Złożoność (grupa kłamstw)

W matematyce złożoność lub uniwersalna złożoność rzeczywistej grupy Liego jest określona przez ciągły homomorfizm grupy w zespoloną grupę Liego z uniwersalną właściwością , że każdy ciągły homomorfizm pierwotnej grupy w inną zespoloną grupę Liego rozciąga się w sposób zgodny na zespoloną grupę analityczną homomorfizm między zespolonymi grupami Liego. Złożoność, która zawsze istnieje, jest unikalna aż do unikalnego izomorfizmu . To algebra Liego jest ilorazem złożoności algebry Liego pierwotnej grupy. Są izomorficzne, jeśli pierwotna grupa ma iloraz przez dyskretną podgrupę normalną, która jest liniowa.

Dla zwartych grup Liego , złożoność, nazywana czasem złożonością Chevalleya za Claude'em Chevalleyem , może być zdefiniowana jako grupa znaków zespolonych algebry Hopfa funkcji reprezentatywnych , czyli macierzowych współczynników skończenie wymiarowych reprezentacji grupy. W dowolnej skończonej, wiernej, jednolitej reprezentacji grupy zwartej można ją konkretnie zrealizować jako zamkniętą podgrupę złożonej ogólnej grupy liniowej . Składa się z operatorów z rozkład biegunowy g = u • exp iX , gdzie u jest operatorem unitarnym w grupie zwartej, a X jest operatorem skośno-sprzężonym w swojej algebrze Liego. W tym przypadku złożoność jest złożoną grupą algebraiczną , a jej algebra Liego jest złożonością algebry Liego zwartej grupy Liego.

Uniwersalna złożoność

Definicja

Jeśli G jest grupą Liego, uniwersalną złożonością jest dana przez zespoloną grupę Liego G C i ciągły homomorfizm φ : G G C z uniwersalną właściwością, że jeśli f : G H jest dowolnym ciągłym homomorfizmem w złożone Lie grupa H , to istnieje unikalny złożony homomorfizm analityczny F : G C H taki, że f = fa φ .

Uniwersalne złożoności zawsze istnieją i są unikalne aż do unikalnego zespolonego izomorfizmu analitycznego (zachowującego włączenie oryginalnej grupy).

Istnienie

Jeśli G jest połączona z algebrą Liego 𝖌 , to jej uniwersalna grupa pokrywająca G jest po prostu spójna. Niech G C będzie prosto spójną zespoloną grupą Liego z algebrą Liego 𝖌 C = 𝖌 ⊗ C , niech Φ: G G C będzie naturalnym homomorfizmem (jednoznacznym morfizmem takim, że Φ * : 𝖌 ↪ 𝖌 ⊗ C jest inkluzją kanoniczną) i załóżmy, że π : G G jest uniwersalną mapą pokrywającą, tak że ker π jest podstawową grupą G . Mamy inkluzję Φ(ker π ) ⊂ Z( G C ) , co wynika z faktu, że jądro sprzężonej reprezentacji G C jest równe jej środkowi połączonemu z równością

co zachodzi dla dowolnego k ∈ ker π . Oznaczając przez Φ(ker π ) * najmniejszą zamkniętą normalną podgrupę Lie G C , która zawiera Φ(ker π ) , musimy teraz również mieć inkluzję Φ(ker π ) * ⊂ Z( G C ) . Definiujemy uniwersalną złożoność G jako

W szczególności, jeśli G jest po prostu spójny, jego uniwersalna złożoność to po prostu G C .

Przekształcenie φ : G G C uzyskuje się przechodząc do ilorazu. Ponieważ π jest zanurzeniem surjektywnym, gładkość odwzorowania π C ∘ Φ implikuje gładkość φ .

Construction of the complexification map

Dla niespójnych grup Liego G ze składową identyczności G o i grupą składową Γ = G / G o , rozszerzenie

wywołuje przedłużenie

a złożona grupa Liego G C jest złożonością G .

Dowód własności uniwersalnej

Mapa φ : G G C rzeczywiście posiada uniwersalną własność, która pojawia się w powyższej definicji złożoności. Dowód tego stwierdzenia naturalnie wynika z rozważenia następującego pouczającego diagramu.

Universal property of complexification

Tutaj jest jako koddomeną.

Istnienie mapy F

zakładamy, jest połączony. Aby ustalić istnienie najpierw naturalnie rozszerzamy morfizm algebr Liego do unikalnego morfizmu złożonych algebr Liego. Ponieważ podstawowe twierdzenie Liego zapewnia nam teraz unikalny złożony morfizm analityczny między złożonymi grupami kłamstw, tak że . definiujemy jako mapa wywołana przez , czyli: dla dowolnego . ( ) , rozważ pochodną mapy . Dla każdego mamy

,

co (przez proste powiązanie implikuje . ⊂ , a ponieważ jest zamkniętą normalną podgrupą Liego z również . Ponieważ surjektywnym, mapa ponieważ jest. równość _

Wyjątkowość mapy F

wyjątkowość , że dwie mapy z . Komponując różnicując, otrzymujemy { sol otrzymujemy . Ale jest zanurzeniem, więc { , stąd powiązanie .

Wyjątkowość

Właściwość uniwersalna implikuje, że uniwersalna złożoność jest unikalna aż do zespolonego izomorfizmu analitycznego.

Wstrzykiwalność

Jeśli pierwotna grupa jest liniowa, tak samo jest z uniwersalną złożonością, a homomorfizm między nimi jest inkluzją. Onishchik i Vinberg (1994) podają przykład połączonej rzeczywistej grupy Liego, dla której homomorfizm nie jest iniekcyjny nawet na poziomie algebry Liego: biorą iloczyn T przez uniwersalną grupę pokrywającą SL (2, R ) i iloraz na zewnątrz przez dyskretną podgrupę cykliczną generowaną przez irracjonalny obrót w pierwszym czynniku i generator środka w drugim.

Podstawowe przykłady

Następujące izomorfizmy złożoności grup Liego ze znanymi grupami Liego można skonstruować bezpośrednio z ogólnej konstrukcji złożoności.

.
Wynika to z izomorfizmu algebr Liego
,
że jest po prostu połączone.
.
Wynika to z izomorfizmu algebr Liego
,
faktem prostu
,
gdzie oznacza właściwą ortochroniczna grupa Lorentza . Wynika to z faktu, że jest uniwersalną (podwójną) okładką , stąd:
.
Korzystamy również z faktu, że jest uniwersalną (podwójną) okładką .
  • Złożoność właściwej ortochronicznej grupy Lorentza to
.
Wynika to z tego samego izomorfizmu algebr Liego, co w drugim przykładzie, ponownie wykorzystując uniwersalne (podwójne) pokrycie właściwej ortochronicznej grupy Lorentza.
  • Złożoność specjalnej ortogonalnej grupy macierzy 4x4 to
.
faktu _ stąd i tak .

Ostatnie dwa przykłady pokazują, że grupy Liego z izomorficznymi kompleksami mogą nie być izomorficzne. Ponadto złożoność grup Liego do pokazać, że złożoność nie jest operacją idempotentną, tj. O i .

Złożoność Chevalleya

Algebra Hopfa współczynników macierzowych

Jeśli G jest zwartą grupą Liego, *-algebra A współczynników macierzy skończenie wymiarowych reprezentacji jednostkowych jest jednostajnie gęstą *-podalgebrą C ( G ) , * -algebrą funkcji ciągłych o wartościach zespolonych na G . Jest to oczywiście algebra Hopfa z komultiplikacją dana przez

Znaki A są *-homomorfizmami A do C . Można je zidentyfikować za pomocą ocen punktowych f f ( g ) dla g w G , a komultiplikacja pozwala na odzyskanie struktury grupowej na G. Homomorfizmy A do C również tworzą grupę. Jest to złożona grupa Liego i można ją utożsamiać ze złożonością G C z G . *-algebra A jest generowane przez współczynniki macierzowe dowolnej wiernej reprezentacji σ G . Wynika z tego, że σ definiuje wierną zespoloną analityczną reprezentację G C .

Teoria niezmienna

Oryginalne podejście Chevalleya (1946) do złożoności zwartej grupy Liego można zwięźle przedstawić w języku klasycznej teorii niezmienników , opisanej przez Weyla (1946) . Niech G będzie zamkniętą podgrupą grupy unitarnej U ( V ) , gdzie V jest skończenie wymiarową zespoloną przestrzenią iloczynu wewnętrznego. Jego algebra Liego składa się ze wszystkich operatorów skośno-sprzężonych X takich, że exp tX leży w G dla wszystkich rzeczywistych t . Ustaw W = V C z trywialnym działaniem G na drugiej sumie. Grupa G działa na W N , z elementem u działającym jako u N . Komutant A N = End jest W N oznaczony przez G . Jest generowany jako *-algebra przez swoich operatorów unitarnych, a jej komutantem jest *-algebra rozpięta przez operatory u N . Złożoność G C G składa AN się ze wszystkich operatorów g w GL( V ) takich , że g N komutuje z i g działa trywialnie na drugiej sumie w C . Z definicji jest to zamknięta podgrupa GL( V ) . Relacje definiujące (jako komutant) pokazują, że G jest podgrupą algebraiczną. Jego skrzyżowanie z ul ( V ) pokrywa się z G , ponieważ jest a priori większą zwartą grupą, dla której reprezentacje nieredukowalne pozostają nieredukowalne i nierównoważne, gdy ograniczają się do G. Ponieważ AN u jest generowany przez unitarki, operator odwracalny g leży w G C , jeśli operator unitarny i operator dodatni p w jego rozkładzie biegunowym g = u p oba leżą w G C. _ Zatem u leży w G , a operator p można zapisać jednoznacznie jako p = exp T , gdzie T jest operatorem samosprzężonym. Z rachunku funkcyjnego dla funkcji wielomianowych wynika, że AN ​​h N leży w komutatorze , jeśli h = exp z T z z w C . W szczególności biorąc z czysto urojone, T musi mieć postać iX z X w algebrze Liego G . Ponieważ każda skończenie wymiarowa reprezentacja G występuje jako bezpośrednia suma W N , pozostaje niezmienna przez G C , a zatem każda skończenie wymiarowa reprezentacja G rozciąga się jednoznacznie na G C . Rozszerzenie jest zgodne z rozkładem biegunowym. Wreszcie rozkład biegunowy implikuje, że G jest maksymalnie zwartą podgrupą G C , ponieważ ściśle większa zwarta podgrupa zawierałaby wszystkie potęgi całkowite operatora dodatniego p , zamkniętą nieskończoną podgrupę dyskretną.

Dekompozycje w złożoności Chevalleya

Rozkład Cartana

Rozkład wywodzący się z rozkładu polarnego

gdzie 𝖌 jest algebrą Liego G , nazywa się rozkładem Cartana G C . Czynnik wykładniczy P jest niezmienny w koniugacji przez G , ale nie jest podgrupą. Złożoność jest niezmienna przy uwzględnieniu sprzężeń, ponieważ G składa się z operatorów unitarnych, a P z operatorów dodatnich.

Rozkład Gaussa

Dekompozycja Gaussa jest uogólnieniem dekompozycji LU na ogólną grupę liniową i specjalizacją dekompozycji Bruhata . Dla GL( V ) stwierdza, że ​​w odniesieniu do danej bazy ortonormalnej e 1 , ..., e n element g GL ( V ) może być rozłożony na czynniki w postaci

z X dolną jednostkową trójkątną , Y górną jednostkową trójkątną i D przekątną wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie główne drugorzędne g są niezanikające. W tym przypadku X , Y i D są jednoznacznie określone.

W rzeczywistości eliminacja Gaussa pokazuje, że istnieje unikalny X taki, że X -1 g jest trójkątem górnym.

Górne i dolne macierze trójkątne jednostkowe, N + i N - , są zamkniętymi podgrupami unipotentnymi GL( V ). Ich algebry Liego składają się z górnych i dolnych ściśle trójkątnych macierzy. Odwzorowanie wykładnicze jest odwzorowaniem wielomianowym z algebry Liego do odpowiedniej podgrupy przez nilpotencję. Odwrotność jest dana przez odwzorowanie logarytmiczne, które z powodu unipotencji jest również odwzorowaniem wielomianowym. W szczególności istnieje zgodność między zamkniętymi połączonymi podgrupami N ± i podalgebry ich algebr Liego. Mapa wykładnicza jest w każdym przypadku na, ponieważ log funkcji wielomianu ( e A e B ) leży w danej podalgebrze Liego, jeśli A i B są wystarczająco małe.

Rozkład Gaussa można rozszerzyć na złożoności innych zamkniętych połączonych podgrup G z U ( V ) za pomocą rozkładu pierwiastka do zapisania złożonej algebry Liego jako

gdzie 𝖙 jest algebrą Liego maksymalnego torusa T z G , a 𝖓 ± jest bezpośrednią sumą odpowiednich dodatnich i ujemnych przestrzeni pierwiastków. W przestrzeni wag rozkład V jako przestrzenie własne T , 𝖙 działa po przekątnej, 𝖓 + działa jako operatory obniżające, a 𝖓 jako operatory podnoszące. 𝖓 ± są nilpotentnymi algebrami Liego działającymi jako nilpotentne operatory; są wzajemnymi dodatkami na V . W szczególności T działa przez koniugację 𝖓 + , tak że 𝖙 C ⊕ 𝖓 + jest półprostym iloczynem nilpotentnej algebry Liego przez abelową algebrę Liego.

Z twierdzenia Engela , jeśli 𝖆 ⊕ 𝖓 jest iloczynem półprostym, z 𝖆 abelowym i 𝖓 nilpotentnym, działającym na skończenie wymiarowej przestrzeni wektorowej W z operatorami w 𝖆 diagonalizowalnymi i operatorami w 𝖓 nilpotentnymi, istnieje wektor w , który jest wektorem własnym dla 𝖆 i zostaje unicestwiony przez 𝖓 . W rzeczywistości wystarczy pokazać, że istnieje wektor anihilowany przez 𝖓 , po którym następuje indukcja względem dim 𝖓 , ponieważ pochodna algebra 𝖓' unicestwia niezerową podprzestrzeń wektorów, na których 𝖓 / 𝖓' i 𝖆 działają z tymi samymi hipotezami.

Wielokrotne stosowanie tego argumentu do 𝖙 C ⊕ 𝖓 + pokazuje, że istnieje baza ortonormalna e 1 , ..., e n z V składająca się z wektorów własnych 𝖙 C z 𝖓 + działających jako górne trójkątne macierze z zerami na przekątnej.

Jeśli N ± i T C są zespolonymi grupami Liego odpowiadającymi 𝖓 + i 𝖙 C , to rozkład Gaussa stwierdza, że ​​podzbiór

jest iloczynem bezpośrednim i składa się z elementów w G C , dla których drugorzędne główne nie znikają. Jest otwarty i gęsty. Ponadto, jeśli T oznacza maksymalny torus w U( V ) ,

Wyniki te są bezpośrednią konsekwencją odpowiednich wyników dla GL( V ) .

rozkład Bruhata

Jeżeli W = N G ( T ) / T oznacza grupę Weyla T , a B oznacza podgrupę Borela T C N + , rozkład Gaussa jest również konsekwencją dokładniejszego rozkładu Bruhata

rozkładając G C na rozłączną unię podwójnych cosetów B . Zespolony wymiar podwójnego cosetu BσB jest określony przez długość σ jako element W . Wymiar jest maksymalizowany w elemencie Coxeter i daje unikalny otwarty, gęsty podwójny coset. Jego odwrotność koniugatuje B z podgrupą Borel niższych macierzy trójkątnych w G C .

Rozkład Bruhata jest łatwy do udowodnienia dla SL( n , C ) . Niech B będzie podgrupą borelowską macierzy trójkątnych górnych, a T C podgrupą macierzy diagonalnych. Więc N( T do ) / T do = S n . Dla g w SL( n , C ) weź b w B tak, że bg maksymalizuje liczbę zer występujących na początku wierszy. Ponieważ wielokrotność jednego wiersza można dodać do drugiego, każdy wiersz ma inną liczbę zer. Mnożąc przez macierz w w N( TC ) ​​wbg wynika, że leży w B. Dla wyjątkowości, jeśli w 1 b w 2 = b 0 , to wpisy w 1 w 2 znikają poniżej przekątnej. Więc iloczyn leży w T C , udowadniając wyjątkowość.

Chevalley (1955) wykazał, że wyrażenie elementu g jako g = b 1 σb 2 staje się unikalne, jeśli b 1 jest ograniczone do górnej podgrupy unitarangle N σ = N + σ N σ −1 . W rzeczywistości, jeśli M σ = N + σ N + σ −1 , wynika to z tożsamości

Grupa N + ma naturalną filtrację przez podgrupy normalne N + ( k ) z zerami na pierwszych k − 1 superprzekątnych, a kolejne ilorazy są abelowe. Definiując N σ ( k ) i M σ ( k ) jako przecięcia z N + ( k ) , wynika z malejącej indukcji na k , że N + ( k ) = N σ ( k ) ⋅ M σ ( k ) . Rzeczywiście, N σ ( k ) N + ( k + 1) i M σ ( k ) N + ( k + 1) są określone w N + ( k ) przez zniknięcie wpisów dopełniających ( i , j ) na k- tej superprzekątnej w zależności od tego, czy σ zachowuje porządek i < j , czy nie.

0 Dekompozycję Bruhata dla innych klasycznych grup prostych można wywnioskować z powyższego rozkładu, wykorzystując fakt, że są to podgrupy punktu stałego składanych automorfizmów SL ( n , C ) . Dla Sp ( n , C ) , niech J będzie macierzą n × n z jedynkami na antydiagonalnej i gdzie indziej i ustaw

Wtedy Sp( n , C ) jest podgrupą punktu stałego inwolucji θ ( g ) = A ( g t ) −1 A −1 z SL(2 n , C ) . Pozostawia podgrupy N ± , T C i B niezmienne. Jeśli elementy bazowe są indeksowane przez n , n −1, ..., 1, −1, ..., − n , to grupa Weyla Sp( n , C ) składa się z σ spełniającego σ ( j ) = − j , czyli dojazdy z θ . Analogi B , T C i N ± są określone przez przecięcie z Sp( n , C ) , czyli jako stałe punkty θ . Jednoznaczność rozkładu g = nσb = θ ( n ) θ ( σ ) θ ( b ) implikuje rozkład Bruhata dla Sp ( n , C ) .

Ten sam argument działa dla SO( n , C ) . Można to zrealizować jako stałe punkty ψ ( g ) = B ( g t ) −1 B −1 w SL( n , C ) gdzie B = J .

rozkład Iwasawy

Rozkład Iwasawy

daje rozkład dla G C , dla którego, w przeciwieństwie do rozkładu Cartana, bezpośredni czynnik A N jest zamkniętą podgrupą, ale nie jest już niezmienny w koniugacji przez G . Jest to półbezpośredni iloczyn nilpotentnej podgrupy N przez podgrupę abelową A .

Dla U ( V ) i jego złożoności GL ( V ) ten rozkład można wyprowadzić jako powtórzenie procesu ortonormalizacji Grama – Schmidta .

W rzeczywistości niech e 1 , ..., en będzie ortonormalną bazą V i niech g będzie elementem GL( V ) . Stosując proces Grama-Schmidta do ge 1 , ..., gen n , istnieje unikalna baza ortonormalna f 1 , ..., f n i stałe dodatnie a i takie, że

Jeżeli k jest jednostkowym przyjęciem ( e i ) do ( fi ) , wynika z tego , że g −1 k leży w podgrupie AN , gdzie A jest podgrupą dodatnich macierzy diagonalnych względem ( e i ) a N jest podgrupą górnych macierzy jednostkowych .

Używając notacji dla rozkładu Gaussa, podgrupy w rozkładzie Iwasawy dla G C są zdefiniowane przez

Ponieważ rozkład jest bezpośredni dla GL( V ) , wystarczy sprawdzić , że G C = GAN . Z właściwości rozkładu Iwasawy dla GL( V ) , mapa G × A × N jest dyfeomorfizmem na swoim obrazie w G C , który jest domknięty. Z drugiej strony wymiar obrazu jest taki sam jak wymiar G C , więc też jest otwarty. Więc G C = GAN ponieważ G C jest spójny.

Zhelobenko (1973) podaje metodę jawnego obliczania elementów w dekompozycji. Dla g w G do zestawu h = g * g . Jest to dodatni operator samosprzężony, więc jego główne drugorzędne nie znikają. Dzięki rozkładowi Gaussa można go zatem zapisać jednoznacznie w postaci h = XDY z X w N - , D w T C i Y w N + . Ponieważ h jest samosprzężone, niepowtarzalność wymusza Y = X * . Ponieważ jest również dodatnie, D musi leżeć w A i mieć postać D = exp iT dla jakiegoś unikalnego T w 𝖙 . Niech a = exp iT /2 będzie jego unikalnym pierwiastkiem kwadratowym z A . Ustaw n = Y i k = sol n -1 za -1 . Następnie k jest jednostkowe, tak samo jest w G , a g = kan .

Struktury złożone na przestrzeniach jednorodnych

zespolonej przestrzeni wykorzystać do opisu złożonych struktur na orbitach G w rzutowej najwyższych wag wektorów skończenie wymiarowych nieredukowalnych reprezentacji G . W szczególności identyfikacja między G / T i G C / B może być wykorzystana do sformułowania twierdzenia Borela – Weila . Stwierdza, że ​​każdą nieredukowalną reprezentację G można uzyskać przez indukcja holomorficzna ze znaku T , czyli równoważnie , że jest ona realizowana w przestrzeni odcinków holomorficznej wiązki linii na G / T .

Zamknięte połączone podgrupy G zawierające T są opisane teorią Borela – de Siebenthala . Są dokładnie centralizatorami tori S T . Ponieważ każdy torus jest generowany topologicznie przez pojedynczy element x , są one takie same jak centralizatory C G ( X ) elementów X w 𝖙 . Przez wynik Hopf C G ( x ) jest CG ( x ) zawsze spójny: w rzeczywistości każdy element y jest wraz z S zawarty w jakimś maksymalnym torusie, koniecznie zawartym w .

Biorąc pod uwagę nieredukowalną skończenie wymiarową reprezentację V λ z najwyższym wektorem wagi v wagi λ , stabilizatorem C v w G jest zamknięta podgrupa H . Ponieważ v jest wektorem własnym T , H zawiera T . Złożoność G C działa również na V TC , a stabilizator jest zamkniętą złożoną podgrupą P zawierającą . Ponieważ v jest anihilowane przez każdy operator podnoszący odpowiadający dodatniemu pierwiastkowi α , P zawiera podgrupę borelowską B . Wektor v jest również wektorem o największej wadze dla kopii sl 2 odpowiadającej α , więc jest anihilowany przez operator obniżający generujący 𝖌 α jeśli ( λ , α ) = 0 . Algebra Liego p od P jest bezpośrednią sumą 𝖙 C i wektory przestrzeni korzeni anihilujące v , tak że

Algebra Liego dla H = P G jest dana przez p ∩ 𝖌 . Przez rozkład Iwasawy G C = GAN . Ponieważ AN ustala C v , orbita G v w zespolonej przestrzeni rzutowej V λ pokrywa się z orbitą G C i

W szczególności

Korzystając z identyfikacji algebry Liego T z jej dualnością, H równa się centralizatorowi λ w G , a zatem jest spójny. Grupa P jest również połączona. W rzeczywistości przestrzeń G / H jest po prostu spójna, ponieważ można ją zapisać jako iloraz (zwartej) uniwersalnej grupy pokrywającej zwartej półprostej grupy G / Z przez spójną podgrupę, gdzie Z jest środkiem G . Jeśli P o jest składową tożsamościową P , G C / P ma G C / P o jako przestrzeń pokrywającą, tak że P = P o . Przestrzeń jednorodna G C / P ma złożoną strukturę, ponieważ P jest złożoną podgrupą. Orbita w złożonej przestrzeni rzutowej jest zamknięta w topologii Zariskiego twierdzeniem Chowa , więc jest gładką rozmaitością rzutową. Twierdzenie Borela-Weila i jego uogólnienia omówiono w tym kontekście w Serre (1954) , Helgason (1994) , Duistermaat i Kolk (2000) oraz Sepanski (2007) .

Podgrupę paraboliczną P można również zapisać jako sumę podwójnych cosetów B

gdzie W λ jest stabilizatorem λ w grupie Weyla W . Jest generowany przez odbicia odpowiadające pierwiastkom prostym prostopadłym do λ .

Niezwarte formy rzeczywiste

Istnieją inne zamknięte podgrupy złożoności zwartej połączonej grupy Liego G , które mają tę samą złożoną algebrę Liego. To są inne rzeczywiste formy G C .

Inwolucje prosto połączonych zwartych grup Liego

Jeśli G jest prosto spójną zwartą grupą Liego, a σ jest automorfizmem rzędu 2, to podgrupa punktu stałego K = G σ jest automatycznie spójna . (W rzeczywistości jest to prawdą dla każdego automorfizmu G , jak pokazano dla automorfizmów wewnętrznych przez Steinberga i ogólnie przez Borela ).

Można to zobaczyć najbardziej bezpośrednio, gdy inwolucja σ odpowiada hermitowskiej przestrzeni symetrycznej . W takim przypadku σ jest wewnętrzne i jest realizowane przez element w jednoparametrowej podgrupie exp tT zawartej w centrum G σ . Wewnętrzność σ implikuje, że K zawiera maksymalny torus G , więc ma maksymalny rząd. Natomiast centralizator podgrupy generowanej przez torus S elementów exp tT jest spójny, gdyż jeśli x jest dowolnym elementem w K istnieje maksymalny torus zawierający x i S , który leży w centralizatorze. Z drugiej strony zawiera K , ponieważ S jest centralne w K i jest zawarte w K , ponieważ z leży w S . Zatem K jest centralizatorem S , a zatem jest połączony. W szczególności K zawiera środek G.

Dla ogólnej inwolucji σ powiązanie G σ można zobaczyć w następujący sposób.

Punktem wyjścia jest abelowa wersja wyniku: jeśli T jest maksymalnym torusem prosto połączonej grupy G , a σ jest inwolucją pozostawiającą niezmiennik T i wybór dodatnich pierwiastków (lub równoważnie komory Weyla ), to podgrupa punktu stałego T σ jest spójny. W rzeczywistości jądrem wykładniczej mapy od do jest krata Λ z podstawą Z indeksowaną przez proste pierwiastki, która σ permutuje . Podział według orbit, T można zapisać jako iloczyn warunków T , na których σ działa trywialnie, lub warunków T 2 , gdzie σ zamienia czynniki. Podgrupa punktu stałego odpowiada po prostu wzięciu podgrup ukośnych w drugim przypadku, więc jest spójna.

Niech x będzie dowolnym elementem ustalonym przez σ, niech S będzie maksymalnym torusem w C G ( x ) σ i niech T będzie składową tożsamościową CG ( x , S ) . Wtedy T jest maksymalnym torusem w G zawierającym x i S . Jest niezmiennikiem pod σ, a składową tożsamościową T σ jest S . W rzeczywistości, ponieważ x i S commutate, są one zawarte w maksymalnym torusie, który, ponieważ jest spójny, musi leżeć w T . Z konstrukcji T jest niezmiennikiem pod σ. Składowa tożsamościowa T σ zawiera S , leży w CG ( x ) σ i centralizuje S , więc równa się S . Ale S jest centralny w T , aby T musi być abelowe, a zatem maksymalny torus. Dla σ działa jak mnożenie przez -1 na algebrze Liego więc i dlatego też są abelowe

Dowód kończy się pokazując, że σ zachowuje komorę Weyla związaną z T . Bo wtedy T σ jest spójny, więc musi równać się S . Stąd x leży w S . Ponieważ x było dowolne, G σ musi być spójny.

Aby utworzyć niezmiennik komory Weyla pod σ, zauważ, że nie ma przestrzeni korzeniowej, której zarówno x , jak i S działały sprzeczne z faktem, że C G ( x , S ) ma taką samą algebrę Liego jak T. Stąd musi istnieć element s w S taki, że t = xs działa nietrywialnie na każdą pierwiastek. W tym przypadku t jest a regularny element T składowa identyczności jego centralizatora w G równa się T . Istnieje unikalna wnęka Weyla A w taka, że leży w exp A a 0 leży w zamknięciu A . Ponieważ t jest ustalone przez σ, wnęka pozostaje niezmienna przez σ, a zatem również zawiera ją komora Weyla C.

Koniugacje na temat złożoności

Niech G będzie prosto spójną zwartą grupą Liego ze złożonością G C . Mapa c ( g ) = ( g *) −1 definiuje automorfizm G C jako rzeczywistą grupę Liego z G jako podgrupą punktu stałego. Jest sprzężony-liniowy na 2 = id . Takie automorfizmy G C lub nazywane są koniugacjami . Ponieważ G do jest również po prostu spójny , każda odpowiada automorfizmowi 1 z G do .

0 Klasyfikacja koniugacji c sprowadza się do klasyfikacji inwolucji σ G , ponieważ dane c 1 istnieje automorfizm φ grupy zespolonej G C taki, że

00 dojazdy z c . Koniugacja c pozostawia G niezmiennikiem i ogranicza się do inwolucyjnego automorfizmu σ. Dzięki prostej łączności to samo jest prawdą na poziomie algebr Liego. Na poziomie algebry Liego c można odzyskać z σ za pomocą wzoru

dla X , Y w .

Aby udowodnić istnienie φ niech ψ = c 1 c będzie automorfizmem grupy zespolonej G C . Na poziomie algebry Liego definiuje operator samosprzężony dla złożonego iloczynu wewnętrznego

gdzie B jest formą zabijania na . Zatem ψ 2 jest operatorem dodatnim i automorfizmem wraz ze wszystkimi jego potęgami rzeczywistymi. W szczególności weź

To satysfakcjonuje

Dekompozycja Cartana w postaci rzeczywistej

Dla złożoności G C , rozkład Cartana opisano powyżej. Wyprowadzony z rozkładu biegunowego w zespolonej ogólnej grupie liniowej daje dyfeomorfizm

000 Na G C istnieje operator koniugacji c odpowiadający G oraz inwolucja σ dojeżdżająca z c . Niech c = c σ i niech G będzie podgrupą punktu stałego c . Jest zamknięta w grupie macierzowej G C , a zatem w grupie Liego. Inwolucja σ działa zarówno na G , jak i G. Dla algebry Liego G istnieje rozkład

0 do przestrzeni własnych +1 i −1 σ. Podgrupa punktów stałych K z σ w G jest spójna, ponieważ G jest po prostu spójny. Jego algebra Liego to + 1 przestrzeń własna . Algebra Liego G jest dana przez

00 a podgrupa punktu stałego σ to znowu K , więc G G = K . W G występuje rozkład Cartana

000 co jest ponownie dyfeomorfizmem na wprost i odpowiada polarnemu rozkładowi macierzy. Jest to ograniczenie rozkładu na G C . Produkt daje dyfeomorfizm na zamkniętym podzbiorze G . Aby sprawdzić, czy jest suriekcją, dla g w G napisz g = u p z u w G i p w P . Ponieważ c g = g , niepowtarzalność implikuje, że σ u 0 = u i σ p = p -1 . Stąd u leży w K i p w P .

0000 Rozkład Cartana w G pokazuje, że G jest spójny, po prostu spójny i niezwarty, ze względu na bezpośredni czynnik P . Zatem G jest niezwartą, rzeczywistą półprostą grupą Liego.

Ponadto, biorąc pod uwagę maksymalną podalgebrę abelową , = exp { a } podgrupa toralna taka, że ​​σ( a ) = a −1 na A ; dowolne dwa takie sprzężone przez element K . Właściwości A można pokazać bezpośrednio. A jest domknięty, ponieważ domknięcie A podgrupą toralną spełniającą σ ( za ) = a -1 , więc jego algebra Liego leży w i stąd równa się przez maksymalizację. A może być generowane topologicznie przez pojedynczy element exp X , więc jest centralizatorem w m . w k -orbita dowolnego elementu element Y taki, że (X, Ad Y ) jest zminimalizowany przy k = 1. Ustawienie k = exp tT z T w wynika z tego, że ( X , [ T , Y ]) = 0, a zatem [ X , Y ] = 0, więc Y musi leżeć w . Zatem jest związkiem koniugatów . W szczególności jakiś koniugat X leży w jakimkolwiek innym wyborze który centralizuje ten koniugat jedynymi możliwościami są .

00 Podobne stwierdzenia dotyczą działania K na w . Morevoer, z rozkładu Cartana dla G , to ZA = exp }

Dekompozycja Iwasawy w postaci rzeczywistej

Zobacz też

Notatki

  •   Bourbaki, N. (1981), Groupes et Algèbres de Lie (Rozdział 3) , Éléments de Mathématique, Hermann, ISBN 978-3540339403
  •   Bourbaki, N. (1981a), Groupes et Algèbres de Lie (Chapitres 4,5 i 6) , Éléments de Mathématique, Masson, ISBN 978-2225760761
  •   Bourbaki, N. (1982), Groupes et Algèbres de Lie (Rozdział 9) , Éléments de Mathématique, Masson, ISBN 978-3540343929
  •   Bröcker, T.; tom Dieck, T. (1985), Reprezentacje zwartych grup kłamstw , Absolwent Teksty z matematyki , tom. 98, Springera, ISBN 978-3540136781
  • Bruhat, F. (1956), „Sur les représentations induites des groupes de Lie” , Bull. soc. Matematyka Francja , 84 : 97–205, doi : 10.24033/bsmf.1469
  •   Bump, Daniel (2004), Lie groups , Graduate Texts in Mathematics, tom. 225, Springera, ISBN 978-0387211541
  •   Carter, Roger W. (1989) [1972], Proste grupy typu Lie , Wiley Classics Library, tom. 22, Wiley, ISBN 9780471506836
  •   Chevalley, C. (2018) [1946], Teoria grup kłamstw I , Dover, ISBN 9780486824536
  • Chevalley, C. (1955), "Sur pewne grupy proste" , Tôhoku Mathematical Journal , 7 (1–2): 14–66, doi : 10,2748/tmj/1178245104
  •   Dieudonné, J. (1977), Zwarte grupy Liego i półproste grupy Liego, Rozdział XXI , Traktat o analizie, tom. 5, Prasa akademicka, ISBN 978-0122155055
  •   Duistermaat, JJ; Kolk, A. (2000), grupy kłamstw , Universitext, Springer, ISBN 978-3540152934
  • Gelfand, IM; Naimark, MA (1950), „Unitarne reprezentacje grup klasycznych” , Trudy Mat. Inst. Stiekłow. (po rosyjsku), 36 : 3–288
  •   Helgason, Sigurdur (1978), Geometria różniczkowa, grupy Liego i przestrzenie symetryczne , Academic Press, ISBN 978-0821828489
  •   Helgason, Sigurdur (1994), Analiza geometryczna w przestrzeniach symetrycznych , Badania matematyczne i monografie, tom. 39 (wyd. 2), Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, ISBN 978-0821815380
  • Hochschild, G. (1965), Struktura grup Liego , Holden-Day
  •   Hochschild, G. (1966), „Złożoność rzeczywistych grup analitycznych”, Transactions of the American Mathematical Society , 125 (3): 406–413, doi : 10,2307/1994572 , JSTOR 1994572
  •   Humphreys, James E. (1981), Linear Algebraic Groups , Absolwent teksty z matematyki, tom. 21, Springera, ISBN 978-0387901084
  •   Humphreys, James E. (1997), Wprowadzenie do algebr kłamstw i teorii reprezentacji , Teksty magisterskie z matematyki, tom. 9 (wyd. 2), Springer, ISBN 978-3540900535
  •   Knapp, Anthony W. (2001), Teoria reprezentacji półprostych grup: przegląd oparty na przykładach , Princeton Mathematical Series, tom. 36, Princeton University Press, ISBN 978-0691090894
  •   Onishchik, AL; Vinberg, EB (1994), Grupy Liego i algebry Liego III: Struktura grup Liego i algebry Liego , Encyclopaedia of Mathematical Sciences, tom. 41, Springera, ISBN 9783540546832
  •   Sepanski, Mark R. (2007), Compact Lie groups , Graduate Texts in Mathematics, tom. 235, Springera, ISBN 978-0387302638
  • Serre, Jean-Pierre (1954), „Représentations linéaires et espaces homogènes kählériens des groupes de Lie compacts, Exposé no 100” , Séminaire Bourbaki , 2 , zarchiwizowane z oryginału w dniu 13.07.2012 , pobrane 07.03.2013
  •   Steinberg, Robert (2006) [1974], Klasy koniugacji w grupach algebraicznych , Notatki z wykładu z matematyki, tom. 366, Springera, ISBN 978-3-540-37931-7
  •   Weyl, Hermann (2016) [1946], Grupy klasyczne, ich niezmienniki i reprezentacje (wyd. 2), Princeton University Press, ISBN 978-1-4008-8390-5
  •   Wolf, Joseph A. (2010), Przestrzenie o stałej krzywiźnie , AMS Chelsea Publishing (wyd. 6), Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, ISBN 978-0821852828
  •   Zhelobenko, DP (1973), Kompaktowe grupy Lie i ich reprezentacje , Tłumaczenia monografii matematycznych, tom. 40 (wyd. 3), Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, ISBN 978-0-8218-1590-8