Teoria mnogości Kripkego – Plateka z ureelementami

Teoria mnogości Kripkego – Plateka z urelementami ( KPU ) to system aksjomatów teorii mnogości z urelementami , oparty na tradycyjnej (wolnej od urelementów) teorii mnogości Kripkego – Plateka . Jest znacznie słabszy niż (stosunkowo) znany system ZFU . Celem dopuszczenia ureelementów jest umożliwienie włączenia dużych lub bardzo złożonych obiektów (takich jak zbiór wszystkich liczb rzeczywistych ) do modeli przechodnich teorii bez zakłócania zwykłych dobrze uporządkowanych i teoretycznych właściwości rekurencji możliwy do zbudowania wszechświat ; KP jest tak słaba, że trudno to zrobić tradycyjnymi metodami .

Czynności wstępne

$z$ aksjomatów zakłada język pierwszego rzędu posortowany na dwa sposoby $pojedynczym$ symbolem . Litery typu ${\ Displaystyle p, q, r, ...}$ oznaczają urelementy, których może nie być, podczas gdy litery typu ${\ Displaystyle a, b, c,...}$ wyznaczyć zestawy. Litery ${\ displaystyle x, y, z,...}$ może oznaczać zarówno zbiory, jak i urelementy.

Litery oznaczające zestawy mogą pojawiać się po obu stronach , $podczas$ gdy litery oznaczające urelementy mogą pojawiać się tylko po lewej stronie, tj. Oto przykłady prawidłowych wyrażeń: $displaystyle p \ in a}$ , ${\ displaystyle b \ w a}$ .

Stwierdzenie aksjomatów wymaga również odniesienia do pewnego zbioru formuł $-formulae$ . Kolekcja $,$ można zbudować przy użyciu stałych, ${\ Displaystyle \ in}$ ¬ $\ Displaystyle \ neg}$ , ${\ Displaystyle \ klin}$ , ${\ displaystyle \ vee}$ i ograniczona kwantyfikacja. To jest kwantyfikacja postaci $jest$ $}$ lub gdzie ${\ displaystyle a}$ podany zestaw

Aksjomaty

Aksjomaty KPU są domknięciami uniwersalnymi następujących wzorów:

Ekstensjonalność : ${\ Displaystyle \ forall x (x \ w a \ strzałka w lewo x \ w b) \ strzałka w prawo a = b}$
Podstawa $,$ To jest schemat aksjomatu ${\ Displaystyle \ istnieje a. \ phi (a) \ strzałka w prawo \ istnieje a (\ phi (a) \ klin \forall x\in a\,(\neg \phi (x)))}$ każdej mamy .
Parowanie : ${\ Displaystyle \ istnieje a \ (x \ w a \ krainie y \ w a)}$
Suma : ${\ Displaystyle \ istnieje a \ forall c \ in b. \ forall y \ in c (y \ in a)}$
₀ Δ -Separacja : To znowu schemat aksjomatu , w którym ${\ Displaystyle \ istnieje a \ forall x \, (x \ w a \ strzałka w lewo x \ w b \ klin \ phi (x))}$ każdego -formula $\ phi (x)}$ $Displaystyle$ mamy następujące .
${\ Displaystyle \ Delta _ {0}}$ - Kolekcja : Jest to również schemat aksjomatu dla każdego ${\ Displaystyle \ Delta _ {0}}$ -formula ${\ Displaystyle \ phi (x, y)}$ mamy ${\ Displaystyle \ forall x \ in a. \ istnieje y. \ phi (x, y) \ strzałka w prawo \ istnieje b \ forall x \ in a. \ istnieje y \ in b. \ phi (x ,y)}$ .
Set Istnienie: ${\ Displaystyle \ istnieje a \, (a = a)}$

Dodatkowe założenia

Technicznie są to aksjomaty opisujące podział obiektów na zbiory i ureelementy.

${\ Displaystyle \ forall p \ forall a (p \ neq a)}$
${\ Displaystyle \ forall p \ forall x (x \ notin p)}$

Aplikacje

KPU można zastosować do modelowej teorii języków nieskończonych . Modele KPU uważane za zbiory wewnątrz maksymalnego wszechświata, które jako takie są przechodnie , nazywane są zbiorami dopuszczalnymi .

Zobacz też

Barwise, Jon (1975), Dopuszczalne zbiory i struktury , Springer-Verlag, ISBN 3-540-07451-1 .
Gostanian, Richard (1980), „Constructible Models of Subsystems of ZF”, Journal of Symbolic Logic , 45 : 237–250, doi : 10.2307/2273185 , JSTOR 2273185 .

Linki zewnętrzne

Logika abstrakcyjnego istnienia