Teoria kategoryczna

W logice matematycznej teoria jest kategoryczna , jeśli ma dokładnie jeden model ( z dokładnością do izomorfizmu ). Taka teoria może być postrzegana jako definiująca swój model, jednoznacznie charakteryzująca strukturę modelu.

W logice pierwszego rzędu tylko teorie o skończonym modelu mogą być kategoryczne. Logika wyższego rzędu zawiera teorie kategoryczne z nieskończonym modelem. Na przykład aksjomaty Peano drugiego rzędu są kategoryczne i mają unikalny model, którego dziedziną jest zbiór liczb naturalnych ${\ Displaystyle \ mathbb {N}.}$

W teorii modeli pojęcie teorii kategorycznej jest udoskonalane w odniesieniu do liczności . Teoria jest $κ$ - kategoryczna (lub kategoryczna w $κ$ ), jeśli ma dokładnie jeden model liczności $κ$ aż do izomorfizmu. Twierdzenie Morleya o kategoryczności jest twierdzeniem Michaela D. Morleya ( 1965 ) stwierdzającym, że jeśli teoria pierwszego rzędu w policzalnym języku jest kategoryczna w jakiejś nieprzeliczalnej liczności , to jest kategoryczna we wszystkich nieprzeliczalnych licznościach.

Saharon Shelah ( 1974 ) rozszerzył twierdzenie Morleya na niezliczone języki: jeśli język ma liczność $κ$ , a teoria jest kategoryczna w jakiejś nieprzeliczalnej liczbie większej lub równej $κ$ , to jest kategoryczna we wszystkich licznościach większych niż $κ$ .

Historia i motywacja

Oswald Veblen w 1904 roku zdefiniował teorię jako kategoryczną , jeśli wszystkie jej modele są izomorficzne. Z powyższej definicji i twierdzenia Löwenheima-Skolema wynika, że żadna teoria pierwszego rzędu z modelem nieskończonej liczności nie może być kategoryczna. Prowadzi to od razu do bardziej subtelnego pojęcia $κ$ -kategoryczności, które stawia pytanie: dla jakich kardynałów $κ$ istnieje dokładnie jeden model liczności $κ$ danej teorii T aż do izomorfizmu? Jest to głębokie pytanie i znaczący postęp nastąpił dopiero w 1954 roku, kiedy Jerzy Łoś zauważył, że przynajmniej dla kompletnych teorii T nad językami policzalnymi z co najmniej jednym nieskończonym modelem, mógł znaleźć tylko trzy sposoby, aby T było $κ$ -kategoryczne w pewnym $k$ :

T jest całkowicie kategoryczne , tj. T jest $κ$ -kategoryczne dla wszystkich nieskończonych kardynałów $κ$ .
T jest nieprzeliczalnie kategoryczne , tj. T jest $κ$ -kategoryczne wtedy i tylko wtedy, gdy $κ$ jest nieprzeliczalną liczbą kardynalną.
T jest przeliczalnie kategoryczne , tj. T jest $κ$ -kategoryczne wtedy i tylko wtedy, gdy $κ$ jest przeliczalną liczbą kardynalną.

Innymi słowy, zauważył, że we wszystkich przypadkach, które mógł wymyślić, $κ$ -kategoryczność na każdym nieprzeliczalnym kardynale implikowała $κ$ -kategoryczność na wszystkich innych nieprzeliczalnych kardynałach. Ta obserwacja zapoczątkowała wiele badań w latach 60., których kulminacją było Michaela Morleya , że w rzeczywistości są to jedyne możliwości. Teoria została następnie rozszerzona i udoskonalona przez Saharona Shelaha w latach 70. XX wieku i później, co doprowadziło do teorii stabilności i bardziej ogólnego programu teorii klasyfikacji Shelaha .

Przykłady

Nie ma wielu naturalnych przykładów teorii, które są kategoryczne w jakimś niepoliczalnym kardynale. Znane przykłady obejmują:

Czysta teoria tożsamości (bez funkcji, stałych, predykatów innych niż „=” lub aksjomatów).
Klasycznym przykładem jest teoria ciał algebraicznie domkniętych o danej charakterystyce . Kategoryczność nie oznacza, że wszystkie algebraicznie domknięte ciała o charakterystyce 0 tak duże jak liczby zespolone C są takie same jak C ; stwierdza tylko, że są one izomorficzne jako pola do C . Wynika z tego, że chociaż zakończone domknięcia p -adyczne C _p są wszystkie izomorficzne jako pola z C , mogą (i faktycznie mają) mieć zupełnie inne właściwości topologiczne i analityczne. Teoria ciał algebraicznie domkniętych o danej charakterystyce nie jest kategoryczna w $ω$ (przeliczalna nieskończona liczba kardynalna); istnieją modele stopnia transcendencji 0, 1, 2, ..., $ω$ .
Przestrzenie wektorowe nad zadanym policzalnym polem. Obejmuje to grupy abelowe o danym wykładniku pierwszym (zasadniczo takie same jak przestrzenie wektorowe nad polem skończonym) i podzielne grupy abelowe bez skrętu (zasadniczo takie same jak przestrzenie wektorowe nad liczbami wymiernymi ).
Teoria zbioru liczb naturalnych z następnikiem.

Istnieją również przykłady teorii, które są kategoryczne w $ω$ , ale nie kategoryczne w niezliczonych kardynałach. Najprostszym przykładem jest teoria relacji równoważności z dokładnie dwiema klasami równoważności , z których obie są nieskończone. Innym przykładem jest teoria gęstych rzędów liniowych bez punktów końcowych; Cantor udowodnił, że każdy taki policzalny porządek liniowy jest izomorficzny z liczbami wymiernymi: patrz twierdzenie Cantora o izomorfizmie .

Nieruchomości

Każda teoria kategoryczna jest kompletna . Jednak odwrotność nie zachodzi.

Każda teoria T kategoryczna w jakiejś nieskończonej liczbie kardynalnej $κ$ jest bardzo bliska ukończenia. Dokładniej, test Łosia-Vaughta stwierdza, że jeśli spełniona teoria nie ma skończonych modeli i jest kategoryczna w jakimś nieskończonym kardynale $κ$ co najmniej równym liczności jej języka, to teoria jest kompletna. Powodem jest to, że wszystkie modele nieskończone są równoważne pierwszego rzędu z jakimś modelem kardynała $κ$ z twierdzenia Löwenheima-Skolema , a więc wszystkie są równoważne, ponieważ teoria jest kategoryczna w $κ$ . Dlatego teoria jest kompletna, ponieważ wszystkie modele są równoważne. Konieczne jest założenie, że teoria nie ma skończonych modeli.

Zobacz też

Spektrum teorii

Notatki

Chang, Chen Chung ; Keisler, H. Jerome (1990) [1973], Model Theory , Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, Elsevier, ISBN 978-0-444-88054-3
Corcoran, John (1980), „Kategoryczność”, Historia i filozofia logiki , 1 (1–2): 187–207, doi : 10,1080/01445348008837010
Hodges, Wilfrid, „Teoria modeli pierwszego rzędu”, The Stanford Encyclopedia of Philosophy (wydanie letnie 2005), Edward N. Zalta (red.).
Marker, David (2002), Teoria modeli: wprowadzenie , Graduate Texts in Mathematics , tom. 217, Nowy Jork, NY: Springer-Verlag , ISBN 0-387-98760-6 , Zbl 1003.03034
Monk, J. Donald (1976), Logika matematyczna , Springer-Verlag, doi : 10.1007/978-1-4684-9452-5
Morley, Michael (1965), „Kategoryczność w mocy”, Transakcje Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego , Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne , tom. 114, nr 2, 114 (2): 514–538, doi : 10.2307/1994188 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1994188
Palyutin, EA (2001) [1994], „Kategoryczność w liczności” , Encyklopedia matematyki , EMS Press
Shelah, Saharon (1974), „Kategoryczność niezliczonych teorii”, Proceedings of the Tarski Symposium (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XXV, Univ. of California, Berkeley, California, 1971) , Proceedings of Symposia in Pure Matematyka, tom. 25, Providence, RI: American Mathematical Society, s. 187–203, doi : 10.1090/pspum/025/0373874 , ISBN 9780821814253 , MR 0373874
Shelah, Saharon (1990) [1978], Teoria klasyfikacji i liczba modeli nieizomorficznych , Studies in Logic and the Foundations of Mathematics (wyd. 2), Elsevier, ISBN 978-0-444-70260-9 (IX, 1.19, str. 49)
Veblen, Oswald (1904), „System aksjomatów geometrii”, Transactions of the American Mathematical Society , American Mathematical Society, tom. 5, nr 3, 5 (3): 343–384, doi : 10.2307/1986462 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1986462