Teoria reprezentacji półprostych algebr Liego

W matematyce teoria reprezentacji półprostych algebr Liego jest jednym z ukoronowań teorii grup Liego i algebr Liego . Teoria ta została opracowana głównie przez E. Cartana i H. Weyla iz tego powodu znana jest również jako teoria Cartana-Weyla . Teoria podaje strukturalny opis i klasyfikację skończenie wymiarowej reprezentacji półprostej algebry Liego (ponad ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ); w szczególności daje możliwość parametryzacji (lub sklasyfikowania) nieredukowalnych, skończonych wymiarów reprezentacji półprostej algebry Liego, wyniku znanego jako twierdzenie o najwyższej wadze .

Istnieje naturalna zgodność jeden do jednego między skończenie wymiarowymi reprezentacjami prosto połączonej zwartej grupy Liego K a skończenie wymiarowymi reprezentacjami złożonej półprostej algebry Liego, $sol {\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ jest złożoność algebry Liego K (fakt ten jest zasadniczo szczególnym przypadkiem korespondencji grupy Liego – algebry Liego ). Ponadto skończenie wymiarowe reprezentacje połączonej zwartej grupy Liego można badać za pomocą skończenie wymiarowych reprezentacji uniwersalnej osłony takiej grupy. Stąd teoria reprezentacji półprostych algebr Liego stanowi punkt wyjścia dla ogólnej teorii reprezentacji połączonych zwartych grup Liego .

Teoria ta jest podstawą późniejszych prac Harisha-Chandry dotyczących (nieskończenie wymiarowej) teorii reprezentacji rzeczywistych grup redukcyjnych .

Klasyfikacja skończenie wymiarowych reprezentacji półprostych algebr Liego

Zobacz także: Waga (teoria reprezentacji) § Wagi w teorii reprezentacji półprostych algebr Liego i Twierdzenie o najwyższych wagach

$,$ która klasyfikuje skończenie wymiarowe reprezentacje półprostej algebry Liego . Skończenie wymiarowe nieredukowalne reprezentacje są opisane przez twierdzenie o najwyższej wadze . Teoria jest opisana w różnych podręcznikach, w tym Fultona i Harrisa (1991) , Hall (2015) i Humphreys (1972) .

Po przeglądzie, teoria jest opisana w coraz większej ogólności, zaczynając od dwóch prostych przypadków, które można wykonać „ręcznie”, a następnie przechodząc do ogólnego wyniku. Nacisk kładziony jest tutaj na teorię reprezentacji; w przypadku struktur geometrycznych obejmujących systemy korzeni potrzebnych do zdefiniowania terminu „dominujący element integralny”, skorzystaj z powyższego łącza na temat wag w teorii reprezentacji.

Przegląd

$displaystyle \ mathbb {$ skończenie wymiarowych nieredukowalnych reprezentacji półprostej algebry Liego $}$ lub ogólnie składa się z $R}}$ dwa kroki. Pierwszym krokiem jest analiza hipotetycznych reprezentacji, której wynikiem jest wstępna klasyfikacja. Drugim krokiem jest rzeczywista realizacja tych reprezentacji.

Rzeczywista algebra Liego jest zwykle złożona, umożliwiając analizę w algebraicznie zamkniętym ciele . Praca nad liczbami zespolonymi dodatkowo dopuszcza ładniejsze bazy. Stosuje się następujące twierdzenie: Rzeczywisto-liniowe skończenie-wymiarowe reprezentacje rzeczywistej algebry Liego rozciągają się na zespolone-liniowe reprezentacje jej złożoności. Rzeczywista reprezentacja liniowa jest nieredukowalna wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadająca jej zespolona reprezentacja liniowa jest nieredukowalna. Co więcej, złożona półprosta algebra Liego ma właściwość całkowitej redukowalności . Oznacza to, że każda skończenie wymiarowa reprezentacja rozkłada się jako bezpośrednia suma nieredukowalne reprezentacje .

Wniosek: Klasyfikacja sprowadza się do badania nieredukowalnych zespolonych reprezentacji liniowych (złożonej) algebry Liego.

Klasyfikacja: krok pierwszy

Pierwszym krokiem jest postawienie hipotezy o istnieniu nieredukowalnych reprezentacji. To znaczy, wysuwa się hipotezę, że ma się nieredukowalną reprezentację $złożonej półprostej algebry Lie ,$$,$ martwiąc jak reprezentacja jest skonstruowana. Badane są właściwości tych hipotetycznych reprezentacji, a następnie ustalane są warunki konieczne do istnienia reprezentacji nieredukowalnej.

Właściwości obejmują wagi reprezentacji. Oto najprostszy opis. Niech $podalgebrą$ Cartana , czyli maksymalną podalgebrą z właściwością, że $H}}$$}$$operatorname {ad$$i$ { jest diagonalizowalny dla ${\ Displaystyle H_ {1}, \ ldots, H_ {n}}$ być podstawą dla ${\ Displaystyle {\ mathfrak {h}}}$ . Waga ${\ Displaystyle ($$\ pi, V)}$ równoczesnych wartości własnych ${\ Displaystyle \ lambda}$ dla reprezentacji ,

${\ Displaystyle (\ lambda _ {1}, \ ldots, \ lambda _ {n})}$

dla operatorów dojazdów ${\ Displaystyle \ pi (H_ {1}), \ ldots, \ pi (H_ {n})}$ . W języku niezależnym od podstawy $funkcjonałem$$liniowym$ na $takim,$ że v $\ displaystyle v \in V}$ takie, że ${\ Displaystyle \ pi (H) v = \ lambda (H) v}$ dla każdego ${\ Displaystyle H \ w {\ mathfrak {h}}}$ .

częściowe uporządkowanie na zbiorze wag, a pojęcie najwyższej wagi na podstawie tego częściowego uporządkowania ustala się dla dowolnego zbioru wag. Korzystając ze struktury algebry Liego, definiuje się pojęcia element dominujący i element integralny . Każda skończenie wymiarowa reprezentacja musi mieć maksymalną wagę $.$ tj. taką, dla której nie występuje ściśle wyższa waga Jeśli jest $\ displaystyle v}$ i ${$ λ ${\ displaystyle \ lambda}$ , to cała przestrzeń musi być generowana przez działanie $g}}}$$displaystyle {\$${\ displaystyle v}$ v . $.$ więc jest reprezentacja „cykliczna o Następnie pokazuje się, że waga $jest$ rzeczywistości najwyższa wagę (nie tylko maksymalną) i że każda reprezentacja cykliczna o najwyższej wadze jest nieredukowalna. Następnie pokazuje się, że dwie nieredukowalne reprezentacje o tej samej najwyższej wadze są izomorficzne. Na koniec pokazano, że najwyższa waga $.$ być dominująca i integralna

Wniosek: Reprezentacje nieredukowalne są klasyfikowane według ich najwyższych wag, przy czym najwyższa waga jest zawsze dominującym elementem integralnym.

Krok pierwszy ma tę dodatkową zaletę, że struktura nieredukowalnych reprezentacji jest lepiej zrozumiana. Reprezentacje rozkładają się jako bezpośrednie sumy przestrzeni wagowych , przy czym przestrzeń wagowa odpowiada najwyższej jednowymiarowej wadze. Wielokrotne stosowanie przedstawicieli pewnych elementów algebry Liego, zwanych operatorami obniżającymi, daje zbiór generatorów reprezentacji w postaci przestrzeni wektorowej. Zastosowanie jednego takiego operatora do wektora o określonej wadze skutkuje albo zerem, albo wektorem o ściśle mniejszej wadze. Podnoszenie operatorów działają podobnie, ale dają wektor o ściśle większej wadze lub zerowej. Przedstawiciele podalgebry Cartana działają diagonalnie w bazie wektorów wag.

Klasyfikacja: Krok drugi

Krok drugi dotyczy konstruowania reprezentacji, na które pozwala krok pierwszy. To znaczy, ustalamy teraz dominujący element integralny $displaystyle$ próbujemy skonstruować nieredukowalną reprezentację o najwyższej wadze $\ lambda}$ .

Istnieje kilka standardowych sposobów konstruowania nieredukowalnych reprezentacji:

• Budowa z wykorzystaniem modułów Verma . To podejście jest czysto algebraiczne Liego. (Ogólnie stosowane do złożonych półprostych algebr Liego).
• grup zwartych z wykorzystaniem twierdzenia Petera – Weyla . Jeśli na przykład ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} = \ operatorname {sl} (n; \ mathbb {C})}$ , można by pracować z po prostu połączoną zwartą grupą ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {SU} (n)}$ . (Ogólnie stosowane do złożonych półprostych algebr Liego).
• Konstrukcja z wykorzystaniem twierdzenia Borela – Weila , w której konstruowane są holomorficzne reprezentacje grupy G odpowiadające ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}} .$ (Ogólnie stosowane do złożonych półprostych algebr Liego).
• Wykonywanie standardowych operacji na znanych reprezentacjach, w szczególności zastosowanie dekompozycji Clebscha-Gordana do iloczynów tensorowych reprezentacji. (Nie ma ogólnego zastosowania.) W przypadku ta konstrukcja jest opisana poniżej ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} = \ operatorname {sl} (3; \ mathbb {C})}$ .
• W najprostszych przypadkach budowa od podstaw.

Wniosek: Każdy dominujący element integralny złożonej półprostej algebry Liego daje początek nieredukowalnej, skończenie wymiarowej reprezentacji. Są to jedyne nieredukowalne reprezentacje.

Przypadek sl(2,C)

Zobacz też: Specjalna liniowa algebra Liego i teoria reprezentacji SU (2)

Algebra Liego sl(2, C ) specjalnej grupy liniowej SL(2, C ) jest przestrzenią macierzy śladowo-zerowych 2x2 z wpisami zespolonymi. Podstawą są następujące elementy:

${\ Displaystyle X = {\ rozpocząć {pmatrix} 0 i 1 \\ 0 & 0 \ koniec {pmatrix}} \ qquad Y = {\ rozpocząć {pmatrix} 0 i 0 \\1&0\end{pmatrix}}\qquad H={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}~,}$

Spełniają one relacje komutacji

${\ Displaystyle [H, X] = 2X, \ quad [H, Y] = -2Y, \ quad [X,Y]=H}$ .

Każda skończenie wymiarowa reprezentacja sl(2, C ) rozkłada się jako bezpośrednia suma reprezentacji nieredukowalnych. Twierdzenie to wynika z ogólnego wyniku o całkowitej redukowalności półprostych algebr Liego lub z faktu, że sl(2, C ) jest złożonością algebry Liego prosto połączonej grupy zwartej SU(2). Z kolei nieredukowalne reprezentacje można sklasyfikować według największej wartości własnej , $która musi$ nieujemną liczbą całkowitą m ${\ Displaystyle \ pi (H)}$ . Oznacza to, że w tym przypadku „dominujący element całkowy” jest po prostu nieujemną liczbą całkowitą. Nieredukowalna reprezentacja o największej wartości ${\ Displaystyle m, m-2, \ ldots, -m + 2, -m}$$rozpięta$ ma wymiar $m$ jest własnych . Operatory i $poruszają$$odpowiednio$ w Analiza ta jest szczegółowo opisana w teorii reprezentacji SU(2) (z punktu widzenia złożonej algebry Liego).

Można podać konkretną realizację reprezentacji (krok drugi w powyższym przeglądzie) na jeden z dwóch sposobów. $Liego$ pierwsze, w tym prostym przykładzie nie jest trudno zapisać wyraźną podstawę reprezentacji i wyraźną formułę określającą, w jaki sposób generatory tej podstawie . $}$ , można zrealizować reprezentację o największej wadze, pozwalając $na$ oznaczenie przestrzeni jednorodnych wielomianów stopnia m m { ${\ displaystyle m}$ w dwóch złożonych zmiennych, a następnie zdefiniowanie działania przez ${\ displaystyle X}$ , Y $\ displaystyle Y}$ i ${\ displaystyle H}$

${\ Displaystyle \ pi _ {m} (X) = -z_ {2} {\ Frac {\ częściowy}} {\ częściowy z_ {1}}}; \ quad \ pi _ {m} (Y) = -z_ { 1}{\frac {\częściowy }{\częściowy z_{2}}};\quad \pi _{m}(H)=-z_{1}{\frac {\częściowy}}{\częściowy z_{1} }}+ z_{2}{\frac {\częściowy}}{\częściowy z_{2}}}.}$

Zauważ, że wzory na działanie , $displaystyle$$Y}$ i ${\ displaystyle H}$ nie zależą od ${\ displaystyle m$ ; indeks dolny we wzorach wskazuje jedynie, że ograniczamy działanie wskazanych operatorów do przestrzeni jednorodnych wielomianów stopnia w i $displaystyle$ 1 $z_ {1}}$$\ displaystyle z_ { 2}}$ 2 .

Przypadek sl(3,C)

Zobacz też: Współczynniki Clebscha – Gordana dla SU (3)

Przykład wag reprezentacji algebry Liego sl(3,C), z najwyższą wagą zakreśloną

Ośmiowymiarowa reprezentacja sprzężona sl(3,C), określana jako „ ośmioraka droga ” w fizyce cząstek elementarnych

Istnieje podobna teoria klasyfikująca nieredukowalne reprezentacje sl(3, C ), która jest złożoną algebrą Liego grupy SU(3). Algebra Liego sl(3, C ) jest ośmiowymiarowa. Możemy pracować z podstawą składającą się z następujących dwóch przekątnych elementów

${\ Displaystyle H_ {1} = {\ rozpocząć {pmatrix} 1 i 0 i 0 \\ 0 i -1 i 0 \\ 0 i 0 i 0 \ koniec {pmatrix}} \ quad H_ {2}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}}$ ,

razem z sześcioma innymi macierzami $i$${1}, \, X_$$},\,Y_{2},\,Y_{3}},$ \ z których każdy ma 1 we wpisie poza przekątną i zera w innych miejscach. ( ${\ displaystyle X_ {i}}$ 's mają 1 powyżej przekątnej, a ${\ displaystyle Y_ {i}}$ 's mają 1 poniżej przekątnej).

Strategia polega wtedy na jednoczesnej diagonalizacji $\pi }$$}$ każdej nieredukowalnej reprezentacji $\ Displaystyle$$H_ {2}$ . Przypomnijmy, że w przypadku sl (2, do ) działanie ${\ Displaystyle \ pi (X)}$ i ${\ Displaystyle \ pi (Y)}$ podnosić i obniżać wartości własne ${\ Displaystyle \ pi (H)}$ . Podobnie w przypadku sl (3, $})}$ i π $\$ Displaystyle \ „podnieść” i „obniżyć” wartości własne ${\ Displaystyle \ pi (H_ {1})}$ i ${\ Displaystyle \ pi (H_ {2})}$ . Nieredukowalne reprezentacje $H_ {1})$ następnie klasyfikowane według największych wartości własnych i ${\ Displaystyle$$m_ {2}}$ π } ${\ Displaystyle \ pi (H_ {2})}$ odpowiednio, gdzie ${\ Displaystyle m_ {1}}$ i ${\ Displaystyle m_ {2}}$ są nieujemnymi liczbami całkowitymi. Oznacza to, że w tym ustawieniu „dominujący element całkowy” jest dokładnie parą nieujemnych liczb całkowitych.

W przeciwieństwie do reprezentacji sl(2, C ), reprezentacja sl(3, C ) nie może być ogólnie opisana jawnie. Dlatego $przeglądzie$ argumentu, aby pokazać, że faktycznie ma wagę jakiejś nieredukowalnej reprezentacji (krok drugi . Można to zrobić w następujący sposób. Najpierw konstruujemy „reprezentacje fundamentalne” o najwyższych wagach (1,0) i (0,1). Są to trójwymiarowe standardowe reprezentacje (w których ${\ Displaystyle \ pi (X) = X}$ ) i podwójna reprezentacji standardowej. Następnie bierze się $iloczyn$ tensorowy kopii reprezentacji standardowej i kopii liczby podwójnej reprezentacji standardowej i wyodrębnia $podprzestrzeń$

Chociaż reprezentacji nie można opisać wprost, istnieje wiele przydatnych informacji opisujących ich strukturę. Na przykład wymiar nieredukowalnej reprezentacji o najwyższej wadze jest określony przez ${\ Displaystyle (m_ {1}, m_ {2})}$

${\ Displaystyle \ słaby (m_ {1}, m_ {2}) = {\frac {1}{2}}(m_{1}+1)(m_{2}+1)(m_{1}+m_{2}+2)}$

Istnieje również prosty wzór wielości różnych przedziałów wagowych. Wreszcie, nieredukowalne reprezentacje o najwyższej wadze $można$$zmiennych$ jednorodnych wielomianów stopnia zespolonych

Przypadek ogólnych półprostych algebr Liego

Główny artykuł: Twierdzenie o największej wadze

Zobacz też: Grupa zwarta § Teoria reprezentacji połączonej zwartej grupy Liego

Niech będzie $Displaystyle {\ mathfrak {g}}$ algebrą Liego i niech ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}} sol$ podalgebrą Cartana sol ${$ } to $.$ podalgebra przemienna z właściwością, że ad H _jest diagonalizowalny dla wszystkich w Jako przykład możemy rozważyć przypadek, w którym jest sl ( n , ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ C ), algebra n na n macierzy bezśladowych i jest podalgebrą bezśladowych macierzy $.$ Następnie niech R oznacza powiązany system główny . Następnie wybieramy podstawę (lub system $pierwiastków$ prostych ) dla R .

Podsumujemy teraz pokrótce struktury potrzebne do sformułowania twierdzenia o największej wadze ; więcej szczegółów można znaleźć w artykule na temat wag w teorii reprezentacji . Wybieramy iloczyn wewnętrzny na $który$ jest niezmienny pod działaniem grupy Weyla R , którego używamy do identyfikacji z jego $\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$ podwójna przestrzeń. Jeśli ${\ Displaystyle (\ pi, V)}$ jest reprezentacją ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ , definiujemy wagę V jako element w $h}}}$$Displaystyle {\ mathfrak$ { z właściwością, która dla niektórych v w V mamy ${\ Displaystyle \ pi (H) v = \ langle \ lambda, H \ rangle v}$ dla wszystkich H w mathfrak ${h}}}$${\ Displaystyle \ lambda - \ mu}$ definiujemy jedną wagę $wyższą$ niż inna waga $,$$jeśli$ jest $displaystyle \Delta }$ jako liniowa kombinacja elementów z nieujemnymi współczynnikami rzeczywistymi. Waga nazywana jest najwyższą wagą , jeśli $mu$$}$ jest wyższa niż każda inna waga ${\ displaystyle \ pi}$ . Wreszcie, jeśli $delta}$$wagą$ , mówimy, że jest dominująca , jeśli ma nieujemny iloczyn wewnętrzny z każdym elementem ${\ Displaystyle \ lambda}$ mówimy, że $displaystyle$ jest integralna , jeśli ${\ Displaystyle 2 \ langle \ lambda, \ alfa \ rangle / \ langle \ alfa, \ alfa \ rangle}$$jest$ liczbą całkowitą dla w R .

Skończenie-wymiarowe reprezentacje półprostej algebry Liego są całkowicie redukowalne , więc wystarczy sklasyfikować reprezentacje nieredukowalne (proste). Z kolei reprezentacje nieredukowalne można sklasyfikować według „twierdzenia o najwyższej wadze” w następujący sposób:

• Każda nieredukowalna, skończenie wymiarowa reprezentacja $ma$ wagę, a ta najwyższa waga jest dominująca i integralna.
• Dwie nieredukowalne reprezentacje skończonych wymiarów o tej samej najwyższej wadze są izomorficzne.
• Każdy dominujący element integralny powstaje jako najwyższa waga jakiejś nieredukowalnej, skończonej wymiarowej reprezentacji ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ .

Ostatni punkt twierdzenia (krok drugi w powyższym przeglądzie) jest najtrudniejszy. W przypadku algebry Liego sl(3; C ) konstrukcję można wykonać w sposób elementarny, jak opisano powyżej. Ogólnie rzecz biorąc, konstrukcja reprezentacji może być dana za pomocą modułów Verma .

Budowa z wykorzystaniem modułów Verma

Jeśli ma $wagę$${\ mathfrak {g}}}$ niekoniecznie dominującą lub integralną, można skonstruować nieskończenie wymiarową reprezentację ${\ Displaystyle W _ {\ lambda}}$ sol {\ Displaystyle o najwyższej wadze $Verma$ jako moduł . Moduł Verma ma wtedy maksymalną właściwą niezmienną podprzestrzeń $,$ reprezentacja ilorazowa ${\ Displaystyle V _ {\ lambda}: = W _ {\ lambda} / U_ {\ lambda}}$ jest nieredukowalny - i nadal ma najwyższą wagę ${\ displaystyle \ lambda}$ . W przypadku, gdy $jest$$integralny$ , chcemy pokazać, że skończony wymiarowo.

Strategia udowodnienia skończoności wymiarowości $.$ na wykazaniu, że zbiór wag jest niezmienny pod działaniem grupy Weyla $\ displaystyle W}$$lambda$$}$ względem danej podalgebry Cartana $displaystyle {\ mathfrak {h}}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {h}}} sol {$ . (Zauważ, że wagi modułu Verma ${\ Displaystyle W _ {\ lambda}}$ same w sobie zdecydowanie nie są niezmienne w $warunkach$$ma$ wyniku niezmienności wynika z tego, że tylko skończenie wiele wag W końcu, jeśli jest wagą $Displaystyle$$V_ {\ lambda}}$$\ mu}$ to musi być całkowalna - w rzeczywistości się różnić $displaystyle$ od ${\ displaystyle \ lambda}$ przez całkowitą kombinację pierwiastków - i przez wynik niezmienności, musi być mniejsza niż dla każdego ${\ Displaystyle$$Displaystyle$$\ lambda}$ w ⋅ $}$$\ cdot \ mu$ . Ale z tą $właściwością$ jest tylko skończenie wiele elementów . Zatem ${\ displaystyle V _ {\ lambda}}$$)$ wag, z których każda ma skończoną krotność (nawet w module Verma, więc z pewnością także w . Z $.$ wynika, że ​​musi być skończony

Dodatkowe właściwości reprezentacji

Wiele wiadomo o reprezentacjach złożonej półprostej algebry Lie $.$ poza klasyfikacją pod względem najwyższych wag Kilka z nich wymienimy pokrótce. Nawiązywaliśmy już do twierdzenia Weyla , które stwierdza, że ​​każda $skończenie$ wymiarowa reprezentacja rozkłada się jako bezpośrednia suma nieredukowalnych reprezentacji Istnieje również formuła znaków Weyla , która prowadzi do formuły wymiarów Weyla (wzór na wymiar reprezentacji pod względem jego najwyższej wagi), wzór krotności Kostanta (wzór na krotności różnych wag występujących w reprezentacji). Wreszcie istnieje również wzór na wartość własną elementu Casimira , który działa jak skalar w każdej nieredukowalnej reprezentacji.

Kłamliwe reprezentacje grupowe i unitariańska sztuczka Weyla

Chociaż możliwe jest rozwinięcie teorii reprezentacji złożonych półprostych algebr Liego w sposób samodzielny, wprowadzenie perspektywy za pomocą grup Liego może być pouczające . Podejście to jest szczególnie pomocne w zrozumieniu twierdzenia Weyla o całkowitej redukowalności . Wiadomo, że każda złożona półprosta algebra Lie $}$ zwartą postać rzeczywistą ${\ displaystyle {\ mathfrak {k}}$ . Oznacza to po pierwsze, $jest$ złożonością ${\ Displaystyle {\ mathfrak {k}}}$ :

${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} = {\ mathfrak {k}} + i {\ mathfrak {k}}}$

$displaystyle {\ mathfrak {k}}}$ po drugie, istnieje po prostu spójna grupa zwarta , której algebra Liego to $\$ . Jako przykład możemy rozważyć ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} = \ operatorname {sl} (n; \ mathbb {C})}$ w takim przypadku ${\ displaystyle K}$ można uznać za specjalną grupę unitarną SU(n).

$sol$ wymiarową reprezentację , możemy ograniczyć ją do ${\ displaystyle {\ mathfrak {k}}}$$\ displaystyle {\ mathfrak {k}}}$ . Następnie, ponieważ $spójny$$po$ , możemy zintegrować reprezentację z grupą . Metoda uśredniania w grupie pokazuje, że istnieje iloczyn wewnętrzny na ${\ displaystyle V}$ , który jest niezmienny pod działaniem ${\ displaystyle K}$ ; $znaczy$ działanie $na$ jest . _ _ W tym momencie możemy użyć unitarności, aby zobaczyć, że $się$ jako bezpośrednia suma nieredukowalnych reprezentacji. Ta linia rozumowania nazywana jest sztuczką unitarian i była oryginalnym argumentem Weyla na rzecz tego, co obecnie nazywa się twierdzeniem Weyla. Istnieje również czysto algebraiczny argument za całkowitą redukowalnością reprezentacji półprostych algebr Liego.

Jeśli jest złożoną półprostą algebrą Liego, istnieje unikalna złożona półprosta grupa Lie z algebrą Lie ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}} ,$$sol {$$}$ } oprócz prosto połączonej grupy zwartej ${\ displaystyle K}$ . (Jeśli ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} = \ operatorname {sl} (n; \ mathbb {C})}$ to ${\ Displaystyle G = \ nazwa operatora {SL} (n; \ mathbb {C})}$ .) Następnie mamy następujący wynik dotyczący reprezentacji skończonych wymiarów.

Oświadczenie: Obiekty na poniższej liście są w relacji jeden do jednego:

• Gładkie reprezentacje K
• Holomorficzne reprezentacje G
• Prawdziwe reprezentacje liniowe ${\ displaystyle {\ mathfrak {k}}}$
• Złożone reprezentacje liniowe ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Wniosek: Teoria reprezentacji zwartych grup Liego może rzucić światło na teorię reprezentacji złożonych półprostych algebr Liego.

Notatki

•   Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras and Representations: An Elementary Introduction , Absolwent Teksty z matematyki, tom. 222 (wyd. 2), Springer, ISBN 978-3319134666
•   Knapp, Anthony W. (2001), Teoria reprezentacji grup półprostych. Przegląd oparty na przykładach. , Zabytki Princeton w matematyce , Princeton University Press, ISBN 0-691-09089-0