Zamieszkały zestaw

W matematyce konstruktywnej zbiór jest zamieszkany , jeśli istnieje element ${\ Displaystyle a \ in A.}$$}$ W matematyce klasycznej jest to to samo, co zbiór niepusty; jednak ta równoważność nie jest ważna w logice intuicjonistycznej (lub logice konstruktywistycznej).

Porównanie ze zbiorami niepustymi

W matematyce klasycznej zbiór jest zamieszkany wtedy i tylko wtedy, gdy nie jest zbiorem pustym . Definicje te różnią się jednak w konstruktywnej matematyce . Zbiór jest pusty $nie$ jeśli niepusty $,$ jest pusty, { $}$ , Jeśli

$${\ Displaystyle \ lnot [\ forall z (z \ not \ in A)].}$$

Jest zamieszkany, jeśli

$${\ Displaystyle \ istnieje z (z \ w A).}$$

$\ in A}$${\ Displaystyle$ zbiorem (ponieważ jeśli jest $a$ ZA not jest fałszywy i w konsekwencji tak jest ${\ Displaystyle \ forall z (z \ nie \ w A)}$ ). W logice intuicjonistycznej zaprzeczenie kwantyfikatora uniwersalnego jest słabsze niż kwantyfikator egzystencjalny , nie jest mu równoważne jak w logika klasyczna , więc nie ma gwarancji, że niepusty zbiór będzie automatycznie zamieszkany.

Przykład

Ponieważ zbiory zamieszkałe są tym samym, co zbiory niepuste w logice klasycznej, nie jest możliwe stworzenie modelu w klasycznym sensie, który zawiera zbiór niepusty, ale nie spełnia warunków „ jest zamieszkany $displaystyle$$X}$ . Ale możliwe jest skonstruowanie modelu Kripkego ${$ który spełnia „ jest niepusty” bez spełniania „ $X$$X}$ jest zamieszkany”. Ponieważ implikacja jest możliwa do udowodnienia w logice intuicjonistycznej wtedy i tylko wtedy, gdy jest prawdziwa w każdym modelu Kripkego, oznacza to, że nie można udowodnić w tej logice, że „ jest niepusty” implikuje „ $X}$$X}$$displaystyle$ jest zamieszkany”.

Możliwość takiej konstrukcji opiera się na intuicjonistycznej interpretacji kwantyfikatora egzystencjalnego. W $\ Displaystyle$ ustawieniu, aby dla $istnieje z \ phi ($$była$ utrzymana, konieczna jest określona wartość z $\displaystyle z}$ \ $.$ być znanym

Rozważmy na przykład podzbiór określony przez następującą regułę: należy do X ${\ displaystyle$$X$$}$ wtedy i $}$ jeśli hipoteza Riemanna $jest$ prawdziwa i należy do $,$ hipoteza Riemanna jest fałszywa. Jeśli założymy, że hipoteza Riemanna jest albo prawdziwa, albo fałszywa, to ${\ displaystyle X}$ nie jest pusty, ale jakikolwiek konstruktywny dowód na to, że $X }$ zamieszkany, udowodniłby, że albo jest w $\ displaystyle$${$ , albo że jest w ${\ displaystyle X.}$${\ displaystyle 1}$ Zatem konstruktywny dowód, że ${\ displaystyle X}$ jest zamieszkana określiłoby wartość prawdziwości hipotezy Riemanna, która nie jest znana. Zastępując w tym przykładzie hipotezę Riemanna twierdzeniem rodzajowym, można skonstruować model Kripkego ze zbiorem, który nie jest ani pusty, ani zamieszkany (nawet jeśli sama hipoteza jest kiedykolwiek udowodniona lub obalona).

Zobacz też

• Przecięcie (teoria mnogości) - Zbiór elementów wspólnych dla wszystkich niektórych zbiorów
• Nic - całkowity brak czegokolwiek; przeciwieństwo wszystkiego

•   D. Bridgesa i F. Richmana. 1987. Odmiany matematyki konstruktywnej . Oxford University Press. ISBN 978-0-521-31802-0

Ten artykuł zawiera materiał z zestawu Inhabited na PlanetMath , który jest objęty licencją Creative Commons Attribution/Share-Alike License .