Specjalna grupa liniowa

W matematyce , specjalna grupa liniowa SL ( n , F ) stopnia n nad ciałem F jest zbiorem macierzy n × n z wyznacznikem 1, z operacjami grupowymi zwykłego mnożenia macierzy i odwracania macierzy . Jest to podgrupa normalna ogólnej grupy liniowej określonej przez jądro wyznacznika

{\ Displaystyle \ det \ dwukropek \ nazwa operatora {GL} (n, F) \ do F ^ {\ razy}.}

gdzie F ^× jest multiplikatywną grupą F ( to znaczy F z wyłączeniem 0).

Elementy te są „specjalne”, ponieważ tworzą podrozmaitość algebraiczną ogólnej grupy liniowej - spełniają równanie wielomianowe (ponieważ wyznacznik jest wielomianem we wpisach).

Kiedy F jest skończonym ciałem rzędu q , czasami używa się notacji SL( n , q ) .

Interpretacja geometryczna

Specjalną grupę liniową ^SL ( n , R ) można scharakteryzować jako grupę objętości i orientacji zachowującą liniowe przekształcenia Rn ; odpowiada to interpretacji wyznacznika jako pomiaru zmiany objętości i orientacji.

Podgrupa kłamstwa

Gdy F jest R lub C , SL( n , F ) jest podgrupą Liego GL ( n , F ) o wymiarze n ² − 1 . Algebra kłamstw $n , fa ) {\ Displaystyle {\ mathfrak {sl}} (n,$ składa się ze wszystkich n × n L ( F ) } macierze nad F ze znikającym śladem . Nawias Liego jest podawany przez komutator .

Topologia

Dowolną macierz odwracalną można jednoznacznie przedstawić zgodnie z rozkładem biegunowym jako iloczyn macierzy unitarnej i macierzy hermitowskiej o dodatnich wartościach własnych . Wyznacznik macierzy unitarnej leży na okręgu jednostkowym , podczas gdy wyznacznik macierzy hermitowskiej jest rzeczywisty i dodatni, a ponieważ w przypadku macierzy ze specjalnej grupy liniowej iloczyn tych dwóch wyznaczników musi wynosić 1, to każdy z nich musi być 1. Dlatego specjalną macierz liniową można zapisać jako iloczyn specjalnej macierzy unitarnej (lub specjalna macierz ortogonalna w przypadku rzeczywistym) i dodatnio określona macierz hermitowska (lub macierz symetryczna w przypadku rzeczywistym) mająca wyznacznik 1.

Zatem topologia grupy SL( n , C ) jest iloczynem topologii SU( n ) i topologii grupy macierzy hermitowskich wyznacznika jednostkowego o dodatnich wartościach własnych. Macierz hermitowską wyznacznika jednostkowego i mającą dodatnie wartości własne można jednoznacznie wyrazić jako wykładniczą bezśladowej macierzy hermitowskiej , a zatem jej topologia jest topologią ( n ² - 1) -wymiarowej przestrzeni euklidesowej . Ponieważ SU ( n ) jest po prostu spójny , dochodzimy do wniosku, że SL( n , C ) jest również po prostu spójny dla wszystkich n .

Topologia SL( n , R ) jest iloczynem topologii SO ( n ) i topologii grupy macierzy symetrycznych o dodatnich wartościach własnych i wyznaczniku jednostkowym. Ponieważ te ostatnie macierze można jednoznacznie wyrazić jako wykładniczy symetrycznych macierzy bezśladowych, to ta ostatnia topologia jest topologią ( n + 2) ( n - 1)/2 -wymiarowa przestrzeń euklidesowa. Zatem grupa SL( n , R ) ma tę samą grupę podstawową jako SO( n ), czyli Z dla n = 2 i Z ₂ dla n > 2 . W szczególności oznacza to, że SL( n , R ) , w przeciwieństwie do SL( n , C ) , nie jest po prostu spójny, ponieważ n jest większe od 1.

Relacje z innymi podgrupami GL( n , A )

Dwie powiązane podgrupy, które w niektórych przypadkach pokrywają się z SL, aw innych są przypadkowo łączone z SL, to podgrupa komutatora GL i grupa generowana przez transwekcje . Są to obie podgrupy SL (transwekcje mają wyznacznik 1, a det jest odwzorowaniem grupy abelowej, więc [GL, GL] ≤ SL), ale generalnie nie pokrywają się z nią.

Grupa generowana przez transwekcje jest oznaczana E( n , A ) (dla macierzy elementarnych ) lub TV( n , A ) . Zgodnie z drugą relacją Steinberga dla n ≥ 3 transwekcje są komutatorami, więc dla n ≥ 3 E ( n , A ) ≤ [GL( n , A ), GL( n , A )] .

Dla n = 2 transwekcje nie muszą być komutatorami ( macierzy 2 × 2 ), jak widać na przykład, gdy A to F ₂ , pole dwóch elementów, wtedy

{\ Displaystyle \ nazwa operatora {Alt} (3) \ kong [\ nazwa operatora {GL} (2, \ mathbf {F} _ {2}), \ nazwa operatora {GL} (2, \ mathbf { F} _{2})]<\nazwa_operatora {E} (2,\mathbf {F} _{2})=\nazwa_operatora {SL} (2,\mathbf {F} _{2})=\nazwa_operatora { GL} (2,\mathbf {F} _{2})\cong \operatorname {Sym} (3),}

gdzie Alt(3) i Sym(3) oznaczają naprzemienne wzgl . symetryczna grupa na 3 litery.

Jeśli jednak A jest polem zawierającym więcej niż 2 elementy, to E(2, A ) = [GL(2, A ), GL(2, A )] , a jeśli A jest polem zawierającym więcej niż 3 elementy, E (2, ZA ) = [SL(2, ZA ), SL(2, ZA )] . ^{[ wątpliwe – dyskutuj ]}

W pewnych okolicznościach są one zbieżne: specjalna grupa liniowa nad polem lub domeną euklidesową jest generowana przez transwekcje, a stabilna specjalna grupa liniowa nad domeną Dedekinda jest generowana przez transwekcje. Dla bardziej ogólnych pierścieni stabilną różnicę mierzy się specjalną grupą Whiteheada SK ₁ ( A ) := SL( A )/E( A ) , gdzie SL( A ) i E( A ) to grupy stabilne specjalnych grup liniowych i macierzy elementarnych.

Generatory i relacje

Pracując nad pierścieniem, w którym SL jest generowany przez transwekcje (takie jak pole lub domena euklidesowa ), można przedstawić prezentację SL za pomocą transwekcji z pewnymi relacjami. Transwekcje spełniają relacje Steinberga , ale te nie są wystarczające: wynikową grupą jest grupa Steinberga , która nie jest specjalną grupą liniową, ale raczej uniwersalnym centralnym rozszerzeniem podgrupy komutatora GL.

Wystarczający zestaw relacji dla SL( n , Z ) dla n ≥ 3 dają dwie relacje Steinberga plus trzecia relacja ( Conder, Robertson & Williams 1992 , s. 19). Niech T _ij := e _ij (1) będzie macierzą elementarną z jedynkami na przekątnej iw pozycji ij oraz 0 gdzie indziej (i i ≠ j ). Następnie

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ lewo [T_ {ij}, T_ {jk} \ prawej] & = T_ {ik} & & {\ tekst {for}} i \ neq k \\ [4pt] \ lewo [ T_{ij},T_{k\ell }\right]&=\mathbf {1} &&{\text{for }}i\neq \ell ,j\neq k\\[4pt]\left(T_{12 }T_{21}^{-1}T_{12}\right)^{4}&=\mathbf {1} \end{wyrównane}}}

są pełnym zbiorem relacji dla SL( n , Z ), n ≥ 3.

SL ^± ( n , fa )

W charakterystyce innej niż 2 zbiór macierzy z wyznacznikiem $\pm1$ tworzy kolejną podgrupę GL, z SL jako podgrupą indeksową 2 (koniecznie normalną); w charakterystyce 2 jest to to samo, co SL. Tworzy to krótką dokładną sekwencję grup:

{\ Displaystyle \ operatorname {SL} (n, F) \ do \ operatorname {SL} ^ {\ pm} (n, F) \ do \ {\ pm 1 \}.}

Ta sekwencja dzieli się, biorąc dowolną macierz z wyznacznikiem $-1$ , na przykład macierz diagonalną ${\ Displaystyle (-1,1, \ kropki, 1).}$ $Jeśli$ n $\ Displaystyle n = 2k + 1} jest$ , ujemna macierz tożsamości w $SL \pm (n, F)$ ale nie w $SL (n, fa)$ i tym samym grupa dzieli się jako wewnętrzny produkt bezpośredni ${\ Displaystyle SL ^ {\ pm }(2k+1,F)\cong SL(2k+1,F)\times \{\pm I\}}$ . Jeśli jednak ${\ displaystyle n = 2k}$ $jest$ , już w $SL (n, fa)$ , $SL \pm$ nie dzieli się i ogólnie jest nietrywialnym rozszerzeniem grupy .

Na liczbach rzeczywistych $SL \pm (n, R)$ ma dwa połączone składniki , odpowiadające $SL (n, R)$ i inny składnik, który jest izomorficzny z identyfikacją zależną od wyboru punktu (macierz z wyznacznikiem $-1$ ). W $parzystym$ wymiarze są one naturalnie identyfikowane przez nie ma jednej naturalnej identyfikacji.

Struktura GL( n , F )

Grupa GL( n , F ) dzieli się na swoim wyznaczniku (używamy F ^× ≅ GL(1, F ) → GL( n , F ) jako monomorfizmu od F ^× do GL( n , F ) , patrz iloczyn półprosty ), a zatem GL( n , F ) można zapisać jako iloczyn półprosty SL ( n , F ) przez F ^× :

GL( n , fa ) = SL( n , fa ) ⋊ fa ^× .

Zobacz też

Conder, Marston ; Robertson, Edmund; Williams, Peter (1992), „Prezentacje dla trójwymiarowych specjalnych grup liniowych na pierścieniach całkowitych”, Proceedings of the American Mathematical Society , American Mathematical Society, 115 (1): 19–26, doi : 10,2307/2159559 , JSTOR 2159559 , MR 1079696
Hall, Brian C. (2015), Grupy Liego, algebry Liego i reprezentacje: elementarne wprowadzenie , Absolwent Teksty z matematyki, tom. 222 (wyd. 2), Springer