Grupa skończona

W algebrze abstrakcyjnej grupa skończona to grupa , której podstawowy zbiór jest skończony . Grupy skończone często powstają przy rozważaniu symetrii obiektów matematycznych lub fizycznych, gdy obiekty te dopuszczają tylko skończoną liczbę przekształceń zachowujących strukturę. Ważnymi przykładami grup skończonych są grupy cykliczne i grupy permutacyjne .

Badanie grup skończonych było integralną częścią teorii grup od czasu jej powstania w XIX wieku. Jednym z głównych obszarów badań była klasyfikacja: klasyfikacja skończonych grup prostych (tych bez nietrywialnej podgrupy normalnej ) została zakończona w 2004 roku.

Historia

W XX wieku matematycy dogłębnie badali niektóre aspekty teorii grup skończonych, zwłaszcza lokalną teorię grup skończonych oraz teorię grup rozwiązywalnych i nilpotentnych . W rezultacie uzyskano pełną klasyfikację skończonych grup prostych , co oznacza, że ​​znane są już wszystkie grupy proste , z których można zbudować wszystkie skończone grupy.

W drugiej połowie XX wieku matematycy, tacy jak Chevalley i Steinberg , również poszerzyli naszą wiedzę na temat skończonych analogów grup klasycznych i innych pokrewnych grup. Jedną z takich rodzin grup jest rodzina ogólnych grup liniowych na polach skończonych .

Grupy skończone często pojawiają się przy rozważaniu symetrii obiektów matematycznych lub fizycznych, gdy obiekty te dopuszczają tylko skończoną liczbę przekształceń zachowujących strukturę. Teoria grup Liego , którą można postrzegać jako zajmującą się „ ciągłą symetrią ”, jest pod silnym wpływem powiązanych grup Weyla . Są to skończone grupy generowane przez odbicia, które działają na skończoną wymiarową przestrzeń euklidesową . Właściwości grup skończonych mogą zatem odgrywać rolę w przedmiotach takich jak fizyka teoretyczna i chemia .

Przykłady

Grupy permutacyjne

Główny artykuł: grupa permutacji

Wykres Cayleya grupy symetrycznej S ₄

Grupa symetryczna S _n na skończonym zbiorze n symboli to grupa , której elementami są wszystkie permutacje n symboli, a operacją grupową jest złożenie takich permutacji, które są traktowane jako funkcje bijektywne ze zbioru symboli do siebie . Ponieważ istnieje n ! ( n silnia ) możliwych permutacji zbioru n symboli, wynika z tego, że rząd (liczba elementów) grupy symetrycznej S _n wynosi n !.

Grupy cykliczne

Główny artykuł: grupa cykliczna

Grupa cykliczna Z _n to grupa, której wszystkie elementy są potęgami określonego elementu a , gdzie ⁰ a ⁿ = a = e , tożsamość. Typową realizacją tej grupy jest złożony n- ty pierwiastek jedności . Wysłanie a do prymitywnego korzenia jedności daje izomorfizm między nimi. Można to zrobić z dowolną skończoną grupą cykliczną.

Skończone grupy abelowe

Główny artykuł: Skończona grupa abelowa

Grupa abelowa , zwana także grupą przemienną , to grupa , w której wynik zastosowania operacji grupowej do dwóch elementów grupowych nie zależy od ich kolejności (aksjomat przemienności ). Zostały nazwane na cześć Nielsa Henrika Abla .

Dowolna skończona grupa abelowa jest izomorficzna z bezpośrednią sumą skończonych grup cyklicznych o pierwszym rzędzie potęgi, a rzędy te są jednoznacznie określone, tworząc kompletny system niezmienników. Grupę automorfizmu skończonej grupy abelowej można opisać bezpośrednio za pomocą tych niezmienników. Teoria została po raz pierwszy rozwinięta w artykule Georga Frobeniusa i Ludwiga Stickelbergera z 1879 r., A później została zarówno uproszczona, jak i uogólniona do skończenie generowanych modułów w dziedzinie głównego ideału, tworząc ważny rozdział algebry liniowej .

Grupy typu Lie

Główny artykuł: Grupa typu Lie

Grupa typu Liego jest grupą blisko spokrewnioną z grupą G ( k ) punktów wymiernych redukcyjnej liniowej grupy algebraicznej G o wartościach w ciele k . Grupy skończone typu Liego dają większość nieabelowych skończonych grup prostych . Szczególne przypadki obejmują grupy klasyczne , grupy Chevalley , grupy Steinberga i grupy Suzuki-Ree.

Grupy skończone typu Liego były jednymi z pierwszych grup rozważanych w matematyce, po grupach cyklicznych , symetrycznych i naprzemiennych , z rzutowymi specjalnymi grupami liniowymi na polach skończonych, PSL (2, p ) skonstruowane przez Évariste Galois w latach trzydziestych XIX wieku. Systematyczna eksploracja grup skończonych typu Liego rozpoczęła się od twierdzenia Camille'a Jordana , że ​​rzutowa specjalna grupa liniowa PSL(2, q ) jest prosta dla q ≠ 2, 3. Twierdzenie to uogólnia się na grupy rzutowe o wyższych wymiarach i daje ważne nieskończona rodzina PSL( n , q ) skończonych grup prostych . Inne grupy klasyczne były badane przez Leonarda Dicksona na początku XX wieku. W latach pięćdziesiątych Claude Chevalley zdał sobie sprawę, że po odpowiednim przeformułowaniu wiele twierdzeń o półprostych grupach Liego dopuszcza analogie dla grup algebraicznych w dowolnym polu k , co prowadzi do konstrukcji tego, co obecnie nazywamy grupami Chevalleya . Co więcej, podobnie jak w przypadku zwartych prostych grup Liego, odpowiadające im grupy okazały się niemal proste jako grupy abstrakcyjne ( Twierdzenie o prostocie cycków ). Chociaż od XIX wieku wiadomo było, że istnieją inne skończone grupy proste (na przykład grupy Mathieu ), stopniowo powstało przekonanie, że prawie wszystkie skończone grupy proste można wytłumaczyć odpowiednimi rozszerzeniami konstrukcji Chevalleya, wraz z grupami cyklicznymi i naprzemiennymi. Co więcej, wyjątki, grupy sporadyczne , mają wiele wspólnych cech z grupami skończonymi typu Liego, aw szczególności można je konstruować i charakteryzować na podstawie ich geometrii w sensie cycków.

Przekonanie stało się teraz twierdzeniem – klasyfikacją skończonych grup prostych . Przegląd listy skończonych grup prostych pokazuje, że grupy typu Liego w skończonym polu obejmują wszystkie skończone grupy proste inne niż grupy cykliczne, grupy naprzemienne, grupa cycków i 26 sporadycznych grup prostych .

Główne twierdzenia

Twierdzenie Lagrange'a

Główny artykuł: twierdzenie Lagrange'a (teoria grup)

dowolnej skończonej grupy G porządek (liczba elementów) każdej podgrupy H z G dzieli rząd G . Twierdzenie nosi imię Josepha-Louisa Lagrange'a .

Twierdzenia Sylowa

Główny artykuł: Twierdzenia Sylowa

Stanowi to częściową odwrotność twierdzenia Lagrange'a, podając informację o tym, ile podgrup danego rzędu zawiera G .

Twierdzenie Cayleya

Główny artykuł: twierdzenie Cayleya

Twierdzenie Cayleya , nazwane na cześć Arthura Cayleya , stwierdza, że ​​każda grupa G jest izomorficzna z podgrupą grupy symetrycznej działającej na G. Można to rozumieć jako przykład działania grupowego G na elementy G .

Twierdzenie Burnside'a

Główny artykuł: Twierdzenie Burnside'a

Twierdzenie Burnside'a w teorii grup stwierdza , że ​​jeśli G jest skończoną grupą rzędu pa ^{q b} , gdzie p i q są liczbami pierwszymi , a aib są nieujemnymi liczbami całkowitymi , to G jest rozwiązywalna . Stąd każda nieabelowa skończona grupa prosta ma porządek podzielny przez co najmniej trzy różne liczby pierwsze.

Twierdzenie Feita-Thompsona

Twierdzenie Feita-Thompsona lub twierdzenie o nieparzystym porządku mówi, że każda skończona grupa nieparzystego rzędu jest rozwiązywalna . Udowodnili to Walter Feit i John Griggs Thompson ( 1962 , 1963 )

Klasyfikacja skończonych grup prostych

Klasyfikacja skończonych grup prostych jest twierdzeniem stwierdzającym, że każda skończona grupa prosta należy do jednej z następujących rodzin:

• Grupa cykliczna o pierwszym porządku;
• Naprzemienna grupa stopnia co najmniej 5;
• Prosta grupa typu Lie ;
• Jedna z 26 sporadycznych grup prostych ;
• Grupa cycków (czasami uważana za 27. grupę sporadyczną).

Skończone grupy proste można postrzegać jako podstawowe elementy składowe wszystkich grup skończonych, w sposób przypominający sposób, w jaki liczby pierwsze są podstawowymi elementami składowymi liczb naturalnych . Twierdzenie Jordana – Höldera jest dokładniejszym sposobem stwierdzenia tego faktu w odniesieniu do grup skończonych. Jednak znacząca różnica w odniesieniu do przypadku faktoryzacji liczb całkowitych polega na tym, że takie „cegiełki” niekoniecznie jednoznacznie określają grupę, ponieważ może istnieć wiele grup nieizomorficznych o tej samej serii składu lub, innymi słowy, problem rozszerzenia nie ma unikalnego rozwiązania.

Dowód twierdzenia obejmuje dziesiątki tysięcy stron kilkuset artykułów w czasopismach napisanych przez około 100 autorów, opublikowanych głównie w latach 1955-2004. Gorenstein (zm. 1992), Lyons i Solomon stopniowo publikują uproszczoną i poprawioną wersję dowód.

Liczba grup danego zamówienia

Biorąc pod uwagę dodatnią liczbę całkowitą n , ustalenie, ile jest rodzajów izomorfizmów grup rzędu n , nie jest wcale rutynową sprawą . Każda grupa pierwszego jest cykliczna , ponieważ z twierdzenia Lagrange'a wynika, że ​​​​cykliczna podgrupa generowana przez dowolny z jej elementów nietożsamościowych jest całą grupą. Jeśli n jest kwadratem liczby pierwszej, to istnieją dokładnie dwa możliwe typy izomorfizmu grupy rzędu n , z których oba są abelowe. Jeśli n jest wyższą potęgą liczby pierwszej, to wyniki Grahama Higmana i Charlesa Simsa dają asymptotycznie poprawne oszacowania liczby typów izomorfizmów grup rzędu n , a liczba ta rośnie bardzo szybko wraz ze wzrostem potęgi.

W zależności od rozkładu na czynniki pierwsze n , na strukturę grup rzędu n można nałożyć pewne ograniczenia , wynikające na przykład z wyników takich jak twierdzenia Sylowa . Na przykład każda grupa rzędu pq jest cykliczna, gdy q < p są liczbami pierwszymi z p - 1 niepodzielnym przez q . Aby zapoznać się z warunkiem koniecznym i wystarczającym, zobacz liczbę cykliczną .

Jeśli n jest bezkwadratowe , to każda grupa rzędu n jest rozwiązywalna. Twierdzenie Burnside'a , udowodnione przy użyciu znaków grupowych , stwierdza, że ​​każda grupa rzędu n jest rozwiązywalna, gdy n jest podzielne przez mniej niż trzy różne liczby pierwsze, tj. jeśli n = p ^a q ^b , gdzie p i q są liczbami pierwszymi, a a i b są nieujemne liczby całkowite. Z twierdzenia Feita-Thompsona , które ma długi i skomplikowany dowód, wynika, że ​​każda grupa rzędu n jest rozwiązywalna, gdy n jest nieparzyste.

Dla każdej dodatniej liczby całkowitej n większość grup rzędu n jest rozwiązywalna . Zobaczenie tego dla dowolnego konkretnego rzędu zwykle nie jest trudne (na przykład, aż do izomorfizmu, istnieje jedna nierozwiązywalna grupa i 12 rozwiązywalnych grup rzędu 60), ale dowód tego dla wszystkich rzędów wykorzystuje klasyfikację skończonych grup prostych . Dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej n istnieją co najwyżej dwie grupy proste rzędu n , a istnieje nieskończenie wiele liczb całkowitych dodatnich n , dla których istnieją dwie nieizomorficzne grupy proste rzędu n .

Tabela odrębnych grup rzędu n

Główne artykuły: oeis:A000001 , oeis:A000688 i oeis:A060689

Zamówienie nr	# Grupy	abelowy	Nieabelowy
0	0	0	0
1	1	1	0
2	1	1	0
3	1	1	0
4	2	2	0
5	1	1	0
6	2	1	1
7	1	1	0
8	5	3	2
9	2	2	0
10	2	1	1
11	1	1	0
12	5	2	3
13	1	1	0
14	2	1	1
15	1	1	0
16	14	5	9
17	1	1	0
18	5	2	3
19	1	1	0
20	5	2	3
21	2	1	1
22	2	1	1
23	1	1	0
24	15	3	12
25	2	2	0
26	2	1	1
27	5	3	2
28	4	2	2
29	1	1	0
30	4	1	3

Zobacz też

• Klasyfikacja skończonych grup prostych
• Schemat stowarzyszenia
• Lista skończonych grup prostych
• Twierdzenie Cauchy'ego ( teoria grup )
• Grupa P
• Lista małych grup
• Teoria reprezentacji grup skończonych
• Modułowa teoria reprezentacji
• Potworny bimber
• Grupa skończona
• Skończony pierścień
• Prawdopodobieństwo dojazdów
• Skończona maszyna stanów

Dalsza lektura

•   Jacobson, Nathan (2009). Algebra podstawowa I (wyd. 2). Publikacje Dover . ISBN 978-0-486-47189-1 .

Linki zewnętrzne

• OEIS A000001 (liczba grup rzędu n)
• OEIS A000688 (liczba grup abelowych rzędu n )
• OEIS A060689 (liczba nieabelowych grup rzędu n)
• Małe grupy w GroupNames
• Klasyfikator dla grup małego rzędu