E 7 (matematyka)

W matematyce E ₇ to nazwa kilku blisko spokrewnionych grup Liego , liniowych grup algebraicznych lub ich algebr Liego e ₇ , z których wszystkie mają wymiar 133; ta sama notacja E ₇ jest używana dla odpowiedniej sieci korzeniowej , która ma rangę 7. Oznaczenie E ₇ pochodzi z klasyfikacji Cartana-Killinga złożonych prostych algebr Liego , które dzielą się na cztery nieskończone serie oznaczone A _n , B _n , C _n , Dn _i pięć wyjątkowych przypadków oznaczonych jako E ₆ , E ₇ , E ₈ , F ₄ i G ₂ . Algebra E7 _zatem jednym z pięciu wyjątkowych przypadków.

Podstawową grupą (sprzężonej) formy zespolonej, zwartej postaci rzeczywistej lub dowolnej algebraicznej wersji E ₇ jest grupa cykliczna Z /2 Z , a jej zewnętrzną grupą automorfizmów jest grupa trywialna . Wymiar jego podstawowej reprezentacji wynosi 56.

Formy rzeczywiste i złożone

Istnieje unikalna zespolona algebra Liego typu E ₇ , odpowiadająca grupie zespolonej o wymiarze zespolonym 133. Zespolona grupa Liego E ₇ o wymiarze zespolonym 133 może być traktowana jako prosta rzeczywista grupa Liego o wymiarze rzeczywistym 266. Ma to fundamentalne grupa Z /2 Z , ma maksymalnie zwartą podgrupę zwartą formę (patrz poniżej) E ₇ i ma zewnętrzną grupę automorfizmu rzędu 2 generowaną przez zespoloną koniugację.

Oprócz zespolonej grupy Liego typu E ₇ istnieją cztery formy rzeczywiste algebry Liego i odpowiednio cztery formy rzeczywiste grupy o trywialnym środku (z których wszystkie mają algebraiczne podwójne pokrycie, a trzy z nich mają dalsze nie -pokrycia algebraiczne, dające dalsze formy rzeczywiste), wszystkie o wymiarze rzeczywistym 133, jak następuje:

• Forma zwarta (o którą zwykle chodzi, jeśli nie podano innych informacji), która ma podstawową grupę Z / 2 Z i ma trywialną zewnętrzną grupę automorfizmu.
• Postać rozszczepiona, EV (lub E ₇₍₇₎ ), która ma podgrupę maksymalną zwartą SU(8)/{±1}, grupę podstawową cykliczną rzędu 4 i zewnętrzną grupę automorfizmów rzędu 2.
• EVI (lub E _7(-5) ), która ma maksymalnie zwartą podgrupę SU(2)·SO(12)/(środek), grupę podstawową niecykliczną rzędu 4 i trywialną zewnętrzną grupę automorfizmu.
• EVII (lub E _7(-25) ), który ma maksymalnie zwartą podgrupę SO(2)·E ₆ /(środek), nieskończoną cykliczną grupę podstawową i zewnętrzną grupę automorfizmów rzędu 2.

Aby uzyskać pełną listę rzeczywistych form prostych algebr Liego, zobacz listę prostych grup Liego .

Zwartą postacią rzeczywistą E ₇ jest grupa izometrii 64-wymiarowej wyjątkowej zwartej Riemanna symetrycznej przestrzeni EVI (w klasyfikacji Cartana ). Nieoficjalnie nazywa się ją „ kwateroktonionową płaszczyzną rzutową ”, ponieważ można ją zbudować za pomocą algebry, która jest iloczynem tensorowym kwaternionów i oktonionów , i jest również znana jako płaszczyzna rzutowa Rosenfelda , chociaż nie jest zgodna ze zwykłymi aksjomatami rzutowa płaszczyzna. Można to zobaczyć systematycznie za pomocą konstrukcji znanej jako magiczny kwadrat , dzięki Hansowi Freudenthalowi i Jacquesowi Titsowi .

Titsa -Koechera tworzy formy algebry E ₇ Liego z algebr Alberta , 27-wymiarowych wyjątkowych algebr Jordana .

E ₇ jako grupa algebraiczna

Za pomocą bazy Chevalleya dla algebry Liego można zdefiniować E ₇ jako liniową grupę algebraiczną na liczbach całkowitych, a w konsekwencji na dowolnym pierścieniu przemiennym, a w szczególności na dowolnym ciele: definiuje to tzw. jako „nieskręcona”) forma łączona E ₇ . W algebraicznie zamkniętym polu ta i jej podwójna osłona są jedynymi formami; jednak w innych dziedzinach często istnieje wiele innych form lub „skrętów” E ₇ , które są klasyfikowane w ogólnych ramach kohomologii Galois (nad polem doskonałym k ) przez zbiór H ¹ ( k , Aut (E ₇ )), który, ponieważ diagram Dynkina E ₇ (patrz poniżej ) nie ma automorfizmów, pokrywa się z H ¹ ( k , E _{7, ad} ).

W polu liczb rzeczywistych rzeczywisty składnik tożsamości tych algebraicznie skręconych form E ₇ pokrywa się z trzema rzeczywistymi grupami Liego wspomnianymi powyżej , ale z subtelnością dotyczącą grupy podstawowej: wszystkie sąsiednie formy E ₇ mają grupę podstawową Z /2 Z w sensie geometrii algebraicznej, co oznacza, że ​​dopuszczają dokładnie jedno podwójne pokrycie; dalsze niezwarte formy rzeczywistych grup Liego E ₇ nie są zatem algebraiczne i nie dopuszczają żadnych wiernych reprezentacji skończonych wymiarów.

W ciałach skończonych twierdzenie Langa-Steinberga implikuje, że H ¹ ( k , E ₇ ) = 0, co oznacza, że ​​E ₇ nie ma skręconych form: patrz poniżej .

Algebra

Diagram Dynkina

Diagram Dynkina dla E ₇ jest podany przez .

System korzeniowy

126 wierzchołków 2 ₃₁ polytope reprezentuje wektory pierwiastków E ₇ , jak pokazano na tym schemacie Coxetera-Dynkina w projekcji płaszczyzny Coxetera :

Przedstawione w rzucie trójwymiarowym z wykorzystaniem wektorów bazowych [u,v,w] dających symetrię H3: u = (1, φ , 0, -1, φ , 0,0) v = ( φ , 0, 1, φ , 0, -1,0) w = (0, 1, φ , 0, -1, φ ,0) Rzutowane 2 _{31 wierzchołków} polytope są sortowane i sumowane według ich normy 3D, generując coraz bardziej przezroczyste kadłuby każdego zestawu zliczanych norm. Pokazują one: 1) 2 punkty na początku 2) 2 dwudziestościany 3) 1 dwudziestościan 4) 2 dwunastościany 5) 1 dwudziestościan w sumie 126 wierzchołków.

Mimo że pierwiastki obejmują 7-wymiarową przestrzeń, bardziej symetrycznie i wygodniej jest przedstawić je jako wektory leżące w 7-wymiarowej podprzestrzeni 8-wymiarowej przestrzeni wektorowej.

Pierwiastki to wszystkie permutacje 8 × 7 z (1,−1,0,0,0,0,0,0) i wszystkie ${\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix} 8 \\ 4 \ koniec {pmatrix}}}$ permutacje (½,½,½,½,−½,−½,−½,−½)

Zauważ, że 7-wymiarowa podprzestrzeń to podprzestrzeń, w której suma wszystkich ośmiu współrzędnych wynosi zero. Jest 126 korzeni.

Proste korzenie są

(0,−1,1,0,0,0,0,0)

(0,0,−1,1,0,0,0,0)

(0,0,0,−1,1,0, 0,0)

(0,0,0,0,−1,1,0,0)

(0,0,0,0,0,−1,1,0)

(0,0,0,0,0 ,0,−1,1)

(½,½,½,½,−½,−½,−½,−½)

Są one wymienione w taki sposób, że odpowiadające im węzły na diagramie Dynkina są uporządkowane od lewej do prawej (na schemacie przedstawionym powyżej), z węzłem bocznym na końcu.

Alternatywny opis

Alternatywny (7-wymiarowy) opis systemu korzeniowego, przydatny przy rozważaniu E ₇ × SU(2) jako podgrupy E ₈ , jest następujący:

Wszystkie ${\ Displaystyle 4 \ razy {\ rozpocząć {pmatrix} 6 \\ 2 \ koniec {pmatrix}}}$ permutacji (± 1, ± 1,0,0,0,0,0) zachowując zero przy ostatnim wpisie, wszystkie kolejne pierwiastki z liczbą parzystą +½

${\ Displaystyle \ lewo (\ pm {1 \ ponad 2}, \ pm {1 \ ponad 2},\pm {1 \ponad 2},\pm {1 \ponad 2},\pm {1 \ponad 2},\pm {1 \ponad 2},\pm {1 \ponad {\sqrt {2} }}}\Prawidłowy)}$

i dwa następne pierwiastki

${\ Displaystyle \ lewo (0,0,0,0,0,0, \ pm {\ sqrt {2}} \ prawo).}$

Tak więc generatory składają się z 66-wymiarowej podalgebry so (12) oraz 64 generatorów, które przekształcają się w dwa samosprzężone spinory Weyla ( 12) o przeciwnej chiralności i ich generator chiralności oraz dwa inne generatory chiralności ${\ Displaystyle \ pm {\ sqrt {2}}}$ .

Biorąc pod uwagę macierz E ₇ Cartana (poniżej) i uporządkowanie węzłów diagramu Dynkina :

jeden wybór pierwiastków prostych dają wiersze następującej macierzy:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} 1&-1&0&0&0&0&0\\0&1&-1&0&0&0&0\\0&0&1&-1&0&0&0\\0&0&0&1&-1&0&0\\0&0&0&0&1&1&0\\- {\ Frac {1}{2}}&- {\ Frac {1 }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{ 2}}&{\frac {\sqrt {2}}{2}}\\0&0&0&0&1&-1&0\\\end{bmatrix}}.}$

grupa Weyla

Grupa Weyla E ₇ jest rzędu 2903040: jest bezpośrednim iloczynem grupy cyklicznej rzędu 2 i unikalnej grupy prostej rzędu 1451520 (którą można opisać jako PSp ₆ (2) lub PSΩ ₇ (2)).

Macierz Cartana

Schemat Hassego pozycji korzenia E7 z etykietami krawędzi identyfikującymi dodaną prostą pozycję korzenia

${\begin{bmatrix}2&-1&0&0&0&0&0\\-1&2&-1&0&0&0&0\\0&-1&2&-1&0&0&0\\0&0&-1&2&-1&0&-1\\0&0&0&-1&2&-1&0\\0&0&0&0&-1&2&0\\0&0&0&- 1&0&0&2\end{bmacierz}}.$

Ważne podalgebry i reprezentacje

E ₇ ma podalgebrę SU(8), co jest oczywiste, zauważając, że w 8-wymiarowym opisie systemu korzeniowego pierwsza grupa pierwiastków jest identyczna z pierwiastkami SU(8) (z tą samą podalgebrą Cartana, co w E ₇ ).

Oprócz 133-wymiarowej reprezentacji sprzężonej istnieje 56-wymiarowa reprezentacja „wektorowa” , którą można znaleźć w reprezentacji sprzężonej E ₈ .

Wszystkie znaki skończenie wymiarowych reprezentacji rzeczywistych i zespolonych algebr Liego i grup Liego są określone przez formułę znaku Weyla . Wymiary najmniejszych nieredukowalnych reprezentacji to (sekwencja A121736 w OEIS ):

1 , 56, 133 , 912, 1463 , 1539 , 6480, 7371 , 8645 , 24320, 27664, 40755 , 51072 , 86184, 150822 , 152152 , 238602 , 25393 5, 293930, 320112, 362880 , 365750 , 573440 , 617253 , 861840 , 885248, 915705 , 980343 , 2273920, 2282280, 2785552, 3424256 , 3635840...

Podkreślone wyrazy w powyższej sekwencji są wymiarami tych nieredukowalnych reprezentacji posiadanych przez formę sprzężoną E ₇ (równoważnie tych, których wagi należą do sieci korzeniowej E ₇ ), podczas gdy pełny ciąg podaje wymiary nieredukowalnych reprezentacji po prostu spójna forma E ₇ . Istnieje nieizomorficzna nieredukowalna reprezentacja wymiarów 1903725824, 16349520330 itd.

Podstawowe reprezentacje to te o wymiarach 133, 8645, 365750, 27664, 1539, 56 i 912 (odpowiadające siedmiu wierzchołkom na diagramie Dynkina w kolejności wybranej dla powyższej macierzy Cartana , tj. najpierw łańcuch węzłów, a ostatni węzeł jest połączony z trzecim).

E ₇ Niezmienniki wielomianowe

E ₇ to grupa automorfizmów następującej pary wielomianów w 56 nieprzemiennych zmiennych. Dzielimy zmienne na dwie grupy po 28, ( p , P ) i ( q , Q ), gdzie p i q są zmiennymi rzeczywistymi, a P i Q są macierzami hermitowskimi 3×3 oktonionów . Wtedy pierwszym niezmiennikiem jest niezmiennik symplektyczny Sp(56, R ):

${\ Displaystyle C_ {1} = pq-qp + Tr [PQ] -Tr [QP]}$

Drugim bardziej skomplikowanym niezmiennikiem jest symetryczny wielomian kwarcowy:

${\ Displaystyle C_ {2}=(pq+Tr[P\circ Q])^{2}+pTr[Q\circ {\tilde {Q}}]+qTr[P\circ {\tilde {P}}]+Tr[ {\tylda {P}}\circ {\tylda {Q}}]}$

Gdzie ${\ Displaystyle {\ tylda {P}} \ równoważnik \ det (P) P ^ {-1}},$ a operator koła binarnego jest zdefiniowany przez ${\ Displaystyle A \ circ B = (AB + BA) / 2}$ .

Alternatywny niezmiennik wielomianu kwarcowego skonstruowany przez Cartana wykorzystuje dwie antysymetryczne macierze 8x8, każda z 28 składnikami.

${\ Displaystyle C_ {2} = Tr [(XY) ^ {2}] - {\ dfrac {1} {4}} Tr [XY] ^ {2} + { \frac {1}{96}}\epsilon _{ijklmnop}\left(X^{ij}X^{kl}X^{mn}X^{op}+Y^{ij}Y^{kl}Y ^{mn}Y^{op}\right)}$

Grupy Chevalley typu E ₇

Punkty nad skończonym ciałem z q elementami (rozdzielonej) grupy algebraicznej E ₇ (patrz wyżej ), czy to formy sprzężonej (bezśrodkowej), czy po prostu połączonej (jej algebraiczne pokrycie uniwersalne), dają skończoną grupę Chevalleya . Jest to ściśle związane z grupą zapisaną E ₇ ( q ), jednak w tym zapisie jest niejednoznaczność, która może oznaczać kilka rzeczy:

• skończona grupa składająca się z punktów nad F _q prosto połączonej postaci E ₇ (dla jasności można to zapisać jako E _7,sc ( q ) i jest znana jako „uniwersalna” grupa Chevalleya typu E ₇ nad F _q ),
• (rzadko) skończona grupa składająca się z punktów nad F _q formy sprzężonej E ₇ (dla jasności można to zapisać jako E _7,ad ( q ) i jest znana jako „sprzężona” grupa Chevalleya typu E ₇ nad F _q ) lub
• grupa skończona, która jest obrazem mapy naturalnej od pierwszej do drugiej: to właśnie będzie oznaczane przez E ₇ ( q ) poniżej, co jest najczęściej spotykane w tekstach traktujących o grupach skończonych.

Z perspektywy grup skończonych, związek między tymi trzema grupami, który jest całkiem analogiczny do tego między SL( n , q ), PGL( n , q ) i PSL( n , q ), można podsumować następująco: E ₇ ( q ) jest proste dla dowolnego q , E _7,sc ( q ) jest jego pokryciem Schur , a E _7,ad ( q ) leży w swojej grupie automorfizmów; ponadto, gdy q jest potęgą 2, wszystkie trzy pokrywają się, a poza tym (gdy q jest nieparzyste), mnożnik Schura E ₇ ( q ) wynosi 2, a E ₇ ( q ) ma indeks 2 w E _{7, ad} ( q ), co wyjaśnia, dlaczego E _7,sc ( q ) i E _7,ad ( q ) są często zapisywane jako 2·E ₇ ( q ) i E ₇ ( q )·2. Z perspektywy grup algebraicznych rzadziej E ₇ ( q ) odnosi się do skończonej grupy prostej, ponieważ ta ostatnia nie jest w naturalny sposób zbiorem punktów grupy algebraicznej nad F _q w przeciwieństwie do E _7,sc ( q ) i E7 _{, ad} ( q ).

Jak wspomniano powyżej, E ₇ ( q ) jest proste dla dowolnego q i stanowi jedną z nieskończonych rodzin, do których odnosi się klasyfikacja skończonych grup prostych . Jego liczbę elementów określa wzór (sekwencja A008870 w OEIS ):

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {\ operatorname {gcd} (2, q-1)}} q ^ {63} (q ^ {18} -1) (q ^ {14} - 1)(q^{12}-1)(q^{10}-1)(q^{8}-1)(q^{6}-1)(q^{2}-1)}$

Kolejność E _7,sc ( q ) lub E _7,ad ( q ) (oba są równe) można uzyskać usuwając dzielnik gcd(2, q −1) (sekwencja A008869 w OEIS ). Mnożnik Schura dla E ₇ ( q ) to gcd(2, q −1), a jego zewnętrzna grupa automorfizmów jest iloczynem diagonalnej grupy automorfizmów Z /gcd(2, q −1) Z (danej działaniem E _7,ad ( q )) oraz grupę automorfizmów polowych (tzn. cyklicznych rzędu f jeśli q = p ^f gdzie p jest liczbą pierwszą).

Znaczenie w fizyce

Supergrawitacja N = 8 w czterech wymiarach, która jest redukcją wymiarową supergrawitacji 11-wymiarowej, dopuszcza globalną symetrię bozonową E _{7 i} lokalną symetrię bozonową SU (8) . Fermiony są reprezentowane przez SU(8), pola cechowania są reprezentowane przez E ₇ , a skalary są reprezentowane przez oba (grawitony są singletami w odniesieniu do obu). Stany fizyczne są w reprezentacjach cosetu E ₇ / SU(8) .

W teorii strun E7 pojawia się jako część grupy cechowania jednej z (niestabilnych i niesymetrycznych ₎ wersji heterotycznej struny . Może również pojawić się w nieprzerwanej grupie cechowania E ₈ × E ₇ w sześciowymiarowych kompaktyfikacjach heterotycznej teorii strun, na przykład na czterowymiarowej powierzchni K3 .

Zobacz też

• En (algebra kłamstw)
• Klasyfikacja ADE
• Lista prostych grup Liego

Notatki

•    Adams, J. Frank (1996), Wykłady o wyjątkowych grupach Lie , Chicago Lectures in Mathematics, University of Chicago Press , ISBN 978-0-226-00526-3 , MR 1428422
• John Baez , The Octonions , sekcja 4.5: E ₇ , Bull. Amer. Matematyka soc. 39 (2002), 145-205 . Wersja HTML online pod adresem http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/node18.html .
• E. Cremmer i B. Julia, Teoria supergrawitacji N = 8 . 1. Lagrange'a , Phys.Lett.B80:48,1978. Zeskanowana wersja online pod adresem http://ac.els-cdn.com/0370269378903039/1-s2.0-0370269378903039-main.pdf?_tid=79273f80-539d-11e4-a133-00000aab0f6c&acdnat=1413289833_5f35 39a6365149b108ddcec889200964 .