Zwyczajny kardynał

W teorii mnogości liczba kardynalna foremna jest liczbą kardynalną , która jest równa własnej kofinalności . Mówiąc dokładniej, oznacza to, że jest liczbą kardynalną regularną wtedy i tylko wtedy, gdy każdy $nieograniczony$$\$ ma liczność κ ${$ . Nieskończone dobrze uporządkowane kardynały, które nie są regularne, nazywane są liczbami pojedynczymi . Skończone liczby kardynalne zwykle nie są nazywane regularnymi ani pojedynczymi.

W obecności aksjomatu wyboru , dowolna liczba kardynalna może być dobrze uporządkowana, a wtedy następujące są równoważne kardynałowi: ${\ displaystyle \ kappa}: κ {\ displaystyle \ kappa$ }

1. ${\ displaystyle \ kappa}$ jest zwykłym kardynałem.
2. $w ja} \ lambda _ {i$$}$ } i dla wszystko $a$ następnie ${\ Displaystyle | ja | \ geq \ kappa}$ .
3. Jeśli ${\ Displaystyle S = \ bigcup _ {i \ w I} S_ {i}}$ i jeśli ${\ displaystyle |$ ja | <\ kappa} i ${\ Displaystyle | S_ {i} | <\ kappa}$$dla$ wszystkich a następnie ${\ Displaystyle | S | <\ kappa}$ .
4. Kategoria $i$ zbiorów o liczności mniejszych niż ${\ Displaystyle \ kappa}$ wszystkie funkcje między nimi są zamknięte pod granicami liczności mniejszymi niż $\kapa }$$Displaystyle \$ kappa .
5. ${\ displaystyle \ kappa}$ to zwykła liczba porządkowa (patrz poniżej)

Mówiąc z grubsza, oznacza to, że regularny kardynał to taki, którego nie można podzielić na niewielką liczbę mniejszych części.

Sytuacja jest nieco bardziej skomplikowana w kontekstach, w których aksjomat wyboru może zawieść, ponieważ w takim przypadku nie wszystkie liczby główne są koniecznie licznościami dobrze uporządkowanych zbiorów. W takim przypadku powyższa równoważność dotyczy tylko dobrze uporządkowanych kardynałów.

Nieskończona $liczba$ porządkowa jest regularną liczbą porządkową , jeśli jest graniczną liczbą porządkową , która nie jest granicą zbioru mniejszych liczb porządkowych, które jako zbiór mają porządku mniejszy niż ${\ displaystyle \ alpha}$ . Regularna liczba porządkowa jest zawsze $.$ liczbą porządkową chociaż niektóre początkowe liczby porządkowe nie są regularne, np. (patrz przykład poniżej)

Przykłady

Liczby porządkowe mniejsze niż $skończone$ . Skończony ciąg skończonych liczb porządkowych zawsze ma skończone maksimum, więc nie może być granicą żadnego ciągu typu mniejszego niż ${\ displaystyle \ omega$$},$ którego elementy są liczbami porządkowymi mniejszymi niż $}$${\ displaystyle \ omega$ , a zatem jest regularną liczbą porządkową. ${\ Displaystyle \ aleph _ {0}}$ ( aleph-null ) jest regularnym kardynałem, ponieważ jego początkowa liczba porządkowa ${\ Displaystyle \ omega}$ , jest regularne. Można go również bezpośrednio postrzegać jako regularny, ponieważ suma kardynalna skończonej liczby skończonych liczb kardynalnych sama jest skończona.

${\ Displaystyle \ omega + 1}$ to następna liczba porządkowa większa niż ${\ Displaystyle \ omega}$ . Jest to liczba pojedyncza, ponieważ nie jest liczbą porządkową graniczną. ${\ Displaystyle \ omega + \ omega}$ jest następną graniczną liczbą porządkową po ${\ Displaystyle \ omega}$ . Można to zapisać jako granicę ciągu , ${\ Displaystyle \ omega}$ , ${\ Displaystyle \ omega +1}$ , ${\ Displaystyle \ omega + 2}$ , ${\ Displaystyle \ omega + 3}$ i tak dalej. Ta sekwencja ma typ porządkowy , więc jest granicą sekwencji typu mniejszego niż $\ omega + \ omega},$$Displaystyle$ elementy ${\ Displaystyle \ omega + \ omega}$ są liczbami porządkowymi mniejszymi niż ${\ Displaystyle \ omega + \ omega}$ ; dlatego jest to liczba pojedyncza.

${\ Displaystyle \ aleph _ {1}}$ jest następną liczbą kardynalną większą niż ${\ Displaystyle \ aleph _ {0}}$ , więc liczebniki mniejsze niż są policzalne ${\ Displaystyle \ aleph _ {1}}$ (skończone lub przeliczalne). Zakładając aksjomat wyboru, suma przeliczalnego zbioru przeliczalnych zbiorów sama jest przeliczalna. Tak więc $regularna$ można zapisać jako sumy policzalnego zbioru policzalnych liczb głównych i jest

${\ Displaystyle \ aleph _ {\ omega}}$ jest następną liczbą kardynalną po sekwencji ${\ Displaystyle \ aleph _ {0}}$ , ${\ Displaystyle \ aleph _ {1}}$ , ${\ displaystyle \ aleph _ {2}}$ , ${\ displaystyle \ aleph _ {3}}$ i tak dalej. Jego początkowa liczba porządkowa jest granicą ciągu, $Displaystyle$$\ omega _ {\ omega}}$ , ${\ Displaystyle \ omega _ {1}}$ , ${\ Displaystyle \ omega _ {2}}$ , ${\ Displaystyle \ omega _ {3}}$ itd., Który ma typ kolejności ${\ Displaystyle \ omega }$ , więc jest w liczbie pojedynczej i tak jest $}}$$omega$ \ Displaystyle \ aleph _ { Zakładając aksjomat wyboru, $jest to pierwsza nieskończona liczba kardynalna,$ pojedyncza (pierwsza nieskończona liczba ${\ Displaystyle \ omega + \ omega$ to a pierwsza nieskończona granica liczby pojedynczej to $)$ } Udowodnienie istnienia liczby pojedynczej kardynałów wymaga aksjomatu zastępowania iw rzeczywistości niemożność udowodnienia istnienia w teorii $mnogości$ Zermelo jest tym, co skłoniło do postulowania tego aksjomatu

Niepoliczalne (słabe) kardynały graniczne , które są również regularne, są znane jako (słabo) niedostępne kardynały . Nie można udowodnić ich istnienia w ZFC, chociaż nie wiadomo, czy ich istnienie jest niezgodne z ZFC. Ich istnienie jest czasami traktowane jako dodatkowy aksjomat. Niedostępne kardynały są z konieczności stałymi punktami funkcji aleph , chociaż nie wszystkie stałe punkty są regularne. Na przykład pierwszy punkt jest granicą $-sekwencji$${\ displaystyle \ aleph _ {0}, \ aleph _ {\ aleph _ {0}}, \ aleph _ {\ aleph _ {\ aleph _ {0}}}, ...} i dlatego jest w liczbie pojedynczej$ .

Nieruchomości

Jeśli aksjomat wyboru jest spełniony, to każdy kolejny kardynał jest regularny. W ten sposób regularność lub osobliwość większości liczb alefów można sprawdzić w zależności od tego, czy kardynał jest następcą kardynała, czy kardynałem granicznym. Niektórych liczności nie można udowodnić, że są równe jakiemukolwiek konkretnemu alefowi, na przykład liczność kontinuum , której wartością w ZFC może być dowolny nieprzeliczalny kardynał o nieprzeliczalnej kofinalności (patrz twierdzenie Eastona ). Hipoteza kontinuum zakłada, że ​​liczność kontinuum jest równa ${\ displaystyle \ aleph _ {1}}$ , co jest regularnym założeniem wyboru.

Bez aksjomatu wyboru istniałyby liczby kardynalne, które nie byłyby dobrze uporządkowane. Ponadto nie można było określić sumy kardynalnej dowolnego zbioru. Dlatego tylko liczby alef można sensownie nazwać regularnymi lub pojedynczymi kardynałami. Co więcej, następnik alef nie musi być regularny. Na przykład suma przeliczalnego zbioru przeliczalnych zbiorów nie musi być przeliczalna. Jest to zgodne z ZF , że być granicą policzalnej sekwencji policzalnych liczb porządkowych, jak również zbioru liczb rzeczywistych ${\ displaystyle \ omega _ {1}}$ będzie przeliczalną sumą przeliczalnych zbiorów. Co więcej, jest zgodne z ZF, że każdy alef większy niż $liczbą$ pojedynczą (wynik udowodniony przez Moti Gitik ).

$}$$\ kappa$ jest graniczną liczbą porządkową, $Sigma _ {1}}$ jeśli zbiór $punktów$ krytycznych - elementarne osadzenie ${\ Displaystyle j}$ z ${\ Displaystyle j (\ alfa) = \ kappa}$ jest klubem w ${\ displaystyle \ kappa}$ .

Zobacz też

• Nieosiągalny kardynał

•   Herbert B. Enderton , Elementy teorii mnogości , ISBN 0-12-238440-7
•   Kenneth Kunen , Teoria mnogości, wprowadzenie do dowodów niezależności , ISBN 0-444-85401-0