Urelement

W teorii mnogości , gałąź matematyki , urelement lub ur-element (od niemieckiego przedrostka ur- , „pierwotny”) jest obiektem, który nie jest zbiorem , ale może być elementem zbioru. Jest również określany jako atom lub jednostka .

Teoria

Istnieje kilka różnych, ale zasadniczo równoważnych sposobów leczenia moczowodów w teorii pierwszego rzędu .

Jednym ze sposobów jest praca w teorii pierwszego rzędu z dwoma rodzajami, zbiorami i urelementami, z a ∈ b zdefiniowanym tylko wtedy, gdy b jest zbiorem. $jest$$jest$ jeśli U nie ma sensu mówić , chociaż to całkowicie uzasadnione

Innym sposobem jest praca w jednosortowanej teorii z jednoargumentową relacją używaną do rozróżniania zbiorów i ureelementów. Ponieważ niepuste zbiory zawierają członków, podczas gdy urelementy nie, relacja jednoargumentowa jest potrzebna tylko do odróżnienia zbioru pustego od urelementów. Należy zauważyć, że w tym przypadku aksjomat ekstensjonalności należy sformułować tak, aby odnosił się tylko do obiektów, które nie są urelementami.

Ta sytuacja jest analogiczna do traktowania teorii zbiorów i klas . Rzeczywiście, urelementy są w pewnym sensie dualne do klas właściwych : ureelementy nie mogą mieć członków, podczas gdy właściwe klasy nie mogą być członkami. Innymi słowy, ureelementy są minimalnymi , podczas gdy klasy właściwe są obiektami maksymalnymi przez relację przynależności (która oczywiście nie jest relacją porządku, więc tej analogii nie należy brać dosłownie).

Urelementy w teorii mnogości

Teoria mnogości Zermelo z 1908 r. obejmowała ureelementy, stąd jej wersja nosi obecnie nazwę ZFA lub ZFCA (tj. ZFA z aksjomatem wyboru ). Wkrótce zdano sobie sprawę, że w kontekście tej i blisko spokrewnionych aksjomatycznych teorii mnogości ureelementy nie były potrzebne, ponieważ można je łatwo modelować w teorii mnogości bez ureelementów. Tak więc standardowe wykłady kanonicznych aksjomatycznych teorii mnogości ZF i ZFC nie wspominają o ureelementach (wyjątek zob. Suppes). Aksjomatyzacje teorii mnogości, które odwołują się do ureelementów, obejmują Teoria mnogości Kripkego – Plateka z urelementami oraz wariant teorii mnogości von Neumanna – Bernaysa – Gödla opisany przez Mendelsona. W teorii typów obiekt typu 0 można nazwać urelementem; stąd nazwa „atom”.

Dodanie ureelementów do systemu New Foundations (NF) w celu wytworzenia NFU ma zaskakujące konsekwencje. W szczególności Jensen udowodnił spójność NFU względem arytmetyki Peano ; tymczasem spójność NF w stosunku do czegokolwiek pozostaje problemem otwartym, do czasu weryfikacji dowodu Holmesa na jego spójność w stosunku do ZF. Co więcej, NFU pozostaje stosunkowo spójny , gdy jest wzmocniony aksjomatem nieskończoności i aksjomatem wyboru . Tymczasem negacja aksjomatu wyboru jest, co ciekawe, twierdzeniem NF. Holmes (1998) traktuje te fakty jako dowód na to, że NFU jest bardziej skuteczną podstawą matematyki niż NF. Holmes dalej argumentuje, że teoria mnogości jest bardziej naturalna z ureelementami niż bez nich, ponieważ za ureelementy możemy przyjąć obiekty dowolnej teorii lub fizycznego wszechświata . W finitystycznej teorii mnogości urelementy są odwzorowywane na komponenty najniższego poziomu docelowego zjawiska, takie jak atomowe składniki obiektu fizycznego lub członkowie organizacji.

Atomy Quine'a

Alternatywnym podejściem do urelementów jest traktowanie ich zamiast jako typu obiektu innego niż zestawy, jako określonego typu zestawu. Atomy Quine'a (nazwane na cześć Willarda Van Ormana Quine'a ) to zestawy, które zawierają tylko siebie, to znaczy zestawy spełniające wzór x = { x }.

Atomy Quine'a nie mogą istnieć w systemach teorii mnogości, które zawierają aksjomat regularności , ale mogą istnieć w nieuzasadnionej teorii mnogości . Teoria mnogości ZF z usuniętym aksjomatem regularności nie może udowodnić, że istnieją jakiekolwiek nieuzasadnione zbiory (chyba że jest niespójna, w którym to przypadku udowodni dowolne stwierdzenie ), ale jest zgodna z istnieniem atomów Quine'a. Aksjomat antypodstawowy Aczela implikuje, że istnieje unikalny atom Quine'a. Inne nieuzasadnione teorie mogą dopuszczać wiele różnych atomów Quine; na przeciwległym końcu spektrum leży Boffa aksjomat superuniwersalności , z którego wynika, że ​​odrębne atomy Quine'a tworzą odpowiednią klasę .

New Foundations Quine'a , co pozwala na istnienie więcej niż jednego takiego zestawu.

Atomy Quine'a są jedynymi zbiorami, które Peter Aczel nazwał zbiorami refleksyjnymi , chociaż inni autorzy, np. Jon Barwise i Lawrence Moss, używają tego drugiego terminu do oznaczenia większej klasy zbiorów o własności x ∈ x .

Linki zewnętrzne

• Weisstein, Eric W. „Urelement” . MathWorld .