Złożona postać różniczkowa

W matematyce złożona forma różniczkowa jest formą różniczkową na rozmaitości (zwykle rozmaitości zespolonej ), która może mieć złożone współczynniki.

Formy złożone mają szerokie zastosowanie w geometrii różniczkowej . Na złożonych rozmaitościach są one fundamentalne i służą jako podstawa większości geometrii algebraicznej , geometrii Kählera i teorii Hodge'a . Oprócz nieskomplikowanych rozmaitości odgrywają one również rolę w badaniu prawie złożonych struktur , teorii spinorów i struktur CR .

Zazwyczaj formy złożone są brane pod uwagę ze względu na pewien pożądany rozkład, który dopuszczają formy. Na przykład na złożonej rozmaitości każdą złożoną k można jednoznacznie rozłożyć na sumę tak zwanych form ( p , q ) : z grubsza kliny różniczek p współrzędnych holomorficznych z q różniczkami ich zespolonych koniugatów. Zespół form ( p , q ) staje się prymitywnym obiektem badań i określa drobniejszą strukturę geometryczną na rozmaitości niż formy k . Jeszcze drobniejsze struktury istnieją na przykład w przypadkach, w których teoria Hodge'a .

Formy różniczkowe na złożonej rozmaitości

Załóżmy, że M jest złożoną rozmaitością o zespolonym wymiarze n . Następnie istnieje lokalny układ współrzędnych składający się z n funkcji o wartościach zespolonych z ¹ , ..., z ⁿ takich, że przejścia współrzędnych z jednego obszaru do drugiego są funkcjami holomorficznymi tych zmiennych. Przestrzeń form złożonych ma bogatą strukturę, zależną zasadniczo od tego, że te funkcje przejścia są holomorficzne, a nie tylko gładkie .

Jednoformy

Zaczniemy od przypadku jednoformatowych. Najpierw rozłóż złożone współrzędne na ich części rzeczywiste i urojone: z ^j = x ^j + iy ^j dla każdego j . Pozwalanie

${\ Displaystyle dz ^ {j} = dx ^ {j} + idy ^ {j}, \ quad d{\bar {z}}^{j}=dx^{j}-idy^{j},}$

widać, że każdą postać różniczkową o zespolonych współczynnikach można jednoznacznie zapisać jako sumę

${\ Displaystyle \ suma _ {j = 1} ^ {n} \ lewo (f_ {j} dz ^ {j} + g_ {j} d {\ bar {z}} ^ {j} \ prawej).}$

Niech Ω ^1,0 będzie przestrzenią złożonych form różniczkowych zawierających tylko $Displaystyle d {\ bar {z$ , a Ω ^0,1 będzie przestrzenią form zawierających tylko $}}$ 'S. Za pomocą równań Cauchy'ego-Riemanna można wykazać , że przestrzenie Ω ^1,0 i Ω ^0,1 są stabilne przy holomorficznych zmianach współrzędnych. Innymi słowy, jeśli dokona się innego wyboru w _i holomorficznego układu współrzędnych, to elementy Ω ^1,0 przekształcą się tensorycznie , podobnie jak elementy Ω ^0,1 . Zatem przestrzenie Ω ^0,1 i Ω ^1,0 wyznaczają wiązki wektorów zespolonych na rozmaitości zespolonej.

Formy wyższego stopnia

Iloczyn klinowy złożonych form różniczkowych definiuje się w taki sam sposób, jak w przypadku form rzeczywistych. Niech p i q będą parą nieujemnych liczb całkowitych ≤ n . Przestrzeń Ω ^{p,q form} ( p , q ) jest definiowana poprzez kombinację liniową iloczynów klinowych elementów p z Ω ^1,0 i q elementów z Ω ^0,1 . Symbolicznie,

${\ Displaystyle \ Omega ^ {p, q} = \ underbrace {\ Omega ^ {1 ,0}\wedge \dotsb \wedge \Omega ^{1,0}} _{p{\text{razy}}}\wedge \underbrace {\Omega ^{0,1}\wedge \dotsb \wedge \Omega ^{0,1}} _{q{\text{razy}}}}$

gdzie są współczynniki p równe Ω ^1,0 i współczynniki q równe Ω ^0,1 . Podobnie jak w przypadku dwóch przestrzeni form 1, są one stabilne przy holomorficznych zmianach współrzędnych, a zatem określają wiązki wektorowe.

Jeżeli E ^k jest przestrzenią wszystkich form różniczkowych zespolonych o całkowitym stopniu k , to każdy element E ^k można wyrazić w unikalny sposób jako liniową kombinację elementów spośród przestrzeni Ω ^p,q z p + q = k . Mówiąc bardziej zwięźle, istnieje rozkład sumy

${\ Displaystyle E ^ {k} = \ Omega ^ {k, 0} \ oplus \ Omega ^ {k-1,1} \ oplus \ dotsb \ oplus \ Omega ^ {1, k-1} \ oplus \ Omega ^ {0,k}=\bigoplus _{p+q=k}\Omega ^{p,q}.}$

Ponieważ ten rozkład sumy bezpośredniej jest stabilny przy zmianach współrzędnych holomorficznych, określa również rozkład wiązki wektorów.

W szczególności dla każdego k i każdego p i q z p + q = k istnieje kanoniczna projekcja wiązek wektorowych

${\ Displaystyle \ pi ^ {p, q}: E ^ {k} \ strzałka w prawo \ Omega ^ {p, q}.}$

Operatory Dolbeaulta

Zwykła pochodna zewnętrzna definiuje odwzorowanie sekcji ${\ Displaystyle d: \ Omega ^ {r} \ do \ Omega ^ {r + 1}}$ przez

${\ Displaystyle d (\ Omega ^ {p, q}) \ subseteq \ bigoplus _ {r + s = p + q + 1}\Omega ^{r,s}}$

Zewnętrzna pochodna sama w sobie nie odzwierciedla bardziej sztywnej złożonej struktury rozmaitości.

Korzystając z d i rzutów zdefiniowanych w poprzednim podrozdziale, możliwe jest zdefiniowanie operatorów Dolbeaulta :

${\ Displaystyle \ częściowe =\pi ^{p+1,q}\circ d:\Omega ^{p,q}\rightarrow \Omega ^{p+1,q},\quad {\bar {\częściowe}}=\pi ^{p,q+1}\circ d:\Omega ^{p,q}\rightarrow \Omega ^{p,q+1}}$

Aby opisać te operatory we współrzędnych lokalnych, niech

$\ Displaystyle \ alfa = \ suma _ {| I | = p, | J | = q} \ f_ {IJ} \, dz ^$

gdzie I i J to multiindeksy . Następnie

$\ Displaystyle \ częściowe \ alfa = \ suma _ {| ja |, | J |} \ suma _ {\ ell} {\ frac {\częściowy f_{IJ}}{\częściowy z^{\ell}}}\,dz^{\ell}\klin dz^{I}\klin d{\bar {z}}^{J}}$

${\ Displaystyle {\ bar {\ częściowy}} \ alfa = \ suma _ {| ja |, | J |} \ suma _ {\ ell} {\ Frac {\ częściowy f_ {IJ}}} {\ częściowy {\ bar {z}}^{\ell}}}d{\bar {z}}^{\ell}\klin dz^{I}\klin d{\bar {z}}^{J}.}$

Widoczne są następujące właściwości:

${\ Displaystyle d = \ częściowy + {\ bar {\ częściowy}}}$

${\ Displaystyle \ częściowy ^ {2} = {\bar {\częściowy}}^{2}=\częściowy {\bar {\częściowy}}+{\bar {\częściowy}}\częściowy =0.}$

Te operatory i ich właściwości stanowią podstawę kohomologii Dolbeaulta i wielu aspektów teorii Hodge'a .

W domenie w kształcie gwiazdy złożonej rozmaitości operatorzy Dolbeaulta mają podwójne operatory homotopii, które wynikają z podziału operatora $.$ dla Jest to treść lematu Poincarego o złożonej rozmaitości.

Lemat Poincarégo dla i można dalej ulepszyć do $\$${\ Displaystyle {\ bar {\ częściowy}}} ∂ {$$}$ \ -lemma , który pokazuje $,$ że każda $złożona$ różniczkowa jest w -dokładna Na zwartych rozmaitościach $\ częściowe}}} }$ -lemat ∂ { \ ${ \ bar$ . Jest to konsekwencja teorii Hodge'a i stwierdza, że ​​złożona forma różniczkowa, która jest globalnie $($ innymi słowy, której klasa w kohomologii de Rham wynosi zero) jest globalnie ${\ displaystyle \ częściowy {\bar {\częściowo}}}$ -dokładnie.

Formy holomorficzne

Dla każdego p holomorficzna , forma p jest holomorficznym przekrojem wiązki Ω ^{p ,0}. In local coordinates, then, a holomorphic p-form can be written in the form

${\ Displaystyle \ alfa = \ suma _ {| ja | = p} f_ {I} \ dz ^ {I}}$

gdzie $funkcjami$ . Równoważnie i ze względu na niezależność złożonego koniugatu , forma ( p , 0) α jest holomorficzna wtedy i tylko wtedy, gdy

${\ Displaystyle {\ bar {\ częściowy}} \ alfa = 0.}$

Snop holomorficznych form p jest często zapisywany jako Ω ^{p , chociaż może to czasem prowadzić do nieporozumień} , dlatego wielu autorów przyjmuje alternatywną notację.

Zobacz też

• zespół Dolbeaulta
• Sekwencja widmowa Frölichera
• Mechanizm różnicowy pierwszego rodzaju

•   P.Griffithsa ; J. Harrisa (1994). Zasady geometrii algebraicznej . Biblioteka Wiley Classics. Wiley Interscience. s. 23–25. ISBN 0-471-05059-8 .
•   Wells, RO (1973). Analiza różnicowa na złożonych rozmaitościach . Springer-Verlag. ISBN 0-387-90419-0 .
•   Voisin, Claire (2008). Teoria Hodge'a i złożona geometria algebraiczna I . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. ISBN 978-0521718011 .