Symbol nielogiczny

W logice języki formalne używane do tworzenia wyrażeń składają się z symboli , które można ogólnie podzielić na stałe i zmienne . Stałe języka można dalej podzielić na symbole logiczne i symbole nielogiczne (czasami nazywane także stałymi logicznymi i nielogicznymi ).

Nielogiczne symbole języka logiki pierwszego rzędu składają się z predykatów i indywidualnych stałych. Należą do nich symbole, które w interpretacji mogą oznaczać indywidualne stałe, zmienne , funkcje lub predykaty . Język logiki pierwszego rzędu jest językiem formalnym nad alfabetem składającym się z symboli nielogicznych i symboli logicznych . Te ostatnie obejmują spójniki logiczne , kwantyfikatory i zmienne, które oznaczają stwierdzenia .

Symbol nielogiczny ma znaczenie lub treść semantyczną tylko wtedy, gdy jest mu się przyporządkowany za pomocą interpretacji . W konsekwencji zdanie zawierające symbol nielogiczny nie ma znaczenia, chyba że w ramach interpretacji, dlatego mówi się, że zdanie jest prawdziwe lub fałszywe w ramach interpretacji . Pojęcia te są zdefiniowane i omówione w artykule na temat logiki pierwszego rzędu , aw szczególności w części dotyczącej składni .

Natomiast stałe logiczne mają to samo znaczenie we wszystkich interpretacjach . Obejmują one symbole spójników prawdziwościowych (takich jak „i”, „lub”, „nie”, „implikuje” i równoważność logiczna ) oraz symbole kwantyfikatorów „dla wszystkich” i „istnieje”.

równości jest czasami traktowany jako symbol nielogiczny, a czasami jako symbol logiczny . Jeśli jest traktowany jako symbol logiczny, wówczas wymagana będzie dowolna interpretacja, aby zinterpretować znak równości przy użyciu prawdziwej równości; jeśli jest interpretowany jako symbol nielogiczny, może być interpretowany przez dowolną relację równoważności .

Podpisy

Sygnatura jest zbiorem stałych nielogicznych wraz z dodatkowymi informacjami identyfikującymi każdy symbol jako symbol stały, symbol funkcji o określonej liczbie n ( liczba naturalna) lub symbol relacji o określonej liczbie. Dodatkowe informacje kontrolują, w jaki sposób symbole nielogiczne mogą być używane do tworzenia terminów i formuł. Na przykład, jeśli f jest symbolem funkcji binarnej, a c jest symbolem stałym, to f ( x , c ) jest terminem, ale c ( x , f ) nie jest terminem. Symboli relacji nie można używać w terminach, ale można ich użyć do połączenia jednego lub więcej (w zależności od liczby) terminów we wzór atomowy.

Na przykład podpis może składać się z symbolu funkcji binarnej +, symbolu stałej 0 i symbolu relacji binarnej <.

modele

Struktury nad podpisem, znane również jako modele , zapewniają formalną semantykę podpisu i nad nim język pierwszego rzędu .

Struktura nad podpisem składa się ze zbioru znanego jako domena dyskursu wraz z $nielogicznych$ symboli: Każdy stały symbol jest interpretowany przez element $}$ \ $displaystyle D,$ a interpretacja $displaystyle$ symbolu funkcji jest $n}$ -ary funkcją na ${\ displaystyle D;}$ to znaczy funkcja ${\ displaystyle D ^ {n} \ do D}$ $iloczynu$ kartezjańskiego domeny do samej domeny. Każdy $-ary$ symbol relacji jest interpretowany przez $-arną$ domenie; to znaczy przez podzbiór ${\ Displaystyle D ^ {n}.}$

Przykładem struktury nad sygnaturą, o której mowa powyżej, jest uporządkowana grupa liczb całkowitych . $_ ldots \}}$ zbiór liczb całkowitych. Symbol funkcji binarnej ${\ displaystyle +}$ jest interpretowany przez dodanie, symbol stały 0 przez tożsamość addytywną, a symbol relacji binarnej < przez relację mniejszą niż.

Semantyka nieformalna

Poza kontekstem matematycznym często bardziej odpowiednia jest praca z bardziej nieformalnymi interpretacjami.

Znaki opisowe

Rudolf Carnap wprowadził terminologię rozróżniającą symbole logiczne i nielogiczne (które nazwał znakami opisowymi ) systemu formalnego pod pewnym typem interpretacji , definiowanej przez to, co opisują w świecie.

Znak opisowy definiuje się jako dowolny symbol języka formalnego, który oznacza rzeczy lub procesy w świecie, właściwości lub stosunki rzeczy. Kontrastuje to ze znakami logicznymi , które nie oznaczają niczego w świecie przedmiotów. Użycie znaków logicznych jest określone przez logiczne reguły języka, podczas gdy znaczenie nadawane jest arbitralnie znakom opisowym, gdy są stosowane do danej domeny jednostek.

Zobacz też

Stała logiczna

Uwagi

Hinman, P. (2005), Podstawy logiki matematycznej , AK Peters , ISBN 978-1-56881-262-5

Linki zewnętrzne

semantyki w Logice klasycznej (wpis w Stanford Encyclopedia of Philosophy )