadziło do algebraicznych liczb całkowitych . W 1847 roku Gabriel Lamé myślał, że udowodnił FLT, ale jego dowód był błędny, ponieważ zakładał, że wszystkie pola cyklotomiczne to UFD, ale jak zauważył Kummer, ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} (\ zeta _ {23}))}$ nie był UFD. W 1846 i 1847 Kummer wprowadził liczby idealne i udowodnił unikalną faktoryzację idealnych liczb pierwszych dla pól cyklotomicznych. Dedekind rozszerzył to w 1871 r., aby pokazać, że każdy niezerowy ideał w dziedzinie liczb całkowitych pola liczb algebraicznych jest unikalnym iloczynem ideałów pierwszych , co było prekursorem teorii dziedzin Dedekinda . Ogólnie rzecz biorąc, praca Dedekinda stworzyła temat algebraicznej teorii liczb .

W latach pięćdziesiątych XIX wieku Riemann przedstawił podstawową koncepcję powierzchni Riemanna . Metody Riemanna opierały się na założeniu, które nazwał zasadą Dirichleta , które w 1870 roku zostało zakwestionowane przez Weierstrassa. Znacznie później, w 1900 roku, Hilbert uzasadnił podejście Riemanna, rozwijając metodę bezpośrednią w rachunku wariacyjnym . W latach sześćdziesiątych i siedemdziesiątych XIX wieku Clebsch, Gordan, Brill, a zwłaszcza M. Noether badali funkcje i krzywe algebraiczne. W szczególności Noether badał, jakie warunki są wymagane, aby wielomian był elementem ideału generowanego przez dwie krzywe algebraiczne w pierścieniu wielomianu, chociaż ${\ Displaystyle \ mathbb {R} [x, y]}$ Noether nie używał tego współczesnego języka. W 1882 roku Dedekind i Weber, analogicznie do wcześniejszych prac Dedekinda nad algebraiczną teorią liczb, stworzyli teorię pól funkcji algebraicznych , która umożliwiła pierwszą rygorystyczną definicję powierzchni Riemanna i rygorystyczny dowód twierdzenia Riemanna – Rocha . Kronecker w latach osiemdziesiątych XIX wieku, Hilbert w 1890, Lasker w 1905 i Macauley w 1913 dalej badali ideały pierścieni wielomianowych ukryte w pracy E. Noether . Lasker udowodnił szczególny przypadek twierdzenia Laskera-Noethera , a mianowicie, że każdy ideał w pierścieniu wielomianowym jest skończonym przecięciem ideałów pierwotnych . Macauley udowodnił wyjątkowość tego rozkładu. Ogólnie rzecz biorąc, praca ta doprowadziła do rozwoju geometrii algebraicznej .

W 1801 roku Gauss wprowadził binarne formy kwadratowe na liczbach całkowitych i określił ich równoważność . Dalej zdefiniował wyróżnik tych form, który jest niezmiennikiem formy binarnej . W latach sześćdziesiątych i dziewięćdziesiątych XIX wieku teoria niezmienników rozwinęła się i stała się główną dziedziną algebry. Cayley, Sylvester, Gordan i inni znaleźli jakobian i heski dla binarnych form kwartalnych i sześciennych. W 1868 r. Gordan udowodnił, że stopniowana algebra niezmienników postaci binarnej na liczbach zespolonych jest generowana w sposób skończony, tj. ma bazę. Hilbert napisał tezę o niezmiennikach w 1885 r., Aw 1890 r. wykazał, że każda forma dowolnego stopnia lub liczby zmiennych ma podstawę. Rozszerzył to dalej w 1890 r. Do twierdzenia bazowego Hilberta .

Po opracowaniu tych teorii minęło jeszcze kilka dziesięcioleci, zanim pojawiła się abstrakcyjna koncepcja pierścienia. Pierwsza definicja aksjomatyczna została podana przez Abrahama Fraenkela w 1914 roku. Jego definicja obejmowała głównie standardowe aksjomaty: zbiór z dwiema operacjami dodawania, który tworzy grupę (niekoniecznie przemienną) oraz mnożenie, które jest asocjacyjne, dystrybuuje nad dodawaniem i ma element tożsamości. Ponadto miał dwa aksjomaty dotyczące „elementów regularnych” zainspirowane pracą nad liczbami p-adic , które wykluczały obecnie powszechne pierścienie, takie jak pierścień liczb całkowitych. Pozwoliło to Fraenkelowi udowodnić, że dodawanie jest przemienne. Praca Fraenkla miała na celu przeniesienie definicji pól Steinitza z 1910 roku na pierścienie, ale nie była związana z istniejącymi pracami nad systemami betonowymi. Definicja Masazo Sono z 1917 roku była pierwszym odpowiednikiem obecnej.

W 1920 r. Emmy Noether we współpracy z W. Schmeidlerem opublikowała artykuł o teorii ideałów , w którym zdefiniowali lewy i prawy ideał w pierścieniu . W następnym roku opublikowała przełomową pracę zatytułowaną Idealtheorie in Ringbereichen ( Teoria idealna w pierścieniach ), analizującą rosnące warunki łańcuchowe w odniesieniu do (matematycznych) ideałów. Publikacja dała początek terminowi „ pierścień noetherowski ”, a kilka innych obiektów matematycznych nazwano noetherowskimi . Znany algebraista Irving Kaplansky nazwał tę pracę „rewolucyjną”; wyniki, które wydawały się nierozerwalnie związane z właściwościami pierścieni wielomianowych, okazały się wynikać z jednego aksjomatu. Artin, zainspirowany pracą Noether, wymyślił warunek łańcucha zstępującego . Definicje te oznaczały narodziny abstrakcyjnej teorii pierścieni.

Wczesna teoria pola

Główny artykuł: Dziedzina (matematyka) § Historia

W 1801 roku Gauss wprowadził liczby całkowite mod p , gdzie p jest liczbą pierwszą. $Galois$ rozszerzył to w 1830 roku na pola z . W 1871 roku Richard Dedekind wprowadził dla zbioru liczb rzeczywistych lub zespolonych, który jest domknięty czterema operacjami arytmetycznymi, niemieckie słowo Körper , które oznacza „ciało” lub „korpus” (aby zasugerować organicznie zamkniętą całość). Angielski termin „pole” został wprowadzony przez Moore'a w 1893 r. W 1881 r. Leopold Kronecker zdefiniował to, co nazwał domeną racjonalności , czyli polem ułamków wymiernych we współczesnych terminach. Pierwsza jasna definicja pola abstrakcyjnego została nadana przez Heinricha Martina Webera w 1893 r. Brakowało w nim prawa asocjacyjnego dla mnożenia, ale obejmowało pola skończone oraz pola algebraicznej teorii liczb i geometrii algebraicznej. W 1910 roku Steinitz zsyntetyzował dotychczas zgromadzoną wiedzę z zakresu abstrakcyjnej teorii pola. Zdefiniował aksjomatycznie pola współczesną definicją, sklasyfikował je według ich cech i udowodnił wiele powszechnie spotykanych dziś twierdzeń.

Inne główne obszary

• Rozwiązywanie układów równań liniowych , które doprowadziło do powstania algebry liniowej

Nowoczesna algebra

Koniec XIX i początek XX wieku przyniósł zmianę w metodologii matematyki. Algebra abstrakcyjna pojawiła się na początku XX wieku pod nazwą algebra współczesna . Jego badanie było częścią dążenia do większej rygoru intelektualnego w matematyce. Początkowo założenia algebry klasycznej , na których opiera się cała matematyka (i większość nauk przyrodniczych ), przybrały postać systemów aksjomatycznych . Nie zadowalając się już ustalaniem właściwości konkretnych przedmiotów, matematycy zaczęli zwracać uwagę na teorię ogólną. Formalne definicje pewnych struktur algebraicznych zaczęły pojawiać się w XIX wieku. Na przykład wyniki dotyczące różnych grup permutacji zaczęto postrzegać jako przypadki ogólnych twierdzeń, które dotyczą ogólnego pojęcia grupy abstrakcyjnej . Na pierwszy plan wysunęły się kwestie struktury i klasyfikacji różnych obiektów matematycznych.

Procesy te zachodziły w całej matematyce, ale stały się szczególnie wyraźne w algebrze. Zaproponowano formalną definicję za pomocą prymitywnych operacji i aksjomatów dla wielu podstawowych struktur algebraicznych, takich jak grupy , pierścienie i ciała . Stąd takie rzeczy jak teoria grup i teoria pierścieni zajęły swoje miejsce w czystej matematyce . Algebraiczne badania ciał ogólnych przeprowadzone przez Ernsta Steinitza oraz pierścieni przemiennych, a następnie ogólnych, przeprowadzone przez Davida Hilberta , Emila Artina i Emmy Noether , oparte na pracach Ernsta Kummera , Leopolda Kroneckera i Richarda Dedekinda , którzy rozważali ideały w pierścieniach przemiennych, oraz Georga Frobeniusa i Issaia Schura , dotyczące teorii reprezentacji grup, doszli do zdefiniowania algebry abstrakcyjnej. Te osiągnięcia ostatniej ćwierci XIX i pierwszej ćwierci XX wieku były systematycznie eksponowane w Moderne Algebra Bartela van der Waerdena , dwutomowej monografii opublikowanej w latach 1930-1931, która na zawsze zmieniła dla świata matematycznego znaczenie słowo algebra od teorii równań do teorii struktur algebraicznych .

Podstawowe koncepcje

Główny artykuł: Struktura algebraiczna

Abstrahując różne ilości szczegółów, matematycy zdefiniowali różne struktury algebraiczne, które są używane w wielu dziedzinach matematyki. Na przykład prawie wszystkie badane systemy są zbiorami , do których mają zastosowanie twierdzenia teorii mnogości . Zbiory, na których zdefiniowano pewną operację binarną, tworzą magmy , do których odnoszą się zarówno pojęcia dotyczące magm, jak i zbiory. Możemy dodać dodatkowe ograniczenia do struktury algebraicznej, takie jak asocjatywność (aby utworzyć półgrupy ); tożsamość i odwrotności (aby utworzyć grupy ); i inne bardziej złożone konstrukcje. Dzięki dodatkowej strukturze można by udowodnić więcej twierdzeń, ale ogólność jest zmniejszona. „Hierarchia” obiektów algebraicznych (pod względem ogólności) tworzy hierarchię odpowiednich teorii: na przykład twierdzenia teorii grup mogą być używane podczas badania pierścieni (obiektów algebraicznych, które mają dwie operacje binarne z pewnymi aksjomatami), ponieważ pierścień jest grupą nad jedną z jej operacji. Ogólnie rzecz biorąc, istnieje równowaga między ilością ogólności a bogactwem teorii: bardziej ogólne struktury mają zwykle mniej nietrywialnych twierdzeń i mniej zastosowań.

Struktury algebraiczne między magmami i grupami . Na przykład monoidy to półgrupy z tożsamością.

Przykładami struktur algebraicznych z pojedynczą operacją binarną są:

• Magma
• Quasigrupa
• monoid
• Półgrupa
• Grupa

Przykłady obejmujące kilka operacji obejmują:

• Pierścień
• Pole
• Moduł
• Przestrzeń wektorowa
• Algebra nad polem
• Algebra asocjacyjna
• Algebra kłamstw
• Krata
• Algebra Boole'a

Gałęzie algebry abstrakcyjnej

Teoria grup

Główny artykuł: Teoria grup

Grupa to zbiór wraz z $\$ produktem grupowym”, operacją binarną . $\ razy G \ rightarrow G$ } Grupa spełnia następujące definiujące aksjomaty:

Tożsamość : istnieje element $\$ , że dla każdego elementu $displaystyle$ sol ${\ displaystyle e \ cdot a=a\cdot e=a}$$G}$ , że .

Odwrotność : dla każdego elementu z ${\ Displaystyle$$G$$}$ istnieje element tak, że $= b$ .

Asocjatywność : dla $utrzymuje$ trójki elementów w $\ Displaystyle G}$$Displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$ , .

Teoria pierścienia

Główny artykuł: Teoria pierścieni

Pierścień to zbiór wraz z dwiema operacjami binarnymi, dodawaniem: ${ \displaystyle\cdot:R\razy R\rightarrow R}$$+: R \ razy R \ rightarrow R}$$Displaystyle$ i mnożeniem: . Ponadto spełnia następujące definiujące aksjomaty: ${\ displaystyle R}$

Dodatek : jest grupą przemienną w trakcie $.$

Mnożenie : $monoidem$ podczas mnożenia.

Dystrybucja : Mnożenie jest dystrybucyjne w odniesieniu do dodawania.

Aplikacje

Ze względu na swoją ogólność algebra abstrakcyjna jest używana w wielu dziedzinach matematyki i nauk ścisłych. Na przykład topologia algebraiczna wykorzystuje obiekty algebraiczne do badania topologii. Hipoteza Poincarégo , udowodniona w 2003 r., głosi, że podstawowa grupa rozmaitości, która koduje informacje o powiązaniach, może być wykorzystana do określenia, czy rozmaitość jest kulą, czy nie. Algebraiczna teoria liczb bada różne pierścienie liczbowe , które uogólniają zbiór liczb całkowitych. Korzystając z narzędzi algebraicznej teorii liczb, Andrew Wiles udowodnił ostatnie twierdzenie Fermata .

W fizyce grupy są używane do reprezentowania operacji symetrii, a zastosowanie teorii grup może uprościć równania różniczkowe. W teorii cechowania wymóg lokalnej symetrii można wykorzystać do wyprowadzenia równań opisujących układ. Grupy, które opisują te symetrie, to grupy Liego , a badanie grup Liego i algebr Liego ujawnia wiele informacji o systemie fizycznym; na przykład liczba nośników siły w teorii jest równa wymiarowi algebry Liego, a te bozony oddziałują z siłą, w której pośredniczą, jeśli algebra Liego jest nieabelowa.

Zobacz też

Główny artykuł: Lista tematów algebry abstrakcyjnej

• Teoria kodowania
• Teoria grup
• Lista publikacji z algebry abstrakcyjnej

Bibliografia

•    Szary, Jeremy (2018). Historia algebry abstrakcyjnej: od równań algebraicznych do algebry współczesnej . Seria Springer z matematyki licencjackiej. Cham, Szwajcaria. doi : 10.1007/978-3-319-94773-0 . ISBN 978-3-319-94773-0 . S2CID 125927783 .
• Kimberling, Clark (1981). „Emmy Noether i jej wpływ”. W Brewer, James W; Smith, Marta K (red.). Emmy Noether: hołd dla jej życia i pracy . Marcela Dekkera . s. 3–61.
•   Kleiner, Izrael (2007). Kleiner, Izrael (red.). Historia algebry abstrakcyjnej . Boston, Massachusetts: Birkäuser. doi : 10.1007/978-0-8176-4685-1 . ISBN 978-0-8176-4685-1 .
•   Monna, AF (1975), zasada Dirichleta: matematyczna komedia błędów i jej wpływ na rozwój analizy , Oosthoek, Scheltema & Holkema, ISBN 978-9031301751

Dalsza lektura

•   Allenby, RBJT (1991), Pierścienie, pola i grupy , Butterworth-Heinemann, ISBN 978-0-340-54440-2
•   Artin, Michael (1991), Algebra , Prentice Hall , ISBN 978-0-89871-510-1
• Burris, Stanley N.; Sankappanavar, HP (1999) [1981], Kurs algebry uniwersalnej
•   Gilbert, Jimmie; Gilbert, Linda (2005), Elementy współczesnej algebry , Thomson Brooks / Cole, ISBN 978-0-534-40264-8
•    Lang, Serge (2002), Algebra , Absolwent Teksty z matematyki , tom. 211 (poprawione wydanie trzecie), Nowy Jork: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4 , MR 1878556
•   Sethuraman, BA (1996), Pierścienie, pola, przestrzenie wektorowe i teoria grup: wprowadzenie do algebry abstrakcyjnej za pomocą konstrukcji geometrycznej , Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94848-5
•   Whitehead, C. (2002), Przewodnik po algebrze abstrakcyjnej (wyd. 2), Houndmills: Palgrave, ISBN 978-0-333-79447-0
•   W. Keith Nicholson (2012) Wprowadzenie do algebry abstrakcyjnej , wydanie 4, John Wiley & Sons ISBN 978-1-118-13535-8 .
• John R. Durbin (1992) Nowoczesna algebra: wprowadzenie , John Wiley & Sons

Linki zewnętrzne

• Charles C. Pinter (1990) [1982] A Book of Abstract Algebra , wydanie drugie, z University of Maryland