Płaska rozmaitość Ricciego

W matematycznej dziedzinie geometrii różniczkowej płaskość Ricciego ( jest ) warunkiem krzywizny rozmaitości pseudo- riemanna . Rozmaitości płaskie Ricciego są szczególnym rodzajem rozmaitości Einsteina . W fizyce teoretycznej fundamentalne znaczenie mają rozmaitości lorentzowskie płaskie Ricciego , ponieważ są rozwiązaniami równań pola Einsteina w próżni ze znikającą stałą kosmologiczną .

W geometrii Lorentza znana jest pewna liczba płaskich metryk Ricciego z prac Karla Schwarzschilda , Roya Kerra i Yvonne Choquet-Bruhat . W geometrii riemannowskiej rozwiązanie hipotezy Calabiego dokonane przez Shing-Tunga Yau dało szereg płaskich metryk Ricciego na rozmaitościach Kählera .

Definicja

rozmaitość pseudo-riemanna jest płaska Ricciego, jeśli jej krzywizna Ricciego wynosi zero. Można bezpośrednio zweryfikować, że z wyjątkiem wymiaru drugiego metryka jest płaska Ricciego wtedy i tylko wtedy, gdy jej tensor Einsteina wynosi zero. Rozmaitości płaskie Ricciego są jednym z trzech specjalnych typów rozmaitości Einsteina , powstających jako szczególny przypadek krzywizny skalarnej równej zeru.

Z definicji tensora krzywizny Weyla widać bezpośrednio, że każda metryka Ricciego-płaska ma krzywiznę Weyla równą tensorowi krzywizny Riemanna . Analizując ślady , łatwo zauważyć, że zachodzi również sytuacja odwrotna. Można to również wyrazić w ten sposób, że płaskość Ricciego charakteryzuje się zanikiem dwóch nie-Weylowskich części rozkładu Ricciego .

Ponieważ krzywizna Weyla znika w dwóch lub trzech wymiarach, każda metryka Ricciego-płaska w tych wymiarach jest płaska . I odwrotnie, z definicji wynika automatycznie, że każda płaska metryka jest płaska Ricciego. Badanie płaskich metryk jest zwykle uważane za temat sam w sobie. W związku z tym badanie metryk płaskich Ricciego jest odrębnym tematem tylko w wymiarze czwartym i wyższym.

Przykłady

Jak wspomniano powyżej, każda płaska metryka jest płaska Ricciego. Jednak nietrywialne jest zidentyfikowanie płaskich rozmaitości Ricciego, których pełna krzywizna jest różna od zera.

W 1916 roku Karl Schwarzschild znalazł metryki Schwarzschilda , które są płaskimi rozmaitościami Lorentza Ricciego o niezerowej krzywiźnie. Roy Kerr odkrył później metryki Kerra , dwuparametrową rodzinę zawierającą metryki Schwarzschilda jako szczególny przypadek. Metryki te są w pełni jednoznaczne i mają fundamentalne znaczenie w matematyce i fizyce czarnych dziur . Mówiąc bardziej ogólnie, w ogólnej teorii względności płaskie rozmaitości Lorentza Ricciego reprezentują rozwiązania próżniowe Równania pola Einsteina ze znikającą stałą kosmologiczną .

Wiele rozmaitości pseudoriemannowskich jest skonstruowanych jako przestrzenie jednorodne . Jednak konstrukcje te nie są bezpośrednio pomocne dla metryk riemannowskich płaskich Ricciego w tym sensie, że każda jednorodna rozmaitość riemannowska, która jest płaska Ricciego, musi być płaska. Istnieją jednak jednorodne (a nawet symetryczne ) rozmaitości Lorentza, które są płaskie Ricciego, ale nie są płaskie, jak wynika z jawnej konstrukcji i obliczeń algebr Liego .

Aż do rozwiązania hipotezy Calabiego przez Shing-Tung Yau w latach 70. XX wieku nie było wiadomo, czy każda metryka Ricciego-płaska Riemanna na zamkniętej rozmaitości jest płaska. Jego praca, wykorzystująca techniki równań różniczkowych cząstkowych , ustanowiła wszechstronną teorię istnienia metryk Ricciego-płaskich w szczególnym przypadku metryk Kählera na zamkniętych rozmaitościach zespolonych . Dzięki jego technikom analitycznym metryki są niewyraźne nawet w najprostszych przypadkach. Takie rozmaitości Riemanna są często nazywane rozmaitościami Calabiego – Yau , chociaż różni autorzy używają tej nazwy w nieco inny sposób.

Charakter analityczny

W odniesieniu do współrzędnych harmonicznych warunek płaskości Ricciego dla metryki riemannowskiej można interpretować jako układ eliptycznych równań różniczkowych cząstkowych . Bezpośrednią konsekwencją wyników standardowej regularności eliptycznej jest to, że każda metryka Ricciego-płaskiego Riemanna na gładkiej rozmaitości jest analityczna w tym sensie, że współrzędne harmoniczne definiują zgodną strukturę analityczną , a lokalna reprezentacja metryki jest rzeczywista-analityczna . Odnosi się to również do szerszego układu metryk Einsteina Riemanna.

Analogicznie, względem współrzędnych harmonicznych, płaskość Ricciego metryki Lorentza można interpretować jako układ hiperbolicznych równań różniczkowych cząstkowych . Opierając się na tej perspektywie, Yvonne Choquet-Bruhat opracowała dobrą postawę warunku płaskości Ricciego. Osiągnęła ostateczny wynik we współpracy z Robertem Gerochem w latach sześćdziesiątych XX wieku, ustalając, w jaki sposób pewna klasa maksymalnie rozszerzonych metryk Ricciego-płaskiego Lorentza jest określana i konstruowana przez pewne dane Riemanna. Są one znane jako maksymalne globalnie hiperboliczne zmiany . W ogólnej teorii względności jest to zwykle interpretowane jako sformułowanie wartości początkowej równań pola Einsteina dla grawitacji.

Badanie płaskości Ricciego w przypadkach riemannowskich i lorentzowskich jest dość odmienne. Wskazuje na to już fundamentalne rozróżnienie między geodezyjnie zupełnymi metrykami, które są typowe dla geometrii Riemanna, a maksymalnymi globalnie hiperbolicznymi zmianami, które wywodzą się z prac Choqueta-Bruhata i Gerocha. Co więcej, analityczność i odpowiadająca jej unikalna kontynuacja metryki Ricciego-płaskiego Riemanna ma zasadniczo inny charakter niż metryka Ricciego-płaskiego Lorentza, które mają skończone prędkości propagacji i w pełni lokalizowalne zjawiska. Można to postrzegać jako nieliniowy geometryczny analog różnicy między Równanie Laplace'a i równanie falowe .

Topologia płaskich Ricciego rozmaitości Riemanna

Twierdzenie Yau o istnieniu metryk Ricciego-płaskiego Kählera ustaliło dokładny warunek topologiczny, w którym taka metryka istnieje na danej zamkniętej rozmaitości zespolonej : pierwsza klasa Cherna holomorficznej wiązki stycznej musi wynosić zero. Konieczność tego warunku była wcześniej znana z teorii Cherna-Weila .

Poza geometrią Kählera sytuacja nie jest tak dobrze poznana. Czterowymiarowa zamknięta i zorientowana rozmaitość obsługująca dowolną metrykę Einsteina Riemanna musi spełniać nierówność Hitchina – Thorpe'a na swoich danych topologicznych. Jako szczególne przypadki dobrze znanych twierdzeń o rozmaitościach riemannowskich o nieujemnej krzywiźnie Ricciego, każda rozmaitość z kompletną metryką riemannowską Riemanna musi:

Mikhael Gromov i Blaine Lawson wprowadzili pojęcie powiększalności zamkniętej rozmaitości. Klasa rozmaitości powiększalnych jest domknięta pod równoważnością homotopii , biorąc iloczyny i pod spójną sumą z dowolną rozmaitością zamkniętą. Każda rozmaitość riemannowska-płaska Ricciego w tej klasie jest płaska, co jest następstwem twierdzenia Cheegera i Gromolla o rozszczepieniu .

Płaskość Ricciego i holonomia

Na prosto połączonej rozmaitości Kählera metryka Kählera jest płaska Ricciego wtedy i tylko wtedy, gdy grupa holonomii jest zawarta w specjalnej grupie unitarnej . Na ogólnej rozmaitości Kählera kierunek if nadal obowiązuje, ale tylko ograniczona grupa holonomii metryki Ricciego-płaskiego Kählera jest koniecznie zawarta w specjalnej grupie unitarnej.

Rozmaitość hyperkählerowska to rozmaitość riemannowska, której grupa holonomii zawiera się w grupie symplektycznej . Ten warunek na rozmaitości Riemanna można również scharakteryzować (z grubsza mówiąc) istnieniem 2-sfery złożonych struktur , z których wszystkie są równoległe . Mówi to w szczególności, że każda metryka hyperkählera jest kählerowska; ponadto poprzez twierdzenie Ambrose-Singera , każda taka metryka jest płaska Ricciego. Twierdzenie Calabiego – Yau specjalizuje się w tym kontekście, podając ogólne twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności dla metryk hiperkählera na zwartych rozmaitościach Kählera dopuszczających holomorficznie symplektyczne struktury. Przykłady metryk hyperkählera na przestrzeniach niezwartych zostały wcześniej uzyskane przez Eugenio Calabiego . Odkryta w tym samym czasie przestrzeń Eguchiego – Hansona jest szczególnym przypadkiem jego konstrukcji.

Rozmaitość kwaternionów-Kählera jest rozmaitością riemannowską, której grupa holonomii jest zawarta w grupie Liego Sp(n)·Sp(1) . Marcel Berger wykazał, że każda taka metryka musi być miarą Einsteina. Co więcej, każda rozmaitość Ricciego-płaskiego kwaternionu-Kählera musi być lokalnie hiperkählerem, co oznacza, że ​​ograniczona grupa holonomii jest zawarta w grupie symplektycznej.

Rozmaitość G2 Spin rozmaitość lub Spin(7) 7 jest rozmaitością riemannowską, której grupa holonomii jest zawarta w grupach Liego G2 ( ) lub . Twierdzenie Ambrożego -Singera implikuje, że każda taka rozmaitość jest płaska Ricciego. Istnienie zamkniętych rozmaitości tego typu zostało ustalone przez Dominica Joyce'a w latach 90. XX wieku.

Marcel Berger skomentował, że wszystkie znane przykłady nieredukowalnych metryk Ricciego-płaskich Riemanna na prosto połączonych rozmaitościach zamkniętych mają specjalne grupy holonomii, zgodnie z powyższymi możliwościami. Nie wiadomo, czy sugeruje to nieznane twierdzenie ogólne, czy po prostu ograniczenie znanych technik. Z tego powodu Berger uważał rozmaitości płaskie Ricciego za „niezwykle tajemnicze”.

Notatki.

Źródła.

Pobrano z „ https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Ricci-flat_manifold&oldid=1083653384 ”