Lista ustalonych tożsamości i relacji

Ten artykuł zawiera listę właściwości matematycznych i praw zbiorów , obejmujących operacje sumowania , przecinania i dopełniania w teorii mnogości oraz relacje równości zbiorów i zawierania zbiorów . Zapewnia również systematyczne procedury oceny wyrażeń i wykonywania obliczeń, obejmujących te operacje i relacje.

Operacje binarne sumy zbiorów ( $)$ przecięcia ( $)$ spełniają wiele tożsamości Kilka z tych tożsamości lub „praw” ma dobrze ugruntowane nazwy.

Notacja

W całym tym artykule wielkie litery, takie jak i $C, L, M, R, S$ oznaczać zestawy $}$ , i $X$ zestaw _ _ ${\ Displaystyle X.}$ Jeśli jest to potrzebne, to o ile nie wskazano inaczej, należy założyć, że ${\ Displaystyle X}$ oznacza zbiór wszechświata , co oznacza, że ​​wszystkie ${\ Displaystyle X.}$ użyte we wzorze są podzbiorami W szczególności dopełnienie zbioru będzie oznaczane przez ${\$$Displaystyle L ^ {\ dopełnienie}}$ gdzie, o ile nie wskazano inaczej, należy założyć, że $displaystyle L ^ {\ dopełnienie}}$${\ dopełnienie$ oznacza dopełnienie we (wszechświecie) ${\ Displaystyle X.}$${\ displaystyle L}$

$Zazwyczaj$ zestaw będzie oznaczał najbardziej ustawiony L $\$ M $}$ średni zestaw i najbardziej zestaw.

Dla zestawów i ${\ displaystyle L}$ i ${\ displaystyle R}$ zdefiniuj: L {\ displaystyle L}

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane w} {4} L \ kubek R & & ~: = ~ \ {~ x ~: ~ x \ w L \; & & {\ tekst {lub}} \; \, & & \; x \ w R~\}\\L\cap R&&~:=~\{~x~:~x\in L\;&&{\text{ i }}&&\;x\in R~\}\\L\ setminus R&&~:=~\{~x~:~x\in L\;&&{\text{ i }}&&\;x\notin R~\}\\\end{wyrównanydat}}}$$

I

$${\ Displaystyle L \ trójkąt R ~: = ~ \ {~ x ~: ~ x {\ tekst {należy dokładnie do jednego z}} L { \text{ i }}R~\}}$$

gdzie różnica symetryczna jest czasami oznaczana przez ${\ Displaystyle L \ ominus R}$ i wynosi: ${\ Displaystyle L \ trójkąt R}$

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane w} {4} L \; \ trójkąt \; R ~ & = ~ (L ~ \ setminus ~&&R) ~ \ kubek ~ && (R ~ \ setminus ~&&L) \\~&= ~(L~\cup ~&&R)~\setminus ~&&(L~\cap ~&&R).\end{wyrównanydat}}}$$

Jeśli jest zbiorem, który jest rozumiany (powiedzmy z kontekstu lub dlatego $}$$że$ jest to wyraźnie określone) jako podzbiór innego zbioru, to dopełnienie zbioru $}$$\ displaystyle L$ może być oznaczony przez:

$${\ Displaystyle L ^ {\ dopełnienie} ~: = ~ X \ setminus L.}$$

Definicja ${\ Displaystyle L ^ {\ dopełnienie} = X \ setminus L}$ może zależeć od kontekstu. Na przykład, gdyby został zadeklarowany jako podzbiór $}$$displaystyle$$Y$ z zestawami niekoniecznie związanymi ze sobą w jakikolwiek sposób, $L}$ wtedy ${\ Displaystyle L ^ {\ dopełnienie}}$ prawdopodobnie oznaczałoby ${\ Displaystyle Y \ setminus L$${\ displaystyle X \ setminus L.}$ zamiast

Skończenie wiele zestawów

Dotyczy jednego podzbioru

Załóżmy ${\ Displaystyle L \ subseteq X.}$

Tożsamość :

Definicja : ${\ Displaystyle e}$ jest nazywany lewym elementem tożsamości operatora binarnego ${\ Displaystyle \, \ ast \,}$ if ${\ Displaystyle e \, \ ast \, R = R}$ dla wszystko i nazywa się to prawym elementem tożsamości $\, \ ast \,}$$Displaystyle$ jeśli dla wszystkich $= L}$${\ Displaystyle L.}$ Lewy element tożsamości, który jest również prawym elementem tożsamości, jeśli jest nazywany elementem tożsamości .

Zbiór pusty $△$ elementem tożsamościowym unii binarnej i różnicą symetryczną $},$$trójkąt$$\ Displaystyle \$ a także jest prawym elementem tożsamościowym odejmowania zbioru $\displaystyle\,\setminus:}$

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane w} {10} L \ cap X & \; = \;&& L & \; = \; & X \ cap L ~ ~ ~ ~ {\ tekst {gdzie}} L \ subseteq X \\ [1,4 ex]L\cup \varnic &\;=\;&&L&\;=\;&\varnic \cup L\\[1.4ex]L\,\triangle \varnic &\;=\;&&L&\;=\; &\varnic \,\triangle L\\[1.4ex]L\setminus \varnothing &\;=\;&&L\\[1.4ex]\end{alignedat}}}$$

ale ${\ Displaystyle \ varnothing}$ nie jest lewym elementem tożsamości ${\ Displaystyle \, \ setminus \,}$ ponieważ

$${\ Displaystyle \ varnothing \ setminus L = \ varnothing}$$

więc ${\ textstyle \ varnothing \ setminus L = L}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle L = \ varnic.}$

Idempotencja ${\ Displaystyle L \ ast L = L}$ i Nilpotencja ${\ Displaystyle L \ ast L = \ varnothing}$ :

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównany} {10} L \ kubek L & \; = \; & L & & \ quad {\ tekst {(Idempotencja)}} \\ [1,4 ex] L \ nasadka L & \; = \; & & L & & \ quad {\text{ (Idempotencja)}}\\[1.4ex]L\,\triangle \,L&\;=\;&&\varnic &&\quad {\text{(Nilpotencja indeksu 2)}}\\[ 1.4ex]L\setminus L&\;=\;&&\varnic &&\quad {\text{ (Nilpotencja indeksu 2)}}\\[1.4ex]\end{wyrównanydat}}}$$

Dominacja / element zerowy :

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane w} {10} X \ kubek L & \; = \;&& X & \; = \; & L \ kubek X ~~~~ {\ tekst {gdzie}} L \ subseteq X \\ [1,4 ex]\varnic \cap L&\;=\;&&\varnic &\;=\;&L\cap \varnic \\[1.4ex]\varnic \times L&\;=\;&&\varnic &\;=\ ;&L\times \varnothing \\[1.4ex]\varnothing \setminus L&\;=\;&&\varnothing &\;\;&\\[1.4ex]\end{alignedat}}}$$

Ale

$${\ Displaystyle L \ setminus \ varnothing = L}$$

więc ${\textstyle L\setminus \varnothing =\varnothing {\text{jeśli i tylko wtedy, gdy}}L=\varnothing.}$

inwolucji Prawo podwójnego uzupełnienia lub :

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównany} {10} X \ setminus (X \ setminus L) &=L&&\qquad {\text{ Również napisane }}\quad &&\left(L^{\dopełnienie }\right)^{\dopełnienie }=L&&\quad &&{\text{ gdzie }}L\subseteq X\ quad {\text{(prawo podwójnego dopełnienia/inwolucji)}}\\[1.4ex]\end{alignedat}}}$$

$${\ Displaystyle L \ setminus \ varnothing = L}$$

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {4} \ varnothing & = L & & \ setminus L \\& = \ varnothing && \ setminus L \\& =L&&\setminus X~~~~{\text{ gdzie }}L\subseteq X\\\end{wyrównanydat}}}$$

$${\ Displaystyle L ^ {\ dopełnienie} = X \ setminus L \ quad {\ tekst {(definicja notacji)}}}$$

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównany} {10} L \, \ puchar (X \ setminus L) & = X & & \ qquad {\ tekst {również napisany}} \ quad & & L \ kubek$$

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane w} {10} X \ setminus \ varnothing &= X&&\ qquad {\ tekst {również napisane}} \ quad && \ varnothing ^ {\ dopełnienie} = X&& \ quad && {\ tekst {( Prawa uzupełniające dla zbioru pustego))}}\\[1.4ex]X\setminus X&=\varnothing &&\qquad {\text{ Również napisane }}\quad &&X^{\complement }=\varnothing &&\quad &&{ \text{ (Prawa uzupełniające dla zbioru wszechświatów)}}\\[1.4ex]\end{alignedat}}}$$

W grę wchodzą dwa zestawy

Po lewej stronie następujących tożsamości $L$$\ displaystyle L}$ jest najbardziej ustawiony, a najbardziej ustawiony prawo . $, że$ oba podzbiorami pewnego zbioru ${\ Displaystyle X.}$

Formuły binarnych operacji na zbiorach ⋂, ⋃, \ i ∆

Po lewej stronie następujących tożsamości $L$$\ displaystyle L}$ jest najbardziej ustawiony, a najbardziej ustawiony prawo . W razie potrzeby należy założyć, że zarówno ${\ tekst {i}} R}$${\ Displaystyle L ^ {\ dopełnienie}: = X \ setminus L {\ tekst {i}} R ^ {\ dopełnienie}: = X \ setminus R.}$$są$ podzbiorami jakiegoś zbioru wszechświatów tak, że

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane } {9} L \ czapka R&=L&&\,\,\setminus \,&&(L&&\,\,\setminus &&R)\\&=R&&\,\,\setminus \,&&(R&&\,\,\setminus &&L)\\&= L&&\,\,\setminus \,&&(L&&\,\triangle \,&&R)\\&=L&&\,\triangle \,&&(L&&\,\,\setminus &&R)\\\end{alignedat}} }$$

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane w} {9} L \ kubek R & = (&& L \, \ trójkąt \, R) & & \, \, \ kubek &&&& L&&&&\\& = (&& L \, \ trójkąt \, R) && \,\trójkąt \,&&(&&L&&\cap \,&&R)\\&=(&&R\,\setminus \,L)&&\,\,\cup &&&&L&&&&~~~~~{\text{ (suma jest rozłączna )}}\\\koniec{wyrównanydat}}}$$

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane w} {9} L \, \ trójkąt \, R & = & & R \, \ trójkąt \, L & &&&&&&& \\& = (&& L \, \ kubek \, R) && \, \ setminus \, &&(&&L\,\,\cap \,R)&&\\&=(&&L\,\setminus \,R)&&\cup \,&&(&&R\,\,\setminus \,L)&&~~~ ~~{\tekst{ (suma jest rozłączna)}}\\&=(&&L\,\trójkąt \,M)&&\,\trójkąt \,&&(&&M\,\trójkąt \,R)&&~~~~ ~{\text{ gdzie }}M{\text{ jest dowolnym zbiorem. }}\\&=(&&L^{\dopełnienie })&&\,\trójkąt \,&&(&&R^{\dopełnienie })&&\\\koniec{dopasowany do}}}$$

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane w} {9} L \ setminus R&=&& L&& \, \, \ setminus && (L&&\, \\ cap &&R) \\&=&& L&&\, \, \ cap && (L&&\ ,\trójkąt \,&&P)\\&=&&L&&\,\trójkąt \,&&(L&&\,\,\cap &&R)\\&=&&R&&\,\trójkąt \,&&(L&&\,\,\cup &&R )\\\koniec{wyrównanydat}}}$$

Prawa De Morgana

Prawa De Morgana stwierdzają, że ${\ Displaystyle L, R \ subseteq X:}$

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane w} {10} X \ setminus (L \ cap R) & = (X \ setminus L) \ puchar (X \ setminus R) & & \ qquad {\ tekst {również napisane}} \ quad &&(L\cap R)^{\dopełnienie }=L^{\dopełnienie }\cup R^{\dopełnienie }&&\quad &&{\text{ (prawo De Morgana)}}\\[1.4ex]X\ setminus (L\cup R)&=(X\setminus L)\cap (X\setminus R)&&\qquad {\text{ Również napisane }}\quad &&(L\cup R)^{\dopełnienie }=L ^{\complement }\cap R^{\complement }&&\quad &&{\text{(prawo De Morgana)}}\\[1.4ex]\end{alignedat}}}$$

Przemienność

Sumy, przecięcie i różnica symetryczna to operacje przemienne :

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {10} L \ kubek R & \; = \ ;&&R\cup L&&\quad {\text{ (przemienność)}}\\[1.4ex]L\cap R&\;=\;&&R\cap L&&\quad {\text{ (przemienność)}}\\[1.4 ex]L\,\triangle R&\;=\;&&R\,\trójkąt L&&\quad {\text{ (przemienność)}}\\[1.4ex]\end{alignedat}}}$$

Odejmowanie zestawów nie jest przemienne. Jednak przemienność zestawu odejmowania można scharakteryzować: z ${\ Displaystyle (L \ \ setminus \, R) \ cap (R \ \ setminus \, L) =\varnothing }$ wynika z tego, że:

$${\ Displaystyle L \, \ setminus \, R = R \, \ setminus \, L \ quad {\ tekst {jeśli i tylko wtedy, gdy}} \ quad L = R.}$$

Mówiąc inaczej, jeśli różne symbole zawsze reprezentowały różne zestawy, to jedyne prawdziwe formuły postaci ${\ Displaystyle \, \ cdot \, \, \ setminus \, \, \ cdot \, = \, \cdot \,\,\setminus \,\,\cdot \,},$ które można by zapisać, zawierałyby pojedynczy symbol; to znaczy postaci: ${\ Displaystyle S \, \ setminus \, S = S \, \ setminus \, S.}$ Ale takie wzory są koniecznie prawdziwe dla każdego operacja binarna ${\ Displaystyle \, \ ast \,}$ (ponieważ ${\ Displaystyle x \, \ ast \, x = x \, \ ast \, x}$ musi być zgodne z definicją równości ) , a więc w tym sensie odejmowanie zbiorów jest tak diametralnie przeciwne do przemienności, jak to możliwe w przypadku operacji binarnej. Odejmowanie zbiorów również nie jest ani lewą , ani prawą alternatywą ; zamiast tego ${\ Displaystyle (L \ setminus L) \ setminus R = L \ setminus (L \ setminus R)}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle L \ cap R = \ varnothing}$ i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle (R \ setminus L) \ setminus L = R \ setminus (L \ setminus L).}$ Odejmowanie zbiorów jest quasi-przemienne i spełnia tożsamość Jordana .

Inne tożsamości obejmujące dwa zestawy

Prawa absorpcji :

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane dat} {4} L \ kubek (L \ czapka R) & \; = \ ;&&L&&\quad {\text{(Absorpcja)}}\\[1.4ex]L\cap (L\cup R)&\;=\;&&L&&\quad {\text{(Absorpcja)}}\\[1.4 ex]\end{wyrównanydat}}}$$

Inne właściwości

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównany} {10} L \ setminus R & = L \ cap (X \ setminus R) & & \ qquad {\ text {również napisane}} \ quad & & L \ setminus R = L \ cap R ^ { \dopełnienie }&&\quad &&{\text{ gdzie }}L,R\subseteq X\\[1.4ex]X\setminus (L\setminus R)&=(X\setminus L)\cup R&&\qquad {\ tekst{ Również pisane }}\quad &&(L\setminus R)^{\dopełnienie }=L^{\dopełnienie }\cup R&&\quad &&{\text{ gdzie }}R\subseteq X\\[1.4ex] L\setminus R&=(X\setminus R)\setminus (X\setminus L)&&\qquad {\text{ Również napisane }}\quad &&L\setminus R=R^{\dopełnienie }\setminus L^{\dopełnienie }&&\quad &&{\text{ gdzie }}L,R\subseteq X\\[1.4ex]\end{wyrównanydat}}}$$

Interwały :

$${\ Displaystyle (a, b) \ czapka (c, d) = (\ max \ {a, c\},\min\{b,d\})}$$

$${\ Displaystyle [a, b) \ czapka [c, d) = [\ max \ {a, c\},\min\{b,d\})}$$

Podzbiory ⊆ i nadzbiory ⊇

Następujące instrukcje są równoważne dla dowolnego ${\ Displaystyle L, R \ subseteq X:}$

1. ${\ Displaystyle L \ subseteq R}$
2. ${\ Displaystyle L \ czapka R = L}$
3. ${\ Displaystyle L \ kubek R = R}$
4. ${\ Displaystyle L \ \ trójkąt \, R = R \ setminus L}$
5. ${\ Displaystyle L \, \ trójkąt \, R \ subseteq R \ setminus L}$
6. ${\ Displaystyle L \ setminus R = \ varnothing}$
7. ${\ Displaystyle X \ setminus R \ subseteq X \ setminus L \ qquad}$ (to znaczy ${\ Displaystyle R ^ {\ dopełnienie} \ subseteq L ^ {\ dopełnienie}}$ )

Następujące stwierdzenia są równoważne dla dowolnego ${\ Displaystyle L, R \ subseteq X:}$

1. ${\ Displaystyle L \ nie \ subseteq R}$
2. Istnieje jakieś ${\ displaystyle l \ w L \ setminus R.}$

Ustaw równość

Zobacz też: Ekstensjonalność

Następujące instrukcje są równoważne:

1. ${\ Displaystyle L = R}$
2. ${\ Displaystyle L \ \ trójkąt \, R = \ varnothing}$
3. ${\ Displaystyle L \, \ setminus \, R = R \, \ setminus \, L}$

• Jeśli ${\ Displaystyle L \ cap R = \ varnothing}$ wtedy ${\ Displaystyle L = R}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ displaystyle L = \ varnothing = R.}$
• Wyjątkowość dopełnień : Jeśli ${\ textstyle L \ cup R = X {\ text {i}} L \ cap R = \ varnothing}$ to ${\ Displaystyle R =X\zbiórminus L}$

Pusty zestaw

Zbiór jest pusty $L$ zdanie $jest$ notacja $_ \in L}$ jest skrótem dla ${\ Displaystyle \ lnot (x \ w L).}$

Jeśli jest dowolnym zbiorem, to następujące są równoważne: ${\ displaystyle L}$

1. $} nie$$,$ Displaystyle jest puste, ​​zdanie negacja „ $pusta$ ” jest prawdziwa).
2. (W $matematyce$ klasycznej ) jest zamieszkany , co oznacza: ${\ Displaystyle \ istnieje x (x \ w L)}$
   • matematyce konstruktywnej „niepuste” i „zamieszkane” nie są odpowiednik: każdy zamieszkały zbiór nie jest pusty, ale odwrotność nie zawsze jest gwarantowana; to znaczy w konstruktywnej $L}$ zbiór, który nie jest pusty (gdzie z definicji „ $displaystyle$ jest puste” oznacza, że ​​stwierdzenie ${$ prawdziwe) może nie mieć jest ${\ displaystyle x \ w L}$ że x $}$ ).
3. ${\ Displaystyle L \ nie \ subseteq R}$ dla jakiegoś zestawu ${\ Displaystyle R}$

Jeśli jest dowolnym zbiorem, to następujące są równoważne: ${\ displaystyle L}$

1. ${\ Displaystyle L}$ jest pusty ( ${\ Displaystyle L = \ varnothing}$ ), co oznacza: ${\ Displaystyle \ forall x (x \ nie \ w L)}$
2. ${\ Displaystyle L \ kubek R \ subseteq R}$ dla każdego zestawu ${\ Displaystyle R}$
3. ${\ Displaystyle L \ subseteq R}$ dla każdego zestawu ${\ Displaystyle R}$
4. ${\ Displaystyle L \ subseteq R \ setminus L}$ dla niektórych / każdego zestawu ${\ Displaystyle R}$
5. ${\ Displaystyle \ varnothing / L = L}$

Biorąc pod uwagę dowolny ${\ displaystyle x,}$

$${\ Displaystyle x \ not \ in L \ setminus R \ quad {\ tekst {wtedy i tylko wtedy, gdy}} \ quad x \ in L \ cap R \; {\ tekst {lub}} \; x \ not \ in L .}$$

Ponadto,

$${\ Displaystyle (L \ setminus R) \ cap R = \ varnothing \ qquad {\ tekst {zawsze trzyma}}.}$$

Spotkania, łączenia i właściwości sieci

Inkluzja jest porządkiem częściowym : wyraźnie oznacza to, że inkluzja , która jest operacją binarną , ma następujące trzy właściwości: $\ displaystyle \, \ subseteq, \,}$

• Zwrotność : ${\ textstyle L \ subseteq L}$
• Antysymetria : ${\textstyle (L\subseteq R{\text{i }}R\subseteq L){\text{ wtedy i tylko wtedy, gdy }}L= R}$
• Przechodniość : ${\textstyle {\text{If}}L\subseteq M{\text{i }}M\subseteq R{\text{to }}L\subseteq R }$

Poniższe twierdzenie mówi, że dla dowolnego zbioru zbiór mocy uporządkowany przez włączenie jest siatką ograniczoną , a zatem wraz z powyższymi prawami dystrybucji i dopełnienia pokazują, że S , $S$$,$ jest algebrą Boole'a .

Istnienie najmniejszego elementu i największego elementu :

$${\ Displaystyle \ varnothing \ subseteq L \ subseteq X}$$

Łączenia /supremums istnieją :

$${\ Displaystyle L \ subseteq L \ kubek R}$$

Unia jest połączeniem / supremum ${\ Displaystyle$$}$ i $\ Displaystyle R}$ w odniesieniu do ${\ Displaystyle \, \ subseteq \,},$ :

1. ${\ Displaystyle L \ subseteq L \ kubek R}$ i ${\ Displaystyle R \ subseteq L \ kubek R}$ i
2. jeśli jest zbiorem takim, że $subseteq Z}$$\ Displaystyle L \ subseteq Z}$ i $to$ \ ${\ Displaystyle L \ kubek R \ subseteq Z.}$

Przecięcie jest połączeniem / supremum $\ Displaystyle$$L}$ i $R}$ w odniesieniu do ${\ Displaystyle \, \ supseteq. \,}$

Spełnia /infimums istnieje :

$${\ Displaystyle L \ czapka R \ subseteq L}$$

Przecięcie jest spotkaniem / infimum ${\ Displaystyle$$}$ i ${\ Displaystyle R}$ w odniesieniu do ${\ Displaystyle \, \ subseteq \,},$ ponieważ: L ∩

1. ${\ Displaystyle L \ cap R \ subseteq L}$ i L $\ Displaystyle L \ cap R \ subseteq R}$ i
2. Z ${\ Displaystyle Z}$ jest zbiorem takim, że ${\ Displaystyle Z \ subseteq L}$ Z $\ Displaystyle Z \ subseteq R}$ to ${\ Displaystyle Z \ subseteq L \ cap R.}$

Unia jest spotkaniem / infimum ${\ Displaystyle$$L}$ i $\ displaystyle R}$ odniesieniu ${\ Displaystyle \, \ supseteq. \,}$

Inne właściwości inkluzji :

$${\ Displaystyle L \ setminus R \ subseteq L}$$

$${\ Displaystyle (L \ setminus R) \ czapka L = L \ setminus R}$$

• Jeśli ${\ Displaystyle L \ subseteq R}$ to ${\ Displaystyle L \, \ trójkąt \, R = R \ setminus L.}$
• ${\ Displaystyle L \ subseteq X}$ i ${\ Displaystyle R \ subseteq Y}$ to $\ subseteq X \ razy Y}$ R

W grę wchodzą trzy zestawy

Po lewej stronie następujących tożsamości, ${\ displaystyle L}$ jest najbardziej ustawiony, ${\ displaystyle M}$ jest środkowym zestawem, a ${\ displaystyle R}$ jest najbardziej ustawionym na prawo .

Zasady pierwszeństwa

Nie ma uniwersalnej zgody co do kolejności pierwszeństwa operatorów zbioru podstawowego. Niemniej jednak wielu autorów stosuje reguły pierwszeństwa dla operatorów zbiorów, chociaż zasady te różnią się w zależności od autora.

Jedną z powszechnych konwencji jest kojarzenie przecięcia ${\ Displaystyle L \ cap R = \ {x: (x \ in L) \ land (x \ in R) \}}$ ze spójnikiem logicznym (i) ${\ Displaystyle L \ land R}$ i związkiem skojarzonym ${\ Displaystyle L \ kubek R = \ {x: (x \ w L) \ lor (x \ w R) \}}$ z logicznym rozłączeniem (lub) ${\ Displaystyle L \ lor R},$ a następnie przenieść pierwszeństwo tych operatorów logicznych (gdzie $)$ pierwszeństwo przed do tych operatorów zbiorów, dając w ten sposób $, \ lor \,}$${\ Displaystyle \, \ cap \,}$ pierwszeństwo przed ${\ Displaystyle \, \ puchar. \,}$ Więc na przykład ${\ Displaystyle L \ puchar M \ cap R}$ oznaczałoby $}$${\ Displaystyle L \ puchar (M \ cap R}$$_$ stwierdzeniem _ , ${\ Displaystyle L \ kubek M \ nasadka R \ kubek Z}$ oznaczałoby ${\ Displaystyle L \ kubek (M \ nasadka R) \ kubek Z},$ ponieważ byłby powiązany z ${\ Displaystyle L \ lor M \ ziemia R \ lor Z ~ = ~ L \ lor (M \ ziemia R) \ lor Z.}$

$jest$ dopełnienie zestawu (odejmowanie) $logicznym$ związane z (nie) w którym to przypadku będzie miało najwyższy priorytet. $)\}}$${\ Displaystyle L \ setminus R = \ {x: (x \ w L) \ ziemia \ lnot (x \ w$ R jest przepisywane ${\ Displaystyle L \ ziemia \ lnot R}$ tak, że na przykład ${\ Displaystyle L \ puchar M \ setminus R}$ oznaczałoby $setminus R)},$${\ Displaystyle L \ puchar$ ponieważ zostałoby przepisane jako logiczne stwierdzenie, równe $\ lor M \ land \ lnot R}$${\ Displaystyle L \ lor (M \ ziemia \ lnot R).}$ Dla innego przykładu, ponieważ ${\ Displaystyle L \ ziemia \ lnot M \ ziemia R}$ oznacza ${\ Displaystyle L \ ziemia (\ lnot M) \ ziemia R},$ co jest równe zarówno ${\ Displaystyle (L \ ziemia (\ lnot M)) \ ziemia R}$ i ${\ Displaystyle L \ ziemia ((\ lnot M) \ ziemia R) ~ = ~ L \ ziemia (R \ ziemia (\ lnot M)}}$ (gdzie ${\ Displaystyle (\ lnot M) \ land R}$ został przepisany jako ${\ Displaystyle R \ land (\ lnot M)}$ ), wzór ${\ Displaystyle L \ setminus M \ cap R}$ odnosiłby się do zbioru ${\ Displaystyle (L \ setminus M) \ cap R = L \ cap (R \ setminus M);}$ ponadto, ponieważ ${\ Displaystyle L \ land (\ lnot M) \ land R = (L \ land R) \ land \ lnot M,}$ ten zestaw jest również równy ${\ Displaystyle (L \ cap R) \setminus M}$ (inne tożsamości zbiorów można w podobny sposób wydedukować z tożsamości rachunku zdań w ten sposób). Ponieważ jednak odejmowanie zbiorów nie jest asocjacyjne ${\ Displaystyle (L \ setminus M) \ setminus R \ neq L \ setminus (M \ setminus R)}$ formuła taka jak ${\ Displaystyle L \ setminus M \ setminus R}$ byłaby niejednoznaczna; między innymi z tego powodu odejmowaniu zestawów często nie przyznaje się żadnego pierwszeństwa.

${\ Displaystyle L \ trójkąt R = \ {x: (x \ w L) \ oplus (x \ w R) \}$ } jest czasami kojarzony z $,$ lub (xor) czasami również oznaczany przez $w którym to$ , jeśli kolejność pierwszeństwa od najwyższego do najniższego wynosi ${\ Displaystyle \, \ lnot, \, \ oplus, \, \ ziemia, \, \ lor \,}$ wtedy kolejność pierwszeństwa (od najwyższego do najniższego) dla operatorów zbioru byłaby ${\ Displaystyle \, \ setminus, \, \ trójkąt, \, \ cap, \, \ cup.} Nie ma$ powszechnej zgody co do pierwszeństwa wyłącznej dysjunkcji ${\ Displaystyle \, \ oplus \,}$ w odniesieniu do inne spójniki logiczne, dlatego różnica symetryczna ${\ Displaystyle \, \ trójkąt \,}$ nie jest często przypisywany pierwszeństwo.

Asocjatywność

Definicja : Operator binarny $nazywa$ się asocjacyjnym , jeśli ${\ Displaystyle (L \, \ ast \, M) \$ zawsze zachodzi.

Następujące operatory zbiorów są asocjacyjne:

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane w} {5} (L \ kubek M) \ kubek R & \; = \; \; & & L \ kubek (M \ kubek R) \\ [1,4 ex] (L \ czapka M) \ cap R&\;=\;\;&&L\cap (M\cap R)\\[1.4ex](L\,\trójkąt M)\,\trójkąt R&\;=\;\;&&L\,\trójkąt ( M\,\trójkąt R)\\[1.4ex]\end{wyrównanydat}}}$$

W przypadku odejmowania zestawów, zamiast asocjatywności, zawsze gwarantowane są tylko następujące elementy:

$${\ Displaystyle (L \ \ setminus \, M) \ \ setminus \, R \; ~ ~ {\ kolor {czerwony} {\ subseteq}} ~~\;L\,\setminus \,(M\,\setminus \,R)}$$

$warunek$ i tylko wtedy, gdy (ten nie zależy od $M}$ . Zatem ${\ textstyle \; (L \ setminus M) \ setminus R = L \ setminus (M \ setminus R) \;}$ wtedy i tylko wtedy, gdy $(R \ setminus M) \ setminus L = R \ setminus (M \ setminus L) \;}$ gdzie jedyna różnica między równościami zestawu lewej i prawej strony polega na tym lokalizacje ${\ displaystyle L {\ tekst {i}} R}$ zostały zamienione.

Dystrybucja

Definicja : Jeśli ${\ Displaystyle \ ast {\ tekst {i}} \ punktor}$ są operatorami binarnymi , to ${\ Displaystyle \, \ ast \,}$ lewo rozkłada się na ${\ Displaystyle \, \ punktor \,}$ Jeśli

$${\ Displaystyle L \ \ ast \, (M \ \ punktor \, R) ~ = ~ ( L\,\ast \,M)\,\bullet \,(L\,\ast \,R)\qquad \qquad {\text{dla wszystkich }}L,M,R}$$

podczas gdy ${\ Displaystyle \, \ as \,}$ prawo rozkłada się na ${\ Displaystyle \, \ punktor \,}$ jeśli

$${\ Displaystyle (L \ \ punktor \, M) \ \ ast \ R ~ = ~ (L \ \ ast \, R) \ \ punktor \, (M \ \ ast \, R) \ qquad \qquad {\text{dla wszystkich}}L,M,P.}$$

Operator ${\ Displaystyle \, \ as \,}$ rozkłada się na ${\ Displaystyle \, \ punktor \,}$ , jeśli zarówno lewy, jak i prawy rozkładają się na ${\ Displaystyle \, \ punktor \,. \,}$ W powyższych definicjach, aby przekształcić jedną stronę w drugą, najbardziej wewnętrzny operator (operator w nawiasach) staje się najbardziej zewnętrznym operatorem, a najbardziej zewnętrzny operator staje się najbardziej wewnętrznym operatorem.

Prawa rozdzielność :

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane dat} {9} (L \, \ czapka \, M) \, \ kubek \, R ~ & ~ ~ = ~ ~ & & (L \, \ kubek \, R) \, && \cap \,&&(M\,\cup \,R)\qquad &&{\text{ (Rozkład prawostronny }}\,\cup \,{\text{ nad }}\,\cap \,{\ text{)}}\\[1.4ex](L\,\cup \,M)\,\cup \,R~&~~=~~&&(L\,\cup \,R)\,&&\ cup \,&&(M\,\cup \,R)\qquad &&{\text{ (praworozdzielność }}\,\cup \,{\text{ po }}\,\cup \,{\text {)}}\\[1.4ex](L\,\cup \,M)\,\cap \,R~&~~=~~&&(L\,\cap \,R)\,&&\cup \,&&(M\,\cap \,R)\qquad &&{\text{ (Rozkład prawostronny }}\,\cap \,{\text{ nad }}\,\cup \,{\text{ )}}\\[1.4ex](L\,\cap \,M)\,\cap \,R~&~~=~~&&(L\,\cap \,R)\,&&\cap \ ,&&(M\,\cap \,R)\qquad &&{\text{ (Rozkład prawostronny }}\,\cap \,{\text{ nad }}\,\cap \,{\text{) }}\\[1.4ex](L\,\trójkąt \,M)\,\cap \,R~&~~=~~&&(L\,\cap \,R)\,&&\trójkąt \, &&(M\,\cap \,R)\qquad &&{\text{ (Rozkład prawostronny }}\,\cap \,{\text{ po }}\,\triangle \,{\text{)} }\\[1.4ex](L\,\cap \,M)\,\times \,R~&~~=~~&&(L\,\times \,R)\,&&\cap \,&& (M\,\times \,R)\qquad &&{\text{ (Rozkład prawostronny }}\,\times \,{\text{ over }}\,\cap \,{\text{)}} \\[1.4ex](L\,\cup \,M)\,\times \,R~&~~=~~&&(L\,\times \,R)\,&&\cup \,&&( M\,\times \,R)\qquad &&{\text{ (praworozdzielność }}\,\times \,{\text{ over }}\,\cup \,{\text{)}}\ \[1.4ex](L\,\setminus \,M)\,\times \,R~&~~=~~&&(L\,\times \,R)\,&&\setminus \,&&(M \,\times \,R)\qquad &&{\text{ (praworozdzielność }}\,\times \,{\text{ over }}\,\setminus \,{\text{)}}\\ [1.4ex](L\,\cup \,M)\,\setminus \,R~&~~=~~&&(L\,\setminus \,R)\,&&\cup \,&&(M\ ,\setminus \,R)\qquad &&{\text{ (praworozdzielność }}\,\setminus \,{\text{ over }}\,\cup \,{\text{)}}\\[ 1.4ex](L\,\cap \,M)\,\setminus \,R~&~~=~~&&(L\,\setminus \,R)\,&&\cap \,&&(M\, \setminus \,R)\qquad &&{\text{ (praworozdzielność }}\,\setminus \,{\text{ nad }}\,\cap \,{\text{)}}\\[1.4 ex](L\,\triangle \,M)\,\setminus \,R~&~~=~~&&(L\,\setminus \,R)&&\,\triangle \,&&(M\,\ setminus \,R)\qquad &&{\text{ (praworozdzielność }}\,\setminus \,{\text{ nad }}\,\triangle \,{\text{)}}\\[1.4ex ](L\,\setminus \,M)\,\setminus \,R~&~~=~~&&(L\,\setminus \,R)&&\,\setminus \,&&(M\,\setminus \,R)\qquad &&{\text{ (Rozkład prawostronny }}\,\setminus \,{\text{ over }}\,\setminus \,{\text{)}}\\[1.4ex] ~&~~=~~&&~~\;~~\;~~\;~L&&\,\setminus \,&&(M\cup R)\\[1.4ex]\end{wyrównanydat}}}$$

Lewa rozdzielność :

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane dat} {5} L \ kubek (M \ czapka R) &\; = \; \; & & (L \ kubek M) \ czapka (L \ kubek R) \ qquad & & {\ tekst { (Rozkład lewostronny }}\,\cup \,{\text{ over }}\,\cap \,{\text{)}}\\[1,4ex]L\cup (M\cup R)& \;=\;\;&&(L\cup M)\cup (L\cup R)&&{\text{ (rozdzielność lewostronna }}\,\cup \,{\text{ nad }}\,\ cup \,{\text{)}}\\[1.4ex]L\cap (M\cap R)&\;=\;\;&&(L\cap M)\cup (L\cap R)&&{ \text{ (rozdzielność lewostronna }}\,\cap \,{\text{ nad }}\,\cup \,{\text{)}}\\[1.4ex]L\cap (M\cap R )&\;=\;\;&&(L\cap M)\cap (L\cap R)&&{\text{ (rozdzielność lewostronna }}\,\cap \,{\text{ nad }}\ ,\cap \,{\text{)}}\\[1.4ex]L\cap (M\,\triangle \,R)&\;=\;\;&&(L\cap M)\,\triangle \,(L\cap R)&&{\text{ (rozdzielność lewostronna }}\,\cap \,{\text{ over }}\,\triangle \,{\text{)}}\\[1.4 ex]L\times (M\cap R)&\;=\;\;&&(L\times M)\cap (L\times R)&&{\text{ (rozdzielność lewostronna }}\,\times \,{\text{ ponad }}\,\cap \,{\text{)}}\\[1.4ex]L\razy (M\szklanka R)&\;=\;\;&&(L\razy M)\cup (L\times R)&&{\text{ (rozdzielność lewostronna }}\,\times \,{\text{ over }}\,\cup \,{\text{)}}\\ [1,4ex]L\times (M\,\setminus R)&\;=\;\;&&(L\times M)\,\setminus (L\times R)&&{\text{ (rozdzielność lewostronna }}\,\times \,{\text{ over }}\,\setminus \,{\text{)}}\\[1.4ex]\end{alignedat}}}$$

Dystrybucja i różnica symetryczna ∆

Przecięcie rozkłada się na różnicy symetrycznej:

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane {5} L \ \ czapka \, (M \ \ trójkąt \, R) ~ & ~~=~~&&(L\,\cap \,M)\,\trójkąt \,(L\,\cap \,R)~&&~\\[1.4ex]\end{wyrównanedat}}}$$

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane od} {5} (L \ \ trójkąt \, M) \ \ czapka \, R ~ & ~~=~~&&(L\,\cap \,R)\,\trójkąt \,(M\,\cap \,R)~&&~\\[1.4ex]\end{alignedat}}}$$

Unia nie dystrybuuje po różnicy symetrycznej, ponieważ ogólnie gwarantowane są tylko następujące elementy:

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównany} {5} L \ kubek (M \, \ trójkąt \, R) ~ ~ {\ kolor {czerwony} {\ supseteq}} ~ ~ \ kolor {czarny} {\,} ( L\cup M)\,\trójkąt \,(L\cup R)~&~=~&&(M\,\triangle \,R)\,\setminus \,L&~=~&&(M\,\setminus \,L)\,\trójkąt \,(R\,\setminus \,L)\\[1.4ex]\end{wyrównanedat}}}$$

Różnica symetryczna nie rozkłada się na siebie:

$${\ Displaystyle L \, \ trójkąt \, (M \, \ trójkąt \, R) ~ ~ {\ kolor {czerwony }{\neq }}~~\color {czarny}{\,}(L\,\trójkąt \,M)\,\trójkąt \,(L\,\trójkąt \,R)~=~M\,\ trójkąt \,R}$$

$M \, \ trójkąt \, R}$ ogólnie dla dowolnych zbiorów ${\ Displaystyle L {\ tekst {i}} A}$ (gdzie reprezentuje $Displaystyle$ ), $podzbiorem$ ani nadzbiorem (i to samo dotyczy ZA $displaystyle A$$}$ )

Dystrybucja i odejmowanie zbiorów \

Błąd zestawu odejmowania do lewego rozkładu :

Odejmowanie zbiorów jest prawostronnie rozdzielne względem siebie. Jednak odejmowanie zestawów nie pozostaje rozdzielne względem siebie, ponieważ ogólnie gwarantowane są tylko następujące elementy:

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane od} {5} L \ \ setminus \, (M \ \ setminus \,R)&~~{\color {red}{\supseteq }}~~&&\color {black}{\,}(L\,\setminus \,M)\,\setminus \,(L\, \setminus \,R)~~=~~L\cap R\,\setminus \,M\\[1.4ex]\end{wyrównanedat}}}$$

gdzie równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle L \, \ setminus \, M = L \, \ cap \, R},$ co dzieje się wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle L \ cap M \ cap R = \ varnothing {\ text {i}} L \ setminus M \ subseteq R.}$

${\ Displaystyle (L \, \ setminus \, M) \, \ trójkąt \, (L \, \ setminus \, R) = L \, \ czapka \, (M \, \ trójkąt \, R )}$ zbiory i $R$ są zawsze rozłączne. Zatem te dwa zbiory są równe wtedy i tylko wtedy, gdy oba są równe ${\ Displaystyle \ varnothing.}$ Ponadto ${\ Displaystyle L \, \ setminus \, (M \, \ trójkąt \, R) = \ varnothing}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle L \ cap M \ cap R = \ varnothing {\ tekst {i}} L \ subseteq M \ cup R.}$

Aby zbadać lewą rozdzielność odejmowania zbiorów po związkach lub przecięciach, zastanów się, w jaki sposób zbiory zaangażowane w (oba) prawa De Morgana są powiązane:

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane w} {5} (L \ \ setminus \, M) \ \ cap \, (L \ \ setminus \, R) ~ ~ = ~ ~ L \ \ setminus \, (M\,\cup \,R)~&~~{\color {red}{\subseteq }}~~&&\color {black}{\,}L\,\setminus \,(M\,\cap \,R)~~=~~(L\,\setminus \,M)\,\cup \,(L\,\setminus \,R)\\[1.4ex]\end{alignedat}}}$$

zawsze obowiązuje, ale równość nie jest gwarantowana. Równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle L \, \ setminus \, (M \, \ cap \, R) \; \ subseteq \; L \ ,\setminus \,(M\,\cup \,R)}$ co zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle L \, \ czapka \, M = L \, \ czapka \, R.}$

$\ cap \,},$ obserwacja dotycząca praw De Morgana pokazuje, że nie jest pozostawiona rozdzielcza po lub $\ Displaystyle \$$,$ ponieważ tylko ogólnie gwarantowane są:

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane dat} {5} L \ \ setminus \, (M \, \cup \,R)~&~~{\color {red}{\subseteq }}~~&&\color {black}{\,}(L\,\setminus \,M)\,\cup \,( L\,\setminus \,R)~~=~~L\,\setminus \,(M\,\cap \,R)\\[1.4ex]\end{alignedat}}}$$

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane w} {5} L \ \ setminus \, (M \, \cap \,R)~&~~{\color {red}{\supseteq }}~~&&\color {black}{\,}(L\,\setminus \,M)\,\cap \,( L\,\setminus \,R)~~=~~L\,\setminus \,(M\,\cup \,R)\\[1.4ex]\end{alignedat}}}$$

gdzie równość zachodzi dla jednego (lub równoważnie dla obu) z powyższych dwóch wzorów inkluzji wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle L \, \ czapka \, M = L \, \ czapka \, R.}$

Następujące instrukcje są równoważne:

1. ${\ Displaystyle L \ nasadka M \, = \, L \ nasadka R}$
2. ${\ Displaystyle L \, \ setminus \, M \, = \, L \, \ setminus \, R}$
3. ${\ Displaystyle L \, \ setminus \, (M \, \ cap \, R) = (L \, \ setminus \, M) \, \ cap \, (L \, \ setminus \, R);}$ to ∖ ${\ Displaystyle \, \ setminus \,}$ lewy rozkłada się na $\ Displaystyle \, \ cap \,}$ dla tych trzech konkretnych zestawów
4. ${\ Displaystyle L \, \ setminus \, (M \, \ puchar \, R) = (L \, \ setminus \, M) \ \ puchar \, (L \, \ setminus \, R);}$ to ∖ ${\ Displaystyle \, \ setminus \,}$ lewo rozkłada się na te trzy konkretne zestawy $\ Displaystyle \, \ puchar \,}$
5. ${\ Displaystyle L \, \ setminus \, (M \, \ czapka \, R) \, = \, L \, \ setminus \, (M \ ,\kubek \,R)}$
6. ${\ Displaystyle L \ nasadka (M \ filiżanka R) \ = \, L \ nasadka M \ nasadka R}$
7. ${\ Displaystyle L \ nasadka (M \ filiżanka R) ~ \ subseteq ~ M \ nasadka R}$
8. ${\ Displaystyle L \ cap R ~ \ subseteq ~ M \;}$ i ${\ Displaystyle \; L \ cap M ~ \ subseteq ~ R}$
9. ${\ Displaystyle L \ setminus (M \ setminus R) \ = \, L \ setminus (R \ setminus M)}$
10. ${\ Displaystyle L \ setminus (M \ setminus R) \, = \, L \ setminus (R \ setminus M) \, = \, L}$

Quasi-przemienność :

$${\ Displaystyle (L \ setminus M) \ setminus R ~ = ~ (L \ setminus R) \ setminus M \ qquad {\ tekst { (quasi-przemienne)}}}$$

zawsze obowiązuje, ale ogólnie

$${\ Displaystyle L \ setminus (M \ setminus R) ~ ~ {\ kolor {czerwony} {\ neq}} ~~ L \ setminus (R \ setminus M).}$$

${\ Displaystyle L \ setminus (M \ setminus R) ~ \ subseteq ~ L \ setminus (R \ setminus M)}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle L \ cap R ~ \ subseteq ~ M}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle L \ setminus (R \ setminus M) ~ = ~ L.}$

Złożoność odejmowania zestawów : Aby zarządzać wieloma tożsamościami obejmującymi odejmowanie zestawów, ta sekcja została podzielona na podstawie lokalizacji operacji odejmowania zestawów i nawiasów po lewej stronie tożsamości. Duża $do$ w porównaniu z formułami bez niego) wynika częściowo z faktu, że w przeciwieństwie i ${\ displaystyle \ trójkąt, \,}$ odejmowanie zestawów nie jest ani asocjacyjne, ani przemienne, a także nie jest pozostawione rozdzielne po $_$ _

Dwa zestawy odejmowań

Odejmowanie zestawów ogólnie nie jest asocjacyjne:

$${\ Displaystyle (L \ \ setminus \, M) \ \ setminus \, R \; ~ ~ {\ kolor {czerwony} {\ neq}} ~~\;L\,\setminus \,(M\,\setminus \,R)}$$

ponieważ tylko następujące elementy są zawsze gwarantowane:

$${\ Displaystyle (L \ \ setminus \, M) \ \ setminus \, R \; ~ ~ {\ kolor {czerwony} {\ subseteq}} ~ ~ \; L \ \ setminus \, (M \, \setminus \,R).}$$

(L\M)\R

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane w} {4} (L \ setminus M) \ setminus R & = & & L \ setminus (M \ cup R) \\ [0,6ex] & = (&& L \ setminus R) \ setminus M \\[0.6ex]&=(&&L\setminus M)\cap (L\setminus R)\\[0.6ex]&=(&&L\setminus R)\setminus M\\[0.6ex]&=(&&L\ ,\setminus \,R)\,\setminus \,(M\,\setminus \,R)\\[1.4ex]\end{alignedat}}}$$

L\(M\R)

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane {4} L \ setminus (M \ setminus R) & = (L \ setminus M) \ kubek (L\cap R)\\[1.4ex]\end{wyrównanydat}}}$$

• Jeśli ${\ Displaystyle L \ subseteq M {\ tekst {wtedy}} L \ setminus (M \ setminus R) = L \ cap R}$
• ${\ textstyle L \ setminus (M \ setminus R) \ subseteq (L \ setminus M) \ kubek R}$ z równością wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle R \ subseteq L.}$

Jeden zestaw odejmowania

(L\M) ⁎ R

Ustaw odejmowanie po lewej stronie i nawiasy po lewej stronie

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {4} \left(L\setminus M\right)\cup R&=(L\cup R)\setminus (M\setminus R)\\&=(L\setminus (M\cup R))\cup R~~~~ ~{\text{ (najbardziej zewnętrzny związek jest rozłączny) }}\\\end{alignedat}}}$$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane dat} {4} (L \ setminus M) \ cap R & = (&& L \ cap R) \ setminus (M \ cap R) ~ ~ ~ {\ tekst {(Prawo rozdzielności }} \ cap {\text{ over }}\setminus {\text{ )}}\\&=(&&L\cap R)\setminus M\\&=&&L\cap (R\setminus M)\\\end{alignedat} }}$

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane w} {5} (L \ \ setminus \, M) \ \ cap \, (L \ \ setminus \, R) ~ ~ = ~ ~ L \ \ setminus \, (M\,\cup \,R)~&~~{\color {red}{\subseteq }}~~&&\color {black}{\,}L\,\setminus \,(M\,\cap \,R)~~=~~(L\,\setminus \,M)\,\cup \,(L\,\setminus \,R)\\[1.4ex]\end{alignedat}}}$$

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} 4}(L\setminus M)~\trójkąt ~R&=(L\setminus (M\cup R))\cup (R\setminus L)\cup (L\cap M\cap R)~~~{\text { (trzy najbardziej zewnętrzne zbiory są parami rozłączne) }}\\\end{alignedat}}}$$

$${\ Displaystyle (L \ \ setminus M) \ razy R = (L \ razy R) \ \ setminus (M \ razy R)~~~~~{\text{ (Dystrybucja)}}}$$

L \ (M ⁎ R)

Ustaw odejmowanie po lewej , a nawiasy po prawej

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane w} {3} L \ setminus (M \ cup R) & = (L \ setminus M) && \, \ cap \, (&& L \ setminus R) ~~~~ {\ text { (Prawo De Morgana) }}\\&=(L\setminus M)&&\,\,\setminus &&R\\&=(L\setminus R)&&\,\,\setminus &&M\\\end{alignedat} }}$$

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {4} L \ setminus (M \ cap R) & = (L \ setminus M)\cup (L\setminus R)~~~~{\text{ (prawo De Morgana) }}\\\end{wyrównanedat}}}$$

gdzie powyższe dwa zbiory będące podmiotami praw De Morgana zawsze spełniają ${\ Displaystyle L \, \ setminus \, (M \, \ puchar \, R) ~ ~ {\ kolor {czerwony} {\ subseteq}} ~ ~ \ kolor {czarny} {\,} L \, \ setminus \ ,(M\,\cap \,R).}$

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane } {4} L \ setminus (M ~ \triangle ~R)&=(L\setminus (M\cup R))\cup (L\cap M\cap R)~~~{\text{ (najbardziej zewnętrzny związek jest rozłączny) }}\\\end{ wyrównane}}}$$

(L ⁎ M)\R

Ustaw odejmowanie po prawej stronie , a nawiasy po lewej

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane w} {4} (L \ kubek M) \ setminus R & = (L \ setminus R) \ puchar ( M\setminus R)\\\end{wyrównanydat}}}$$

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane 4} (L \ cap M)\setminus R&=(&&L\setminus R)&&\cap (M\setminus R)\\&=&&L&&\cap (M\setminus R)\\&=&&M&&\cap (L\setminus R)\\ \end{wyrównanydat}}}$$

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane dat} {4} (L \, \ trójkąt \ ,M)\setminus R&=(L\setminus R)~&&\triangle ~(M\setminus R)\\&=(L\cup R)~&&\triangle ~(M\cup R)\\\end{ wyrównane}}}$$

L ⁎ (M\R)

Ustaw odejmowanie po prawej stronie i nawiasy po prawej stronie

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane w} {3} L \ kubek (M \ zestawminus R) & = &&&&L&&\ kubek \;&&(M \ zestawminus (R \ kubek L)) &&~~~ {\ tekst {( najbardziej zewnętrzna suma jest rozłączna) }}\\&=[&&(&&L\setminus M)&&\cup \;&&(R\cap L)]\cup (M\setminus R)&&~~~{\text{ ( skrajny związek jest rozłączny) }}\\&=&&(&&L\setminus (M\setminus R))\;&&\;\cup &&(R\cap L)\,\,\cup (M\setminus R)&& ~~~{\text{ (trzy najbardziej zewnętrzne zbiory są parami rozłączne) }}\\\end{alignedat}}}$$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane dat} {4} L \ cap (M \ setminus R) & = (&& L \ cap M) && \ setminus (L \ cap R) ~ ~ ~ {\ tekst {(Prawo rozdzielności }}\cap {\text{ over }}\setminus {\text{ )}}\\&=(&&L\cap M)&&\setminus R\\&=&&M&&\cap (L\setminus R)\\& =(&&L\setminus R)&&\cap (M\setminus R)\\\end{wyrównanydat}}}$

$${\ Displaystyle L \ razy (M \ \ setminus R) = (L \ razy M) \ \ setminus (L \ razy R)~~~~~{\text{ (Dystrybucja)}}}$$

Trzy operacje na trzech zestawach

(L • M) ⁎ (M • R)

Operacje postaci ${\ Displaystyle (L \ punktor M) \ ast (M \ punktor R)}$ :

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane w} {9} (L \ kubek M) &\, \ kubek \, & & (&& M \ kubek R) &&&&\; = \; \;&& L \ kubek M \ kubek R \\ [ 1.4ex](L\cup M)&\,\cap \,&&(&&M\cup R)&&&&\;=\;\;&&M\cap (L\cup P)\\[1.4ex](L\cup M)&\,\setminus \,&&(&&M\cup R)&&&&\;=\;\;&&L\,\setminus \,(M\cup R)\\[1,4ex](L\cup M)& \,\trójkąt \,&&(&&M\cup R)&&&&\;=\;\;&&(L\,\setminus \,(M\cup R))\,\cup \,(R\,\setminus \ ,(L\cup M))\\[1,4ex]&\,&&\,&&\,&&&&\;=\;\;&&(L\,\trójkąt \,R)\,\setminus \,M\ \[1.4ex](L\cap M)&\,\cup \,&&(&&M\cap R)&&&&\;=\;\;&&M\cup (L\cap P)\\[1.4ex](L \cap M)&\,\cap \,&&(&&M\cap R)&&&&\;=\;\;&&L\cap M\cap R\\[1.4ex](L\cap M)&\,\setminus \,&&(&&M\cap R)&&&&\;=\;\;&&(L\cap M)\,\setminus \,R\\[1.4ex](L\cap M)&\,\trójkąt \, &&(&&M\cap R)&&&&\;=\;\;&&[(L\,\cap M)\cup (M\,\cap R)]\,\setminus \,(L\,\cap M\ ,\cap R)\\[1.4ex](L\,\setminus M)&\,\cup \,&&(&&M\,\setminus R)&&&&\;=\;\;&&(L\,\cup M)\,\setminus (M\,\cap \,R)\\[1.4ex](L\,\setminus M)&\,\cap \,&&(&&M\,\setminus R)&&&&\;= \;\;&&\varnic \\[1.4ex](L\,\setminus M)&\,\setminus \,&&(&&M\,\setminus R)&&&&\;=\;\;&&L\,\setminus M\\[1.4ex](L\,\setminus M)&\,\trójkąt \,&&(&&M\,\setminus R)&&&\;=\;\;&&(L\,\setminus M)\cup (M\,\setminus R)\\[1.4ex]&\,&&\,&&\,&&&&\;=\;\;&&(L\,\cup M)\setminus (M\,\cap R) \\[1.4ex](L\,\trójkąt \,M)&\,\cup \,&&(&&M\,\triangle \,R)&&&&\;=\;\;&&(L\,\cup \ ,M\,\cup \,R)\,\setminus \,(L\,\cap \,M\,\cap \,R)\\[1.4ex](L\,\triangle \,M)& \,\cap \,&&(&&M\,\triangle \,R)&&&&\;=\;\;&&((L\,\cap \,R)\,\setminus \,M)\,\cup \ ,(M\,\setminus \,(L\,\cup \,R))\\[1.4ex](L\,\trójkąt \,M)&\,\setminus \,&&(&&M\,\trójkąt \,R)&&&&\;=\;\;&&(L\,\setminus \,(M\,\cup \,R))\,\cup \,((M\,\cap \,R)\ ,\setminus \,L)\\[1,4ex](L\,\trójkąt \,M)&\,\trójkąt \,&&(&&M\,\trójkąt \,R)&&&&\;=\;\;&&L \,\trójkąt \,R\\[1.7ex]\end{wyrównanydat}}}$$

(L • M) ⁎ (R\M)

Operacje postaci ${\ Displaystyle (L \ punktor M) \ ast (R \, \ setminus \, M)}$ :

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane w} {9} (L \ kubek M) & \, \ kubek \, & & (&& R \, \ setminus \, M) &&&&\; = \; \;&& L \ kubek M \ kubek R\\[1.4ex](L\cup M)&\,\cap \,&&(&&R\,\setminus \,M)&&&&\;=\;\;&&(L\cap R)\,\setminus \,M\\[1.4ex](L\cup M)&\,\setminus \,&&(&&R\,\setminus \,M)&&&&\;=\;\;&&M\cup (L\,\setminus \,R)\\[1,4ex](L\cup M)&\,\trójkąt \,&&(&&R\,\setminus \,M)&&&&\;=\;\;&&M\cup (L\,\ trójkąt \,R)\\[1.4ex](L\cap M)&\,\cup \,&&(&&R\,\setminus \,M)&&&&\;=\;\;&&[L\cap (M \cup R)]\cup [R\,\setminus \,(L\cup M)]\qquad {\text{ (jednostka rozłączna)}}\\[1.4ex]&\,&&\,&&\,&&&& \;=\;\;&&(L\cap M)\,\trójkąt \,(R\,\setminus \,M)\\[1.4ex](L\cap M)&\,\cap \,&& (&&R\,\setminus \,M)&&&&\;=\;\;&&\varnic \\[1.4ex](L\cap M)&\,\setminus \,&&(&&R\,\setminus \,M )&&&&\;=\;\;&&L\cap M\\[1.4ex](L\cap M)&\,\trójkąt \,&&(&&R\,\setminus \,M)&&&\;=\;\ ;&&(L\cap M)\cup (R\,\setminus \,M)\qquad {\text{ (jednostka rozłączna)}}\\[1.4ex](L\,\setminus \,M)&\ ,\cup \,&&(&&R\,\setminus \,M)&&&&\;=\;\;&&L\cup R\,\setminus \,M\\[1.4ex](L\,\setminus \,M )&\,\cap \,&&(&&R\,\setminus \,M)&&&\;=\;\;&&(L\cap R)\,\setminus \,M\\[1.4ex](L\ ,\setminus \,M)&\,\setminus \,&&(&&R\,\setminus \,M)&&&&\;=\;\;&&L\,\setminus \,(M\cup R)\\[1.4 ex](L\,\setminus \,M)&\,\trójkąt \,&&(&&R\,\setminus \,M)&&&&\;=\;\;&&(L\,\trójkąt \,R)\ ,\setminus \,M\\[1.4ex](L\,\triangle \,M)&\,\cup \,&&(&&R\,\setminus \,M)&&&&\;=\;\;&&( L\cup M\cup R)\,\setminus \,(L\cap M)\\[1.4ex](L\,\triangle \,M)&\,\cap \,&&(&&R\,\setminus \,M)&&&&\;=\;\;&&(L\cap R)\,\setminus \,M\\[1.4ex](L\,\triangle \,M)&\,\setminus \,&& (&&R\,\setminus \,M)&&&&\;=\;\;&&[L\,\setminus \,(M\cup R)]\cup (M\,\setminus \,L)\qquad {\ text{ (unia rozłączna)}}\\[1.4ex]&\,&&\,&&\,&&&&\;=\;\;&&(L\,\trójkąt \,M)\setminus (L\,\cap R)\\[1.4ex](L\,\trójkąt \,M)&\,\trójkąt \,&&(&&R\,\setminus \,M)&&&&\;=\;\;&&L\,\trójkąt \ ,(M\kielich R)\\[1.7ex]\end{wyrównanydat}}}$$

(L\M) ⁎ (L\P)

Operacje postaci ${\ Displaystyle (L \ \ setminus \, M) \ ast (L \ \ setminus \, R)}$ :

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane dat} {9} (L \, \ setminus M) &\, \ kubek \,&&(&&L \, \ setminus R)&&\;=\;&&L \, \ setminus \, ( M\,\cap \,R)\\[1.4ex](L\,\setminus M)&\,\cap \,&&(&&L\,\setminus R)&&\;=\;&&L\,\setminus \,(M\,\cup \,R)\\[1.4ex](L\,\setminus M)&\,\setminus \,&&(&&L\,\setminus R)&&\;=\;&&( L\,\cap \,R)\,\setminus \,M\\[1.4ex](L\,\setminus M)&\,\triangle \,&&(&&L\,\setminus R)&&\;= \;&&L\,\cap \,(M\,\trójkąt \,R)\\[1.4ex]&\,&&\,&&\,&&\;=\;&&(L\cap M)\,\ trójkąt \,(L\cap R)\\[1.4ex]\end{alignedat}}}$$

Inne uproszczenia

Inne właściwości :

$${\ Displaystyle L \ cap M = R \; {\ tekst {i}} \; L \ cap R = M \ qquad {\ tekst {jeśli i tylko wtedy, gdy}} \ qquad M = R \ subseteq L.}$$

• Jeśli ${\ Displaystyle L \ subseteq M}$ to ${\ Displaystyle L \ setminus R = L \ cap (M \ setminus R).}$
• ${\ Displaystyle L \ razy (M \, \ setminus R) = (L \ razy M) \, \ setminus (L \ razy R) }$
• $Displaystyle L \ subseteq R}$ \ to ${\ Displaystyle M \ setminus R \ subseteq M \ setminus L.}$
• ${\ Displaystyle L \ nasadka M \ nasadka R = \ varnic}$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego ${\ Displaystyle x \ w L \ kubek M \ kubek R}$$displaystyle x}$${\ Displaystyle L, M, {\ tekst {i}} R.}$ należy co najwyżej do dwóch zbiorów

Iloczyny kartezjańskie ⨯ skończenie wielu zbiorów

Binarny ⋂ skończonego ⨯

$${\ Displaystyle (L \ razy R) \ czapka \ lewo (L_ {2} \ razy R_ {2 }\right)~=~\left(L\cap L_{2}\right)\times \left(R\cap R_{2}\right)}$$

$${\ Displaystyle (L \ razy M \ razy R )\cap \left(L_{2}\times M_{2}\times R_{2}\right)~=~\left(L\cap L_{2}\right)\times \left(M\cap M_ {2}\right)\times \left(R\cap R_{2}\right)}$$

Binarny ⋃ skończonego ⨯

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane do} {9} \ lewo (L \ razy R \ prawej) ~ \ kubek ~ \ lewo (L_ {2} \ razy R_ {2} \ prawej) ~ & = ~ \ lewo [\ left(L\setminus L_{2}\right)\times R\right]~\cup ~\left[\left(L_{2}\setminus L\right)\times R_{2}\right]~\cup ~\left[\left(L\cap L_{2}\right)\times \left(R\cup R_{2}\right)\right]\\[0.5ex]~&=~\left[L\ razy \left(R\setminus R_{2}\right)\right]~\cup ~\left[L_{2}\times \left(R_{2}\setminus R\right)\right]~\cup ~ \left[\left(L\cup L_{2}\right)\times \left(R\cap R_{2}\right)\right]\\\end{alignedat}}}$$

Różnica \ skończonych ⨯

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane w {9} \ lewo (L \ razy R \ prawo) ~ \ setminus ~ \ lewo (L_ {2} \ razy R_ {2} \ prawo) ~ & = ~ \ lewo [\ left(L\,\setminus \,L_{2}\right)\times R\right]~\cup ~\left[L\times \left(R\,\setminus \,R_{2}\right)\ prawo]\\\end{wyrównanydat}}}$$

I

$${\ Displaystyle (L \ razy M \ razy R) ~ \ setminus ~ \ lewo (L_ {2} \ razy M_ {2} \ razy R_ {2} \ prawej) ~ = ~ \ lewo [\ lewo (L\,\setminus \,L_{2}\right)\times M\times R\right]~\cup ~\left[L\times \left(M\,\setminus \,M_{2}\right )\times R\right]~\cup ~\left[L\times M\times \left(R\,\setminus \,R_{2}\right)\right]}$$

Skończone ⨯ różnic \

$${\ Displaystyle \ lewo (L \ \ setminus \, L_ { 2}\right)\times \left(R\,\setminus \,R_{2}\right)~=~\left(L\times R\right)\,\setminus \,\left[\left(L_ {2}\razy R\prawo)\kielich \lewo(L\razy R_{2}\prawo)\prawo]}$$

$${\ Displaystyle \ lewo (L \ \ setminus \, L_ {2} \ prawej) \ razy \ lewo (M \ \ setminus \, M_ {2} \ prawej) \ razy \ lewo (R \ ,\setminus \,R_{2}\right)~=~\left(L\times M\times R\right)\,\setminus \,\left[\left(L_{2}\times M\times R \right)\cup \left(L\times M_{2}\times R\right)\cup \left(L\times M\times R_{2}\right)\right]}$$

Różnica symetryczna ∆ i skończona ⨯

$${\ Displaystyle L \ razy \ lewo (R \ \ trójkąt \, R_ {2} \right)~=~\left[L\times \left(R\,\setminus \,R_{2}\right)\right]\,\cup \,\left[L\times \left(R_{2 }\,\setminus \,R\right)\right]}$$

$${\ Displaystyle \ lewo (L \ \ trójkąt \, L_ {2} \ prawo) \times R~=~\left[\left(L\,\setminus \,L_{2}\right)\times R\right]\,\cup \,\left[\left(L_{2}\, \setminus \,L\right)\times R\right]}$$

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane do} {4} \ lewo (L \, \ trójkąt \, L_ {2} \ prawo) \ razy \ lewo (R \, \ trójkąt \, R_ {2} \ prawo) ~ & =~&&&&\,\left[\left(L\cup L_{2}\right)\times \left(R\cup R_{2}\right)\right]\;\setminus \;\left[\left (\left(L\cap L_{2}\right)\times R\right)\;\cup \;\left(L\times \left(R\cap R_{2}\right)\right)\right ]\\[0.7ex]&=~&&&&\,\left[\left(L\,\setminus \,L_{2}\right)\times \left(R_{2}\,\setminus \,R\ right)\right]\,\cup \,\left[\left(L_{2}\,\setminus \,L\right)\times \left(R_{2}\,\setminus \,R\right) \right]\,\cup \,\left[\left(L\,\setminus \,L_{2}\right)\times \left(R\,\setminus \,R_{2}\right)\right ]\,\cup \,\left[\left(L_{2}\,\setminus \,L\right)\cup \left(R\,\setminus \,R_{2}\right)\right]\ \\end{wyrównanydat}}}$$

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane w} {4} \ lewo (L \, \ trójkąt \, L_ {2} \ prawej) \ razy \ lewo (M \, \ trójkąt \, M_ {2} \ prawo) \ razy \left(R\,\trójkąt \,R_{2}\right)~&=~\left[\left(L\cup L_{2}\right)\times \left(M\cup M_{2}\ right)\times \left(R\cup R_{2}\right)\right]\;\setminus \;\left[\left(\left(L\cap L_{2}\right)\times M\times R\right)\;\cup \;\left(L\times \left(M\cap M_{2}\right)\times R\right)\;\cup \;\left(L\times M\times \left(R\cap R_{2}\right)\right)\right]\\\end{wyrównanydat}}}$$

Ogólnie rzecz biorąc, ${\ Displaystyle \ lewo (L \ \ trójkąt \, L_ {2} \ prawo) \ razy \ lewo (R \ \ trójkąt \, R_ { 2}\right)}$ nie musi być podzbiorem ani nadzbiorem ${\ Displaystyle \ lewo (L \ razy R \ prawo) \, \ trójkąt \, \ lewo (L_ {2} \ razy R_ {2} \ prawo).}$

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane w} {4} \ lewo (L \ razy R \ prawo) \, \ trójkąt \, \ lewo (L_ {2} \ razy R_ {2} \ prawo) ~ & = ~ & & \ left(L\times R\right)\cup \left(L_{2}\times R_{2}\right)\;\setminus \;\left[\left(L\cap L_{2}\right)\ razy \left(R\cap R_{2}\right)\right]\\[0.7ex]\end{alignedat}}}$$

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane {4} \ lewo (L \ razy M \ razy R \ prawej) \, \ trójkąt \, \ lewo (L_ {2} \ razy M_ {2 }\times R_{2}\right)~&=~&&\left(L\times M\times R\right)\cup \left(L_{2}\times M_{2}\times R_{2}\ right)\;\setminus \;\left[\left(L\cap L_{2}\right)\times \left(M\cap M_{2}\right)\times \left(R\cap R_{2 }\right)\right]\\[0.7ex]\end{wyrównanydat}}}$$

Dowolne rodziny zbiorów

Niech ${\ Displaystyle \ lewo (L_ {i} \ prawej) _ {i \ w ja}}$${\ Displaystyle \ lewo (R_ {j} \ prawo) _ {j \ w J.},}$ i ${\ Displaystyle \ lewo (S_ {i, j} \ prawo) _ {(i, j) \ w I\times J}}$ być indeksowanymi rodzinami zbiorów . Ilekroć potrzebne jest założenie, zakłada się, że wszystkie $zestawy$$indeksujące$ , takie jak i niepuste

Definicje

Rodzina zbiorów lub (krócej) rodzina odnosi się do zbioru, którego elementami są zbiory.

Indeksowana rodzina zbiorów jest funkcją z pewnego zbioru, zwanego jego zbiorem indeksującym , do pewnej rodziny zbiorów. Indeksowana rodzina zbiorów będzie oznaczona przez ${\ Displaystyle \ lewo (L_ {i} \ prawo) _ {i \ in I},}$ gdzie ta notacja przypisuje symbol ${\ displaystyle I }$ dla zestawu indeksowania i dla każdego indeksu ${\ Displaystyle i \ in I,}$ przypisuje symbol ${\ Displaystyle L_ {i}}$ do wartości funkcji w ${\ Displaystyle i.}$$L_ {} ja} \ prawej) _ {i \ in I}},$ ) ja $\$$punktora$ indeks symbolem ${\ Displaystyle \ punktor \,;}$ wyraźnie, ${\ Displaystyle L _ {\ punktor}}$ to funkcja:

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane } {4} L _ {\ punktor}: \; && ja &&\; \ do \;&\ lewo \ {L_ {i}:i\in I\right\}\\[0.3ex]&&i&&\;\mapsto \;&L_{i}\\\end{alignedat}}}$$

co można podsumować pisząc ${\ Displaystyle L_ {\ punktor} = \ lewo (L_ {i} \ prawo) _ {i \ w I}.}$

Dowolna dana indeksowana rodzina zbiorów ${\ Displaystyle L _ {\ punktor} = \ lewo (L_ {i} \ prawo) _ {i \ w I}}$ (która jest funkcją ) może $_ \right\}}$ kanonicznie (która jest rodziną zbiorów). I odwrotnie, dowolna dana rodzina zbiorów $∈$${B \in {\mathcal {B}}},}$$b$ b , która jest technicznie mapą tożsamości ${\ Displaystyle {\ mathcal {B}} \ do {\ mathcal {B}}.}$ Jednak nie jest to bijektywna zgodność, ponieważ indeksowana rodzina zbiorów ${\ Displaystyle L _ {\ punktor} = \ lewo (L_ {i} \ prawo) _ {i \ in I}}$ nie musi być iniekcyjne (to znaczy mogą istnieć różne indeksy ${\ Displaystyle i \ neq j},$$Displaystyle L_ {i} = L_ {j$ ) , co w szczególności oznacza, że ​​​​dla różnych indeksowanych rodzin zbiorów (które są funkcjami) możliwe jest L ja = L jot { być powiązane z tą samą rodziną zestawów (poprzez posiadanie tego samego obrazu/zakresu).

Zdefiniowane arbitralne związki

$${\ Displaystyle \ bigcup _ {i \ w I} L_ {i} ~ ~ \ dwukropek = ~ \ {x ~: ~{\text{ istnieje }}i\w I{\text{ takie, że }}x\w L_{i}\}}$$

 

 

 

 

()

ja $\ Displaystyle I = \ varnothing}$${\ Displaystyle \ bigcup _ {i \ in \ varnothing }L_{i}=\{x~:~{\text{ istnieje }}i\in \varnothing {\text{ takie, że }}x\in L_{i}\}=\varnothing ,} czyli$ wtedy coś zwana zerową konwencją związkową (mimo że nazywa się to konwencją, równość ta wynika z definicji).

Jeśli jest rodziną zbiorów, to $oznacza$${\ displaystyle {\ mathcal {B}}$ :

$${\ Displaystyle \ bigcup {\ mathcal {B}} ~ ~ \ dwukropek = ~ \ bigcup _ {B \ w B} B ~ ~ \ dwukropek = ~ \ {x ~: ~ {\ tekst {istnieje}} B \ w B{\text{ takie, że }}x\in {\mathcal {B}}\}.}$$

Zdefiniowane dowolne przecięcia

Jeśli ${\ Displaystyle I \ neq \ varnothing}$ wtedy

$${\ Displaystyle \ bigcap _ {i \ w I} L_ {i} ~ ~ \ okrężnica = ~ \ {x ~: ~ x \ w L_ {i} {\ tekst {dla każdego}} i \ w I \} ~ =~\{x~:~{\text{dla wszystkich }}i,{\text{jeśli }}i\in I{\text{to }}x\in L_{i}\}.}$$

 

 

 

 

()

Jeśli jest niepustą rodziną zbiorów, to oznacza zbiór: ${\ Displaystyle$${\ mathcal {B}} \ neq \$

$${\ Displaystyle \ bigcap {\ mathcal {B}} ~ ~ \ dwukropek = ~ \ bigcap _ {B \ w B} B ~ ~ \ dwukropek = ~ \ {x ~: ~ x \ w B {\ tekst {dla każdego }}B\in {\mathcal {B}}\}~=~\{x~:~{\text{dla wszystkich }}B,{\text{if }}B\in {\mathcal{B}} {\text{ wtedy }}x\w B\}.}$$

Skrzyżowania zerowe

Jeśli ${\ Displaystyle I = \ varnothing}$ wtedy

$${\ Displaystyle \ bigcap _ {i \ w \ varnothing} L_ {i} = \ {x ~: ~ {\ text{ for all }}i,{\text{ if }}i\in \varnic {\text{ then }}x\in L_{i}\}}$$

gdzie każda możliwa rzecz $Displaystyle$ wszechświecie bezmyślnie spełniała warunek: „jeśli wtedy $i \ in \ varnothing},$ to ${\ Displaystyle x \ in L_ {i}}$ ". W konsekwencji ${\ Displaystyle {\ textstyle \ bigcap \ ograniczenia _ {i \ w \ varnothing}} L_ {i} = \ {x: {\ tekst {prawda}} \ }}$ składa się z wszystko we wszechświecie.

Więc jeśli ${\ Displaystyle I = \ varnothing}$ i:

1. jeśli pracujesz w modelu , w ${\ Displaystyle {\ textstyle \ bigcap \ limits _ {i \ in \ varnothing}} L_ {i} = \ {x ~: ~ x \ in L_ {i} {\ text {dla każdego}} ja \ in \ varnothing \}~=~X.}$ istnieje jakiś zbiór wszechświatów $,$ to
2. w przeciwnym razie, jeśli pracujesz w modelu , w którym „klasa wszystkich rzeczy $nie$ jest zbiorem (zdecydowanie najczęstsza sytuacja), to ${\ displaystyle {\ textstyle \ bigcap \ limits _ {i \ in \ varnothing}} L_ {i}}$ jest niezdefiniowany , ponieważ ${\ Displaystyle {\ textstyle \ bigcap \ limits _ {i \ in \ varnothing}} L_ {i}}$ składa się ze wszystkiego , co sprawia, że ${\ Displaystyle {\ textstyle \ bigcap \ ograniczenia _ {i \ in \ varnothing}} L_ {i}}$ właściwa klasa , a nie zbiór.

Założenie : odtąd, ilekroć formuła wymaga, aby jakiś zestaw indeksowania był niepusty, aby dowolne przecięcie było dobrze zdefiniowane, zostanie to automatycznie przyjęte bez wzmianki.

Konsekwencją tego jest następujące założenie/definicja:

Skończone przecięcie zbiorów lub przecięcie skończenie wielu zbiorów odnosi się do przecięcia skończonego zbioru jednego lub większej liczby zbiorów.

Niektórzy autorzy przyjmują tak zwaną konwencję przecięć zerowych , czyli konwencję, że puste przecięcie zbiorów jest równe jakiemuś zbiorowi kanonicznemu. W szczególności, jeśli wszystkie zbiory są podzbiorami jakiegoś zbioru, $jakiś$ autor może zadeklarować, że puste przecięcie tych zbiorów będzie równe ${\ Displaystyle X.}$ Jednak konwencja zerowego skrzyżowania nie jest tak powszechnie akceptowana jak konwencja zerowego związku i ten artykuł nie zostanie przyjęty (wynika to z faktu, że w przeciwieństwie do pustego związku, wartość pustego skrzyżowania zależy od X {\ displaystyle $}$ więc jeśli rozważanych jest wiele zestawów, co zwykle ma miejsce, wówczas wartość pustego przecięcia może stać się niejednoznaczna).

Wiele zestawów indeksów

$${\ Displaystyle \ bigcup _ {\ stackrel {i \ w ja,} {j \ w J} }S_{i,j}~~\colon =~\bigcup _{(i,j)\in I\times J}S_{i,j}}$$

$${\ Displaystyle \ bigcap _ {\ stackrel {i \ w ja,} {j \ w J} }S_{i,j}~~\colon =~\bigcap _{(i,j)\in I\times J}S_{i,j}}$$

Dystrybucja związków i skrzyżowań

Binarne ⋂ dowolnych ⋃

$${\ Displaystyle \ lewo (\ bigcup _ {i \ w I} L_ {i} \ prawej) \ czapka R ~ = ~ \ bigcup _{i\in I}\left(L_{i}\cap R\right)}$$

 

 

 

 

()

I

$${\ Displaystyle \ lewo (\ bigcup _ {i \ w ja} L_ { i}\right)\cap \left(\bigcup _{j\in J}R_{j}\right)~=~\bigcup _{\stackrel {i\in I,}{j\in J}}\ left(L_{i}\cap R_{j}\right)}$$

 

 

 

 

()

• Jeśli wszystkie ${\ Displaystyle \ lewo (L_ {i} \ prawej) _ {i \ w ja}}$ są rozłączne parami i wszystkie ${\ Displaystyle \ lewo (R_ { j}\right)_{j\in J}}$ są również rozłączne parami, więc wszystkie ${\ Displaystyle \ lewo (L_ {i} \ czapka R_ {j} \ prawo) _ {(i, j) \ w I \ razy J}} (to znaczy,$ jeśli ${\ Displaystyle (i, j) \ neq \ lewo (i_ {2}, j_ {2} \ prawej)}$ wtedy ${\ Displaystyle \ lewo (L_ {i} \ cap R_ {j} \ prawej) \ cap \ lewo (L_ {i_ {2}} \ cap R_ {j_ {2}} \ prawej) = \ varnothing})$ .

• Co ważne , jeśli ${\ displaystyle I = J}$ to ogólnie, ja = jot {\ displaystyle I = J}
  $${\ Displaystyle ~ \ lewo (\ bigcup _ {i \ w ja} L_ {i} \ right)\cap \left(\bigcup _{i\in I}R_{i}\right)~~\color {Czerwony}{\neq }\color {Czarny}{}~~\bigcup _{i\in I}\left(L_{i}\cap R_{i}\right)~}$$
  ( przykład tego podano poniżej). Pojedynczy związek po prawej stronie musi obejmować wszystkie pary ${\ Displaystyle (i, j) \ w I \ razy ja:}$
  $${\ Displaystyle ~ \ lewo (\ bigcup _ {i \ w I} L_ {i} \ prawej) \ cap \ lewo (\ bigcup _ {i \ w I} R_ {i} \ prawej) ~ ~ = ~ ~ \ bigcup _{\stackrel {i\in I,}{j\in I}}\left(L_{i}\cap R_{j}\right).~}$$
  samo dotyczy zwykle innych podobnych nietrywialnych zestawów równości i relacji, które zależą od dwóch (potencjalnie niepowiązanych) zestawów indeksujących ( $4b$ jak $równanie$ lub 7g ). Dwa wyjątki to Eq. 2c (związki związków) i Eq. 2d (przecięcia przecięć), ale obie należą do najbardziej trywialnych ze zbiorów równości, a ponadto nawet dla tych równości jest jeszcze coś, co trzeba udowodnić.
• Przykład, w którym równość zawodzi : Niech ${\ Displaystyle X \ neq \ varnothing}$ i niech ${\ Displaystyle I = \ {1,2 \}.}$ Niech ${\ Displaystyle L_ {1} \ okrężnica = R_ {2} \ okrężnica = X}$ i niech ${\ Displaystyle L_ {2} \ okrężnica = R_ {1} \ okrężnica = \ varnothing.}$ Następnie
  $${\ Displaystyle X = X \ czapka X = \ lewo (L_ {1} \ kubek L_ {2} \ prawo) \ czapka \ lewo (R_ {2} \ kubek R_ {2} \ prawo) = \ lewo (\ duży kubek _{i\in I}L_{i}\right)\cap \left(\bigcup _{i\in I}R_{i}\right)~\neq ~\bigcup _{i\in I}\left (L_{i}\cap R_{i}\right)=\left(L_{1}\cap R_{1}\right)\cup \left(L_{2}\cap R_{2}\right)= \varnic \cup \varnic =\varnic .}$$
  Ponadto,
  $${\ Displaystyle \ varnothing = \ varnothing \ kubek \ varnothing = \ lewo (L_ {1} \ czapka L_ {2} \ prawo) \ kubek \ lewo (R_ {2} \ czapka R_ {2} \ prawo) = \ lewo (\bigcap _{i\in I}L_{i}\right)\cup \left(\bigcap _{i\in I}R_{i}\right)~\neq ~\bigcap _{i\in I }\left(L_{i}\cup R_{i}\right)=\left(L_{1}\cup R_{1}\right)\cap \left(L_{2}\cup R_{2}\ po prawej)=X\cap X=X.}$$

Binarne ⋃ dowolnych ⋂

$${\ Displaystyle \ lewo (\ bigcap _ {i \ w I} L_ {i} \ prawej) \ kubek R ~ = ~ \ bigcap _{i\in I}\left(L_{i}\cup R\right)}$$

 

 

 

 

()

I

$${\ Displaystyle \ lewo (\ bigcap _ {i \ w ja} L_ { i}\right)\cup \left(\bigcap _{j\in J}R_{j}\right)~=~\bigcap _{\stackrel {i\in I,}{j\in J}}\ left(L_{i}\kielich R_{j}\right)}$$

 

 

 

 

()

• Co ważne , jeśli ${\ displaystyle I = J}$ to ogólnie, ja = jot {\ displaystyle I = J}
  $${\ Displaystyle ~ \ lewo (\ bigcap _ {i \ w I} L_ {i} \ right)\cup \left(\bigcap _{i\in I}R_{i}\right)~~\color {Red}}{\neq }\color {Black}{}~~\bigcap _{i\in I}\left(L_{i}\kielich R_{i}\right)~}$$
  ( przykład tego podano powyżej). Pojedyncze skrzyżowanie po prawej stronie musi znajdować się nad wszystkimi parami ${\ Displaystyle (i, j) \ w I \ razy ja:}$
  $${\ Displaystyle ~ \ lewo (\ bigcap _ {i \ w I} L_ {i} \ prawej) \ kubek \ lewo (\ bigcap _ {i \ w I} R_ {i} \ prawej) ~ ~ = ~ ~ \ bigcap _{\stackrel {i\in I,}{j\in I}}\left(L_{i}\cup R_{j}\right).~}$$

Arbitralne ⋂ i dowolne ⋃

Nieprawidłowa dystrybucja przez zamianę ⋂ i ⋃

Naiwnie zamiana $ja {\ Displaystyle \$ jot $\ bigcap \ limity _ {$ może dać inny zestaw

Zawsze zachodzi następująca inkluzja:

$${\ Displaystyle \ bigcup _ {i \ w ja} \ lewo (\ bigcap _ {j \ \ w J}S_{i,j}\right)~~\color {Red}{\subseteq }\color {Black}{}~~\bigcap _{j\in J}\left(\bigcup _{i\ w I}S_{i,j}\right)}$$

 

 

 

 

()

Ogólnie rzecz biorąc, równość nie musi się utrzymywać, a ponadto prawa strona zależy od tego, jak dla każdego ustalonego zestawu ja $\ Displaystyle i \ in ja,}$${\ displaystyle \ lewo ( S_{i,j}\right)_{j\in J}}$ są oznaczone; $oznaczone$ analogicznie lewa strona zależy od tego, $ja$ zbioru . Przykład demonstrujący to jest teraz podany.

• Przykład zależności od etykietowania i niepowodzenia równości : Aby zobaczyć $\ cap}$ dlaczego równość nie musi obowiązywać, gdy i ${\ displaystyle$ są zamienione, niech ${ \ Displaystyle I \ okrężnica = J \ okrężnica = \ {1,2 \},}$ i niech ${\ Displaystyle S_ {11} = \ {1,2 \}, ~ S_ {12} = \ {1,3 \}, ~ S_ {21} = \ { 3,4\},}$ i ${\ Displaystyle S_ {22} = \ {2,4 \}.}$ Następnie
  $${\ Displaystyle \ {1,4 \} = \ {1 \} \ kubek \ {4 \} = \ lewo (S_ {11} \ czapka S_ {12} \ prawo) \ kubek \ lewo (S_ {21} \ cap S_{22}\right)=\bigcup _{i\in I}\left(\bigcap _{j\in J}S_{i,j}\right)~\neq ~\bigcap _{j\in J}\left(\bigcup _{i\in I}S_{i,j}\right)=\left(S_{11}\cup S_{21}\right)\cap \left(S_{12}\ kubek S_{22}\prawo)=\{1,2,3,4\}.}$$
  Jeśli ${\ Displaystyle S_ {11}}$ i ${\ Displaystyle S_ {21}}$ są zamienione, podczas gdy ${\ Displaystyle S_ {12}}$ i ${\ Displaystyle S_ {22}}$ są niezmienione, co daje początek zbiorom ${\ Displaystyle {\ kapelusz {S}} _ {11} \ dwukropek = \ {3,4 \} ~ {\ kapelusz {S}} _ {12} \ dwukropek = \ {1,3 \}, ~ {\ kapelusz {S}} _ {21} \ dwukropek = \ {1,2 \},} i$ S $\ Displaystyle {\ kapelusz { S}}_{22}\dwukropek =\{2,4\},}$ wtedy
  $${\ Displaystyle \ {2,3 \} = \ {3 \} \ kubek \ {2 \} = \ lewo ({\ kapelusz {S}} _ {11} \ czapka {\ kapelusz {S}} _ {12 }\right)\cup \left({\hat {S}}_{21}\cap {\hat {S}}_{22}\right)=\bigcup _{i\in I}\left(\ bigcap _{j\in J}{\hat {S}}_{i,j}\right)~\neq ~\bigcap _{j\in J}\left(\bigcup _{i\in I}{ \hat {S}}_{i,j}\right)=\left({\hat {S}}_{11}\cup {\hat {S}}_{21}\right)\cap \left ({\kapelusz {S}}_{12}\kielich {\kapelusz {S}}_{22}\right)=\{1,2,3,4\}.}$$
  W szczególności lewa strona już nie jest, ${\textstyle \bigcup \limits _{i\in I}}\;{\textstyle \bigcap \limits _{j\in J}}S_{i,j}} zależy od sposobu etykietowania zestawów$$że$ ⋃ $\$ . Jeśli zamiast tego ${\ Displaystyle S_ {11}}$ i ${\ Displaystyle S_ {12}}$ zamieniane, podczas gdy i ${\ Displaystyle S_ {22}}$$pozostają$ , co daje zestawy ${\ Displaystyle {\ overline {S}} _ {11} \ okrężnica = \ {1,3 \}, ~ {\ overline {S}} _ {12} \ okrężnica = \ {1,2 \}, ~ { \ overline {S}} _ {21} \ okrężnica = \ {3,4 \},}$ i ${\ Displaystyle {\ overline {S}} _ {22} \ dwukropek =\{2,4\},}$ to zarówno lewa, jak i prawa strona są równe ${\ Displaystyle \ {1,4 \}},}$ co pokazuje, że prawa strona również zależy o sposobie oznaczania zestawów.

Równość w inkluzji 1 ∪∩ jest podzbiorem ∩∪, który może zachodzić w pewnych okolicznościach, na przykład w 7e , co jest szczególnym przypadkiem, w którym ${\ Displaystyle \ lewo ( S_{i,j}\right)_{(i,j)\in I\times J}}$ jest ${\ Displaystyle \ lewo (L_ {i} \ setminus R_ {j} \ prawo) _ {(i, j) \ w I \ razy J}} ($ czyli ${ \ displaystyle S_ {i, j} \ okrężnica = L_ {i} \ setminus R_ {j}}$ z tymi samymi zestawami indeksowania ${\ Displaystyle I}$ i ${\ Displaystyle J}$ ) lub tak jak w 7f , czyli szczególny przypadek ${\ Displaystyle \ lewo (S_ {i, j} \ prawo) _ {(i, j) \ w ja \ razy J}}$ jest ${\ Displaystyle \ lewo (L_ {i} \ setminus R_ {j} \ prawo) _ {(j, i) \ w J \ razy I}} ($ czyli ${\ Displaystyle {\ kapelusz {S}} _ {j, i} \ dwukropek = L_ {i} \ setminus R_ {j}}$ z zestawami $zamienionymi$ i $)$$.$$,$ potrzebne jest podejście inne niż zwykłe przełączanie

Prawidłowe prawa dystrybucji

$ja},}$ że dla każdego $\$ zestawem indeksów i dla każdego $Displaystyle$$j \ w$ niech ${\ Displaystyle T_ {i, j}}$ będzie dowolnym zbiorem (na przykład, aby zastosować to prawo do ${\ Displaystyle \ lewo (S_ {i, j} \ prawo) _ {(i, j) \ w I \ razy J}}$ użyj ${\ displaystyle J_ {i} \ dwukropek = J}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle i \ in I}$ i użyj ${\ Displaystyle T_ {i, j} \ dwukropek = S_ {i, j}}$ dla wszystkich ${ \displaystyle i\in I}$ i wszystkie ${\ Displaystyle j \ w J_ {i} = J}$ ). Pozwalać

$${\ Displaystyle {\ textstyle \ prod} J _ {\ punktor} ~ \ dwukropek = ~ \ prod _ {i \ w I} J_ {i}}$$

oznaczyć iloczyn kartezjański , który można interpretować jako zbiór wszystkich funkcji ${\ Displaystyle f ~: ~ I ~ \ do ~ {\ textstyle \ bigcup \ ograniczenia _ {i \ in ja }} J_ {i}}$ takie, że ${\ Displaystyle f (i) \ w J_ {i}}$ dla każdego ${\ Displaystyle i \ in I.}$ Taką funkcję można również oznaczyć za pomocą notacji krotki ${\ Displaystyle \ lewo (f_ {i} \ prawo) _ {i \ w ja}}$ gdzie ${\ Displaystyle f_ {i}: = f (i)}$ dla każdy ${\ Displaystyle i \ in I}$ i odwrotnie, krotka ${\ Displaystyle \ lewo (f_ {i} \ prawo) _ {i \ in I}}$ jest tylko zapisem dla funkcja z domeną, ${\ displaystyle I}$ wartość w ${\ displaystyle i \ w ja}$ jest ${\ Displaystyle f_ {i};}$ obu notacji można użyć do oznaczenia elementów ${\ Displaystyle {\ textstyle \ prod} J_ {\ punktor}.}$ Następnie

$${\ Displaystyle \ bigcap _ {i \ w I} \ lewo [ \;\bigcup _{j\in J_{i}}T_{i,j}\right]=\bigcup _{f\in \prod J_{\bullet }}\left[\;\bigcap _{i\ w I}T_{i,f(i)}\right]}$$

 

 

 

 

()

$${\ Displaystyle \ bigcup _ {i \ w ja} \ lewo [ \;\bigcap _{j\in J_{i}}T_{i,j}\right]=\bigcap _{f\in \prod J_{\bullet }}\left[\;\bigcup _{i\ w I}T_{i,f(i)}\right]}$$

 

 

 

 

()

gdzie ${\ Displaystyle {\ textstyle \ prod} J_ {\ punktor} ~ \ dwukropek = ~ {\ textstyle \ prod \ limity _ {i \ w I}} J_ {i}.}$

Stosowanie praw rozdzielności

Przykład zastosowania ${\ Displaystyle i, i_ {2} \ w ja,} co ma$ w szczególnym przypadku, gdy wszystkie są równe (to znaczy dla wszystkich $=$$J_ {i_ {2}}}$ w przypadku rodziny $wspólnego$$\ Displaystyle \ lewo (S_ {i, j} \ prawo) _ {(i, j) \ w I \ razy J},} na przykład), a następnie pozwalając na oznaczenie$ tego zestawu, kartezjańskiego produkt będzie ${\ Displaystyle {\ textstyle \ prod} J _ {\ punktor} ~ \ dwukropek = ~ {\ textstyle \ prod \$ jest zbiór wszystkich funkcji postaci ${\ Displaystyle f ~: ~ I ~ \ do ~ J.}$ Powyższe równania ustawione Eq. 5 ∩∪ do ∪∩ i równanie. 6 ∪∩ do ∩∪ odpowiednio stają się:

$${\ Displaystyle \ bigcap _ {i \ w ja} \; \ bigcup _ {j \ w J}S_{i,j}=\bigcup _{f\in J^{I}}\;\bigcap _{i\in I}S_{i,f(i)}}$$

$${\ Displaystyle \ bigcup _ {i \ w ja} \; \ bigcap _ {j \ w J}S_{i,j}=\bigcap _{f\in J^{I}}\;\bigcup _{i\in I}S_{i,f(i)}}$$

co w połączeniu z Inkluzją 1 ∪∩ jest podzbiorem ∩∪ implikuje:

$$S_ {i, j} ~ = ~ \ bigcap _ {f \ w J ^ {ja} }\;\bigcup _{i\in I}S_{i,f(i)}~~\color {Czerwony}{\subseteq }\color {Czarny}{}~~\bigcup _{g\in I^ {J}}\;\bigcap _{j\in J}S_{g(j),j}~=~\bigcap _{j\in J}\;\bigcup _{i\in I}S_{i ,J}}$$

Gdzie

• po lewej stronie indeksy ${\ Displaystyle f {\ tekst {i}} i}$ mieszczą się w zakresie ${\ displaystyle f \ w J ^ {I} {\ tekst {i }} ja \ w ja}$ (więc indeksy dolne ${\ Displaystyle S_ {i, f (i)}}$ obejmują ${\ Displaystyle i \ w ja {\ tekst {i}} f (i) \ w f (ja) \ subseteq J}$ )
• po prawej stronie indeksy ${\ displaystyle g {\ tekst {i}} j}$ mieszczą się w zakresie ${\ displaystyle g \ w ja ^ {J} {\ tekst {i }} j \ w J}$ (więc indeksy dolne ${\ Displaystyle S_ {g (j), j}}$ obejmują ${\ Displaystyle j \ w J {\ tekst {i}} g (j) \ w g (J) \ subseteq I}$ ).

Przykład zastosowania : Aby zastosować ogólny wzór do przypadku ${\ Displaystyle \ lewo (C_ {k} \ prawej) _ {k \ in K}}$ i ${ \ Displaystyle \ lewo (D_ {l} \ prawo) _ {l \ w L},}$ użyj $\ Displaystyle I \ dwukropek = \ {1,2 \},}$ ${\ Displaystyle J_ {1} \ dwukropek = K,}$${\ Displaystyle J_ {2} \ dwukropek = L,}$ i niech $k}}$${\ Displaystyle T_ {1, k$$l}}$ dla wszystkich $T$ l $\ Displaystyle T_ {2, l} \ dwukropek = D_$ dla wszystkich ${\ Displaystyle l \ w J_ {2}.}$ Każda mapa ${\ Displaystyle f \ w {\ textstyle \ prod} J_ {\bullet }~\colon =~{\textstyle \prod \limits _{i\in I}}J_{i}=J_{1}\times J_{2}=K\times L} można$ bijektywnie utożsamiać z para ${\ Displaystyle \ lewo (f (1), f (2) \ prawej) \ w K \ razy L}$${\ Displaystyle ( ( k, l) \ w K \ razy L}$ odwrotność wysyła do mapy ${\ Displaystyle f _ {(k, l)} \ w {\ textstyle \ prod} J_ {\ punktor}}$ zdefiniowany przez ${\ Displaystyle 1 \ mapsto k}$ i ${\ Displaystyle 2 \ mapsto l;}$ jest to technicznie tylko zmiana notacji). Przypomnij sobie, że równ. 5 ∩∪ do ∪∩ było

$${\ Displaystyle ~ \ bigcap _ {i \ w I} \; \ bigcup _ {j \ w J_ {i}} T_ {i, j} = \ bigcup _ {f \ w {\ textstyle \ prod} J_ {\ punktor }}\;\duże kapitaliki _{i\w I}T_{i,f(i)}.~}$$

Rozwinięcie i uproszczenie lewej strony daje

$${\ Displaystyle \ bigcap _ {i \ w I} \; \ bigcup _ {j \ w J_ {i}} T_{i,j}=\left(\bigcup _{j\in J_{1}}T_{1,j}\right)\cap \left(\;\bigcup _{j\in J_{2}} T_{2,j}\right)=\left(\bigcup _{k\in K}T_{1,k}\right)\cap \left(\;\bigcup _{l\in L}T_{2 ,l}\right)=\left(\bigcup _{k\in K}C_{k}\right)\cap \left(\;\bigcup _{l\in L}D_{l}\right)}$$

i zrobienie tego samego po prawej stronie daje:

$${\ Displaystyle \ bigcup _ {f \ in \ prod J_ {\ punktor}} \; \ bigcap _ {i \ in I} T_ {i, f (i)} = \ bigcup _ {f \ in \ prod J_ { \bullet }}\left(T_{1,f(1)}\cap T_{2,f(2)}\right)=\bigcup _{f\in \prod J_{\bullet }}\left(C_ {f(1)}\cap D_{f(2)}\right)=\bigcup _{(k,l)\in K\times L}\left(C_{k}\cap D_{l}\right )=\bigcup _{\stackrel {k\in K,}{l\in L}}\left(C_{k}\cap D_{l}\right).}$$

Zatem ogólna tożsamość Eq. 5 ∩∪ do ∪∩ redukuje się do poprzednio zadanego zestawu równości Eq. 3b :

$${\ Displaystyle \ lewo (\ bigcup _ {k \ in K} C_ {k} \ prawej) \ cap \; \ bigcup _ {l \ in L} D_ {l} = \ bigcup _ {\ stackrel {k \ in K,}{l\w L}}\left(C_{k}\cap D_{l}\right).}$$

Rozkład odejmowania na ⋃ i ⋂

$${\ Displaystyle \ lewo (\ bigcup _ {i \ w I} L_ {i} \ prawej) \; \ setminus \; R ~=~\bigcup _{i\in I}\left(L_{i}\;\setminus \;R\right)}$$

 

 

 

 

()

$${\ Displaystyle \ lewo (\ bigcap _ {i \ w I} L_ {i} \ prawej) \; \ setminus \; R ~=~\bigcap _{i\in I}\left(L_{i}\;\setminus \;R\right)}$$

 

 

 

 

()

Kolejne tożsamości są znane jako prawa De Morgana .

$${\ Displaystyle L \; \ setminus \; \ bigcup _ {j \ w J} R_ {j} ~ = ~ \ bigcap _{j\w J}\left(L\;\setminus \;R_{j}\right)~~\;~~{\text{ Prawo De Morgana }}}$$

 

 

 

 

()

$${\ Displaystyle L \; \ setminus \; \ bigcap _ {j \ w J} R_ {j} ~ = ~ \ bigcup _{j\w J}\left(L\;\setminus \;R_{j}\right)~~\;~~{\text{ Prawo De Morgana }}}$$

 

 

 

 

()

Następujące cztery zestawy równości można wywnioskować z powyższych równości 7a - 7d .

$${\ Displaystyle \ lewo (\ bigcup _ {i \ w I} L_ {i} \ prawej) \; \ setminus \; \ bigcup _ {j \ w J} R_ {j} ~ = ~ \ bigcup _ {i \ w I}\left(\bigcap _{j\in J}\left(L_{i}\;\setminus \;R_{j}\right)\right)~=~\bigcap _{j\in J} \left(\bigcup _{i\in I}\left(L_{i}\;\setminus \;R_{j}\right)\right)}$$

 

 

 

 

()

$${\ Displaystyle \ lewo (\ bigcap _ {i \ w I} L_ {i} \ prawej) \; \ setminus \; \ bigcap _ {j \ w J} R_ {j} ~ = ~ \ bigcup _ {j \ w J}\left(\bigcap _{i\in I}\left(L_{i}\;\setminus \;R_{j}\right)\right)~=~\bigcap _{i\in I} \left(\bigcup _{j\in J}\left(L_{i}\;\setminus \;R_{j}\right)\right)}$$

 

 

 

 

()

$${\ Displaystyle \ lewo (\ bigcup _ {i \ w I} L_ {i} \right)\;\setminus \;\bigcap _{j\in J}R_{j}~=~\bigcup _{\stackrel {i\in I,}{j\in J}}\left(L_{ i}\;\setminus \;R_{j}\right)}$$

 

 

 

 

()

$${\ Displaystyle \ lewo (\ bigcap _ {i \ w I} L_ {i} \right)\;\setminus \;\bigcup _{j\in J}R_{j}~=~\bigcap _{\stackrel {i\in I,}{j\in J}}\left(L_{ i}\;\setminus \;R_{j}\right)}$$

 

 

 

 

()

Ogólnie rzecz biorąc, naiwna zamiana $inny$$może$ dać zestaw ( więcej szczegółów tej uwadze ). Równości

$${\ Displaystyle \ bigcup _ {i \ in I} \; \ bigcap _ {j \ in J} \ lewo (L_ {i} \ setminus R_ {j} \ prawej) ~ =~\bigcap _{j\in J}\;\bigcup _{i\in I}\left(L_{i}\setminus R_{j}\right)\quad {\text{i }}\quad \ bigcup _{j\in J}\;\bigcap _{i\in I}\left(L_{i}\setminus R_{j}\right)~=~\bigcap _{i\in I}\;\ duża filiżanka _{j\w J}\left(L_{i}\setminus R_{j}\right)}$$

znalezione w równaniu 7e i równ. 7f $,$ ponieważ stwierdzają dokładnie, że zamiana $nie$ zmieni wynikowego zestawu .

Przemienność i łączność ⋃ i ⋂

Przemienność :

$${\ Displaystyle \ bigcup _ {\ stackrel {i \ w ja,} {j \ w J}} S_ {i, j} ~~ \ okrężnica = ~ \ bigcup _ {(i, j) \ in I\times J}S_{i,j}~=~\bigcup _{i\in I}\left(\bigcup _{j\in J}S_{i,j}\right)~=~\bigcup _{j\w J}\left(\bigcup _{i\in I}S_{i,j}\right)}$$

$${\ Displaystyle \ bigcap _ {\ stackrel {i \ w ja,} {j \ w J}} S_ {i, j} ~ ~ \ dwukropek = ~ \ bigcap _ {(i, j) \ in I\times J}S_{i,j}~=~\bigcap _{i\in I}\left(\bigcap _{j\in J}S_{i,j}\right)~=~\bigcap _{j\w J}\left(\bigcap _{i\in I}S_{i,j}\right)}$$

Związki związków i skrzyżowania skrzyżowań :

$${\ Displaystyle \ lewo (\ bigcup _ {i \ w I} L_ {i} \ prawej) \ kubek R ~ = ~ \ bigcup _{i\in I}\left(L_{i}\cup R\right)}$$

$${\ Displaystyle \ lewo (\ bigcap _ {i \ w I} L_ {i} \ prawej) \ czapka R ~ = ~ \ bigcap _{i\in I}\left(L_{i}\cap R\right)}$$

I

$${\ Displaystyle \ lewo (\ bigcup _ {i \ w ja} L_ { i}\right)\cup \left(\bigcup _{j\in J}R_{j}\right)~=~\bigcup _{\stackrel {i\in I,}{j\in J}}\ left(L_{i}\kielich R_{j}\right)}$$

 

 

 

 

()

$${\ Displaystyle \ lewo (\ bigcap _ {i \ w ja} L_ { i}\right)\cap \left(\bigcap _{j\in J}R_{j}\right)~=~\bigcap _{\stackrel {i\in I,}{j\in J}}\ left(L_{i}\cap R_{j}\right)}$$

 

 

 

 

()

a jeśli ${\ displaystyle I = J},$ to także:

$${\ Displaystyle \ lewo (\ bigcup _ {i \ w I} L_ {i} \ prawo )\cup \left(\bigcup _{i\in I}R_{i}\right)~=~\bigcup _{i\in I}\left(L_{i}\cup R_{i}\right) }$$

 

 

 

 

()

$${\ Displaystyle \ lewo (\ bigcap _ {i \ w I} L_ {i} \ prawo )\cap \left(\bigcap _{i\in I}R_{i}\right)~=~\bigcap _{i\in I}\left(L_{i}\cap R_{i}\right) }$$

 

 

 

 

()

Iloczyny kartezjańskie Π dowolnie wielu zbiorów

Skrzyżowania ⋂ z Π

Jeśli $}}$ J wtedy ustawia

$${\ Displaystyle \ bigcap _ {j \ w J} \; \ prod _ {i \ w ja} S_ { i,j}~~=~~\prod _{i\in I}\;\bigcap _{j\in J}S_{i,j}}$$

 

 

 

 

()

• Ponadto krotka ${\ Displaystyle \ lewo (x_ {i} \ prawo) _ {i \ in I}}$ należy do zbioru w równaniu. 8 $.$ wtedy wtedy $gdy$ dla ${\ displaystyle j \ w j.}$

W szczególności, jeśli ${\ Displaystyle \ lewo (L_ {i} \ prawej) _ {i \ w ja}}$ i ${\ Displaystyle \ lewo (R_ {i} \right)_{i\in I}}$ to dwie rodziny indeksowane przez ten sam zestaw

$${\ Displaystyle \ lewo (\ prod _ {i \ w I} L_ {i} \ prawo) \ cap \prod _{i\in I}R_{i}~=~\prod _{i\in I}\left(L_{i}\cap R_{i}\right)}$$

Więc na przykład

$${\ Displaystyle (L \ razy R) \ czapka \ lewo (L_ {2} \ razy R_ {2 }\right)~=~\left(L\cap L_{2}\right)\times \left(R\cap R_{2}\right)}$$

$${\ Displaystyle (L \ razy R) \ czapka \ lewo (L_ {2} \ razy R_ {2} \ prawej) \ czapka \ lewo (L_ {3} \ razy R_ {3} \ prawej) ~ = ~ \ lewo (L\cap L_{2}\cap L_{3}\right)\times \left(R\cap R_{2}\cap R_{3}\right)}$$

I

$${\ Displaystyle (L \ razy M \ razy R )\cap \left(L_{2}\times M_{2}\times R_{2}\right)~=~\left(L\cap L_{2}\right)\times \left(M\cap M_ {2}\right)\times \left(R\cap R_{2}\right)}$$

Przecięcia produktów indeksowanych różnymi zbiorami

Niech ${\ Displaystyle \ lewo (L_ {i} \ prawej) _ {i \ w ja}}$ i ${\ Displaystyle \ lewo (R_ {j} \ prawej) _{j\in J}}$ będą dwiema rodzinami indeksowanymi przez różne zbiory.

Technicznie, ${\ Displaystyle I \ neq J}$ implikuje ${\ Displaystyle \ lewo ({\ textstyle \ prod \ limity _ {i \ w I}} L_ {i} \ prawej) \ cap {\ textstyle \ prod \ limity _ {j \ w J}} R_ {j} = \varnothing .}$ Czasami jednak produkty te są w jakiś sposób identyfikowane jako ten sam zbiór poprzez pewną bijekcję lub jeden z tych produktów jest identyfikowany jako podzbiór drugiego za pomocą jakiejś mapy iniekcyjnej , w którym to przypadku (przez nadużycie notacji ) to przecięcie może być równe innemu (prawdopodobnie niepustemu) zbiorowi.

• Na przykład, jeśli ${\ Displaystyle I: = \ {1,2 \}}$ i $}}$${\ Displaystyle J: = \ {1,2,3$ wtedy R $}$${\ Displaystyle {\ textstyle \ prod \ limits _ {i \ in I}} L_ {i} = {\ textstyle \ prod \ limits _ {i \ in \ {1,2 \}}} \ mathbb {R} = \ mathbb {R} ^ {2}}$ i ${\ Displaystyle {\ textstyle \ prod \ ograniczenia _ {j \ w J}} R_{j}={\textstyle \prod \limits _{j\in \{1,2,3\}}}\mathbb {R} =\mathbb {R} ^{3}}$ gdzie ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2} \ cap \ mathbb {R} ^ {3} = \ varnothing}$ chyba że na przykład ${\ Displaystyle {\ textstyle \prod \limits _{i\in \{1,2\}}}\mathbb {R} =\mathbb {R} ^{2}} jest$ identyfikowane jako podzbiór ${\ Displaystyle {\ textstyle \ prod \ limits _ {j \ in \ {1,2,3 \}}} \ mathbb {R} = \ mathbb {R} ^ {3}}$ przez jakiś zastrzyk , na przykład może ${\ Displaystyle (x, y) \ mapsto (x, y, 0)}$ na przykład; jednak w tym konkretnym przypadku iloczyn ${\ Displaystyle {\ textstyle \ prod \ ograniczenia _ {i \ w I = \ {1,2 \}}} L_ {i} }$ w rzeczywistości reprezentuje $indeksowany$ produkt $J = \ {1,2,3 \}}}L_{i}}$ gdzie ${\ Displaystyle L_ {3}: = \ {0 \}.}$
• Jako inny przykład weź ${\ Displaystyle I: = \ {1,2 \}}$ i ${\ Displaystyle J: = \ {1,2, 3 \}}$ z $L_ {1}: = \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ Displaystyle L_ {2}, R_ {1}, R_ {2}, {\ text {i}} R_ {3}}$ i ${\ Displaystyle \ mathbb {R}.}$ równe Następnie ${\ Displaystyle {\ textstyle \ prod \ limits _ {i \ in I}} L_ {i} = \ mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} }$ i ${\ Displaystyle {\ textstyle \ prod \ limits _ {j \ w J}} R_ {j} = \ mathbb {R} \ razy \ mathbb {R} \ razy \ mathbb {R}}, które można zidentyfikować$ jako ten sam zestaw poprzez bijekcję, która wysyła ${\ Displaystyle ((x, y), z) \ in \ mathbb {R} ^ {2} \ razy \ mathbb { R} }$ do ${\ Displaystyle (x, y, z) \ in \ mathbb {R} \ razy \ mathbb {R} \ razy \ mathbb {R}.} Pod tą$ identyfikacją ${\ Displaystyle \ lewo ({\ textstyle \ prod \ limity _ {i \ w I}} L_ {i} \ prawej) \ cap \, {\ textstyle \ prod \ limity _ {j \ w J}} R_ {j }~=~\mathbb {R} ^{3}.}$

Unie ⋃ z Π

W przypadku związków gwarantowane są ogólnie tylko:

$${\ Displaystyle \ bigcup _ {j \ w J} \; \ prod _ {i \ w I} S_ {i, j} ~ ~ \ kolor {czerwony} {\ subseteq} \ kolor {czarny} {}~ ~ \ prod _{i\in I}\;\bigcup _{j\in J}S_{i,j}\qquad {\text{i }}\qquad \bigcup _{i\in I}\;\prod _ {j\in J}S_{i,j}~~\color {Red}{\subseteq}\color {Black}}{}~~\prod _{j\in J}\;\bigcup _{i\in I}S_{i,j}}$$

gdzie ${\ Displaystyle \ lewo (S_ {i, j} \ prawej) _ {(i, j) \ w I \ razy J}} jest$ rodziną zestawy.

Jednakże,

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane w {9} \ lewo (L \ razy R \ prawej) ~ \ puchar ~ \ lewo (L_ {2} \ razy R_ {2} \ prawej) ~ & = ~ \ lewo [\ left(L\setminus L_{2}\right)\times R\right]~\cup ~\left[\left(L_{2}\setminus L\right)\times R_{2}\right]~\cup ~\left[\left(L\cap L_{2}\right)\times \left(R\cup R_{2}\right)\right]\\[0.5ex]~&=~\left[L\ razy \left(R\setminus R_{2}\right)\right]~\cup ~\left[L_{2}\times \left(R_{2}\setminus R\right)\right]~\cup ~ \left[\left(L\cup L_{2}\right)\times \left(R\cap R_{2}\right)\right]\\\end{alignedat}}}$$

Różnica \ Π

Jeśli ${\ Displaystyle \ lewo (L_ {i} \ prawej) _ {i \ w ja}}$ i ${\ Displaystyle \ lewo (R_ {i} \ prawo) _{i\in I}}$ to wtedy dwie rodziny zbiorów:

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane w {9} \ lewo (\ prod _ {i \ w I} L_ {i} \ prawej) ~ \ setminus ~ \ prod _ {i \ w I} R_ {i} ~ & =~\;~\bigcup _{j\in I}\;~\prod _{i\in I}{\begin{cases}L_{j}\,\setminus \,R_{j}&{\text { if }}i=j\\L_{i}&{\text{if }}i\neq j\\\end{cases}}\\[0.5ex]~&=~\;~\bigcup _{ j\in I}\;~{\Duży [}\left(L_{j}\,\setminus \,R_{j}\right)~\times ~\prod _{\stackrel {i\in I,} {j\neq i}}L_{i}{\Big ]}\\[0.5ex]~&=~\bigcup _{\stackrel {j\in I,}{L_{j}\not \subseteq R_{ j}}}{\Big [}\left(L_{j}\,\setminus \,R_{j}\right)~\times ~\prod _{\stackrel {i\in I,}{j\neq i}}L_{i}{\Duży ]}\\[0.3ex]\end{wyrównanydat}}}$$

więc na przykład

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane w {9} \ lewo (L \ razy R \ prawo) ~ \ setminus ~ \ lewo (L_ {2} \ razy R_ {2} \ prawo) ~ & = ~ \ lewo [\ left(L\,\setminus \,L_{2}\right)\times R\right]~\cup ~\left[L\times \left(R\,\setminus \,R_{2}\right)\ prawo]\\\end{wyrównanydat}}}$$

I

$${\ Displaystyle (L \ razy M \ razy R) ~ \ setminus ~ \ lewo (L_ {2} \ razy M_ {2} \ razy R_ {2} \ prawej) ~ = ~ \ lewo [\ lewo (L\,\setminus \,L_{2}\right)\times M\times R\right]~\cup ~\left[L\times \left(M\,\setminus \,M_{2}\right )\times R\right]~\cup ~\left[L\times M\times \left(R\,\setminus \,R_{2}\right)\right]}$$

Symetryczna różnica ∆ Π

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane w {9} \ lewo (\ prod _ {i \ w I} L_ {i} \ prawej) ~ \ trójkąt ~ \ lewo (\ prod _ {i \ w I} R_ {i }\right)~&=~\;~\left(\prod _{i\in I}L_{i}\right)~\cup ~\left(\prod _{i\in I}R_{i} \right)\;\setminus \;\prod _{i\in I}L_{i}\cap R_{i}\\[0.5ex]\end{alignedat}}}$$

Funkcje i zbiory

Zobacz także: Obraz (matematyka) § Właściwości

Niech ${\ displaystyle f: X \ do Y}$ będzie dowolną funkcją.

Niech $zbiorami$ . Załóżmy, że ${\ Displaystyle A \ subseteq X {\ tekst {i}} C \ subseteq Y.}$

Definicje

Niech ${\ Displaystyle f: X \ do Y} będzie dowolną funkcją,$ w której oznaczamy jej domenę przez $\ operatorname {domena} f}$$Displaystyle$ i oznaczamy jej ${\ Displaystyle Y}$ przez ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {kodomena} f.}$

$,$ rzeczywistości nie wymaga, aby zestawy były w jakiś sposób powiązane z $kiedy$$jakiś$ ) więc rodzaj związek jest konieczny, to zostanie to wyraźnie wskazane. Z tego powodu w tym artykule, jeśli zadeklarowano, że jest to „ dowolny zestaw ”, a nie wskazano, że musi być w jakiś sposób powiązany z $L$$}$$L$ lub ( $displaystyle$$Y} )$ przykład, że jest to podzbiór lub $,$$\$ oznacza to, że naprawdę dowolny. Ta ogólność jest przydatna w sytuacjach, w których ${$ mapą między dwoma podzbiorami i ${\ Displaystyle Y \ subseteq$ V $}$$\ do Y$ niektórych większych zestawów $f}$ = $fa$${$ \ Displaystyle ${$$domena$ i/lub ${\ Displaystyle Y = \ operatorname {codomain} f}$ (np. jeśli wszystko, co wiadomo o ${\ Displaystyle L}$ , to ${\ Displaystyle L \ subseteq U}$ ); ${- 1} (L$ sytuacji warto wiedzieć, co można, a czego nie można powiedzieć o $( L )$ 1 bez konieczności wprowadzania (potencjalnie niepotrzebnego) przecięcia, takiego jak: ${\ Displaystyle f (L \ cap X)}$ i / lub ${\ displaystyle f ^ {- 1} (L \ czapka Y).}$

Obrazy i przedobrazy zestawów

Jeśli jest dowolnym zbiorem, to $jest$ { \ $L$ } $}$ zdefiniowany jako zbiór: L {\ displaystyle

$${\ Displaystyle f (L) ~: = ~ \ {\, f (l) ~: ~ l \ w L \ cap \ nazwa operatora {domena} f\,\}}$$

podczas gdy przedobrazem pod L $\ displaystyle L}$${\ displaystyle L}$ jest:

$${\ Displaystyle f ^ {- 1} (L) ~: = ~ \ {\, x \ w \ nazwa operatora {domena} f~:~f(x)\w L\,\}}$$

gdzie ${\ Displaystyle L = \ {s \}}$ jest zbiorem singletonowym, to filber lub preimage z ${\ displaystyle s}$ pod ${\ displaystyle f}$ jest

$${\ Displaystyle f ^ {-1} (s) ~: = ~ f ^ {- 1} (\ {s \}) ~ = ~ \ {\, x \ w \ nazwa operatora {domena} f ~: ~ f ( x)=s\,\}.}$$

Oznacz przez $:$$\ operatorname {Im} f} lub obrazem lub$$, }$ X → { \ Displaystyle f który jest zbiorem:

$${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Im} f ~ = ~ f (X) ~: = ~ f (\ nazwa operatora {domena} f) ~ = ~ \ {f (x) ~: ~ x \ w \ nazwa operatora {domena} f \}.}$$

Zestawy nasycone

Główny artykuł: Zestaw nasycony

Mówi się, że zbiór ${$ jest nasycony lub nasycony, jeśli $\ displaystyle A}$ jest którykolwiek z następujących równoważnych warunków:

1. Istnieje zbiór $R$ , ${\ Displaystyle A = f ^ {- 1} (R).}$
   • $ZA$${\ Displaystyle f (A)}$ zestaw koniecznie zawiera jako podzbiór.
2. ${\ Displaystyle A = fa ^ {- 1} (f (A)).}$
3. ${\ Displaystyle A \ supseteq f ^ {- 1} (f (A))}$ i ${\ Displaystyle A \ subseteq \ operatorname {domena} f.}$
   • Inkluzja ${\ Displaystyle L \ cap \ operatorname {domena} f \ subseteq f ^ {- 1 }(f(L))}$ zawsze zachodzi, gdzie jeżeli ${\ Displaystyle A \ subseteq \ operatorname {domena} f}$ to staje się ${\ Displaystyle A \ subseteq f ^ {- 1} (f (A)).}$

Aby zestaw był $-$$nasycony$ , konieczne jest, ${\ Displaystyle A \ subseteq \ nazwa operatora {domena} f.}$

Kompozycje i ograniczenia funkcji

Jeśli i są mapami, to $\ circ f}$$Displaystyle$$g$ oznacza mapę składu fa

$$\ circ f ~: ~ \ {\, x \ w \ operatorname {domena} f ~: ~ f(x)\in \nazwa_operatora {domena} g\,\}~\do ~\nazwa_operatora {domena_kodowa} g}$$

z domeną i koddomeną

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane w} {4} \ nazwa operatora {domena} (g \ circ f) & = \ {\, x \ w \ nazwa operatora {domena} f ~: ~ f (x) \ w \ nazwa operatora { domena} g\,\}\\[0.4ex]\operatorname {kodomena} (g\circ f)&=\operatorname {kodomena} g\\[0.7ex]\end{alignedat}}}$$

określony przez

$${\ Displaystyle (g \ circ f) (x): = g (f (x)).}$$

Ograniczenie oznaczone przez ${\ displaystyle f: X \ do Y}$ do , $L}$${\ Displaystyle f {\ duży \ vert} _ {L},}$ to mapa

$${\ Displaystyle f {\ duży \ vert} _ {L} ~: ~ L \ czapka \ nazwa operatora {domena} f ~ \ do ~ Y}$$

z ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {domena} fa {\ duży \ vert} _ {L} ~ = ~ L \ cap \ nazwa operatora {domena} f} zdefiniowane$ przez wysłanie ${ \displaystyle x\in L\cap \operatorname {domena} f}$ do ${\ displaystyle f (x);}$ to znaczy

$${\ Displaystyle f {\ duży \ vert} _ {L} (x) ~: = ~ f (x).}$$

Alternatywnie ${\ Displaystyle ~ f {\ duży \ vert} _ {L} ~ = ~ f \ circ \ operatorname {In} ~}$ gdzie ${\ Displaystyle ~ \ operatorname { In} ~:~L\cap X\to X~}$ oznacza mapę inkluzji , która jest zdefiniowana przez ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {w} (s): = s.}$

(Wstępne) Obrazy dowolnych związków ⋃ i przecięć ⋂

Jeśli ${\ Displaystyle \ lewo (L_ {i} \ prawej) _ {i \ w ja}}$ jest rodziną dowolnych zestawów indeksowanych przez ${\ displaystyle I \ neq \ varnothing}$ wtedy :

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane od} {4} f \ lewo (\ bigcap _ {i \ w I} L_ {i} \ prawej) \; & ~ \; \ kolor {czerwony} {\ subseteq} \ kolor { Czarny}{}~\;\;\;\bigcap _{i\in I}f\left(L_{i}\right)\\f\left(\bigcup _{i\in I}L_{i} \right)\;&~=~\;\bigcup _{i\in I}f\left(L_{i}\right)\\f^{-1}\left(\bigcup _{i\in I }L_{i}\right)\;&~=~\;\bigcup _{i\in I}f^{-1}\left(L_{i}\right)\\f^{-1}\ left(\bigcap _{i\in I}L_{i}\right)\;&~=~\;\bigcap _{i\in I}f^{-1}\left(L_{i}\right )\\\koniec{wyrównanydat}}}$$

Tak więc z tych czterech tożsamości tylko obrazy skrzyżowań nie zawsze są zachowywane. Preimages zachowują wszystkie podstawowe operacje na zbiorach. Związki są zachowywane zarówno przez obrazy, jak i przedobrazy.

Jeśli wszystkie $L ja {\ Displaystyle L_$ nasycone $\$ to $Displaystyle \ bigcap _ {i \ in I} L_ {i}}$ będzie $\displaystyle f}$$}$ -nasycone i równość będzie obowiązywać w pierwszej powyższej relacji; wyraźnie oznacza to:

$${\ Displaystyle f \ lewo (\ bigcap _ {i \ w I} L_ {i} \ prawej) ~ = ~ \ bigcap _ {i \ w I} f \ lewo (L_ {i} \ prawej) \ qquad {\ textit {JEŻELI}}\qquad X\cap L_{i}=f^{-1}\left(f\left(L_{i}\right)\right)\quad {\text{ dla wszystkich }}\quad i \ w I.}$$

 

 

 

 

()

Jeśli ${\ Displaystyle \ lewo (A_ {i} \ prawej) _ {i \ in I}}$ jest rodziną dowolnych podzbiorów ${\ Displaystyle X = \ operatorname { domena} f,},$$}$ oznacza, że wszystkich wtedy równość warunkowa 10a staje się: ZA ${\ Displaystyle A_ {i} \ subseteq$

$${\ Displaystyle f \ lewo (\ bigcap _ {i \ w I} A_ {i} \ prawej) ~ = ~ \ bigcap _ {i \ w I} f \ lewo (A_ {i} \ prawej) \ qquad {\ textit {JEŻELI}}\qquad A_{i}=f^{-1}\left(f\left(A_{i}\right)\right)\quad {\text{dla wszystkich}}\quad i\in I.}$$

 

 

 

 

()

(Wstępne) Obrazy binarnych operacji na zbiorach

$dowolną$ przez cały $będą$ niech $i$ zbiorami funkcją

Streszczenie

Jak pokazuje poniższa tabela, równość zbiorów nie jest gwarantowana tylko dla obrazów : przecięć, odejmowań zbiorów i różnic symetrycznych.

Obraz	Przedobraz	Dodatkowe założenia dotyczące zbiorów
${\ Displaystyle \, ~ ~ ~ ~ f (L \ kubek R) ~ = ~ f (L) \ kubek f (R)}$	${\ Displaystyle f ^ {- 1} (L \ kubek R) ~ = ~ f ^ {- 1} (L) \ filiżanka f^{-1}(R)}$	Nic
$${\ Displaystyle f (L \ czapka R) ~ \ subseteq ~ f (L) \ czapka f (R)}$$	${\ Displaystyle f ^ {- 1} (L \ czapka R) ~ = ~ f ^ {- 1} (L) \ czapka f^{-1}(R)}$	Nic
$${\ Displaystyle f (L \ setminus R) ~ \ supseteq ~ f (L) \ setminus f (R)}$$	${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane w {4} f ^ {-1} (L) \ setminus f ^ {-1} (R) & = f ^ {-1} && (&& L&& \ setminus &&R) \\& =f^{-1}&&(&&L&&\setminus [&&R\cap \nazwa_operatora {Im} f])\\&=f^{-1}&&([&&L\cap \nazwa_operatora {Im} f]&&\setminus &&R)\\&=f^{-1}&&([&&L\cap \operatorname {Im} f]&&\setminus [&&R\cap \operatorname {Im} f])\end{alignedat}}}$	Nic
$${\ Displaystyle f (X \ setminus R) ~ \ supseteq ~ f (X) \ setminus f (R)}$$	${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane dat} {4} X \ set minus f ^ {- 1} (R) & = f ^ {- 1} (&& Y & & \ setminus && R) \\& = f ^{-1}(&&Y&&\setminus [&&R\cap \operatorname {Im} f])\\&=f^{-1}(&&\operatorname {Im} f&&\setminus &&R)\\&=f^{ -1}(&&\operatorname {Im} f&&\setminus [&&R\cap \operatorname {Im} f])\end{aligneddat}}}$	Nic
$${\ Displaystyle f \ lewo (L ~ \ trójkąt ~ R \ prawo) ~ \ supseteq ~ f (L) ~ \ trójkąt ~ f (R)}$$	${\ Displaystyle f ^ {- 1} \ lewo (L ~ \ trójkąt ~ R \ prawo) ~ = ~ f ^ {- 1}(L)~\trójkąt ~f^{-1}(R)}$	Nic

Preimages zachowują operacje na zbiorach

Preobrazy zbiorów zachowują się dobrze w odniesieniu do wszystkich podstawowych operacji na zbiorach:

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane w {4} f ^ {-1} (L \ kubek R) ~ & = ~ f ^ {-1} (L) \ kubek f ^ {-1} (R) \\ f^{-1}(L\cap R)~&=~f^{-1}(L)\cap f^{-1}(R)\\f^{-1}(L\setminus \, R)~&=~f^{-1}(L)\setminus \,f^{-1}(R)\\f^{-1}(L\,\trójkąt \,R)~&=~ f^{-1}(L)\,\trójkąt \,f^{-1}(R)\\\koniec{wyrównany na}}}$$

Innymi słowy, przedobrazy rozkładają się na sumy, przecięcia, odejmowanie zbiorów i różnicę symetryczną.

Obrazy zachowują tylko związki

Obrazy związków zawodowych są grzeczne:

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane {4} f (L \ kubek R) ~ & = ~ f (L) \ kubek f (R) \ \\end{wyrównanydat}}}$$

ale obrazy innych podstawowych operacji na zbiorach nie są , ponieważ ogólnie gwarantowane są tylko następujące elementy:

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane w} {4} f (L \ cap R) ~ & \ subseteq ~ f (L) \ cap f (R) \\ f (L \ setminus R) ~ & \ supseteq ~ f ( L)\setminus f(R)\\f(L\trójkąt R)~&\supseteq ~f(L)\,\trójkąt \,f(R)\\\end{wyrównanedat}}}$$

Innymi słowy, obrazy rozkładają się na sumy, ale niekoniecznie na przecięciach, odejmowaniu zestawów lub różnicy symetrycznej.

Ogólnie rzecz biorąc, równość nie jest gwarantowana dla obrazów odejmowania zbiorów ani dla obrazów pozostałych dwóch operatorów zbiorów elementarnych, które można zdefiniować jako różnicę dwóch zbiorów: ${\ Displaystyle L \ setminus R}$

$${\ Displaystyle L \ cap R = L \ setminus (L \ setminus R) \ quad {\ tekst {i}} \ quad L \ trójkąt R = (L \ cup R) \ setminus (L \ cap R).}$$

${\ Displaystyle L = X}$ to fa ${\ Displaystyle f (X \ setminus R) \ supseteq f (X) \ setminus f (R$ gdzie podobnie jak w bardziej ogólnym przypadku równość nie jest gwarantowana. Jeśli ${\ displaystyle f}$ jest suriekcją, to ${\ Displaystyle f (X \ setminus R) ~ \ supseteq ~ Y \ setminus f (R)}, które$ można zapisać jako: ${\ Displaystyle f \ lewo (R ^ {\ dopełnienie} \ prawej) ~ \ supseteq ~ f (R) ^ {\ dopełnienie}}$ jeśli ${\ Displaystyle R ^ {\ dopełnienie}: = X \ setminus R}$ i ${\ Displaystyle f (R) ^ {\ dopełnienie}: = Y \ setminus f (R).}$

Kontrprzykłady: obrazy operacji bez dystrybucji

Zdjęcie przedstawiające nieudaną dystrybucję na ustalonym skrzyżowaniu : ${\ displaystyle f}$

${\ Displaystyle f \ lewo (A_ {1} \ czapka A_ {2} \ prawo) \ subsetneq f \ lewo (A_ {1} \ prawo) \ czapka f \ lewo (A_ {2} \ prawo).}$

Mapa ${\ Displaystyle f: \ mathbb {R} \ do \ mathbb {R}}$ jest zdefiniowana przez ${\ Displaystyle x \ mapsto x ^ {2},}$ gdzie ${\ displaystyle \mathbb {R} }$ oznacza liczby rzeczywiste . Zbiory ${\ Displaystyle A_ {1} = [-4,2]}$ i ${\ Displaystyle A_ {2} = [-2,4]}$ są pokazane na niebiesko bezpośrednio pod osią $ZA$ , podczas gdy ich przecięcie $\ Displaystyle A_ {3 }=[-2,2]}$ jest wyświetlane na zielono .

fa ${\ Displaystyle f: \ {1,2 \} \ do Y}$ stała, ${\ Displaystyle L = \ {1 \},}$ i ${\ Displaystyle R = \ {2 \}}$ następnie wszystkie cztery z zestawu

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane 4} f (L \ czapka R) ~ & \ subsetneq ~ f (L) \ czapka f (R) \\ f (L \setminus R)~&\supsetneq ~f(L)\setminus f(R)\\f(X\setminus R)~&\supsetneq ~f(X)\setminus f(R)\\f(L\trójkąt R)~&\supsetneq ~f(L)\trójkąt f(R)\\\end{wyrównany na}}}$$

są ścisłe/właściwe (to znaczy zbiory nie są równe), ponieważ jedna strona jest zbiorem pustym, a druga niepustym. Zatem równość nie jest gwarantowana nawet dla najprostszych funkcji. Powyższy przykład jest teraz uogólniony, aby pokazać, że te cztery zestawy równości mogą zawieść dla dowolnej stałej funkcji , której dziedzina zawiera co najmniej dwa (odrębne) punkty.

Przykład : Niech $będzie$$_$ funkcją _ ${\ Displaystyle L, R \ subseteq X}$ niepustymi rozłącznymi podzbiorami; to znaczy ${\ Displaystyle L \ neq \ varnothing, R \ neq \ varnothing,}$ i ${\ Displaystyle L \ cap R = \ varnothing,}$ co oznacza, że ​​wszystkie zbiory ${\ Displaystyle L ~ \ trójkąt ~ R = L \ kubek R,}$${\ Displaystyle \, L \ setminus R = L,}$ i ${\ Displaystyle X \ setminus R \ supseteq L \ setminus R} nie$${\ Displaystyle \ {y \}.}$ puste, w związku z czym wszystkie ich obrazy pod $y$ równe

1. Fa ${\ Displaystyle ~ f (L \ setminus R) ~ \ supsetneq ~ f (L) \ setminus f (R) ~} jest$ :
   $${\ Displaystyle \ {y \} ~ = ~ f (L \ setminus R) ~ \ neq ~f(L)\setminus f(R)~=~\{y\}\setminus \{y\}~=~\varnic }$$
   Słownie: funkcje mogą nie rozkładać się po odejmowaniu zestawu ${\ Displaystyle \, \ setminus \,}$
2. Fa ${\ Displaystyle ~ f (X \ setminus R) ~ \ supsetneq ~ f (X) \ setminus f (R) ~} jest$ :
   $${\ Displaystyle \ {y \} ~ = ~ f (X \ setminus R) ~ \ neq ~ f (X) \ setminus f (R) ~ = ~ \ {y \} \ setminus \ {y \} ~ = ~ \varnic .}$$
3. fa ${\ Displaystyle ~ f (L ~ \ trójkąt ~ R) ~ \ supsetneq ~ f (L) ~ \ trójkąt ~ f (R) ~$ jest ścisły:
   $${\ Displaystyle \ {y \} ~ = ~ f \ lewo (L ~ \ trójkąt ~ R\right)~\neq ~f(L)~\triangle ~f(R)~=~\{y\}\triangle \{y\}~=~\varnic }$$
   Słownie: funkcje mogą nie rozkładać $\displaystyle L\trójkąt R=(L\szklanka R)\setminus (L\cap R)}$ po różnicy symetrycznej (którą można zdefiniować ${$$jako$ odejmowanie zestawu dwóch zbiorów: ).
4. Fa ${\ Displaystyle ~ f (L \ cap R) ~ \ subsetneq ~ f (L) \ cap f (R) ~} jest$ :
   $${\ Displaystyle \ varnothing ~ = ~ f (\ varnothing) ~ = ~f(L\cap R)~\neq ~f(L)\cap f(R)~=~\{y\}\cap \{y\}~=~\{y\}}$$
   Słownie: funkcje mogą nie rozkładać się na $przecięciu$ zestawu (co można zdefiniować jako odejmowanie zestawu dwóch zestawów: $L \ cap R=L\setminus (L\setminus R)}$ ).

Wspólną cechą operacji na zbiorach w tych czterech przykładach jest to, że albo są one odejmowaniem na $($ przykłady (1) i (2)), albo można je naturalnie zdefiniować jako odejmowanie na zbiorach dwóch zbiorów ( przykłady (3) i (4)).

Mnemonik : W rzeczywistości dla każdej z powyższych czterech zestawów formuł, dla których równość nie jest gwarantowana, kierunek zawierania (to znaczy, czy użyć ⊆ czy ⊇ {\ Displaystyle \, \ subseteq {\ tekst { $\ supseteq \,}$ ) zawsze można wywnioskować, wyobrażając sobie funkcję jako $stałą,$ a dwa zbiory ( i ${\ displaystyle R}$ ) jako niepuste rozłączne podzbiory jej $displaystyle L}$ } domena. To dlatego, że każdy równość zawodzi dla takiej funkcji i zestawów: jedna strona będzie zawsze $niepusta$ - z tego faktu właściwy wybór ${\ Displaystyle \, \ subseteq {\ tekst { lub }}\supseteq \,}$ można wywnioskować, odpowiadając: „która strona jest pusta?” Na przykład, aby zdecydować, czy ${\ Displaystyle?}$ W

$${\ Displaystyle f (L \ trójkąt R) \ setminus f (R) ~ \; ~? ~ \; ~ f ((L \ trójkąt R) \ setminus R)}$$

⊆ ${\ Displaystyle \, \ subseteq {\ tekst {lub}} \ supseteq, \,}$ udawać, że $Displaystyle L \ trójkąt$ i $}$ R ${\ displaystyle R}$ są niepustymi rozłącznymi podzbiorami domeny ${\ displaystyle f} ;$ wtedy lewa strona byłaby pusta (ponieważ ${\ Displaystyle f (L \ trójkąt R) \ setminus f (R) = \ {f {\ tekst {pojedyncza wartość}} \}\setminus \{f{\text{ pojedyncza wartość}}\}=\varnothing }$ ), co oznacza, że ${\ Displaystyle \,?\,}$ powinno być ${\ Displaystyle \, \ subseteq \,}$ (wynikowe stwierdzenie zawsze jest prawdziwe), ponieważ jest to wybór, który dokona

$${\ Displaystyle \ varnothing = {\ tekst {lewa strona}} ~ \; ~?~ \; ~ {\ tekst {prawa strona}}}$$

PRAWDA. Alternatywnie, właściwy kierunek zawierania można również wywnioskować, biorąc pod uwagę dowolną stałą , gdzie ${\ Displaystyle f: \ {1,2 \} \ do Y}$ z ${\ Displaystyle L=\{1\}}$ i ${\ displaystyle R = \ {2 \}.}$

Co więcej, ta mnemonika może być również wykorzystana do prawidłowego wydedukowania, czy operacja zestawu zawsze obejmuje obrazy lub preobrazy; na przykład, $,$$f (L) \ cap f ($ czy zawsze jest równe lub alternatywnie, czy ${\ Displaystyle f ^ {- 1} (L \ cap R)}$ fa ${\ Displaystyle f ^ {- 1} (L) \ czapka f ^ {- 1} (R)}$ chociaż ${\ Displaystyle \, \ czapka \ ,}$ został tutaj użyty, można go zastąpić przez ${\ Displaystyle \, \ kubek, \, \ setminus, {\ tekst {lub}} \, \ trójkąt$ } Odpowiedź na takie pytanie można, jak poprzednio, wydedukować, rozważając tę ​​stałą funkcję: odpowiedź dla przypadku ogólnego (tj. ${\ displaystyle f, L,}$ i ${\ displaystyle R}$ ) jest zawsze taka sama jak odpowiedź dla tego wyboru (stałej) funkcji i rozłącznych niepustych zbiorów.

Warunki gwarantujące, że obrazy rozłożą się na określone operacje

Charakterystyki sytuacji, w których zachodzi równość dla wszystkich zbiorów :

Dla dowolnej funkcji następujące instrukcje są równoważne ${\ Displaystyle f: X \ do Y}$

1. ${\ displaystyle f: X \ do Y}$ jest iniekcyjne .
   • Oznacza to: ${\ Displaystyle f (x) \ neq f (y)}$ dla wszystkich odrębnych ${\ displaystyle x, y \ w X.}$
2. ${\ Displaystyle f (L \ cap R) = f (L) \, \ cap \, f (R) \, {\ tekst {dla wszystkich}} \, L, R \ subseteq X.} (Znak$ równości ${\ Displaystyle \, = \,}$ można zastąpić ${\ Displaystyle \, \ supseteq \,}$ ).
3. ${\ Displaystyle f (L \, \ setminus R) = f (L) \, \ setminus \, f (R) \; {\ tekst {dla wszystkich}} \, L, R \ subseteq X.} ($ równe znak ${\ Displaystyle \, = \,}$ można zastąpić ${\ Displaystyle \, \ subseteq \,})$ .
4. ${\ Displaystyle f (X \ setminus R) = f (X) \ setminus \, f (R) \; {\ tekst {dla wszystkich}} \ ~~~~~ R \ subseteq X.} (Znak$ równości ${\ Displaystyle \, = \,}$ można zastąpić ${\ Displaystyle \, \ subseteq \,})$ .
5. ${\ Displaystyle f (L \, \ trójkąt \, R) = f (L) \ \ trójkąt \, f (R) \; {\ tekst {dla wszystkich}} \, L, R \ subseteq X.}$ ( Znak równości $\ Displaystyle \$ zastąpić $, \ subseteq \,} )$ .
6. Dowolne z czterech stwierdzeń (b) - (e), ale ze słowami „dla wszystkich” zastąpione jednym z poniższych:
   1. „dla wszystkich podzbiorów singletonowych ” W szczególności stwierdzenie wynikające z (d)
      • ${\ Displaystyle f (x) \ nie \ w f (X \ setminus \ {x \}) \; {\ tekst {dla każdego}} \, x \ w X.}$ charakterystykę iniekcji, która wyraźnie obejmuje tylko jeden punkt (zamiast dwóch): $jest$ iniekcyjny wtedy i tylko wtedy, gdy
   2. „dla wszystkich rozłącznych podzbiorów singletonowych”
      • Dla stwierdzenia (d) jest to to samo, co: „dla wszystkich podzbiorów pojedynczych rozłącznych” (ponieważ definicja „ rozłącznego parami ” jest bezsensownie spełniona przez każdą rodzinę składającą się z dokładnie 1 zbioru).
   3. „dla wszystkich rozłącznych podzbiorów”

W szczególności, jeśli wiadomo, że mapa nie jest iniekcyjna, to pomijając dodatkowe informacje, nie ma gwarancji, że którakolwiek z równości w stwierdzeniach (b) - (e) jest spełniona.

Powyższy przykład może pomóc w udowodnieniu tej charakterystyki. Rzeczywiście, porównanie tego przykładu z takim dowodem sugeruje, że przykład jest reprezentatywny dla podstawowego powodu, dla którego jedna z tych czterech równości w stwierdzeniach (b) - (e) może ustalona równość nie zachodzi).

Warunki dla f(L⋂R) = f(L)⋂f(R)

$${\ Displaystyle f (L \ cap R) ~ \ subseteq ~ f (L) \ cap f (R) \ qquad \ qquad {\ tekst {\ text { zawsze trzyma}}}$$

Charakterystyka równości : Następujące stwierdzenia są równoważne:

1. ${\ Displaystyle f (L \ czapka R) ~ = ~ f (L) \ czapka f (R)}$
2. ${\ Displaystyle f (L \ czapka R) ~ \ supseteq ~ f (L) \ czapka f (R)}$
3. ${\ Displaystyle L \ czapka f ^ {- 1} (f (R)) ~ \ subseteq ~ f ^ {- 1 } (f (L \ cap R))}$
   • Lewa strona jest zawsze równa $(R))}$${\ Displaystyle L \ czapka f ^ {- 1} (f (L) \ czapka f (R))}$ (ponieważ ${\ Displaystyle L \ cap f ^ {- 1} (f (R)} ~ \ subseteq ~ f ^ {- 1} (f (L))} zawsze obowiązuje)$ .
4. ${\ Displaystyle R \ czapka f ^ {- 1} (f (L)) ~ \ subseteq ~ f ^ {-$
5. ${\ Displaystyle L \ czapka f ^ {- 1} (f (R)) ~ = ~ f ^ {- 1}(f(L\cap R))\cap L}$
6. ${\ Displaystyle R \ czapka f ^ {- 1} (f (L)) ~ = ~ f ^ {- 1}(f(L\cap P))\cap R}$
7. l ${\ Displaystyle l \ in L}$${\ Displaystyle f (l) \ w f (L \ cap R).}$ fa $\ Displaystyle f (l) \ in f (R)}$ wtedy
8. Jeśli ${\ Displaystyle y \ in f (L)}$ ale ${\ Displaystyle y \ notin f (L \ cap R)}$ to ${\ Displaystyle y \ notin f (R).}$
9. ${\ Displaystyle f (L) \ \ setminus \, f (L \ czapka R) ~ \ subseteq ~ f (L) \ ,\setminus \,f(R)}$
10. ${\ Displaystyle f (R) \ \ setminus \ f (L \ czapka R) ~ \ subseteq ~ f (R) \ ,\setminus \,f(L)}$
11. ${\ Displaystyle f (L \ kubek R) \ setminus f (L \ czapka R) ~ \ subseteq ~ f (L) \,\trójkąt \,f(R)}$
12. $zastąpionym$ symbolem podzbioru znakiem równości ${\ Displaystyle \, =. \,}$

Wystarczające warunki równości : Równość zachodzi, jeśli którykolwiek z poniższych warunków jest spełniony:

1. ${\ displaystyle f}$ jest iniekcyjne.
2. Ograniczenie ${\ displaystyle f {\ duży \ vert} _ {L \ puchar R}}$ jest iniekcyjny.
3. ${\ Displaystyle f ^ {- 1} (f (R)) ~ \ subseteq ~ R}$
4. ${\ Displaystyle f ^ {- 1} (f (L)) ~ \ subseteq ~ L}$
5. ${\ Displaystyle R$$}$ jest ; to znaczy ${\ Displaystyle f ^ {- 1} (f (R)) = R}$
6. ${\ Displaystyle L$$}$ jest ; to znaczy ${\ Displaystyle f ^ {- 1} (f (L)) = L}$
7. ${\ Displaystyle f (L) ~ \ subseteq ~ f (L \ cap R)}$
8. ${\ Displaystyle f (R) ~ \ subseteq ~ f (L \ cap R)}$
9. ${\ Displaystyle f (L \ \ setminus \, R) ~ \ subseteq ~ f (L) \ setminus \, f (R)} lub równoważnie$ , ${\ Displaystyle f (L \ \ setminus \, R) ~ = ~ f (L) \ setminus f (R)}$
10. ${\ Displaystyle f (R \ \ setminus \, L) ~ \ subseteq ~ f (R) \ setminus \, f (L)} lub równoważnie$ , ${\ Displaystyle f (R \ \ setminus \, L) ~ = ~ f (R) \ setminus f (L)}$
11. ${\ Displaystyle f \ lewo (L ~ \ trójkąt ~ R \ prawo) \ subseteq f (L) ~ \ trójkąt ~ f (R)}$ lub równoważnie, ${\ Displaystyle f \ lewo (L ~ \ trójkąt ~ R \ prawo) = f (L) ~ \ trójkąt ~ f (R)}$
12. ${\ Displaystyle R \ czapka \ nazwa operatora {domena} f \ \ subseteq L}$
13. ${\ Displaystyle L \ czapka \ nazwa operatora {domena} f \ \ subseteq R}$
14. ${\ Displaystyle R \ subseteq L}$
15. ${\ Displaystyle L \ subseteq R}$

Ponadto zawsze obowiązują następujące zasady:

$${\ Displaystyle f \ lewo (f ^ {- 1} (L) \ czapka R \ prawej) ~ = ~ L \ czapka f (R) }$$

$${\ Displaystyle f \ lewo (f ^ {- 1} (L) \ kubek R \ prawej) ~ = ~ ( L\cap \operatorname {Im} f)\cup f(R)}$$

Warunki dla f(L\R) = f(L)\f(R)

$${\ Displaystyle f (L \ setminus R) ~ \ supseteq ~ f (L) \ setminus f (R) \ qquad \ qquad {\ tekst {\ tekst { zawsze trzyma}}}$$

Charakterystyka równości : Następujące stwierdzenia są równoważne:

1. ${\ Displaystyle f (L \ setminus R) ~ = ~ f (L) \ setminus f (R)}$
2. ${\ Displaystyle f (L \ setminus R) ~ \ subseteq ~ f (L) \ setminus f (R)}$
3. ${\ Displaystyle L \ czapka f ^ {- 1} (f (R)) ~ \ subseteq ~ R}$
4. ${\ Displaystyle L \ czapka f ^ {- 1} (f (R)) ~ = ~ L \ czapka R \ czapka \ nazwa operatora {domena } F}$
5. Ilekroć ${\ Displaystyle y \ in f (L) \ cap f (R)}$ wtedy ${\ Displaystyle L \ cap f ^ {- 1} (y) \ subseteq R.}$
6. ${\ textstyle f (L) \ cap f (R) ~ \ subseteq ~ \ lewo \ { y\in f(L):L\cap f^{-1}(y)\subseteq R\right\}}$
   • Zbiór po prawej stronie jest zawsze równy ${\ Displaystyle \ lewo \ {y \ w f (L \ czapka R): L \ czapka f ^ {-1} (y) \, \ subseteq R \ prawo \}.}$
7. ${\ textstyle f (L) \ czapka f (R) ~ = ~ \ lewo \ {y \in f (L): L \ cap f ^ {-1} (y) \ subseteq R \ right \}}$
   • To jest powyższy warunek ( f ), ale z symbolem podzbioru ${\ Displaystyle \, \ subseteq \, }$ zastąpione znakiem równości ${\ Displaystyle \, =. \,}$

Niezbędne warunki równości (z wyłączeniem charakterystyk): Jeśli zachodzi równość, to koniecznie muszą być spełnione następujące warunki:

1. ${\ Displaystyle f (L \ czapka R) = f (L) \ czapka f (R)}$ lub równoważnie ${\ Displaystyle f (L \ cap R) \ supseteq f (L) \ cap f (R).}$
2. ${\ Displaystyle L \ czapka f ^ {- 1} (f (R)) ~ = ~ L \ czapka f ^{-1}(f(L\cap R))}$ lub równoważnie, ${\ Displaystyle L \ czapka f ^ {- 1} (f (R)} ~ \ subseteq ~ f ^ {- 1} (f (L \ czapka R)}}$
3. ${\ Displaystyle R \ czapka f ^ {- 1} (f (L)) ~ = ~ R \ czapka f ^{-1}(f(L\cap R))}$

Wystarczające warunki równości : Równość zachodzi, jeśli którykolwiek z poniższych warunków jest spełniony:

1. ${\ displaystyle f}$ jest iniekcyjne.
2. Ograniczenie ${\ displaystyle f {\ duży \ vert} _ {L \ puchar R}}$ jest iniekcyjny.
3. ${\ Displaystyle f ^ {- 1} (f (R)) ~ \ subseteq ~ R}$ lub równoważnie ${\ Displaystyle R \ cap \ nazwa operatora {domena} f ~ = ~ f ^ {-1} (f (R))}$
4. ${\ Displaystyle R$$}$ jest ; to znaczy ${\ Displaystyle R = fa ^ {- 1} (f (R)).}$
5. ${\ Displaystyle f \ lewo (L ~ \ trójkąt ~ R \ prawo) \ subseteq f (L) ~ \ trójkąt ~ f (R)}$ lub równoważnie, ${\ Displaystyle f \ lewo (L ~ \ trójkąt ~ R \ prawo) = f (L) ~ \ trójkąt ~ f (R)}$

Warunki dla f(X\R) = f(X)\f(R)

$${\ Displaystyle f (X \ setminus R) ~ \ supseteq ~ f (X) \ setminus f (R) \ qquad \qquad {\text{zawsze zachodzi, gdzie }}f:X\do Y}$$

Charakterystyka równości : Następujące stwierdzenia są równoważne:

1. ${\ Displaystyle f (X \ setminus R) ~ = ~ f (X) \ setminus f (R)}$
2. ${\ Displaystyle f (X \ setminus R) ~ \ subseteq ~ f (X) \ setminus f (R)}$
3. ${\ Displaystyle f ^ {- 1} (f (R)) \ \ subseteq \, R}$
4. ${\ Displaystyle f ^ {- 1} (f (R)) \ = \, R \ czapka \ nazwa operatora {domena} f}$
5. ${\ Displaystyle R \ cap \ operatorname {domena} f}$ jest ${\ displaystyle f}$ -nasycony.
6. Ilekroć ${\ Displaystyle y \ in f (R)}$ wtedy ${\ Displaystyle f ^ {- 1} (y) \ subseteq R.}$
7. ${\ Textstyle f (R) ~ \ subseteq ~ \ lewo \ {y \ w f (R): f ^ {- 1 }(y)\subseteq R\right\}}$
8. ${\ textstyle f (R) ~ = ~ \ lewo \ {y \ w f (R): f ^ {- 1} (y)\subseteq R\right\}}$

gdzie jeśli jeśli to ta lista może zostać rozszerzona o: ${\ Displaystyle R \ subseteq \ nazwa operatora {domena} f}$

9. ${\ Displaystyle R$$}$ jest ; to znaczy ${\ Displaystyle R = fa ^ {- 1} (f (R)).}$

Wystarczające warunki równości : Równość zachodzi, jeśli którykolwiek z poniższych warunków jest spełniony:

1. ${\ displaystyle f}$ jest iniekcyjne.
2. ${\ Displaystyle R$$}$ jest ; to znaczy ${\ Displaystyle R = fa ^ {- 1} (f (R)).}$

Warunki dla f(L∆R) = f(L)∆f(R)

$${\ Displaystyle f \ lewo (L ~ \ trójkąt ~ R \ prawo) ~ \ supseteq ~ f (L) ~ \ trójkąt ~ f (R) \qquad \qquad {\text{zawsze trzyma}}}$$

Charakterystyka równości : Następujące stwierdzenia są równoważne:

1. ${\ Displaystyle f \ lewo (L ~ \ trójkąt ~ R \ prawo) = f (L) ~ \ trójkąt ~ f (R)}$
2. ${\ Displaystyle f \ lewo (L ~ \ trójkąt ~ R \ prawo) \ subseteq f (L) ~ \ trójkąt ~ f (R)}$
3. ${\ Displaystyle f (L \ \ setminus \, R) = f (L) \ \ setminus \, f (R)}$ i ${\ Displaystyle f (R \ \ setminus \, L) = f (R) \ \ setminus \, f (L)}$
4. ${\ Displaystyle f (L \ \ setminus \, R) \ subseteq f (L) \ \ setminus \, f (R)}$ i ${\ Displaystyle f (R \ \ setminus \, L) \ subseteq f (R) \ \ setminus \, f (L)}$
5. ${\ Displaystyle L \ czapka f ^ {- 1} (f (R)) ~ \ subseteq ~ R}$ i ${\ Displaystyle R \ cap f ^ {- 1} (f (L)) ~ \ subseteq ~ L}$
   • Inkluzje ${\ Displaystyle L \ czapka f ^ {- 1} (f (R)) ~ \ subseteq ~ f ^ {- 1} (f (L))} i$ R ${\ Displaystyle R \ cap f ^ {- 1} (f (L)) ~ \ subseteq ~ f ^ {- 1} (f (R))} zawsze$ trzymaj .
6. ${\ Displaystyle L \ czapka f ^ {- 1} (f (R)) ~ = ~ R \ czapka f ^ { -1} (f (L))}$
   • Jeśli powyższy zestaw równości jest spełniony, to ten zestaw będzie również równy zarówno $\ nazwa operatora {domena} f}$ nasadka ${\ Displaystyle L \ cap R \ cap f ^ {- 1} (f (L \ cap R)).}$
7. ${\ Displaystyle L \ czapka f ^ {- 1} (f (L \ czapka R)) ~ = ~R\cap f^{-1}(f(L\cap R))}$ i ${\ Displaystyle f (L \ cap R) ~ \ supseteq ~ f (L) \ cap f (R).}$

Niezbędne warunki równości (z wyłączeniem charakterystyk): Jeśli zachodzi równość, to koniecznie muszą być spełnione następujące warunki:

1. ${\ Displaystyle f (L \ czapka R) = f (L) \ czapka f (R)}$ lub równoważnie ${\ Displaystyle f (L \ cap R) \ supseteq f (L) \ cap f (R).}$
2. ${\ Displaystyle L \ czapka f ^ {- 1} (f (L \ czapka R)) ~ = ~R\cap f^{-1}(f(L\cap R))}$

Wystarczające warunki równości : Równość zachodzi, jeśli którykolwiek z poniższych warunków jest spełniony:

1. ${\ displaystyle f}$ jest iniekcyjne.
2. Ograniczenie ${\ displaystyle f {\ duży \ vert} _ {L \ puchar R}}$ jest iniekcyjny.

Dokładne wzory/równości dla obrazów operacji na zbiorach

Wzory na f(L\R) =

Dla dowolnej funkcji $i$ zestawów ${\ Displaystyle L}$ , $Displaystyle R$

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane w} {4} f (L \ setminus R) & = Y ~~~ \; \, \, \ setminus \ lewo \ {y \ w Y ~~~~~~~~~ ~\;\,~:~L\cap f^{-1}(y)\subseteq R\right\}\\[0.4ex]&=f(L)\setminus \left\{y\in f( L)~~~~~~~\,~:~L\cap f^{-1}(y)\subseteq R\right\}\\[0.4ex]&=f(L)\setminus \left\ {y\in f(L\cap R)~:~L\cap f^{-1}(y)\subseteq R\right\}\\[0.4ex]&=f(L)\setminus \left\ {y\in V~~~~~~~~~~~~\,~:~L\cap f^{-1}(y)\subseteq R\right\}\qquad &&{\text{ dla dowolnego nadzbiór }}\quad V\supseteq f(L\cap R)\\[0.4ex]&=f(S)\setminus \left\{y\in f(S)~~~~~~~\,~ :~L\cap f^{-1}(y)\subseteq R\right\}\qquad &&{\text{ dla dowolnego nadzbioru }}\quad S\supseteq L\cap X.\\[0.7ex]\ koniec {wyrównany data}}}$$

Wzory na f(X\R) =

Biorąc ${\ Displaystyle L: = X = \ operatorname {domena} f}$ w powyższych wzorach daje:

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane dat} {4} f (X \ setminus R) & = Y ~~~ \; \, \, \ setminus \ lewo \ {y \ w Y ~~~~ \; \, \ ,:~f^{-1}(y)\subseteq R\right\}\\[0.4ex]&=f(X)\setminus \left\{y\in f(X)~:~f^{ -1}(y)\subseteq R\right\}\\[0.4ex]&=f(X)\setminus \left\{y\in f(R)~:~f^{-1}(y) \subseteq R\right\}\\[0.4ex]&=f(X)\setminus \left\{y\in W~~~\;\,\,:~f^{-1}(y)\ subseteq R\right\}\qquad {\text{dla dowolnego nadzbioru}}\quad W\supseteq f(R)\\[0.4ex]\end{alignedat}}}$$

gdzie zbiór $}$${\ Displaystyle \ lewo \ {y \ in f (R): f ^ {- 1} (y) \ subseteq R \ prawo \$ } $-nasyconym$${\ Displaystyle R.}$ obrazowi pod największym $podzbiorem$

• Ogólnie rzecz biorąc, tylko $supseteq \, f (X) \ setminus f (R)}$ \ równość nie jest gwarantowana; ale zastępując " ${\ Displaystyle f (R)}$ " z jego podzbiorem " ${\ Displaystyle \ lewo \ {y \ in f (R): f ^ {- 1} (y) \ subseteq R \ right \}} " daje$ wzór, w którym równość jest zawsze gwarantowana:
  $${\ Displaystyle f (X \ setminus R) \, = \, f (X) \ setminus \ lewo \ {y \ in f (R): f ^ {- 1} (y) \ subseteq R \ right \}. }$$
  Z tego wynika, że:
  $${\ Displaystyle f (X \ setminus R) = f (X) \ setminus f (R) \ quad {\ tekst {jeśli i tylko wtedy, gdy}} \ quad f (R) = \ lewo \ {y \ in f (R ):f^{-1}(y)\subseteq R\right\}\quad {\text{ wtedy i tylko wtedy, gdy }}\quad f^{-1}(f(R))\subseteq R.}$$
• Jeśli ${\ Displaystyle f_ {R}: = \ lewo \ {y \ w f (X): f ^ {- 1} ( y) \ subseteq R \ prawo \}}$ wtedy ${\ Displaystyle f (X \ setminus R) = f (X) \ setminus f_ {R},}$ który można zapisać bardziej symetrycznie jako ${\ Displaystyle f (X \ setminus R) = f_ {X} \ setminus f_ {R}}$ (ponieważ ${\ Displaystyle f_ {X} =f(X)}$ ).

Wzory na f(L∆R) =

${\ Displaystyle L \, \ trójkąt \, R = (L \ kubek R) \ setminus (L \ cap R)}$ ∖ z powyższych wzorów dla obraz zestawu odejmowania, który dla dowolnej funkcji $Displaystyle R,$$Displaystyle$ L $L}$ i

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane w} {4} f (L \, \ trójkąt \, R) & = Y ~~~ \; ~~~ \; ~~~ \; \ setminus \ lewo \ {y \ w Y~~~\,~~~\;~~~\,~~:~L\cap f^{-1}(y)=R\cap f^{-1}(y)\right\}\ \[0.4ex]&=f(L\cup R)\setminus \left\{y\in f(L\cup R)~:~L\cap f^{-1}(y)=R\cap f ^{-1}(y)\right\}\\[0.4ex]&=f(L\cup R)\setminus \left\{y\in f(L\cap R)~:~L\cap f ^{-1}(y)=R\cap f^{-1}(y)\right\}\\[0.4ex]&=f(L\cup R)\setminus \left\{y\in V ~~~\,~~~~~~~~~~:~L\cap f^{-1}(y)=R\cap f^{-1}(y)\right\}\qquad &&{ \text{ dla dowolnego nadzbioru }}\quad V\supseteq f(L\cap R)\\[0.4ex]&=f(S)~~\,~~~\,~\,\setminus \left\{ y\in f(S)~~~\,~~~\;~:~L\cap f^{-1}(y)=R\cap f^{-1}(y)\right\}\ qquad &&{\text{ dla dowolnego nadzbioru }}\quad S\supseteq (L\cup R)\cap X.\\[0.7ex]\end{alignedat}}}$$

Wzory na f(L) =

$,$ na obraz odejmowania zbioru wynika, że ​​dla dowolnej funkcji L $displaystyle L,}$

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane 4} f (L) & = Y ~~~ \; \ \ setminus \ left\{y\in Y~~~\;\,~:~f^{-1}(y)\cap L=\varnic \right\}\\[0.4ex]&=\operatorname {Im} f \setminus \left\{y\in \operatorname {Im} f~:~f^{-1}(y)\cap L=\varnothing \right\}\\[0.4ex]&=W~~~\ ,\setminus \left\{y\in W~~\;\,~:~f^{-1}(y)\cap L=\varnothing \right\}\qquad {\text{ dla dowolnego nadzbioru }} \quad W\supseteq f(L)\\[0.7ex]\end{alignedat}}}$$

$f ^ {- 1} (y$ faktu, że dla każdego $Displaystyle$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle y \ nie \ w f (L).}$

Wzory na f(L⋂R) =

Z powyższych wzorów na obraz zbioru wynika, że ​​dla dowolnej funkcji $i$ { $displaystyle L}$ R $displaystyle R,}$

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane dat} {4} f (L \ cap R) & = Y ~~~~~ \ setminus \ lewo \ {y \ w Y ~~~~~~: ~ L \ cap R \ cap f^{-1}(y)=\varnic \right\}&&\\[0.4ex]&=f(L)\setminus \left\{y\in f(L)~:~L\cap R \cap f^{-1}(y)=\varnic \right\}&&\\[0.4ex]&=f(L)\setminus \left\{y\in U~~~~~~:~L \cap R\cap f^{-1}(y)=\varnic \right\}\qquad &&{\text{ dla dowolnego nadzbioru }}\quad U\supseteq f(L)\\[0.4ex]&= f(R)\setminus \left\{y\in f(R)~:~L\cap R\cap f^{-1}(y)=\varnic \right\}&&\\[0.4ex]& =f(R)\setminus \left\{y\in V~~~~~~:~L\cap R\cap f^{-1}(y)=\varnothing \right\}\qquad &&{\ text{ dla dowolnego nadzbioru }}\quad V\supseteq f(R)\\[0.4ex]&=f(L)\cap f(R)\setminus \left\{y\in f(L)\cap f (R)~:~L\cap R\cap f^{-1}(y)=\varnothing \right\}&&\\[0.7ex]\end{alignedat}}}$$

gdzie ponadto dla dowolnego ${\ Displaystyle y \ w Y}$

${\ Displaystyle L \ cap f ^ {- 1} (y) \ subseteq L \ setminus R ~}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle ~ L \ czapka R \ czapka f ^ {-1} (y) = \ varnothing ~}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle ~ R \ cap f ^ {- 1} (y) \ subseteq R \ setminus L ~}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle ~ y \ nie \ w f (L \ cap R).}$

zestawy i ${$$\ Displaystyle V}$ mogą w szczególności być dowolnymi zbiorami $f (L \ kubek R) \ ;\ nazwa_operatora {Im} f,}$ lub ${\ displaystyle Y,}$ na przykład.

(Pre)obrazy operacji na zestawach na (pre)obrazach

Niech ${\ Displaystyle L}$ i ${\ Displaystyle R}$ będą dowolnymi zbiorami, ${\ Displaystyle f: X \ do Y}$ będzie dowolną mapą i niech ${\ Displaystyle A \ subseteq X}$ i ${\ Displaystyle C \ subseteq Y.}$

Obraz przedobrazowy	Preobraz obrazu	Dodatkowe założenia dotyczące zbiorów
${\ Displaystyle f \ lewo (f ^ {- 1} (L) \ czapka R \ prawej) = L \ czapka f (R)}$	${\ Displaystyle f ^ {- 1} (f (L) \ czapka R) ~ \ supseteq ~ L \ czapka f ^ {- 1 }(R)}$	Nic
${\ Displaystyle f \ lewo (f ^ {- 1} (L) \ kubek R \right)~=~(L\cap \nazwa operatora {Im} f)\cup f(R)~\subseteq ~L\cup f(R)}$	${\ Displaystyle f ^ {- 1} (f (A) \ kubek R) ~ \ supseteq ~ A \ kubek f ^ {- 1 }(R)}$ Równość zachodzi, jeśli spełniony jest którykolwiek z poniższych warunków: ${\ displaystyle f (A) \ subseteq R.}$ ${\ Displaystyle A \ subseteq f ^ {- 1} (R).}$	${\ Displaystyle A \ subseteq X}$

(Pre)Obrazy operacji na obrazach

Ponieważ ${\ Displaystyle f (L) \ setminus f (L \ setminus R )~=~\left\{y\in f(L\cap R)~:~L\cap f^{-1}(y)\subseteq R\right\},}$

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane w} {4} f ^ {- 1} (f (L) \ setminus f (L \ setminus R))&=&&f^{-1}\left(\left\{y\in f(L\cap R)~:~L\cap f^{-1}(y)\subseteq R\right\} \right)\\&=&&\left\{x\in f^{-1}(f(L\cap R))~:~L\cap f^{-1}(f(x))\subseteq R\right\}\\\end{wyrównanydat}}}$$

Ponieważ ${\ Displaystyle f (X) \ setminus f (L \ setminus R) ~ =~\left\{y\in f(X)~:~L\cap f^{-1}(y)\subseteq R\right\},}$

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane w {4} f ^ {- 1} (Y \ setminus f (L \ setminus R)) & ~ = ~ & & f ^ {-1} (f (X) \ setminus f (L \setminus R))\\&=&&f^{-1}\left(\left\{y\in f(X)~:~L\cap f^{-1}(y)\subseteq R\right\ }\right)\\&=&&\left\{x\in X~:~L\cap f^{-1}(f(x))\subseteq R\right\}\\&~=~&&X\ setminus f^{-1}(f(L\setminus R))\\\end{wyrównanydat}}}$$

L ${\ Displaystyle L: = X,}$ staje się to ${\ Displaystyle ~ f(X)\setminus f(X\setminus R)~=~\left\{y\in f(R)~:~f^{-1}(y)\subseteq R\right\}~}$ i

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane dat} {4} f ^ {- 1} (Y \ setminus f (X \ setminus R ))&~=~&&f^{-1}(f(X)\setminus f(X\setminus R))\\&=&&f^{-1}\left(\left\{y\in f(R )~:~f^{-1}(y)\subseteq R\right\}\right)\\&=&&\left\{r\in R\cap X~:~f^{-1}(f (r))\subseteq R\right\}\\&\subseteq &&R\\\end{alignedat}}}$$

a więc

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane w {4} f ^ {- 1} (Y \ setminus f (L)) & ~ = ~ & & f ^ {-1} (f (X) \ setminus f (L)) \ \&=&&f^{-1}\left(\left\{y\in f(X\setminus L)~:~f^{-1}(y)\cap L=\varnothing \right\}\right )\\&=&&\{x\in X\setminus L~:~f(x)\not \in f(L)\}\\&=&&X\setminus f^{-1}(f(L) )\\&\subseteq &&X\setminus L\\\end{wyrównanydat}}}$$

(Pre)obrazy i iloczyny kartezjańskie Π

Niech ${\ Displaystyle \ prod Y_ {\ punktor}: = \ prod _ {j \ w J} Y_ {j}}$ i dla każdego ${\ Displaystyle k \ w J,}$ niech

$${\ Displaystyle \ pi _ {k} ~: ~ \ prod _ {j \ w J} Y_ {j} ~ \ do ~ Y_ {k}}$$

oznaczamy projekcję kanoniczną na ${\ Displaystyle Y_ {k}.}$

Definicje

Biorąc pod uwagę zbiór map indeksowanych przez ${\ displaystyle j \ w J$$},$ definiujemy mapę

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane dat} {4} \ lewo (F_ {j} \ w prawo)_{j\w J}:\;&&X&&\;\do \;&\prod _{j\w J}Y_{j}\\[0.3ex]&&x&&\;\mapsto \;&\left( F_{j}\left(x_{j}\right)\right)_{j\in J},\\\end{wyrównanydat}}}$$

co jest również oznaczone przez ${\ Displaystyle F_ {\ punktor} = \ lewo (F_ {j} \ prawo) _ {j \ w J}.}$ To jest wyjątkowa mapa satysfakcjonująca

$${\ Displaystyle \ pi _ {j} \ circ F _ {\ punktor} = F_ {j} \ quad {\ tekst {dla wszystkich}} j \ w J.}$$

I odwrotnie, jeśli otrzymamy mapę

$${\ Displaystyle F ~: ~ X ~ \ do ~ \ prod _ {j \ w J} Y_ {j}}$$

wtedy ${\ Displaystyle F = \ lewo (\ pi _ {j} \ circ F \ prawej) _ {j \ in J}.}$ Wyraźnie oznacza to, że jeśli

$${\ Displaystyle F_ {k} ~: = ~ \ pi _ {k} \ circ F ~: ~ X ~ \ do ~ Y_ {k}}$$

${\ displaystyle F} {j}}$ każdej unikalnej mapy spełniającej wymagania: $\ in J},$$a$ następnie dla wszystkich ${\ Displaystyle j \ w J;}$ lub mówiąc krócej, ${\ Displaystyle F = \ lewo (F_ {j} \ prawo) _ {j \ w J}.}$

fa $\ Displaystyle F _ {\ punktor} = \ lewo (F_ {j} \ prawej) _ {j \ w J} ~: ~ X ~ \ do ~ \ prod _ {j \ in J} Y_ {j}}$ nie należy mylić z iloczynem kartezjańskim $\ Displaystyle \ prod _ {j \ in J} F_ {j}}$ tych map, który z definicji jest mapą

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane dat} {4} \ prod _ {j \ w J} F_ {j}: \; &&\ prod _ {j \ w J} X & & ~ \; \ do \; ~ & \ prod _{j\w J}Y_{j}\\[0.3ex]&&\left(x_{j}\right)_{j\in J}&&~\;\mapsto \;~&\left(F_{ j}\left(x_{j}\right)\right)_{j\in J}\\\end{wyrównane w}}}$$

z domeną ${\ Displaystyle \ prod _ {j \ w J} X = X ^ {J}}$ zamiast ${\ Displaystyle X.}$

Przedobraz i obrazy iloczynu kartezjańskiego

Załóżmy, że ${\ Displaystyle F _ {\ punktor} = \ lewo (F_ {j} \ prawo) _ {j \ w J} ~: ~ X ~ \ do ~ \ prod _ {j \ w J} Y_ {j}.}$

Jeśli wtedy ${\ Displaystyle A ~ \ subseteq ~ X}$

$${\ Displaystyle F _ {\ punktor} (A) ~ ~ \; \ kolor {czerwony} {\ subseteq} \ kolor {czarny}} \; ~ ~ \ prod _ {j \ w J} F_ {j} (A ).}$$

${\ Displaystyle B ~ \ subseteq ~ \ prod _ {j \ w J} Y_ {j}$ ⊆ to

$${\ Displaystyle F _ {\ punktor} ^ {- 1} (B) ~ ~ \; \ kolor {czerwony} {\ subseteq }\color {Czarny}{}\;~~\bigcap _{j\w J}F_{j}^{-1}\left(\pi _{j}(B)\right)}$$

gdzie $_$ w ${\ Textstyle F _ {\ punktor} ^ {- 1} (B) = \ Displaystyle \ bigcap _ {j \ w J} F_ {j$ I

$${\ Displaystyle F _ {\ punktor} ^ {- 1} \ lewo (\ prod _ {j \ w J} \ pi _ {j} (B) \ prawej) ~ = ~ \ bigcap _ {j \ w J} F_ {j}^{-1}\left(\pi _{j}(B)\right).}$$

 

 

 

 

()

Aby równość była zachowana, wystarczy, aby istniała rodzina ${\ Displaystyle \ lewo (B_ {j} \ prawej) _ {j \ w J}}$ podzbiorów ${\ displaystyle B_ {j} \ subseteq Y_ {j}}$ takie, że $\ displaystyle B = \ prod _ {j \ in J} B_ {j},}$ w takim przypadku:

$$\ Displaystyle F _ {\ punktor} ^ {- 1} \ lewo (\ prod _ {j \ w J} B_{j}\right)~=~\bigcap _{j\w J}F_{j}^{-1}\left(B_{j}\right)}$$

 

 

 

 

()

i ${\ Displaystyle \ pi _ {j} (B) = B_ {j}}$ dla wszystkich ${\ displaystyle j \ w j.}$

(Pre)Obraz pojedynczego zestawu

Obraz	Przedobraz	Dodatkowe założenia
${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane 4} f (L) & = f (L \ czapka \ nazwa operatora {domena} f) \\& = f (L \ czapka X) \\&=Y~~~~\,\setminus \left\{y\in Y~~~~\,:f^{-1}(y)\subseteq X\setminus L\right\}\\& =\operatorname {Im} f\setminus \left\{y\in \operatorname {Im} f:f^{-1}(y)\subseteq X\setminus L\right\}\\\end{alignedat}} }$	${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane dat} {4} f ^ {- 1} (L) & = f ^{-1}(L\cap \operatorname {Im} f)\\&=f^{-1}(L\cap Y)\end{wyrównanydat}}}$	Nic
${\ Displaystyle f (X) = \ operatorname {Im} f \ subseteq Y}$	${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane } {4} f ^ {- 1} (Y) & = X \\ f ^ {- 1} (\operatorname {Im} f)&=X\end{wyrównanydat}}}$	Nic
${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane 4} f (L) & = f (L\cap R~&&\cup ~&&(&&L\setminus R))\\&=f(L\cap R)~&&\cup ~f&&(&&L\setminus R)\end{alignedat}}}$	${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane dat} {4} f ^ {-1} (L) & = f ^ {-1} (L \ czapka R & & \ puchar & & (&& L & & \ setminus && R)) \\& = f ^ {-1}(L\cap P)&&\cup f^{-1}&&(&&L&&\setminus &&R)\\&=f^{-1}(L\cap P)&&\cup f^{-1 }&&(&&L&&\setminus [&&R\cap \operatorname {Im} f])\\&=f^{-1}(L\cap R)&&\cup f^{-1}&&([&&L\cap \ nazwa_operatora {im} f]&&\setminus &&R)\\&=f^{-1}(L\cap R)&&\cup f^{-1}&&([&&L\cap \nazwa_operatora {im} f]&& \setminus [&&R\cap \operatorname {Im} f])\end{wyrównanydat}}}$	Nic
${\ Displaystyle \ operatorname {Im} f = f (X) ~ = ~ f (L) \ kubek f (X \ setminus L) }$	${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane dat} {4} X & = f ^{-1}(L)\cup f^{-1}(Y&&\setminus L)\\&=f^{-1}(L)\cup f^{-1}(\operatorname {Im} f&& \setminus L)\end{wyrównanydat}}}$	Nic
${\ Displaystyle f {\ duży \ vert} _ {L} (R) = f (L \ cap R)}$	${\ Displaystyle \ lewo (f {\ duży \ vert} _ {L} \ prawej) ^ {- 1} (R) = L \ czapka f^{-1}(R)}$	Nic
${\ Displaystyle (g \ circ f) (L) ~ = ~ g (f (L))}$	${\ Displaystyle (g \ circ f) ^ {- 1} (L) ~ = ~ f ^ {- 1} \ lewo (g^{-1}(L)\prawo)}$	Brak ( i ${\ displaystyle$$}$ są funkcjami arbitralnymi).
${\ Displaystyle f \ lewo (f ^ {- 1} (L) \ prawej) = L \ czapka \ nazwa operatora {im} f}$	${\ Displaystyle f ^ {- 1} (f (L)) ~ \ supseteq ~ L \ cap f^{-1}(\operatorname {Im} f)=L\cap f^{-1}(Y)}$	Nic
${\ Displaystyle f \ lewo (f ^ {- 1} (Y) \ prawo) = f \ lewo ( f^{-1}(\nazwa operatora {Im} f)\right)=f(X)}$	${\ Displaystyle f ^ {- 1} (f (X)) = f ^ {- 1} (\ operatorname {im} f) =X}$	Nic
${\ Displaystyle f \ lewo (f ^ {- 1} (f (L)} \ prawej) = f (L)}$	${\ Displaystyle f ^ {- 1} \ lewo (f \ lewo (f ^ {- 1} (L) \ prawo) \ prawo)=f^{-1}(L)}$	Nic

Zawartości ⊆ i przecięcia ⋂ obrazów i przedobrazów

Równoważności i implikacje obrazów i przedobrazów

Obraz	Przedobraz	Dodatkowe założenia dotyczące zbiorów
${\ Displaystyle f (L) \ subseteq \ operatorname {Im} f \ subseteq Y}$	${\ Displaystyle f ^ {- 1} (L) = X}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle \ operatorname {Im} f \ subseteq L}$	Nic
${\ Displaystyle f (L) = \ varnothing}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle L \ cap \ operatorname {domena} f = \ varnothing}$	${\ Displaystyle f ^ {- 1} (L) = \ varnothing}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle L \ cap \ operatorname {Im} f = \ varnothing }$	Nic
${\ Displaystyle f (A) = \ varnothing}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle A = \ varnothing}$	${\ Displaystyle f ^ {- 1} (C) = \ varnothing}$ wtedy i tylko wtedy, gdy do $\ Displaystyle C \ subseteq Y \ setminus \ operatorname {Im} f }$	${\ Displaystyle A \ subseteq X}$ i do $}$
${\ Displaystyle L \ subseteq R}$ implikuje ${\ Displaystyle f (L) \ subseteq f (R)}$	${\ Displaystyle L \ subseteq R}$ implikuje ${\ Displaystyle f ^ {- 1} (L) \ subseteq f ^ {- 1} (R)}$	Nic
Następujące są równoważne: ${\ Displaystyle f (L) \ subseteq f (R)}$ ${\ Displaystyle f (L \ kubek R) = f (R)}$ ${\ Displaystyle L \ cap \ nazwa operatora {domena} f ~ \ subseteq ~ f ^ {- 1} (f (R))}$	Następujące są równoważne: ${\ Displaystyle f ^ {- 1} (L) \ subseteq f ^ {- 1} (R)}$ ${\ Displaystyle f ^ {- 1} (L \ kubek R) = f ^ {- 1} (R)}$ ${\ Displaystyle L \ cap \ nazwa operatora {Im} f \ subseteq R}$ Jeśli do ${\ Displaystyle C ~ \ subseteq ~ \ operatorname {Im} f}$$- 1} (C) ~ \ subseteq ~f^{-1}(R)}$ ) wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle C ~ \ subseteq ~ R.}$	$f}$
Poniższe są równoważne, gdy do ${\ Displaystyle C \ subseteq Y:$ ${\ Displaystyle C \ subseteq f (R)}$ ${\ Displaystyle f (B) = C}$ dla niektórych ${\ Displaystyle B \ subseteq R}$ ${\ Displaystyle f (B) = C}$ dla niektórych ${\ Displaystyle B \ subseteq R \ cap \ operatorname {domena} f}$	Następujące są równoważne: ${\ Displaystyle L \ subseteq fa ^ {- 1} (R)}$ ${\ Displaystyle f (L) \ subseteq R}$ i ${\ Displaystyle L \ subseteq \ nazwa operatora {domena} f}$ Poniższe są równoważne, gdy ${\ Displaystyle A \ subseteq X:}$ ${\ Displaystyle A \ subseteq f ^ {- 1} (R)}$ ${\ Displaystyle f (A) \ subseteq R}$	${\ Displaystyle A \ subseteq X}$ i do $}$
Następujące są równoważne: ${\ Displaystyle f (A) ~ \ supseteq ~ f (X \ setminus A)}$ ${\ Displaystyle f (A) = \ operatorname {im} f}$	Następujące są równoważne: ${\ Displaystyle f ^ {- 1} (C) ~ \ supseteq ~ f ^ {- 1} (Y \ setminus C)}$ ${\ Displaystyle f ^ {- 1} (C) = X}$	${\ Displaystyle A \ subseteq X}$ i do $}$
${\ Displaystyle f \ lewo (f ^ {- 1} (L) \ prawej) \ subseteq L}$ Równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy prawdziwe jest: ${\ Displaystyle L \ subseteq \ nazwa operatora {Im} f.}$ Równość zachodzi, jeśli spełniony jest którykolwiek z poniższych warunków: ${\ Displaystyle L \ subseteq Y}$ i ${\ Displaystyle f: X \ do Y}$ jest suriekcją.	${\ Displaystyle f ^ {- 1} (f (A)) \ supseteq A}$ Równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy prawdziwe jest: ${\ Displaystyle A}$ jest $-$ nasycony. Równość zachodzi, jeśli spełniony jest którykolwiek z poniższych warunków: ${\ displaystyle f}$ jest iniekcyjne.	${\ Displaystyle A \ subseteq X}$

Przecięcie zbioru i (pre)obrazu

Następujące instrukcje są równoważne:

1. ${\ Displaystyle \ varnothing = f (L) \ czapka R}$
2. ${\ Displaystyle \ varnothing = L \ czapka f ^ {- 1} (R)}$
3. ${\ Displaystyle \ varnothing = f ^ {- 1} (f (L)) \ czapka f ^ {- 1} (R)}$
4. ${\ Displaystyle \ varnothing = f ^ {- 1} (f (L) \ czapka R)}$

Tak więc dla każdego ${\ displaystyle t,}$

$${\ Displaystyle t \ nie \ w f (L) \ quad {\ tekst {jeśli i tylko wtedy, gdy}} \ quad L \ cap f ^ {- 1} (t) = \ varnothing.}$$

Sekwencje i zbiory rodzin zbiorów

Definicje

Rodzina zbiorów lub po prostu rodzina to zbiór, którego elementami są zbiory. Rodzina ponad $X$ rodzina ${\ Displaystyle X.}$

Zbiór mocy zbioru to zbiór wszystkich podzbiorów $\ displaystyle X} : X {$ \ $X}$

$${\ Displaystyle \ wp (X) ~ \ dwukropek = ~ \ {\; S ~: ~ S \ subseteq X \; \}.}$$

Notacja dla ciągów zbiorów

$}} T}$ { i będą dowolnymi zbiorami i będą oznaczać $to$ lub sekwencję zbiorów, gdzie jeśli jest wtedy będzie to wskazane przez jeden z zapisów

$${\ Displaystyle S _ {\ punktor} = \ lewo (S_ {i} \ prawo) _ {i = 1} ^ {\ infty }\qquad {\text{lub }}\qquad S_{\bullet }=\left(S_{i}\right)_{i\in \mathbb {N}}}$$

gdzie $_$ liczby naturalne . Notacja ${\ Displaystyle S _ {\ punktor} = \ lewo (S_ {i} \ prawo) _ {i \ w I}}$ wskazuje, że ${\ Displaystyle S_ {\ punktor }}$ to sieć skierowana przez ${\ Displaystyle (I, \ równoważnik)},$ która (z definicji) jest sekwencją jeśli zbiór $,$ zbiorem indeksującym sieci jest liczbami naturalnymi (to znaczy, jeśli ) i $\ Displaystyle I = \ mathbb {N}}$ ) ja ${\ displaystyle \, \leq \,}$ jest porządkiem naturalnym na ${\ Displaystyle \ mathbb {N}.}$

Rozłączne i monotoniczne ciągi zbiorów

$S_ {j} = \ varnothing}$ cap dla wszystkich odrębnych indeksów ${\ Displaystyle i \ neq j}$ to ${\ Displaystyle S_ {\ punktor }}$ jest nazywany rozłącznym parami lub po prostu rozłącznym . Sekwencja lub sieć zestawu nazywana jest rosnącą lub nie malejącą , jeśli (odp. malejąca) $S ∙ {\ Displaystyle S _ {\ punktor$ lub nierosnący ), jeśli dla wszystkich indeksów ${\ Displaystyle i \ równoważnik j,}$${\ Displaystyle S_ {i} \ subseteq S_ {j}}$ (odp. ${ \displaystyle S_{i}\supseteq S_{j}}$ ). Sekwencja lub sieć zbioru nazywana jest ściśle rosnącą (odp. Ściśle malejąca ), jeśli nie maleje (odp. Nie rośnie), a także S ∙ {\ displaystyle $_ {\$${\ Displaystyle S_ {i} \ neq S_ {j}}$ dla wszystkich odrębnych indeksów ${\ Displaystyle i {\ text {i}} j.}$ Nazywa się to monotonią , jeśli nie maleje lub nie rośnie, i nazywa się ściśle monotonią, jeśli jest ściśle rosnąca lub ściśle malejąca.

Mówi się, że sekwencje lub sieć rosną do $}$${\ Displaystyle S _ {\ punktor} \ nearrow S,}$ przez $\ Displaystyle S _ {\ punktor$$\ uparrow S} lub S ∙ ↗ S ∙ {\$ _ jeśli ${\ Displaystyle S _ {\ punktor}}$ rośnie, a suma wszystkich ${\ displaystyle S_ {i}}$ to ${\ displaystyle S;}$ to znaczy, jeśli

$${\ Displaystyle \ bigcup _ {n} S_ {n} = S \ qquad {\ tekst {i}} \ qquad S_ {i} \ subseteq S_ {j} \ quad {\ tekst {kiedykolwiek}} i \ równoważnik j. }$$

Mówi się, że $\$ się do oznaczonego przez $Displaystyle S _ {\ punktor} \ downarrow S}$ lub $\ Displaystyle S _ {\ punktor} \ searrow S, }$ jeśli ${\ Displaystyle S _ {\ punktor}}$ rośnie, a przecięcie wszystkich ${\ Displaystyle S_ {i}}$ jest ${\ Displaystyle S}$ , to znaczy, jeśli

$${\ Displaystyle \ bigcap _ {n} S_ {n} = S \ qquad {\ tekst {i}} \ qquad S_ {i} \ supseteq S_ {j} \ quad {\ tekst {kiedykolwiek}} i \ równoważnik j. }$$

Definicje operacji elementarnych na rodzinach

Jeśli ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} {\ tekst {i}} {\ mathcal {R}}} są$ rodzinami zbiorów i jeśli jest dowolnym zbiorem, to zdefiniuj: ${\ displaystyle S}$

$${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} \; (\ kubek) \; {\ mathcal {R}} ~ \ dwukropek = ~ \{~L\cup R~:~L\in {\mathcal {L}}~{\text{i }}~R\in {\mathcal {R}}~\}}$$

$${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} \; (\ czapka) \; {\ mathcal {R}} ~ \ dwukropek = ~ \{~L\cap R~:~L\in {\mathcal {L}}~{\text{i }}~R\in {\mathcal {R}}~\}}$$

$${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} \; (\ setminus) \; {\ mathcal {R}} ~ \ dwukropek = ~ \{~L\setminus R~:~L\in {\mathcal {L}}~{\text{i }}~R\in {\mathcal {R}}~\}}$$

$${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} \; (\ trójkąt) \; {\ mathcal {R}} ~ \ dwukropek = ~ \{~L\;\triangle \;R~:~L\in {\mathcal {L}}~{\text{i}}~R\in {\mathcal {R}}~\}}$$

$${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} {\ duży \ vert} _ {S} ~ \ okrężnica = ~ \ {L \ cap S~:~L\in {\mathcal {L}}\}={\mathcal {L}}\;(\cap )\;\{S\}}$$

$które$ ograniczeniem do ${\ displaystyle S.}$ odpowiednio nazywane zjednoczeniem elementarnym , przecięciem elementarnym , różnicą elementarną ( zestaw ) , elementarną różnicą symetryczną i śladem / Regularna suma, przecięcie i różnica zestawu są zdefiniowane jak zwykle i oznaczone ich zwykłym zapisem: ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} \ kubek {\ mathcal {R}}, {\ mathcal {L}} \ cap {\ mathcal {R}}, {\ mathcal$ i ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} \ setminus {\ mathcal {R}},}$ odpowiednio. Te elementarne operacje na rodzinach zbiorów odgrywają ważną rolę między innymi w teorii filtrów i filtrów wstępnych na zbiorach.

Zamknięcie w górę w $\$ rodzinie jest rodziną: $Displaystyle {\ mathcal {L}} \ subseteq \ wp (X)$

$${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} ^ {\ uparrow X }~\colon =~\bigcup _{L\in {\mathcal {L}}}\{\;S~:~L\subseteq S\subseteq X\;\}~=~\{\;S\subseteq X~:~{\text{ istnieje }}L\in {\mathcal {L}}{\text{ takie, że }}L\subseteq S\;\}}$$

a zamknięciem w dół ${\ displaystyle {\ mathcal {L}}}$ jest rodzina:

$${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} ^ {\ strzałka w dół} ~ \ okrężnica = ~ \ bigcup _ {L \ w {\ mathcal {L}}} \ wp (L) ~ = ~ \ {\; S ~: ~{\text{ istnieje }}L\in {\mathcal {L}}{\text{ takie, że }}S\subseteq L\;\}.}$$

Definicje kategorii rodzin zbiorów

${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}} fa {$ Rodziny zestawów nad $Displaystyle \ Omega}$
Jest koniecznie prawdziwe dla $}$$\ displaystyle {\ mathcal {F}} \$ lub jest zamknięte pod:	Reżyseria : ${\ Displaystyle \, \ supseteq}$	${\ Displaystyle A \ czapka B}$	${\ Displaystyle A \ kubek B}$	${\ Displaystyle B \ setminus A}$	${\ Displaystyle \ Omega \ setminus A}$	${\ Displaystyle A_ {1} \ czapka A_ {2} \ czapka \ cdots}$	${\ Displaystyle A_ {1} \ kubek A_ {2} \ kubek \ cdots}$	${\ Displaystyle \ Omega \ w {\ mathcal {F}}}$	${\ Displaystyle \ varnic \ w {\ mathcal {F}}}$	FIP
układ π
Semiring										Nigdy
Semilgebra (Semifield)										Nigdy
Klasa monotonna						tylko jeśli ${\ Displaystyle A_ {i} \ searrow}$	tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle A_ {i} \ nearrow}$
𝜆-system (System Dynkina)				tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle A \ subseteq B}$			tylko wtedy, gdy lub są rozłączne ${\ Displaystyle A_ {i} \ nearrow}$			Nigdy
Pierścień (teoria porządku)
Pierścień (teoria miary)										Nigdy
δ-Pierścień										Nigdy
𝜎-Pierścień										Nigdy
Algebra (Dziedzina)										Nigdy
𝜎-Algebra (𝜎-Pole)										Nigdy
Podwójny ideał
Filtr				Nigdy	Nigdy				${\ Displaystyle \ varnic \ nie \ w {\ mathcal {F}}}$
Filtr wstępny (podstawa filtra)				Nigdy	Nigdy				${\ Displaystyle \ varnic \ nie \ w {\ mathcal {F}}}$
Filtruj bazę podrzędną				Nigdy	Nigdy				${\ Displaystyle \ varnic \ nie \ w {\ mathcal {F}}}$
Topologia otwarta							(nawet arbitralne ) ${\ Displaystyle \ puchar$ }			Nigdy
Topologia zamknięta						(nawet arbitralnie ${\ Displaystyle \ cap}$ )				Nigdy
Jest koniecznie prawdziwe dla $}$$\ displaystyle {\ mathcal {F}} \$ lub jest zamknięte pod:	skierowany w dół	skończone przecięcia	skończone związki	względne komplementy	uzupełnia w ${\ Displaystyle \ Omega}$	przeliczalne skrzyżowania	policzalne związki	zawiera ${\ Displaystyle \ Omega}$	zawiera ${\ Displaystyle \ varnothing}$	Skończona właściwość przecięcia
Dodatkowo półpierścień jest systemem π $sumie$ którym każde dopełnienie jest równe skończonej $Displaystyle {\ mathcal {F}}.}$ zbiorów w \ Semialgebra to semiring, który zawiera ${\ Displaystyle \ Omega.}$${\ Displaystyle A, B, A_ {1}, A_ {2}, \ ldots}$$są$ elementami i zakłada się, że ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} \ neq \ varnothing.}$

Rodzina nazywana jest izotonem , rosnącym lub zamkniętym w $)$$,$ jeśli $\ Displaystyle {\ mathcal {L}} \ subseteq$ i ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ mathcal {L}} ^ {\ uparrow X}.}$ Nazywa się rodzina ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}}}$ zamknięte w dół , jeśli ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ mathcal {L}} ^ {\ strzałka w dół}.}$

Mówi się, że rodzina to: ${\ displaystyle {\ mathcal {L}}}$

• zamknięte pod skończonymi przecięciami (odp. zamknięte pod skończonymi związkami ), jeśli kiedykolwiek ${\ Displaystyle L, R \ in {\ mathcal {L}}}$ wtedy ${\ Displaystyle L \ cap R \ in {\ mathcal {L}}}$ (odpowiednio ${\ Displaystyle L \ kubek R \ w {\ mathcal {L}}})$ .
• zamknięte pod policzalnymi skrzyżowaniami (odp. zamknięte pod policzalnymi związkami ), jeśli kiedykolwiek ${\ Displaystyle L_ {1}, L_ {2}, L_ {3}, \ ldots}$ są elementami ${ \ Displaystyle {\ mathcal {L}}}$ to tak samo jest z ich przecięciami ${\ Displaystyle \ bigcap _ {i = 1} ^ {\ infty} L_ {i}: = L_ {1} \ cap L_ {2} \ cap L_ {3} \ cap \ cdots} (odp. Podobnie jest z$ ich związek ${\ Displaystyle \ bigcup _ {i = 1} ^ {\ infty} L_ {i}: = L_ {1} \ puchar L_ { 2}\cup L_{3}\cup \cdots }$ ).
• zamknięte pod uzupełnieniem w (lub względem ) jeśli kiedykolwiek wtedy ${\ Displaystyle X \ setminus L \ w {\ mathcal {L}}.}$$Displaystyle L \ in {\ mathcal$$L}}}$ {

Rodzina zbiorów nazywa się a/an: ${\ displaystyle {\ mathcal {L}}}$

• π - system , jeśli i ${L$$}} \ neq \ varnothing}$ i jest zamknięty pod skończonymi przecięciami.
  • Każda niepusta rodzina jest zawarta w unikalnym najmniejszym (w odniesieniu do $Displaystyle$ π - systemie oznaczonym przez $pi ({\mathcal {L}})}$$\$${\$ π i −system generowany przez ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}}.}$ nazywamy
• filtruje podbazę i mówi się, $że$ skończoną przecięcia ${\ Displaystyle \ varnothing \ not \ in \ pi ({\ mathcal {L}}).}$ jeśli i
• filtruj na ${\ Displaystyle X}$ , jeśli jest rodziną podzbiorów ${\ Displaystyle X}$ , która jest $Displaystyle$ π -, jest zamknięta w górę w X {\ ${\ displaystyle X,}$ i jest również właściwy , co z definicji oznacza, że ​​​​nie zawiera pustego zestawu jako elementu.
• filtr wstępny lub podstawa filtra , $jest$ jest to niepusta rodzina podzbiorów jakiegoś zestawu, $którego$ zamknięcie w górę w filtrem ${\ Displaystyle X.}$
• algebra na $zamknięta w$ jest niepustą rodziną podzbiorów , która zawiera zbiór pusty, tworzy $przypadku$ π ​​i jest również względem ${\ Displaystyle X.}$
• $-$ algebra na $jest zamknięta w$ jest algebrą na , która .

Sekwencje zbiorów często pojawiają się w teorii miary .

Algebra zbiorów

Zobacz też: Algebra zbiorów i Kategoria: Właściwości operacji binarnych

że rodzina podzbiorów $zbioru$ jest algebrą zbiorów , jeśli $Displaystyle \ varnothing \ in \ Phi}$$\$${\ Displaystyle L, R \ in \ Phi,}$ wszystkich wszystkie trzy zestawy ${\ Displaystyle X \ setminus R, \, L \ cap R,}$ i ${\ displaystyle L \ puchar R}$ są elementami ${\ displaystyle \ Phi.}$ Artykuł na ten temat zawiera listę tożsamości zestawów i innych relacji tych trzech operacji.

Każda algebra zbiorów jest także pierścieniem zbiorów i systemem π .

Algebra generowana przez rodzinę zbiorów

Biorąc pod uwagę dowolną rodzinę podzbiorów $}$$,$ istnieje unikalna najmniejsza algebra zbiorów w ${\ displaystyle X$ zawierająca ${\ Displaystyle {\ mathcal {S}}.}$ Nazywa się to algebrą wygenerowaną przez ${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$ i będzie to oznaczane przez ${\ Displaystyle \ Phi _ {\ mathcal {S}}.}$ Tę algebrę można skonstruować w następujący sposób:

1. ${\ Displaystyle {\ mathcal {S}} = \ varnothing}$ to ${S}} = \ {\ varnothing, X \}}$ mathcal i skończyliśmy. $.$ , jeśli $}$ pusty, to zastąpić $przez$ kontynuuj konstruowanie
2. Niech będzie rodziną wszystkich zestawów w $\ mathcal$${S}}}$ wraz z ich uzupełnieniami (wziętymi w ${\ displaystyle X$ ) .
3. Niech będzie rodziną wszystkich możliwych skończonych przecięć zbiorów w ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _$${\ Displaystyle {\ mathcal {S}} _ {0}.}$
4. $zbiorem$ algebra wygenerowana przez składającym $się$ ze wszystkich możliwych skończonych związków zbiorów ${\ Displaystyle {\ mathcal {S}} _ {1}.}$

Operacje elementarne na rodzinach

Niech ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}}, {\ mathcal {M}}}$ i ${\ Displaystyle {\ mathcal {R}}}$ będą rodzinami zbiorów nad ${\ Displaystyle X.}$ Po lewej stronie następujących tożsamości, $L}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {M}}}$ jest największą rodziną, L jest w M iddle, a R. $displaystyle {\ mathcal {R}}}$ \ najbardziej ustawiony.

Przemienność :

$${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} \; (\ kubek) \; {\ mathcal {R}} = {\ mathcal {R}} \; (\ kubek) \;{\mathcal {L}}}$$

$${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} \; (\ czapka) \; {\ mathcal {R}} = {\ mathcal {R}} \; (\ czapka) \;{\mathcal {L}}}$$

Asocjatywność :

$${\ Displaystyle [{\ mathcal {L}} \; (\ kubek) \; {\ mathcal {M}}] \;(\cup )\;{\mathcal {R}}={\mathcal {L}}\;(\cup )\;[{\mathcal {M}}\;(\cup )\;{\mathcal {R}}]}$$

$${\ Displaystyle [{\ mathcal {L}} \; (\ czapka) \; {\ mathcal {M}}] \;(\cap )\;{\mathcal {R}}={\mathcal {L}}\;(\cap )\;[{\mathcal {M}}\;(\cap )\;{\mathcal {R}}]}$$

Tożsamość :

$${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} \; (\ kubek) \; \ {\ varnothing \} = {\ mathcal {L}}}$$

$${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} \; (\ czapka) \; \ {X \} = {\ mathcal {L}}}$$

$${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} \; (\ setminus) \; \ {\ varnothing \} = {\ mathcal {L}}}$$

Dominacja :

$${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} \; (\ kubek) \; \ {X \} = \ {X \} ~~~~ {\ text{ if }}{\mathcal {L}}\neq \varnic}$$

$${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} \; (\ czapka) \; \ {\ varnothing \} = \ {\ varnothing \} ~~~~ {\text{ if }}{\mathcal {L}}\neq \varnothing }$$

$${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} \; (\ kubek) \; \ varnothing = \ varnothing}$$

$${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} \; (\ czapka) \; \ varnothing = \ varnothing}$$

$${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} \; (\ setminus) \; \ varnothing = \ varnothing}$$

$${\ Displaystyle \ varnothing \; (\ setminus) \; {\ mathcal {R}} = \ varnothing}$$

Zestaw zasilający

$${\ Displaystyle \ wp (L \ czapka R) ~ = ~ \ wp (L) \ czapka \ wp (R)}$$

$${\ Displaystyle \ wp (L \ kubek R) ~ = ~ \ wp (L) \ (\ kubek) \ \ wp (R) ~ \ supseteq ~ \ wp (L) \ puchar \ wp (R).}$$

Jeśli i $\ displaystyle R$ podzbiorami przestrzeni wektorowej $\ displaystyle L}$ jeśli jest skalarem, to $i$ R $}$

$${\ Displaystyle \ wp (sL) ~ = ~ s \ wp (L)}$$

$${\ Displaystyle \ wp (L + R) ~ \ supseteq ~ \ wp (L) + \ wp (R).}$$

Sekwencje zestawów

Załóżmy, że $}$ dowolnym zbiorem takim, że każdego indeksu ${\ Displaystyle i.}$$L$ Jeśli ${\ Displaystyle R _ {\ punktor}}$ zmniejsza się do ${\ Displaystyle R}$ , to ${\ Displaystyle L \ setminus R _ {\ punktor }:=\left(L\setminus R_{i}\right)_{i}}$ wzrasta do ${\ Displaystyle L \ setminus R}$ , podczas gdy zamiast tego ${\ Displaystyle R _ {\ punktor}}$ wzrasta do ${\ Displaystyle R},$ a następnie ${\ Displaystyle L \ setminus R _ {\ punktor }}$ zmniejsza się do ${\ Displaystyle L \ setminus R.}$

Jeśli ${\ Displaystyle L {\ tekst {i}} R}$ są dowolnymi zbiorami i jeśli ${\ Displaystyle L _ {\ punktor} = \ lewo (L_ {i} \ prawo) _ {i}}$ wzrasta (odpowiednio maleje) do ${\ Displaystyle L}$ , a następnie ${\ Displaystyle \ lewo (L_ {i} \ setminus R \ prawej) _ {i}}$ wzrost (odp. maleje) do ${\ Displaystyle L \ setminus R.}$

Przegrody

Załóżmy, że ${\ Displaystyle S _ {\ punktor} = \ lewo (S_ {i} \ prawo) _ {i = 1} ^ {\ infty}} jest$ dowolną sekwencją zbiorów, że jest ${$ podzbiorem i dla każdego $,$ re ${\ Displaystyle D_ {i} = \ lewo (S_ {i} \ czapka S \ po prawej) \ setminus \ bigcup _ {m = 1} ^ {i} \ lewo (S_ {m} \ czapka S \ po prawej).}$$S = \ bigcup _ {i} D_ {i}} i$${\ Displaystyle D _ {\ punktor}: = \ lewo (D_ {i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ∙ ) to ciąg parami rozłącznych zbiorów.

Załóżmy, że ${\ Displaystyle S _ {\ punktor} = \ lewo (S_ {i} \ prawo) _ {i = 1} ^ {\ infty}} nie maleje,$ niech $,$$_$ \ i co $i$ D $_$ _ ${\ Displaystyle D _ {\ punktor} = \ lewo (D_ {i} \ prawo) _ {i = 1} ^ {\ infty}}$ to ciąg par rozłącznych zestawów.

Zobacz też

• Algebra zbiorów – Tożsamości i relacje między zbiorami
• Uzupełnienie (teoria mnogości) – Zbiór elementów spoza danego podzbioru
• Obraz (matematyka)#Właściwości – Zbiór wszystkich wartości funkcji
• Zasada włączenia-wyłączenia - Technika liczenia w kombinatoryce
• Przecięcie (teoria mnogości) - Zbiór elementów wspólnych dla wszystkich niektórych zbiorów
• Lista tożsamości matematycznych
• Naiwna teoria mnogości - Nieformalne teorie mnogości
• Zasada przegródki – jeśli jest więcej przedmiotów niż pudełek, które je zawierają, jedno pudełko musi zawierać co najmniej dwa przedmioty
• Zestaw (matematyka) – Zbiór obiektów matematycznych
• Proste twierdzenia z algebry zbiorów
• Różnica symetryczna (teoria mnogości) – Elementy w dokładnie jednym z dwóch zbiorów Strony wyświetlające krótkie opisy celów przekierowania
• Suma (teoria mnogości) - Zbiór elementów w dowolnym z niektórych zbiorów

Notatki

Notatki

Dowody

Cytaty

•   Artin, Michael (1991). Algebra . Sala Prentice'a. ISBN 81-203-0871-9 .
•   Blyth, TS (2005). Kraty i uporządkowane struktury algebraiczne . Skoczek. ISBN 1-85233-905-5 . .
• Byliński, Czesław (2004). „Niektóre podstawowe właściwości zestawów” . Dziennik sformalizowanej matematyki . 1 . Źródło 5 października 2021 r .
•   Courant, Richard, Herbert Robbins, Ian Stewart, Czym jest matematyka?: Elementarne podejście do idei i metod , Oxford University Press, USA, 1996. ISBN 978-0-19-510519-3 . „SUPLEMENT DO ROZDZIAŁU II ALGEBRA ZBIORÓW” .
•    Császár, Akos (1978). Topologia ogólna . Przetłumaczone przez Császár, Klára. Bristol Anglia: Adam Hilger Ltd. ISBN 0-85274-275-4 . OCLC 4146011 .
•    Dixmier, Jacques (1984). Topologia ogólna . Teksty licencjackie z matematyki. Przetłumaczone przez Berberian, SK New York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90972-1 . OCLC 10277303 .
•    Dolecki, Szymon; Mynard, Frederic (2016). Konwergencja Podstawy topologii . New Jersey: World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4571-52-4 . OCLC 945169917 .
•    Dugundji, James (1966). Topologia . Boston: Allyn i Bacon. ISBN 978-0-697-06889-7 . OCLC 395340485 .
•    Durrett, Richard (2019). Prawdopodobieństwo: teoria i przykłady (PDF) . Seria Cambridge w matematyce statystycznej i probabilistycznej . Tom. 49 (wyd. 5). Cambridge Nowy Jork, NY: Cambridge University Press . ISBN 978-1-108-47368-2 . OCLC 1100115281 . Źródło 5 listopada 2020 r .
•    Halmos, Paul R. (1960). Naiwna teoria mnogości . Seria uniwersytecka z matematyki licencjackiej. Firma van Nostrand. ISBN 9780442030643 . Zbl 0087.04403 .
•    Joshi, KD (1983). Wprowadzenie do topologii ogólnej . Nowy Jork: John Wiley and Sons Ltd. ISBN 978-0-85226-444-7 . OCLC 9218750 .
•   Kelley, John L. (1985). Topologia ogólna . Absolwent Teksty z matematyki . Tom. 27 (wyd. 2). Birkäuser. ISBN 978-0-387-90125-1 .
•     Köthe, Gottfried (1983) [1969]. Topologiczne przestrzenie wektorowe I . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Tom. 159. Przetłumaczone przez Garlinga, DJH New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2 . MR 0248498 . OCLC 840293704 .
•    Mnich, James Donald (1969). Wprowadzenie do teorii mnogości (PDF) . Szeregi międzynarodowe w matematyce czystej i stosowanej. Nowy Jork: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-042715-0 . OCLC 1102 .
•    Munkres, James R. (2000). Topologia (wyd. Drugie). Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9 . OCLC 42683260 .
• Padlewska, Beata (1990). „Rodziny zestawów” . Dziennik sformalizowanej matematyki . 1 : 1 . Źródło 5 października 2021 r .
•    Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topologiczne przestrzenie wektorowe . Matematyka czysta i stosowana (wyd. Drugie). Boca Raton, Floryda: CRC Press. ISBN 978-1584888666 . OCLC 144216834 .
•    Schechter, Eric (1996). Podręcznik analizy i jej podstaw . San Diego, Kalifornia: Prasa akademicka. ISBN 978-0-12-622760-4 . OCLC 175294365 .
•    Schubert, Horst (1968). Topologia . Londyn: Macdonald & Co. ISBN 978-0-356-02077-8 . OCLC 463753 .
•   Stoll, Robert R.; Teoria mnogości i logika , Mineola, NY: Dover Publications (1979) ISBN 0-486-63829-4 . „Algebra zbiorów”, s. 16–23 .
• Trybulec, Zinaida (2002). „Właściwości podzbiorów” (PDF) . Dziennik sformalizowanej matematyki . 1 : 1 . Źródło 5 października 2021 r .
•    Wilański, Albert (2013). Nowoczesne metody w topologicznych przestrzeniach wektorowych . Mineola, Nowy Jork: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4 . OCLC 849801114 .
•    Willard, Stephen (2004) [1970]. Topologia ogólna . Mineola, NY : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7 . OCLC 115240 .
•    Munkres, James R. (2000). Topologia (wyd. Drugie). Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9 . OCLC 42683260 .

Linki zewnętrzne

• Operacje na zbiorach w ProvenMath