Specjalna liniowa algebra Liego

W matematyce specjalna liniowa algebra Liego rzędu n (oznaczona ${\ Displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {n} (F)}$ lub $)}$ ${\ Displaystyle {\$ $zero$ ( ) jest algebrą Liego macierzy ze śladem i nawiasem Liego ${\ Displaystyle [X, Y]: = XY-YX}$ . Ta algebra jest dobrze zbadana i zrozumiana i jest często używana jako model do badania innych algebr Liego. Grupa Liego , którą generuje, jest specjalną grupą liniową .

Aplikacje

Algebra Liego $,$ kluczowe znaczenie dla badania szczególnej teorii względności ogólnej i : reprezentacją jest tak zwana reprezentacja spinorowa , podczas gdy jej reprezentacja sprzężona generuje grupę Lorentza SO(3,1) szczególnej teorii względności.

Algebra odgrywa ważną rolę w $Möbiusa$ i fraktali grupę ( 2,R) , która opisuje automorfizmy płaszczyzny hiperbolicznej , najprostszej powierzchni Riemanna o ujemnej krzywiźnie; z kolei SL(2,C) opisuje automorfizmy hiperbolicznej trójwymiarowej kuli.

Teoria reprezentacji

Teoria reprezentacji sl ₂ ℂ

Algebra Liego $trójwymiarową$ złożoną Jego cechą charakterystyczną jest to, że zawiera podstawę ${\ displaystyle e, h, f}$ relacje komutacji mi

{\ Displaystyle [e, f] = h}

,

{\ Displaystyle [h, f] = -2f}

i

{\ Displaystyle [h, e] = 2e}

.

Jest to podstawa Cartana-Weyla dla ${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {2} \ mathbb {C}}$ . Ma wyraźną realizację w postaci złożonych macierzy dwa na dwa z zerowym śladem:

{\ Displaystyle E = {\ rozpocząć {bmatrix} 0 i 1 \\ 0 i 0 \ koniec {bmatrix}}}

,

{\ Displaystyle F = {\ rozpocząć {bmatrix} 0 i 0 \\ 1 i 0 \ koniec {bmatrix}}}

,

{\ Displaystyle H = {\ rozpocząć {bmatrix} 1 i 0 \\ 0 i -1 \ koniec {bmatrix}}}

.

Jest to podstawowa lub definiująca reprezentacja dla ${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {2} \ mathbb {C}}$ .

Algebra Liego $)$ $\ Displaystyle U = U ({\ mathfrak {sl}} _ {2} \ mathbb {C})}$ jej uniwersalnej algebry otaczającej i w ${\ displaystyle U}$ istnieją następujące relacje komutatora pokazane przez indukcję:

{\ Displaystyle [h, f ^ {k}] = - 2kf ^ {k}, \, [h, mi ^{k}]=2ke^{k}}

,

{\ Displaystyle [e, f ^ {k}] = - k (k-1) fa ^ {k-1} + kf ^ {k-1} h}

.

Zauważ, że tutaj potęgi $się$ do potęg jako elementów algebry U a nie do potęg macierzowych. Pierwszym podstawowym faktem (wynikającym z powyższych zależności komutatorowych) jest:

Lemat — Niech będzie reprezentacją wektora w nim $V} _ {2} \$ $displaystyle$ { $}$ Ustaw ${\ Displaystyle v_ {j} = {1 \ ponad j!} f ^ {j} \ cdot v}$ dla każdego ${\ Displaystyle j = 0,1, \ kropki}$ . Jeśli ${\ displaystyle v}$ jest wektorem własnym działania ${\ displaystyle h}$ ; tj. ${\ Displaystyle h \ cdot v = \ lambda v}$ dla pewnej liczby zespolonej ${\ Displaystyle \ lambda}$ , a następnie dla każdego ${\ Displaystyle j = 0,1 ,\kropki}$ ,

${\ Displaystyle h \ cdot v_ {j} = (\ lambda -2j) v_ {j}}$ .
${\ Displaystyle e \ cdot v_ {j} = {1 \ nad j!} f ^ {j} \ cdot e \ cdot v + (\ lambda -j+1)v_{j-1}}$ .
${\ Displaystyle f \ cdot v_ {j} = (j + 1) v_ {j + 1}}$ .

Z tego lematu wyprowadza się następujący podstawowy wniosek:

Twierdzenie - Niech będzie reprezentacją $displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {2} \ mathbb {C}},$ { $\$ $która$ mieć nieskończony wymiar i za b ${\ mathfrak {b}} = \ mathbb {C} h + \ mathbb {C} e}$ ${\ Displaystyle$ b $\ Displaystyle {\mathfrak {b}}}$ jest podalgebrą Borela). Następnie

Te , $niezerowe,$ liniowo niezależne.
Jeśli jakiś $zero$ , to $wartość$ $liczbą$ jest nieujemną całkowitą ${\ Displaystyle v_ {0}, v_ {1}, \ kropki, v_ {N}}$ , są niezerowe i ${\ Displaystyle v_ {N + 1} = v_ {N + 2} = \ cdots = 0}$ . Co więcej ${\ Displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {2} (\ mathbb {C})$ podprzestrzeń rozpięta przez $do$ jest nieredukowalna -podreprezentacja ${\ Displaystyle V}$ .

Pierwsze stwierdzenie jest prawdziwe, ponieważ albo $wynosi$ $zero$ , albo ma własną różną od wartości własnych innych, które są Powiedzenie, $wektorem wagi,$ jest $,$ że jest to jednocześnie wektor własny ${\ displaystyle h, e}$ ; krótkie obliczenie pokazuje następnie, że w takim przypadku wartość własna ${\ displaystyle e}$ ${\ Displaystyle v}$ wynosi zero: ${\ Displaystyle e \ cdot v = 0}$ . Zatem dla pewnej liczby całkowitej ${\ Displaystyle N \ geq 0}$ , ${\ Displaystyle v_ {N} \ neq 0, v_ {N + 1} = v_{N+2}=\cdots =0}$ , aw szczególności przez wczesny lemat,

{\ Displaystyle 0 = e \ cdot v_ {N + 1} = (\ lambda - (N + 1) + 1) v_ {N},}

co oznacza, że ${\ displaystyle \ lambda = N}$ . Pozostaje pokazać ${\ Displaystyle W = \ operatorname {rozpiętość} \ {v_ {j} | j \ geq 0 \}}$ jest nieredukowalny. Jeśli $musi$ mieć wartość własną postaci $Displaystyle N-2j$ ; jest więc proporcjonalny do ${\ displaystyle v_ {j}}$ . Z powyższego lematu mamy, $że$ w a zatem $= W}$ $displaystyle W$ . ${\ Displaystyle \ kwadrat}$

Jako wniosek można wywnioskować:

Jeśli ma $skończony$ $wymiar$ i jest nieredukowalny, to -wartość własna $v$ ${\ Displaystyle v, fv, f ^ {2} v, \ cdots, f ^ {N} v}$ nieujemną liczbą i podstawę $displaystyle V$ \ .
${\ Displaystyle v, fv, f ^ {2} v, \ cdots, f ^ {N} v}$ odwrotnie, jeśli $-wartość$ własna $nieujemną$ $fa$ i nieredukowalna, to ma podstawę $v$ ; w szczególności ma skończony wymiar.

Piękny szczególny przypadek $ogólny$ reprezentacji algebr Liego. Mianowicie dzielimy algebrę na trzy podalgebry „h” ( podalgebra Cartana ), „e” i „f”, które zachowują się w przybliżeniu jak ich imienniki w ${\ Displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {2 }}$ . Mianowicie, w nieredukowalnej reprezentacji mamy „najwyższy” wektor własny „h”, na którym „e” działa przez zero. Podstawa nieredukowalnej reprezentacji jest generowana przez działanie „f” na najwyższe wektory własne „h”. Zobacz twierdzenie o największej wadze .

Teoria reprezentacji sl _n ℂ

sol ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} = {\ mathfrak {sl}} _ {n} \ mathbb {C} = {\ mathfrak {sl}} ($ dla złożonej przestrzeni wektorowej wymiaru $każdą$ $Displaystyle$ wymiarową nieredukowalną reprezentację można znaleźć jako podreprezentację tensora sol ${\ mathfrak {g}}$ potęga V { \ $Displaystyle V}$

$bezśladowych$ jako macierzową algebrę Liego macierzy Jest to podstawowa reprezentacja dla $\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {n} \ mathbb {C}}$ .

Ustaw $macierz$ jedynką $i$ zerami Następnie

{\ Displaystyle H_ {i}: = M_ {i, i} -M_ {i + 1, i + 1}, {\ tekst {z}} 1 \ równoważnik ja \ równoważnik n-1}

{\ Displaystyle M_ {i, j}, {\ tekst {z}} i \ neq j }

Tworzą podstawę dla ${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {n} \ mathbb {C}}$ . Jest to $tak naprawdę$ to obraz podstawy podstawowej reprezentacji

$podalgebrą$ w rzeczywistości jest to podstawa Cartana-Weyla, z Cartana obejmującą podalgebrę. mi ${\ Displaystyle E_ {i, j} = M_ {i, j}}$ > $Displaystyle j> i} i$ , ${\ Displaystyle F_ {i, j} = M_ {i, j} ^ {T} = M_ {j, i}} , także jeśli jot > ja {\ Displaystyle$ j $,$ mi $\ Displaystyle E_ {i, j}}$ to dodatnie pierwiastki $odpowiednie$ pierwiastki

Podstawą prostych pierwiastków jest mi ja $\ Displaystyle E_ {i, i + 1}}$ $równoważnik n-1}$ { .

Notatki

Etingof, Paweł. „ Notatki do wykładów z teorii reprezentacji ”.
Kac, Victor (1990). Nieskończenie wymiarowe algebry Liego (wyd. 3). Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge . ISBN 0-521-46693-8 .
Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras and Representations: An Elementary Introduction , Absolwent Teksty z matematyki, tom. 222 (wyd. 2), Springer
AL Onishchik, EB Vinberg , VV Gorbatsevich, Struktura grup Liego i algebry Liego . Grupy Liego i algebry Liego, III. Encyclopaedia of Mathematical Sciences, 41. Springer-Verlag, Berlin, 1994. IV + 248 s. (Tłumaczenie aktualnych problemów w matematyce. Podstawowe kierunki. Vol. 41, Akad. Nauk SSSR, Vsesoyuz. Inst. Nauchn. I Tekhn. Inform., Moskwa, 1990. Tłumaczenie V. Minachin. Tłumaczenie pod redakcją AL Onishchik i EB Vinberg) ISBN 3-540-54683-9
VL Popow , EB Vinberg, Teoria niezmiennicza . Geometria algebraiczna. IV. Liniowe grupy algebraiczne. Encyclopaedia of Mathematical Sciences, 55. Springer-Verlag, Berlin, 1994. vi+284 s. (Tłumaczenie geometrii algebraicznej. 4, Akad. Nauk SSSR Vsesoyuz. Inst. Nauchn. I Tekhn. Inform., Moskwa, 1989. Tłumaczenie pod redakcją AN Parshin i IR Shafarevich) ISBN 3-540-54682-0
Serre, Jean-Pierre (2000), Algèbres de Lie semi-simples complexes [ Complex Semisimple Lie Algebras ], przekład Jones, GA, Springer, ISBN 978-3-540-67827-4 .

Zobacz też