Nieuzasadniona teoria mnogości

Nieuzasadnione teorie mnogości to warianty aksjomatycznej teorii mnogości , które pozwalają, aby zbiory były elementami samych siebie i w inny sposób naruszały zasadę zasadności . W nieuzasadnionych teoriach mnogości podstawowy aksjomat ZFC jest zastępowany przez aksjomaty implikujące jego zaprzeczenie .

Badanie zbiorów nieuzasadnionych zostało zapoczątkowane przez Dmitrija Mirimanowa w serii artykułów z lat 1917-1920, w których sformułował rozróżnienie między zbiorami dobrze uzasadnionymi i nieuzasadnionymi; nie uważał zasadności za aksjomat . Chociaż później zaproponowano szereg aksjomatycznych systemów zbiorów nieuzasadnionych, nie znalazły one zbyt wielu zastosowań aż do Petera Aczela w 1988 r. Teoria zbiorów nieuzasadnionych została zastosowana w logiczne modelowanie niekończących się obliczeń procesów w informatyce ( algebra procesów i semantyka końcowa), językoznawstwie i semantyce języka naturalnego ( teoria sytuacji ), filozofii (praca nad paradoksem kłamcy ) oraz w innym układzie, analiza niestandardowa .

Detale

W 1917 roku Dmitrij Mirimanow przedstawił koncepcję zasadności zbioru:

₀ Zbiór x jest dobrze uzasadniony, jeśli nie ma nieskończonego malejącego ciągu przynależności ${\ Displaystyle \ cdots \ w x_ {2} \ w x_ {1} \ w x_ {0}.}$

W ZFC nie ma nieskończonej malejącej sekwencji ∈ zgodnie z aksjomatem regularności . W rzeczywistości aksjomat regularności jest często nazywany aksjomatem podstawy , ponieważ można go udowodnić w ramach ZFC ^- (to znaczy ZFC bez aksjomatu regularności), że zasadność implikuje regularność. W wariantach ZFC bez aksjomatu regularności pojawia się możliwość nieuzasadnionych zbiorów ze zbiorowo-podobnymi łańcuchami ∈. Na przykład zbiór A taki, że A ∈ A nie jest dobrze uzasadniony.

Chociaż Mirimanoff wprowadził również pojęcie izomorfizmu między prawdopodobnie nieuzasadnionymi zbiorami, nie uważał ani aksjomatu podstawy, ani anty-podstawy. W 1926 roku Paul Finsler przedstawił pierwszy aksjomat, który dopuszczał zbiory nieuzasadnione. Po tym, jak Zermelo przyjął Fundację do swojego własnego systemu w 1930 r. (Z poprzedniej pracy von Neumanna 1925–1929), zainteresowanie zestawami nieuzasadnionymi osłabło na dziesięciolecia. Wczesną nieuzasadnioną teorią mnogości były New Foundations Willarda Van Ormana Quine'a , chociaż nie jest to tylko ZF z zamiennikiem Foundation.

Kilka dowodów na niezależność Fundacji od reszty ZF zostało opublikowanych w latach pięćdziesiątych XX wieku, zwłaszcza przez Paula Bernaysa (1954), po ogłoszeniu wyniku w jego wcześniejszej pracy z 1941 roku, oraz przez Ernsta Speckera , który podał inny dowód w swoim Habilitationsschrift z 1951 r., dowód opublikowany w 1957 r. Następnie w 1957 r. opublikowano twierdzenie Riegera, które podało ogólną metodę przeprowadzania takiego dowodu, rozbudzając na nowo zainteresowanie nieuzasadnionymi systemami aksjomatycznymi. Kolejna propozycja aksjomatu pojawiła się w przemówieniu kongresowym Dany Scotta w 1960 roku (nigdy nie opublikowany jako artykuł), proponując alternatywny aksjomat zwany obecnie SAFA . Innym aksjomatem zaproponowanym pod koniec lat 60. był aksjomat superuniwersalności Maurice'a Boffy, opisany przez Aczela jako punkt kulminacyjny badań jego dekady. Pomysł Boffy polegał na tym, aby fundament upadł tak bardzo, jak to tylko możliwe (a raczej, na ile pozwala ekstensjonalność): aksjomat Boffy implikuje, że każda ekstensjonalna relacja podobna do zbioru jest izomorficzna z predykatem elementarności na klasie przechodniej.

Nowsze podejście do nieuzasadnionej teorii mnogości, którego pionierami byli M. Forti i F. Honsell w latach 80. XX wieku, zapożycza z informatyki koncepcję bisymulacji . Zbiory bipodobne są uważane za nierozróżnialne, a zatem równe, co prowadzi do wzmocnienia aksjomatu ekstensjonalności . W tym kontekście aksjomaty sprzeczne z aksjomatem regularności są znane jako aksjomaty antypodstawowe , a zbiór, który niekoniecznie jest dobrze uzasadniony, nazywany jest hiperzbiorem .

cztery wzajemnie niezależne aksjomaty antypodstawowe, czasami skracane pierwszą literą na poniższej liście:

1. A FA („aksjomat antyfundamentacyjny”) – za sprawą M. Fortiego i F. Honsella (jest to również znane jako aksjomat antyfundamentacyjny Aczela );
2. SA AFA („Scott's AFA”) – dzięki Dana Scott ,
3. F AFA („Finsler's AFA”) – dzięki Paulowi Finslerowi ,
4. B AFA („Boffa's AFA”) - dzięki Maurice'owi Boffie.

Zasadniczo odpowiadają one czterem różnym pojęciom równości dla zbiorów nieuzasadnionych. Pierwszy z nich, AFA, opiera się na dostępnych wykresach punktowych (apg) i stwierdza, że ​​dwa hiperzbiory są równe wtedy i tylko wtedy, gdy można je zobrazować za pomocą tego samego apg. W tych ramach można wykazać, że tak zwany atom Quine'a , formalnie zdefiniowany przez Q={Q}, istnieje i jest unikalny.

Każdy z powyższych aksjomatów rozszerza wszechświat poprzedniego, tak że: V ⊆ A ⊆ S ⊆ F ⊆ B. We wszechświecie Boffa różne atomy Quine'a tworzą odpowiednią klasę.

Warto podkreślić, że teoria hipersetów jest raczej rozszerzeniem klasycznej teorii mnogości niż jej zamiennikiem: dobrze ugruntowane zbiory w domenie hipersetów są zgodne z klasyczną teorią mnogości.

Aplikacje

Hipersety Aczela były szeroko stosowane przez Jona Barwise'a i Johna Etchemendy'ego w ich książce The Liar z 1987 roku , poświęconej paradoksowi kłamcy ; Książka jest również dobrym wprowadzeniem do tematu zbiorów nieuzasadnionych.

Aksjomat superuniwersalności Boffy znalazł zastosowanie jako podstawa aksjomatycznej analizy niestandardowych .

Zobacz też

• Alternatywna teoria mnogości
• Uniwersalny zestaw
• Żółwie do samego końca

Notatki

•    Aczel, Peter (1988), Non-well-uzasadnione zbiory , CSLI Lecture Notes, tom. 14, Stanford, Kalifornia: Uniwersytet Stanforda, Centrum Studiów nad Językiem i Informacją, s. xx+137 , ISBN 0-937073-22-9 , MR 0940014 .
•   Ballard, David; Hrbáček, Karel (1992), „Standardowe podstawy analizy niestandardowej”, Journal of Symbolic Logic , 57 (2): 741–748, doi : 10.2307/2275304 , JSTOR 2275304 .
•   Barwise, Jon; Etchemendy, John (1987), Kłamca: esej o prawdzie i cyrkularności , Oxford University Press, ISBN 9780195059441
•   Barwise, Jon; Moss, Lawrence S. (1996), Błędne koła. O matematyce zjawisk nieuzasadnionych , CSLI Lecture Notes, tom. 60, publikacje CSLI, ISBN 1-57586-009-0
•   Boffa., M. (1968), "Niezwykłe zespoły", Bulletin de la Société Mathématique de Belgique , 20 : 3–15, Zbl 0179.01602
•   Boffa, M. (1972), "Forcing et négation de l'axiome de Fondement", Acad. Roya. Belgique, Mém. Kl. Nauka, kol. 8∘ , Serie II, 40 (7), Zbl 0286.02068
•   Devlin, Keith (1993), „§7. Teoria mnogości nieuzasadniona”, Radość zbiorów: podstawy współczesnej teorii mnogości (wyd. 2), Springer, ISBN 978-0-387-94094-6
•   Finsler, P. (1926), "Über die Grundlagen der Mengenlehre. I: Die Mengen und ihre Axiome", Math. Z. , 25 : 683–713, doi : 10.1007/BF01283862 , JFM 52.0192.01 ; tłumaczenie w   Finsler, Paul; Booth, David (1996). Teoria mnogości Finslera: platonizm i cykliczność: tłumaczenie artykułów Paula Finslera na temat teorii mnogości z komentarzami wprowadzającymi . Skoczek. ISBN 978-3-7643-5400-8 .
•   Hallett, Michael (1986), kantorowska teoria mnogości i ograniczenie rozmiaru , Oxford University Press, ISBN 9780198532835 .
•   Kanowej, Włodzimierz ; Reeken, Michael (2004), Analiza niestandardowa, aksjomatycznie , Springer, ISBN 978-3-540-22243-9
•   Levy, Azriel (2012) [2002], Podstawowa teoria mnogości , Dover Publications, ISBN 9780486150734 .
•   Mirimanoff, D. (1917), „Les antinomies de Russell et de Burali-Forti et le probleme fundamental de la theorie des zespoły”, L'Enseignement Mathématique , 19 : 37–52, JFM 46.0306.01 .
• Nitta; Okada; Tzouvaras (2003), Klasyfikacja zbiorów nieuzasadnionych i aplikacja (PDF)
• Pakkan, MJ; Akman, V. (1994–1995), „Zagadnienia zdroworozsądkowej teorii mnogości” (PDF) , Przegląd sztucznej inteligencji , 8 (4): 279–308, doi : 10.1007/BF00849061 , hdl : 11693/25955
•   Rathjen, M. (2004), „Predicativity, Circularity, and Anti-Foundation” (PDF) , w Link, Godehard (red.), Sto lat paradoksu Russella: matematyka, logika, filozofia , Walter de Gruyter, ISBN 978-3-11-019968-0
•   Sangiorgi, Davide (2011), „Początki bisymulacji i koindukcji”, w: Sangiorgi, Davide; Rutten, Jan (red.), Advanced Topics in Bisimulation and Coinduction , Cambridge University Press, ISBN 978-1-107-00497-9
• Scott, Dana (1960), „Inny rodzaj modelu teorii mnogości”, niepublikowany artykuł, przemówienie wygłoszone na Kongresie Logiki, Metodologii i Filozofii Nauki w Stanford w 1960 r.

Dalsza lektura

• Moss, Lawrence S. „Nieuzasadniona teoria mnogości” . Stanford Encyklopedia filozofii .

Linki zewnętrzne

• metamatyczna dotycząca aksjomatu regularności. Mniej niż 1% twierdzeń tej bazy danych jest ostatecznie zależnych od tego aksjomatu, co można pokazać za pomocą polecenia („pokaż użycie”) w programie Metamath.