Bezskrętna grupa abelowa

W matematyce , szczególnie w algebrze abstrakcyjnej , grupa abelowa bez skrętu to grupa abelowa , która nie ma nietrywialnych elementów skrętnych ; to znaczy grupa , w której operacja grupowa jest przemienna , a element tożsamości jest jedynym elementem o skończonym porządku .

Chociaż skończenie generowane grupy abelowe są całkowicie sklasyfikowane, niewiele wiadomo o nieskończenie generowanych grupach abelowych, nawet w przypadku przeliczalnym bez skrętu.

Definicje

Główny artykuł: grupa abelowa

$, że$ abelowa jest wolna od skrętu, jeśli $żaden$ element skończonego rzędu Jawnie, dla każdego , $dla$ , którego ${\ Displaystyle nx = 0}$$in G$ jest $x \$ .

Naturalnym przykładem grupy bez skrętu jest , $wiele$ tylko liczbę całkowitą 0 można dodać do siebie skończenie free abelian group $\mathbb {Z} ^{r}$ is torsion-free for any $r\in \mathbb {N}$. An important step in the proof of the classification of finitely generated abelian groups is that every such torsion-free group is isomorphic to a ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {r}}$ .

Nieskończenie generowany policzalny przykład jest podany przez grupę addytywną pierścienia wielomianu $.$ grupa abelowa o policzalnym

Bardziej skomplikowanymi przykładami są addytywna grupa pola wymiernego $]$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [p ^ {- 1}]} (liczby wymierne$ , takie jak $,$ których mianownikiem jest potęga . Jeszcze bardziej zaangażowane przykłady podają grupy wyższej rangi .

Grupy rangi 1

Ranga

Główny artykuł: Ranga grupy abelowej

Ranga grupy abelowej $⊗$ wymiarem przestrzeni wektorowej ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} \ otimes _$$Z$ { \ mathbb . Równoważnie jest to maksymalna liczebność liniowo niezależnego (nad $podzbioru$ ZA $\ displaystyle A}$ .

Jeśli jest wolny od skręcania, to wstrzykuje się do $\ mathbb {Z}} A}$${$ . Zatem wolne od skrętu grupy abelowe rzędu 1 są dokładnie podgrupami grupy addytywnej ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ .

Klasyfikacja

Bezskrętne grupy abelowe rzędu 1 zostały całkowicie sklasyfikowane. $,$ łączy się z grupą podzbiór liczb pierwszych w następujący sposób: wybierz dowolny $∈$$x$ , dla liczby pierwszej mówimy, że ${\ Displaystyle p \ in \ tau (A)}$$gdy$ i tylko wtedy, ${\ Displaystyle x \ w p ^ {k} A}$ dla każdego ${\ Displaystyle k \ in \ mathbb {N}}$ . Nie ${$$_ styl wyświetlania n,m\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}}$$,$ ponieważ { takie, że ${\ displaystyle ny = mx}$ . Baer udowodnił, że $jest$ niezmiennikiem izomorfizmu dla grup abelowych wolnych od skrętu

Problem klasyfikacji w ogólności

Trudność problemu klasyfikacji dla określonego typu struktur na policzalnym zbiorze można określić ilościowo za pomocą teorii modeli i opisowej teorii mnogości . W tym sensie zostało udowodnione, że problem klasyfikacji przeliczalnych bezskrętnych grup abelowych jest tak trudny, jak to tylko możliwe.

Notatki

•   Fraleigh, John B. (1976), Pierwszy kurs algebry abstrakcyjnej (wyd. 2), Czytanie: Addison-Wesley , ISBN 0-201-01984-1
•   Herstein, IN (1964), Tematy z algebry , Waltham: Blaisdell Publishing Company, ISBN 978-1114541016
•   Hungerford, Thomas W. (1974), Algebra , Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 0-387-90518-9 .
•   Lang, Serge (2002), Algebra (poprawione wydanie 3), Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 0-387-95385-X .
•   McCoy, Neal H. (1968), Wprowadzenie do współczesnej algebry , wydanie poprawione , Boston: Allyn and Bacon , LCCN 68-15225