Operacja binarna

Nie mylić z operacją bitową .

Operacja binarna $Displaystyle$ reguła łączenia argumentów $\$ y $y}$ w celu wytworzenia ${\ Displaystyle x \ circ y}$

W matematyce operacja binarna lub operacja diadyczna jest regułą łączenia dwóch elementów (zwanych operandami ) w celu wytworzenia innego elementu. Bardziej formalnie operacja binarna jest operacją o arity dwa.

Mówiąc dokładniej, wewnętrzna operacja binarna na zbiorze jest operacją binarną, której dwie domeny i koddomena są tym samym zbiorem. Przykłady obejmują znane operacje arytmetyczne dodawania , odejmowania i mnożenia . Inne przykłady można łatwo znaleźć w różnych dziedzinach matematyki, takich jak dodawanie wektorów , mnożenie macierzy i koniugacja w grupach .

Operacja o arity dwa, która obejmuje kilka zestawów, jest czasami nazywana operacją binarną . Na przykład skalarne mnożenie przestrzeni wektorowych wymaga skalara i wektora, aby utworzyć wektor, a iloczyn skalarny wymaga dwóch wektorów, aby utworzyć skalar. Takie operacje binarne można nazwać po prostu funkcjami binarnymi .

Operacje binarne są podstawą większości struktur algebraicznych , które są badane w algebrze , w szczególności w półgrupach , monoidach , grupach , pierścieniach , ciałach i przestrzeniach wektorowych .

Terminologia

Dokładniej, operacja binarna na zbiorze to odwzorowanie elementów iloczynu kartezjańskiego na : ${$${\ displaystyle S \ razy S}:$ S $}$

${\ Displaystyle \, f \ dwukropek S \ razy S \ strzałka w prawo S.}$

Ponieważ wynik wykonania operacji na parze elementów $jest$$S}$ elementem , nazywana jest zamkniętą (lub wewnętrzną ) operacją binarną na $displaystyle$ (lub czasami wyrażane jako posiadające właściwość domknięcia ).

Jeśli $to$ jest funkcją , ale funkcją częściową , to $nazywa$ częściową operacją binarną . Na przykład dzielenie liczb rzeczywistych $\ frac {a}$ częściową operacją binarną, ponieważ nie można dzielić przez zero : jest niezdefiniowane dla każdej liczby rzeczywistej za ${\ displaystyle {$ . Zarówno w algebrze uniwersalnej , jak iw teorii modeli , operacje binarne muszą być zdefiniowane na wszystkich elementach ${\ displaystyle S \ razy S}$ .

Czasami, zwłaszcza w informatyce , termin operacja binarna jest używany dla dowolnej funkcji binarnej .

Właściwości i przykłady

przykładami operacji binarnych są dodawanie ( ) $a$ mnożenie ( ) liczb $,$ macierzy także składanie funkcji na jednym zbiorze. Na przykład,

• $_$ zbiorze $,$ binarną _ liczby rzeczywiste to liczby rzeczywiste.
• $\ mathbb {N}}$ Displaystyle , ${\ Displaystyle f (a, b) = a + b}$ jest operacją binarną, ponieważ suma dwóch liczba naturalna to liczba naturalna. Jest to inna operacja binarna niż poprzednia, ponieważ zestawy są inne.
• Na zbiorze $, R ) {\ Displaystyle M (2, \ mathbb {R}$$) = A + B} jest$$razy 2}$ z rzeczywistymi wpisami, B $B$ , ponieważ suma dwóch takich macierzy jest macierzą
• Na zbiorze $\ Displaystyle$$}$$\ razy 2}$$z$ wpisami $jest$ jest operacją binarną, ponieważ iloczyn dwóch takich macierzy .
• Dla danego zestawu niech będzie zbiorem wszystkich funkcji $\ rightarrow C}$$displaystyle h \ dwukropek$${$ . fa ${\ Displaystyle f \ dwukropek S \ razy S \ rightarrow S$$)}}$ przez ${\ Displaystyle f (h_ {1}, h_ {2}) (c) = (h_ {1} \ circ h_ {2}) (c) = h_ {1} (h_ {2} ($$\$ dla wszystkich skład dwóch funkcji i ${\ displaystyle h_ {2}$ w $S}$${1}}$$displaystyle$ . Wtedy $)$$,$ ponieważ kompozycja dwóch funkcji jest ponownie funkcją na zbiorze $($ znaczy .

Wiele operacji binarnych interesujących zarówno algebrę, jak i logikę formalną jest przemiennych , spełniających dla wszystkich elementów $}$$\ Displaystyle a}$$)$ i ${\ Displaystyle b}$ w ${\ Displaystyle S}$ lub asocjacyjne , satysfakcjonujące ${\ Displaystyle f (f (a, b), c) = f (a, f (b, c))}$ dla wszystkich ${\ displaystyle a}$ , ${\ displaystyle b}$ i do {\ displaystyle $}$ w ${\ displaystyle styl wyświetlania S}$ . Wiele z nich ma również elementy tożsamości i elementy odwrotne .

Pierwsze trzy powyższe przykłady są przemienne, a wszystkie powyższe przykłady są asocjacyjne.

$Displaystyle \ mathbb {$ zbiorze liczb rzeczywistych czyli operacja binarna R $R$ nie jest przemienne, ponieważ ogólnie ${\ Displaystyle ab \ neq ba}$ . Nie jest to również asocjacyjne, ponieważ ogólnie ${\ Displaystyle a- (bc) \ neq (ab) -c}$ ; na przykład ${\ Displaystyle 1- (2-3) = 2}$ ale ${\ Displaystyle (1-2) -3 = -4}$ .

Na zbiorze liczb naturalnych potęgowanie operacji binarnych nie jest ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$ , ${\ Displaystyle f (a, b) = a ^ {b}}$ za ${\ Displaystyle a ^ {b} \ neq b ^ {a}}$ (por. Równanie x ^y = y ^{x ), a także nie} asocjacyjne, ponieważ ${\ Displaystyle f (f (a, b), c) \ neq f (a, f (b, c))}$ . Na przykład za ${\ Displaystyle a = 2}$ , ${\ Displaystyle b = 3}$ i do $Displaystyle c = 2}$ , ${\ Displaystyle f (2 ^ {3}, 2) = f (8,2) = 8 ^ {2} = 64}$ , ale ${\ Displaystyle f (2,3 ^ {2}) = f (2,9) = 2 ^ {9} = 512}$ . Zmieniając zbiór $całkowitych$ zbiór liczb , ta operacja binarna staje się częściową operacją binarną, ponieważ jest teraz niezdefiniowana, gdy za $=$$a = 0}$ i jest $całkowitą$ . Dla każdego zestawu ta operacja ma właściwą tożsamość (która wynosi $,$ ponieważ ${\ Displaystyle f (a, 1) = a}$ dla wszystkich za $\ displaystyle a}$ w zbiór, który nie jest tożsamością (tożsamością dwustronną), ponieważ ogólnie ${\ Displaystyle f (1, b) \ neq b}$

Dzielenie ( $)$ , częściowa operacja binarna na zbiorze liczb rzeczywistych lub wymiernych, nie jest przemienne ani asocjacyjne Tetracja ( ), jako operacja binarna na liczbach naturalnych, nie jest przemienna ani asocjacyjna i nie ma elementu $.$

Notacja

$często$ binarne $bez$ użyciu notacji $jak$ , takiej _ _ _ symbol) $\ displaystyle ab}$ zamiast funkcjonalnej notacji postaci ${\ displaystyle f (a, b)}$ . Potęgi są zwykle zapisywane również bez operatora, ale z drugim argumentem w indeksie górnym .

Operacje binarne są czasami zapisywane przy użyciu notacji z przedrostkiem lub (częściej) z przyrostkiem, z których oba rezygnują z nawiasów. Nazywa się je również odpowiednio notacją polską i odwróconą notacją polską .

Operacje binarne jako relacje trójskładnikowe

Operację $zbiorze$ na można ${\ Displaystyle (a, b, f (a, b))}$ trójskładnikową na $zbiorze$ trójek $($ w ${\ Displaystyle S \ razy S \ razy S}$ dla wszystkich za $\ Displaystyle a}$ i ${\ Displaystyle b}$ w ${\ displaystyle S}$ .

Zewnętrzne operacje binarne

Zewnętrzna operacja $_$ to funkcja $_ Różni$ od $displaystyle$ to od operacji binarnej na zbiorze w tym sensie, że nie musi być $K}$ ; jego elementy pochodzą z zewnątrz .

Przykładem zewnętrznej operacji binarnej jest mnożenie przez skalar w algebrze liniowej . Tutaj jest $jest$ i przestrzenią $polem$ nad tym .

$.$ operacje $alternatywnie$ postrzegać jako działanie na Wymaga to istnienia mnożenia asocjacyjnego w i reguły zgodności w postaci ${\ Displaystyle a (bs) = (ab) s$$}$ gdzie ${\ Displaystyle a, b \ in K}$ i ${\ Displaystyle s \ in S}$ (tutaj zarówno operacja zewnętrzna, jak i mnożenie w $oznaczone$ przez zestawienie)

Iloczyn skalarny dwóch wektorów odwzorowuje na $\ displaystyle$$K$$}$ , gdzie ${$ i jest przestrzenią wektorową nad $} \displaystyle K}$ . Od autorów zależy, czy zostanie ona uznana za operację binarną.

Zobacz też

• Kategoria:Właściwości operacji binarnych
• Iterowana operacja binarna
• Operator (programowanie)
• Operacja trójskładnikowa
• Tabela prawdy#Operacje binarne
• Operacja jednoargumentowa
• Magma (algebra) , zbiór wyposażony w operację binarną.

Notatki

•   Fraleigh, John B. (1976), pierwszy kurs algebry abstrakcyjnej (wyd. 2), czytanie: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1
• Hall, Marshall Jr. (1959), Teoria grup , Nowy Jork: Macmillan
•   Hardy, Darel W.; Walker, Carol L. (2002), algebra stosowana: kody, szyfry i algorytmy dyskretne , Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall, ISBN 0-13-067464-8
• Rotman, Joseph J. (1973), Teoria grup: wprowadzenie (wyd. 2), Boston: Allyn and Bacon

Linki zewnętrzne

• Weisstein, Eric W. „Operacja binarna” . MathWorld .