Grupa Janko J 1

Aby zapoznać się z ogólnym pochodzeniem i historią sporadycznych grup Janko, zobacz grupę Janko .

W obszarze współczesnej algebry zwanej teorią grup grupa Janko J 1 _jest sporadyczną grupą prostą rzędu

  2 ³ · 3 · 5 · 7 · 11 · 19 = 175560

≈ 2 × 10 ⁵ .

Historia

J ₁ jest jedną z 26 grup sporadycznych i została po raz pierwszy opisana przez Zvonimira Janko w 1965 roku. Jest to jedyna grupa Janko, której istnienie udowodnił sam Janko i była pierwszą sporadyczną grupą znalezioną od czasu odkrycia grup Mathieu w 19 wiek. Jego odkrycie zapoczątkowało współczesną teorię grup sporadycznych .

W 1986 roku Robert A. Wilson wykazał, że J ₁ nie może być podgrupą grupy potworów . Jest więc jedną z 6 sporadycznych grup zwanych pariasami .

Nieruchomości

Najmniejsza wierna złożona reprezentacja J ₁ ma wymiar 56. J ₁ można scharakteryzować abstrakcyjnie jako wyjątkową grupę prostą z abelowymi podgrupami 2-Sylowa i inwolucją, której centralizator jest izomorficzny z iloczynem bezpośrednim grupy rzędu drugiego i naprzemiennej grupa A ₅ rzędu 60, czyli rotacyjna grupa dwudziestościenna . Taka była oryginalna koncepcja grupy Janko. W rzeczywistości Janko i Thompson badali grupy podobne do grup Ree ² G ₂ (3 ^{2 n +1} ) i wykazali, że jeśli prosta grupa G ma abelowe podgrupy Sylowa 2 i centralizator inwolucji postaci Z /2 Z × PSL ₂ ( q ) dla q potęgi pierwszej co najmniej 3, to albo q jest potęgą 3, a G ma taki sam rząd jak grupa Ree (później wykazano, że G musi być w tym przypadku grupą Ree) lub q wynosi 4 lub 5. Zauważ, że PSL ₂ ( 4 ) = PSL ₂ ( 5 ) = A ₅ . Ten ostatni wyjątkowy przypadek doprowadził do powstania grupy Janko J ₁ .

J ₁ to grupa automorfizmów grafu Livingstone'a , grafu przechodniego na odległość z 266 wierzchołkami i 1463 krawędziami.

J ₁ nie ma zewnętrznych automorfizmów , a jego mnożnik Schura jest trywialny.

J ₁ jest zawarty w grupie O'Nan jako podgrupa elementów ustalonych przez zewnętrzny automorfizm rzędu 2.

Budowa

Janko znalazł reprezentację modułową w postaci macierzy ortogonalnych 7 × 7 w polu jedenastu elementów , z generatorami podanymi przez

${\ Displaystyle {\ mathbf {Y}} = \ lewo ({\ zacząć {macierz} 0 i 1 i 0 i 0 i 0 i 0 \\ 0 i 0 i 0 i 0 i 0 i 0 \\ 0 i 0 i 0 i 1 i 0 i 0 i 0 \\ 0 i 0 i 0 i 1 i 0 i 0 \ \0&0&0&0&0&0&1\\1&0&0&0&0&0&0 \end{macierz}}\prawo)}$

I

${\ Displaystyle {\ mathbf {Z}} = \ lewo ({\ rozpocząć {macierz} -3 i + 2 i -1 i -1 i -3 i -1 i -3 \\ -2 i + 1 i + 1 i + 3 i + 1 i + 3 i + 3 \\-1&-1&-3&-1&-3&-3&+2\\-1&-3&-1&-3&-3&+2&-1\\-3&-1&-3&-3&+2&-1&-1\\ +1&+3&+3&-2&+1&+1&+3\\+3&+3&-2&+1&+1&+3&+1\end{macierz}}\prawo).}$

Y ma rząd 7, a Z rząd 5. Janko (1966) przypisuje WA Coppelowi rozpoznanie tej reprezentacji jako osadzenia w prostej grupie Dicksona G ₂ (11) (która ma 7-wymiarową reprezentację na polu z 11 elementami).

Istnieje również para generatorów a, b taka, że

za ² = b ³ = (ab) ⁷ = (abab ⁻¹ ) ¹⁰ = 1

J ₁ jest zatem grupą Hurwitza , skończonym homomorficznym obrazem grupy trójkątów (2,3,7) .

Maksymalne podgrupy

Janko (1966) znalazł 7 klas koniugacji maksymalnych podgrup J ₁ przedstawionych w tabeli. Maksymalne proste podgrupy rzędu 660 dają J ₁ permutacyjną reprezentację stopnia 266. Odkrył, że istnieją 2 klasy koniugacji podgrup izomorficznych z przemienną grupą A ₅ , obie znalezione w prostych podgrupach rzędu 660. J ₁ ma nieabelowe proste właściwe podgrupy tylko 2 typów izomorfizmu.

Struktura	Zamówienie	Indeks	Opis
PSL 2 (11)	660	266	Ustala punkt w najmniejszej reprezentacji permutacji
2 3 .7.3	168	1045	Normalizator podgrupy Sylowa 2
2×A 5	120	1463	Centralizator inwolucji
19.6	114	1540	Normalizator podgrupy Sylow 19
11.10	110	1596	Normalizator podgrupy Sylowa 11
re 6 × re 10	60	2926	Normalizator 3-podgrupy Sylowa i 5-podgrupy Sylowa
7.6	42	4180	Normalizator podgrupy Sylowa 7

Notacja A. _ B oznacza grupę z normalną podgrupą A z ilorazem B , a D _{2 n} jest grupą dwuścienną rzędu 2 n .

Liczba elementów każdego zamówienia

Największym rzędem dowolnego elementu grupy jest 19. Rzędy i rozmiary klas koniugacji znajdują się w ATLASIE.

Zamówienie	Liczba elementów	Koniugacja
1 = 1	1 = 1	1 klasa
2 = 2	1463 = 7 · 11 · 19	1 klasa
3 = 3	5852 = 2 2 · 7 · 11 · 19	1 klasa
5 = 5	11704 = 2 3 · 7 · 11 · 19	2 klasy, odpowiednik mocy
6 = 2 · 3	29260 = 2 2 · 5 · 7 · 11 · 19	1 klasa
7 = 7	25080 = 2 3 · 3 · 5 · 11 · 19	1 klasa
10 = 2 · 5	35112 = 2 3 · 3 · 7 · 11 · 19	2 klasy, odpowiednik mocy
11 = 11	15960 = 2 3 · 3 · 5 · 7 · 19	1 klasa
15 = 3 · 5	23408 = 2 4 · 7 · 11 · 19	2 klasy, odpowiednik mocy
19 = 19	27720 = 2 3 · 3 2 · 5 · 7 · 11	3 klasy, odpowiednik mocy

•   Chevalley, Claude (1995) [1967], "Le groupe de Janko", Séminaire Bourbaki, tom. 10 , Paryż: Société Mathématique de France , s. 293–307, MR 1610425
• Roberta A. Wilsona (1986). Czy J _{1 jest} podgrupą potwora? , Byk. Matematyka Londynu. soc. 18, nie. 4 (1986), 349-350
• RT Curtis, (1993) Reprezentacje symetryczne II: Grupa Janko J1 , J. London Math. Soc., 47 (2), 294-308.
• RT Curtis, (1996) Symetryczna reprezentacja elementów grupy Janko J1 , J. Symbolic Comp., 22, 201-214.
• Christoph, Jansen (2005). „Minimalne stopnie wiernych reprezentacji sporadycznych grup prostych i ich grup pokrywających” . LMS Journal of Computing and Mathematics . 8 : 123. doi : 10.1112/S1461157000000930 .
• Zvonimir Janko, Nowa skończona grupa prosta z abelowymi podgrupami Sylowa , Proc. Natl. Acad. nauka USA 53 (1965) 657-658.
• Zvonimir Janko, Nowa skończona prosta grupa z abelowymi podgrupami Sylowa i jej charakterystyka , Journal of Algebra 3: 147-186, (1966) doi : 10.1016/0021-8693 (66) 90010-X
• Zvonimir Janko i John G. Thompson, O klasie skończonych prostych grup Ree , Journal of Algebra, 4 (1966), 274-292.

Linki zewnętrzne

• MathWorld: Grupy Janko
• Atlas reprezentacji grup skończonych: J ₁ wersja 2
• Atlas reprezentacji grup skończonych: J ₁ wersja 3