Lista wypowiedzi niezależnych od ZFC

twierdzenia matematyczne są w sposób możliwy do udowodnienia niezależne od ZFC (kanonicznej aksjomatycznej teorii mnogości współczesnej matematyki, składającej się z aksjomatów Zermelo-Fraenkla oraz aksjomatu wyboru ), przy założeniu, że ZFC jest zgodne . Stwierdzenie jest niezależne od ZFC (czasami określane jako „nierozstrzygalne w ZFC”), jeśli nie można go ani udowodnić, ani obalić na podstawie aksjomatów ZFC.

Aksjomatyczna teoria mnogości

W 1931 roku Kurt Gödel udowodnił pierwszy wynik niezależności ZFC, a mianowicie, że spójność samego ZFC była niezależna od ZFC ( drugie twierdzenie Gödla o niezupełności ).

Następujące stwierdzenia są niezależne od ZFC, między innymi:

spójność ZFC;
hipoteza kontinuum lub CH (Gödel stworzył model ZFC, w którym CH jest prawdziwy, pokazując, że CH nie może zostać obalony w ZFC; Paul Cohen później wynalazł metodę wymuszania pokazania modelu ZFC, w którym CH zawodzi, pokazując, że CH nie może być udowodnione w ZFC. Następujące cztery wyniki niezależności są również zasługą Gödla/Cohena.);
hipoteza uogólnionego kontinuum (GCH);
powiązane niezależne stwierdzenie mówi, że jeśli zbiór x ma mniej elementów niż y , to x ma również mniej podzbiorów niż y . W szczególności to stwierdzenie zawodzi, gdy liczności zbiorów potęg x i y pokrywają się;
aksjomat konstruowalności ( V = L );
zasada diamentu (◊);
aksjomat Martina (MA);
MA + ¬CH (niezależność pokazana przez Solovaya i Tennenbauma ).
Każde drzewko Aronszajn jest wyjątkowe (EATS);

Diagram przedstawiający łańcuchy implikacji

Mamy następujące łańcuchy implikacji:

V = L → ◊ → CH,

V = L → GCH → CH,

CH → MA,

i (patrz rozdział o teorii porządku):

◊ → ¬ SZ ,

MA + ¬CH → JE → SZ.

Kilka stwierdzeń związanych z istnieniem dużych kardynałów nie może zostać udowodnionych w ZFC (zakładając, że ZFC jest spójne). Są one niezależne od ZFC, pod warunkiem, że są zgodne z ZFC, co uważa większość teoretyków zbiorów roboczych. Stwierdzenia te są wystarczająco mocne, aby sugerować spójność ZFC. Ma to konsekwencję (poprzez drugie twierdzenie Gödla o niezupełności ), że ich zgodności z ZFC nie można udowodnić w ZFC (zakładając, że ZFC jest zgodne). Do tej klasy należą następujące stwierdzenia:

Istnienie niedostępnych kardynałów
Istnienie kardynałów Mahlo
Istnienie wymiernych kardynałów (po raz pierwszy przypuszczane przez Ulama )
Istnienie kardynałów superkompaktowych

Można udowodnić, że następujące stwierdzenia są niezależne od ZFC, zakładając spójność odpowiedniego dużego kardynała:

Właściwy aksjomat forsowania
Otwórz aksjomat kolorowania
maksimum Marcina
istnienie 0^#
Hipoteza liczby pojedynczej kardynałów
Determinacja rzutowa (a nawet pełny aksjomat determinacji , jeśli nie zakłada się aksjomatu wyboru )

Teoria mnogości linii rzeczywistej

Istnieje wiele niezmienników kardynalnych prostej rzeczywistej, związanych z teorią miary i twierdzeniami związanymi z twierdzeniem o kategorii Baire'a , których dokładne wartości są niezależne od ZFC. Chociaż można udowodnić między nimi nietrywialne relacje, większość niezmienników kardynalnych może być dowolnym regularnym kardynałem między ℵ ₁ a 2 ^{ℵ ₀} . Jest to główny obszar badań w teorii mnogości linii rzeczywistej (patrz diagram Cichona ). MA ma tendencję do ustawiania najciekawszych niezmienników kardynalnych równych 2 ^{ℵ ₀} .

Podzbiór X prostej rzeczywistej jest zbiorem silnej miary zerowej , jeśli dla każdego ciągu ( ε _n ) dodatnich liczb rzeczywistych istnieje ciąg przedziałów ( I _n ) obejmujący X i taki, że I _n ma co najwyżej długość ε _n . Hipoteza Borela, że każdy zestaw zerowy silnej miary jest policzalny, jest niezależna od ZFC.

Podzbiór X $linii$ rzeczywistej jest $, jeśli$ każdy przedział otwarty elementów X $,$ czy wszystkie zbiory są izomorficzne, jest niezależne od ZFC

Teoria porządku

Problem Suslina polega na pytaniu, czy określona krótka lista właściwości charakteryzuje uporządkowany zbiór liczb rzeczywistych R . To jest nierozstrzygalne w ZFC. Linia Suslina to uporządkowany zbiór, który spełnia tę konkretną listę właściwości, ale nie jest izomorficzny rzędu z R . Zasada diamentu ◊ dowodzi istnienia linii Suslina, podczas gdy MA + ¬CH implikuje EATS ( każde drzewo Aronszajna jest szczególne ), co z kolei implikuje (ale nie jest równoważne) nieistnienie linii Suslina. Ronalda Jensena udowodnił, że CH nie implikuje istnienia linii Suslina.

Istnienie drzew Kurepa jest niezależne od ZFC, zakładając spójność niedostępnego kardynała .

Istnienie podziału liczby porządkowej $na$ kolory bez monochromatycznego nieprzeliczalnego sekwencyjnie zamkniętego podzbioru jest niezależne od ZFC, ZFC + CH i ZFC + ¬CH, zakładając spójność . kardynał . To twierdzenie Szelacha odpowiada na pytanie H. Friedmana .

Abstrakcyjna algebra

W 1973 roku Saharon Shelah wykazał, że problem Whiteheada („czy każda grupa abelowa A z Ext ¹ (A, Z ) = 0 jest wolną grupą abelową ?”) Jest niezależny od ZFC. Grupa abelowa z Ext ¹ (A, Z ) = 0 nazywana jest grupą Whiteheada; MA + ¬CH dowodzi istnienia niewolnej grupy Whiteheada, podczas gdy V = L dowodzi, że wszystkie grupy Whiteheada są wolne. W jednym z najwcześniejszych zastosowań właściwego forsując , Shelah skonstruował model ZFC + CH, w którym występuje niewolna grupa Whiteheada.

Rozważmy pierścień A = R [ x , y , z ] wielomianów w trzech zmiennych nad liczbami rzeczywistymi i jego ciałem ułamków M = R ( x , y , z ). Rzutowy wymiar M jako modułu A wynosi albo 2, albo 3, ale niezależnie od ZFC jest to , czy jest równe 2; jest równe 2 wtedy i tylko wtedy, gdy CH zachodzi.

Bezpośredni iloczyn przeliczalnie wielu pól ma wymiar globalny 2 wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi hipoteza kontinuum.

Teoria liczb

Można zapisać konkretny wielomian p ∈ Z [ x ₁ , ..., x ₉ ] taki, że zdanie "są liczby całkowite m ₁ , ..., m ₉ z p ( m ₁ , ..., m ₉ ) = 0” nie może być ani udowodnione, ani obalone w ZFC (zakładając, że ZFC jest spójne). Wynika to z rozwiązania dziesiątego problemu Hilberta przez Jurija Matiyasewicza ; wielomian jest skonstruowany tak, że ma pierwiastek całkowity wtedy i tylko wtedy, gdy ZFC jest niespójne.

Teoria miary

Silniejsza wersja twierdzenia Fubiniego dla funkcji dodatnich, w której nie zakłada się już, że funkcja jest mierzalna , a jedynie, że dwie iterowane całki są dobrze zdefiniowane i istnieją, jest niezależna od ZFC. Z jednej strony CH implikuje, że istnieje funkcja na kwadracie jednostkowym, której całki iterowane nie są równe — funkcja jest po prostu funkcją wskaźnika uporządkowania [0, 1] równoważnego dobremu uporządkowaniu kardynała ω ₁ . Podobny przykład można zbudować za pomocą MA . Z drugiej strony spójność silnego twierdzenia Fubiniego po raz pierwszy wykazał Friedman . Można to również wywnioskować z wariantu aksjomatu symetrii Freilinga .

Topologia

Hipoteza o normalnej przestrzeni Moore'a, a mianowicie, że każda normalna przestrzeń Moore'a jest metryzowalna , może zostać obalona zakładając CH lub MA + ¬CH i może zostać udowodniona zakładając pewien aksjomat, z którego wynika istnienie dużych kardynałów. Tak więc, przyznając duże liczby kardynałów, hipoteza normalnej przestrzeni Moore'a jest niezależna od ZFC. ^{[ potrzebne źródło ]}

Różne twierdzenia dotyczące $, punktów$ ^{P , wyjaśnienia ]} Q, ...

Istnienie przestrzeni S jest niezależne od ZFC. W szczególności wynika to z istnienia linii Suslina.

Analiza funkcjonalna

Garth Dales i Robert M. Solovay udowodnili w 1976 r., że hipoteza Kaplansky'ego , a mianowicie, że każdy homomorfizm algebry z algebry Banacha C(X) (gdzie X jest pewną zwartą przestrzenią Hausdorffa ) do dowolnej innej algebry Banacha musi być ciągły, jest niezależny od ZFC. CH implikuje, że dla dowolnego nieskończonego X istnieje nieciągły homomorfizm w dowolną algebrę Banacha.

Rozważmy algebrę B ( H ) ograniczonych operatorów liniowych na nieskończenie wymiarowej rozdzielalnej przestrzeni Hilberta H . Operatory zwarte tworzą ideał dwustronny w B ( H ). Pytanie, czy ten ideał jest sumą dwóch odpowiednio mniejszych ideałów, jest niezależne od ZFC, jak wykazali Andreas Blass i Saharon Shelah w 1987 roku.

Charles Akemann i Nik Weaver wykazali w 2003 roku, że stwierdzenie „istnieje kontrprzykład do problemu Naimarka , który jest generowany przez ℵ ₁ , elementy” jest niezależne od ZFC.

Miroslav Bačák i Petr Hájek udowodnili w 2008 roku, że stwierdzenie „każda przestrzeń Asplunda o charakterze gęstości ω ₁ ma renormację z właściwością skrzyżowania Mazura” jest niezależne od ZFC. Wynik pokazano za pomocą maksimum Martina , podczas gdy Mar Jiménez i José Pedro Moreno (1997) przedstawili kontrprzykład zakładając CH.

Jak wykazali Ilijas Farah i N. Christopher Phillips oraz Nik Weaver, istnienie zewnętrznych automorfizmów algebry Calkina zależy od założeń teorii mnogości wykraczających poza ZFC.

Problem Wetzela , który pyta, czy każdy zestaw funkcji analitycznych , który przyjmuje co najwyżej przeliczalnie wiele różnych wartości w każdym punkcie, jest koniecznie policzalny, jest prawdziwy wtedy i tylko wtedy, gdy hipoteza kontinuum jest fałszywa.

Teoria modeli

Hipoteza Changa jest niezależna od ZFC zakładającej spójność kardynała Erdősa .

Teoria obliczalności

Marcia Groszek i Theodore Slaman podali przykłady niezależnych od ZFC stwierdzeń dotyczących struktury stopni Turinga. W szczególności, czy istnieje maksymalnie niezależny zbiór stopni wielkości mniejszych niż continuum.

Linki zewnętrzne

Jakie są sensownie brzmiące stwierdzenia, które są niezależne od ZFC? , mathoverflow.net