Nasycony zestaw

W matematyce , szczególnie w poddziedzinach teorii mnogości i topologii , mówi się, że zbiór jest nasycony $f: X \ do Y}$ odniesieniu do funkcji $displaystyle$ jeśli do do {\ displaystyle $} displaystyle C}$ jest podzbiorem domeny $i$ s ${\ displaystyle X}$ jeśli kiedykolwiek ${\ displaystyle f}$ wysyła dwa punkty $tej$ samej wartości, a następnie $C$ do { $}$$to$ znaczy ${\ Displaystyle f (x) = f (c)}$ wtedy ${\ Displaystyle x \ w C}$ ). Mówiąc bardziej zwięźle, zestaw do ${\ displaystyle C$ nazywamy nasyconym, jeśli ${\ Displaystyle C = f ^ {- 1} (f (C)).}$

W topologii podzbiór przestrzeni topologicznej jest nasycony $podzbiorów$ równy przecięciu X _ _ _ ${\ Displaystyle X.}$ W przestrzeni T ₁ każdy zestaw jest nasycony.

Definicja

Czynności wstępne

Niech ${\ displaystyle f: X \ do Y}$ będzie mapą. Biorąc pod uwagę dowolny podzbiór $displaystyle S \ subseteq X,}$ zdefiniuj jego obraz pod $\$

$${\ Displaystyle f (S): = \ {f (s) ~: ~ s \ w S \}}$$

i zdefiniuj jego przedobraz lub obraz odwrotny pod zestawem: ${\ displaystyle f}$

$${\ Displaystyle f ^ {-1} (S): = \ {x \ w X ~: ~ f (x) \ w S \}.}$$

Biorąc pod uwagę, że ${\ displaystyle f}$ zdefiniowane $Displaystyle$ nad y ∈ $y \ w Y},$ jako przedobraz: fa

$${\ Displaystyle f ^ {-1} (y): = f ^ {-1} (\ {y \}) = \ {x \ w X ~: ~ f (x) = y \}.}$$

Każdy przedobraz pojedynczego punktu w $}$ { $Y$ włókno f ${\ Displaystyle f.}$ jest określany jako

Zestawy nasycone

Zbiór nazywa się $-nasyconym$$}$ mówi się, że jest nasycony w odniesieniu do $f$ jeśli $jest$ f podzbiorem $fa$ 's domena i jeśli którykolwiek z poniższych równoważnych warunków jest spełniony: ${\ displaystyle X}$

1. ${\ Displaystyle C = f ^ {- 1} (f (C)).}$
2. Istnieje zbiór $S$ , $= f ^ {- 1} (S).}$
   • Każdy taki zestaw koniecznie zawiera $Displaystyle f (C)}$$\$ jako podzbiór, a ponadto z konieczności spełni również S {\ displaystyle S} równość ${\ Displaystyle f (C) = S \ cap \ operatorname {Im} fa,}$ gdzie ${\ Displaystyle \ operatorname {Im} f: = f (X)$${\ Displaystyle f.}$ oznacza obraz f
3. do ${\ Displaystyle c \ w C}$ x $\ Displaystyle x \ w X}$ spełniają ${\ Displaystyle f (x) = f (c),}$ wtedy ${\ displaystyle x \ w C.}$
4. y $\ Displaystyle y \ in Y} jest takie$$}$${- 1} (y) \ cap C \ neq \ varnothing}$ że włókno przecina się (to znaczy, jeśli ${\ Displaystyle f ^ {- 1} ($$)$ , to całe włókno jest z konieczności podzbiorem (to znaczy ${\ Displaystyle f ^ {- 1} (y) \ subseteq C}$ ).
5. Dla każdego ${\ Displaystyle y \ w Y}$ przecięcie jest równe pustemu $zbiorowi$${\ Displaystyle C \ czapka f ^ {- 1} (y)$$displaystyle \varnothing }$ lub do ${\ displaystyle f ^ {- 1} (y).}$

Przykłady

Niech ${\ displaystyle f: X \ do Y}$ będzie dowolną funkcją. Jeśli jest dowolnym zbiorem, to jego przedobraz jest z konieczności do fa { $\ displaystyle$$}$ pod $\ displaystyle$$} \displaystyle f} -$ nasycony zestaw. $jest$ włókno mapy f ${\ displaystyle f}$ - nasycony zestaw.

Zestaw pusty $Displaystyle X =$ domena $)$ są zawsze nasycone. Dowolne sumy zbiorów nasyconych są nasycone, podobnie jak dowolne przecięcia zbiorów nasyconych.

Nieruchomości

Niech i $_$$zbiorami$ i $będą$ _

Jeśli jest $}$ , to ${\ displaystyle S}$ lub ${\ displaystyle T$

$${\ Displaystyle f (S \ czapka T) ~ = ~ f (S) \ czapka f (T).}$$

Jeśli jest nasycony, to $\ displaystyle T$$}$

$${\ Displaystyle f (S \ setminus T) ~ = ~ f (S) \ setminus f (T)}$$

gdzie należy zauważyć w szczególności, że na zbiorze ${\ Displaystyle S.}$ nałożono żadnych wymagań ani warunków

Jeśli jest topologią na $}$$\$$f$ i dowolną mapą, to ustaw $}$${\ displaystyle \ tau$ wszystkich $,$ które są nasyconymi $X$ na ${\ Displaystyle X.}$ Jeśli ${\ Displaystyle Y}$ jest również przestrzenią topologiczną, $to$ jest ciągła (odpowiednio ilorazowa ) ${\ Displaystyle f: \ lewo (X, \ tau _ {f} \ prawo) \ do Y.}$ samo

Zobacz też

• Lista tożsamości i relacji zbiorów – Równości dla kombinacji zbiorów

•   G. Gierz; KH Hofmann; K. Keimel; JD Lawsona; M. Mislove i DS Scott (2003). „Ciągłe kraty i domeny” . Encyklopedia matematyki i jej zastosowań . Tom. 93. Cambridge University Press. ISBN 0-521-80338-1 .
•    Mnich, James Donald (1969). Wprowadzenie do teorii mnogości (PDF) . Szeregi międzynarodowe w matematyce czystej i stosowanej. Nowy Jork: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-042715-0 . OCLC 1102 .
•    Munkres, James R. (2000). Topologia (wyd. Drugie). Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9 . OCLC 42683260 .