Holomorficzna wiązka styczna

W matematyce , a zwłaszcza w złożonej geometrii , holomorficzna wiązka styczna rozmaitości zespolonej jest $holomorficznym$ analogiem wiązki stycznej rozmaitości gładkiej Włókno holomorficznej wiązki stycznej nad punktem to holomorficzna przestrzeń styczna , która jest przestrzenią styczną podstawowej gładkiej rozmaitości, biorąc pod uwagę strukturę złożonej przestrzeni wektorowej poprzez prawie złożoną strukturę ${\ Displaystyle J}$ złożonej rozmaitości ${\ Displaystyle M}$ .

Definicja

$pod$ $uwagę$ $.$ rozmaitość $,$ złożonym wymiarze ${\ Displaystyle M}$ gładka wiązka wektorów jest rzeczywistą wektorów na . Całkowalna, prawie złożona struktura odpowiadająca złożonej strukturze na rozmaitości jest endomorfizmem $}$ $\ Displaystyle J$ ${\ Displaystyle J: TM \ do TM}$ z właściwością, że ${\ Displaystyle J ^ {2} = - \ operatorname {Id}}$ . Po skomplikowaniu rzeczywistej $wiązki$ $do$ endomorfizm rozszerzyć $: TM \ otimes \ mathbb {C} \ do TM \ otimes \ mathbb {C}}$ zdefiniowane przez ${ \ Displaystyle J (X + iY) = J (X) + iJ (Y)}$ dla wektorów ${\ Displaystyle X, Y}$ w ${\ Displaystyle TM}$ .

Ponieważ ${\ Displaystyle J ^ {2} = - \ operatorname {Id}}$ , ${\ Displaystyle J}$ ma wartości własne ${\ Displaystyle i, -i}$ na złożonej wiązce stycznej i zatem dzieli się jako bezpośrednia suma $C}}$

{\ Displaystyle TM \ czasami \ mathbb {C} = T ^ {1,0} M \ oplus T ^ {0,1} M}

gdzie ${\ Displaystyle T ^ {1,0} M}$ jest - ${\ Displaystyle i}$ - eigenbundle i ${\ Displaystyle T ^ {0,1} M}$ $\ styl wyświetlania -i}$ ja -pakiet własny. Holomorficzna wiązka styczna M ${\ displaystyle M}$ to wiązka wektorowa ${\ displaystyle T ^ {1,0} M}$ i anty-holomorficzna wiązka styczna T 1 , M {\ displaystyle T ^ { jest wiązką wektorów ${\ Displaystyle T ^ {0,1} M}$ .

Wiązki wektorowe ${\ Displaystyle T ^ {1,0} M}$ i ${\ Displaystyle T ^ {0,1} M}$ są naturalnie złożonymi podwiązkami wektorowymi złożonej wiązki wektorowej ${\ displaystyle TM \ otimes \ mathbb {C}}$ , a ich liczby podwójne mogą zostać wzięte. Holomorficzna wiązka kostyczna jest liczbą podwójną holomorficznej wiązki stycznej i jest zapisana ${\ Displaystyle T_ {1,0} ^ {*} M$ . Podobnie anty-holomorficzna wiązka kostyczna jest podwójna anty-holomorficznej wiązki stycznej i jest zapisana ${\ Displaystyle T_ {0,1} ^ {*} M$ } Wiązki holomorficzne i antyholomorficzne (ko) styczne są zamieniane przez koniugację , co daje izomorfizm rzeczywisto-liniowy (ale nie złożony liniowy!) ${\ Displaystyle T ^ {1,0} M \do T^{0,1}M}$ .

Holomorficzna wiązka styczna jest izomorficzna jako wiązka rzeczywistych wektorów rangi $^ {1,0$ $M$ wiązką styczną $displaystyle$ . Izomorfizm przez złożenie ${\ Displaystyle TM \ hookrightarrow TM \ otimes \ mathbb {C} {\ xrightarrow {\ operatorname {pr} _ {1,0}}} T ^ {1,0} M} włączenia do złożonej wiązki stycznej, a$ następnie projekcja na $.$

Pakiet kanoniczny jest zdefiniowany przez ${\ Displaystyle K_ {M} = \ Lambda ^ {n} T_ {1,0} ^ {*} M}$ .

Alternatywny opis lokalny

$} ^{n}}$ ${\ Displaystyle \ varphi = (z ^ {1}, \ kropki, z ^ {n}): U \ do \ mathbb$ { $z$ , wyróżniono współrzędne rzeczywiste ${\ Displaystyle (x ^ {1}, \ kropki, x ^ {n}, y ^ {1}, \ kropki, y ^ {n})} zdefiniowane$ przez ${\ Displaystyle z ^ {j} = x ^ {j} + iy ^ {j}}$ dla każdego ${\ Displaystyle j = 1, \ kropki, n}$ . Dają one wyróżnione formy jedynkowe o wartościach zespolonych ${\ Displaystyle dz ^ {j} = dx ^ {j} + idy ^ {j}, d {\ bar {z}} ^ {j} = dx ^ {j} - idy ^ {j}}$ na ${\ Displaystyle U}$ . Podwójne w stosunku do tych jedno-form o wartościach zespolonych są pola wektorowe o wartościach zespolonych (to znaczy sekcje złożonej wiązki stycznej),

{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy z ^ {j}}} = {\ Frac {1} {2}} \ lewo ({\ Frac {\ częściowy}} {\ częściowy x ^ {j}} } -i {\frac {\częściowy}}{\częściowy y^{j}}}\right),\quad {\frac {\częściowy}}{\częściowy {\bar {z}}^{j}}}= {\frac {1}{2}}\left({\frac {\częściowy}}{\częściowy x^{j}}}+i{\frac {\częściowy}}{\częściowy y^{j}}}\ Prawidłowy).}

Wzięte razem, te pola wektorowe tworzą ramkę dla ${\ displaystyle \ left.TM \ otimes \ mathbb {C} \ right | _ {U}}$ , ograniczenie złożonej wiązki stycznej do ${\ displaystyle U}$ . Jako takie, te pola wektorowe również dzielą złożoną wiązkę styczną na dwie podwiązki

{\ Displaystyle \ lewo. T ^ {1,0} M \ prawo | _ {U}: = \ nazwa operatora {Rozpiętość} \ lewo \ {{\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy z ^ {j}}} \ prawo\},\quad \left.T^{0,1}M\prawo|_{U}:=\operatorname {Span} \left\{{\frac {\częściowy }{\częściowy {\bar {z }}^{j}}}\prawo\}.}

$się$ współrzędnych te dwie podwiązki $wykresami uzyskuje$ zachowane, więc pokrywając holomorficznymi złożonej wiązki stycznej. Jest to dokładnie opisany wcześniej podział na holomorficzne i antyholomorficzne wiązki styczne. Podobnie formy jedynkowe o wartościach zespolonych $dz ^ {j}$ ${\ displaystyle d {\ bar {z}} ^ {j}}$ zapewniają podział złożonej wiązki kostycznej na holomorficzne i antyholomorficzne wiązki kostyczne.

Z tej perspektywy nazwa holomorficzna wiązka styczna staje się przezroczysta. Mianowicie, funkcje przejścia dla holomorficznej wiązki stycznej, z lokalnymi ramkami generowanymi $podane$ przez macierz funkcji $M$ . Jawnie $,$ mamy dwa dwoma ${\ Displaystyle z ^ {j}, w ^ {k}}$ , więc

{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy z ^ {j}}} = \ suma _ {k} {\ Frac {\ częściowy w ^ {k}}} {\ częściowy z ^ {j}}}} \frac {\częściowy }{\częściowy w^{k}}}.}

Ponieważ funkcje współrzędnych są holomorficzne, podobnie jak wszelkie ich pochodne, więc funkcje przejścia holomorficznej wiązki stycznej są również holomorficzne. Zatem holomorficzna wiązka styczna jest prawdziwą holomorficzną wiązką wektorów . Podobnie holomorficzna wiązka kostyczna jest prawdziwą holomorficzną wiązką wektorów, z funkcjami przejściowymi określonymi przez odwrotną transpozycję macierzy Jakobianu. Zauważ, że antyholomorficzne wiązki styczna i cotangens nie mają holomorficznych funkcji przejściowych, ale antyholomorficzne.

działa prawie $struktura$

{\ Displaystyle J: {\ Frac {\ częściowy} } \ częściowy z ^ {j}}} \ mapsto i {\frac {\częściowy}}{\częściowy z^{j}}},\quad {\frac {\częściowy}}{\częściowy {\bar {z}}^{j}}}\mapsto -i{ \frac {\częściowy }{\częściowy {\bar {z}}^{j}}},}

lub we współrzędnych rzeczywistych wg

{\ Displaystyle J: {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy x ^ {j}}} \ mapsto {\ Frac {\ częściowy}} {\ częściowy y ^ {j}}}, \ quad {\ frac {\ częściowy }{\częściowy y^{j}}}\mapsto -{\frac {\częściowy}}{\częściowy x^{j}}}.}

Holomorficzne pola wektorowe i formy różniczkowe

Ponieważ holomorficzne wiązki styczna i cotangens mają strukturę holomorficznych wiązek wektorowych, wyróżnia się sekcje holomorficzne. Holomorficzne pole wektorowe jest holomorficzną sekcją ${\ displaystyle T ^ {1,0} M}$ . Holomorficzna jednoforma to holomorficzna sekcja ${\ Displaystyle T_ {1,0} ^ {*} M$ } Biorąc zewnętrzne potęgi ${\ Displaystyle T_ {1,0} ^ {*}}$ , można zdefiniować $displaystyle$ holomorficzne formy dla liczb całkowitych $p}$ . Operator $p$ -Riemanna można rozszerzyć z funkcji $\ displaystyle (p, 0)}$ formy różniczkowe o wartościach zespolonych, a holomorficzne sekcje holomorficznej wiązki kostycznej zgadzają się z różniczką o wartościach zespolonych ( - formy, które są unicestwiane przez ${\ Displaystyle {\ bar {\ częściowy}}}$ . Aby uzyskać więcej informacji, patrz złożone formy różniczkowe .

Zobacz też

Huybrechts, Daniel (2005). Złożona geometria: wprowadzenie . Skoczek. ISBN 3-540-21290-6 .
Griffiths, Phillip ; Harris, Joseph (1994), Zasady geometrii algebraicznej , Wiley Classics Library, Nowy Jork: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-05059-9 , MR 1288523