Rozszerzenie o nowe nazwy stałych i funkcji

W logice matematycznej teorię można rozszerzyć o nowe stałe lub nazwy funkcji pod pewnymi warunkami, mając pewność, że rozszerzenie nie wprowadzi sprzeczności . Rozszerzanie przez definicje jest prawdopodobnie najbardziej znanym podejściem, ale wymaga unikalnego istnienia obiektu o pożądanej właściwości. Dodawanie nowych nazw można również wykonać bezpiecznie bez unikalności.

Załóżmy, że formuła zamknięta

{\ Displaystyle \ istnieje x_ {1} \ ldots \ istnieje x_ {m} \, \ varphi (x_ {1}, \ ldots, x_ {m })}

jest twierdzeniem teorii pierwszego rzędu ${\ displaystyle T}$ . Niech będzie teorią uzyskaną z ${\ displaystyle$ $T}$ przez rozszerzenie jej języka o nowe stałe T 1 {\ displaystyle

{\ Displaystyle a_ {1}, \ ldots, a_ {m}}

i dodanie nowego aksjomatu

{\ Displaystyle \ varphi (a_ {1}, \ ldots, a_ {m})}

.

Wtedy ${1}}$ $T_$ jest konserwatywnym rozszerzeniem , co oznacza, że teoria ma ten sam zestaw twierdzeń w języku oryginalnym (tj. ${\ Displaystyle T_ {1}}$ , bez stałych $a_ {i}}$ teoria . za $\ displaystyle$ }

Taką teorię można również konserwatywnie rozszerzyć, wprowadzając nowy symbol funkcyjny :

Załóżmy, że zamknięta formuła ${\ Displaystyle \ forall {\ vec {x}} \, \ istnieje y \, \! \, \ varphi (y, {\ vec {x} }})}$ jest twierdzeniem teorii pierwszego rzędu ${$ gdzie oznaczamy $\ vec {x}}: = (x_ {1},\ldots,x_{n})}$ . Niech będzie teorią uzyskaną z rozszerzenia jej języka $})$ nowy symbol funkcyjny (o arity ${\ displaystyle$ $n$ i dodanie T 1 {\ ${1}$ nowy aksjomat ${\ Displaystyle \ forall {\ vec {x}} \ \ varphi (f ({\ vec {x}}), {\ vec {x} })}$ . Wtedy ${\ displaystyle T_ {1}}$ jest konserwatywnym rozszerzeniem T $}$ $T$ , tj. teorie i ${\ displaystyle T_ {1}}$ dowodzą tych samych twierdzeń, które nie dotyczą T 1 { symbol funkcjonalny ${\ displaystyle f}$ ).

Shoenfield podaje twierdzenie w postaci nowej nazwy funkcji, a stałe są takie same jak funkcje o zerowych argumentach. W systemach formalnych, które dopuszczają uporządkowane krotki, rozszerzenie o wiele stałych, jak pokazano tutaj, można osiągnąć przez dodanie nowej stałej krotki i nowych stałych nazw mających wartości elementów krotki.

Zobacz też