ddbar lemat

W złożonej geometrii $)$ de ( wymawiane ddbar lemat jest matematycznym lematem dotyczącym klasy kohomologii Rhama różniczkowej . Lemat jest wynikiem teorii $Hodge'a$ i na zwartej rozmaitości . $re$ ${\ textstyle d ^ {c} = - {\ Frac {i} {2}} (\ częściowy - {\ bar {\ częściowy}})}$ również znane jako , ze względu na użycie powiązanego operatora , przy czym relacja między dwoma operatorami to $} = dd ^ {c}}$ ${\ Displaystyle i \ częściowy { \ bar {\ częściowy$ $\ Displaystyle \ alpha = dd ^ {c} \ beta}$ i tak .

Oświadczenie

Lemat twierdzi, że jeśli $\ Displaystyle$ $(X, \ omega)}$ zwartą rozmaitością Kählera ${\ Displaystyle \ alpha \ in \ Omega ^ {p, q} (X)}$ jest złożoną postacią różniczkową dwustopnia (p, q) (z ${\ Displaystyle p, q \ geq 1}$ ), którego klasa ${\ Displaystyle [\ alfa] \ w H_ {dR} ^ {p + q} (X, \ mathbb {C})}$ wynosi zero w kohomologia $}$ Rham, to istnieje forma dwustopniowa ( 1,q-1) takie, że

{\ Displaystyle \ alfa = i \ częściowe {\ bar {\ częściowe}} \ beta,}

gdzie i $.$ operatorami Dolbeaulta rozmaitości zespolonej ${$ Displaystyle $X$

potencjał ddbara

Forma nazywana jest $}}$ ∂ $\ bar$ { \ $}$ . Włączenie czynnika $ja$ , że $\ częściowy$ prawdziwym operatorem różniczkowym, to znaczy, że ∂ $}}}$ forma różniczkowa z rzeczywistymi współczynnikami, to tak jest ${\ displaystyle \ beta}$ .

Lemat ten należy porównać z pojęciem dokładnej formy różniczkowej w kohomologii de Rhama. W szczególności, jeśli jest zamkniętą różniczkową postacią k (na dowolnej gładkiej rozmaitości), której klasa wynosi zero w kohomologii de Rhama, to $( X ) {\ Displaystyle \ alpha \ in \ Omega ^ {k} ($ ${\ Displaystyle \ alpha = d \ gamma}$ dla pewnej postaci różniczkowej (k-1) $displaystyle \ alpha}$ $\ Displaystyle \ gamma}$ zwanej $Displaystyle \ gamma}$ -potencjałem (lub po prostu potencjałem ) ${\$ , gdzie $pochodną$ zewnętrzną . Rzeczywiście, ponieważ operatory Dolbeaulta sumują $się,$ $Displaystyle \ częściowy ^ {2} = {\ bar {\ częściowy}} ^ {2} = 0}$ pochodną zewnętrzną, zero ∂ $}} -$ lemat implikuje, że ${\ Displaystyle \ gamma = {\ bar {\ częściowy}} \ beta}$ , udoskonalając potencjał $-potencjału$ w ${\ Displaystyle \ częściowy {\ bar {\ częściowy}}}$ ustawienie kompaktowych rozgałęźników Kählera.

Dowód

Lemat $Hodge'a$ jest konsekwencją do zwartej rozmaitości Kählera .

Twierdzenie Hodge'a ${\ Displaystyle \ Delta _ {d}, \ Delta _ {\ częściowy}, \ Delta _ {\ bar {\ częściowy}}}$ zespołu eliptycznego można zastosować do dowolnego operatorów i odpowiednio do ich operatorów Laplace'a $}$ . Do tych operatorów można zdefiniować przestrzenie harmonicznych form różniczkowych nadanych przez jądra:

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ mathcal {H}} _ {d} ^ {k} & = \ker \Delta _{d}:\Omega ^{k}(X)\to \Omega ^{k}(X)\\{\mathcal {H}}_{\częściowe }^{p,q}& =\ker \Delta _{\częściowa}:\Omega ^{p,q}(X)\to \Omega ^{p,q}(X)\\{\mathcal {H}}_{\bar {\ częściowe }}^{p,q}&=\ker \Delta _{\bar {\częściowe }}:\Omega ^{p,q}(X)\to \Omega ^{p,q}(X)\ \\end{wyrównane}}}

Twierdzenie o rozkładzie Hodge'a stwierdza, że istnieją trzy ortogonalne rozkłady związane z tymi przestrzeniami form harmonicznych, podane przez

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ Omega ^ {k} (X) & = {\ mathcal {H}} _ {d} ^ {k} \oplus \operatorname {im} d\oplus \operatorname {im} d^{*}\\\Omega ^{p,q}(X)&={\mathcal {H}}_{\częściowe }^{p ,q}\oplus \nazwa_operatora {im} \partial \oplus \nazwa_operatora {im} \partial ^{*}\\\Omega ^{p,q}(X)&={\mathcal {H}}_{\ bar {\częściowy}}^{p,q}\oplus \operatorname {im} {\bar {\częściowy}}\oplus \operatorname {im} {\bar {\częściowy}}^{*}\end{wyrównane }}}

gdzie ${\ Displaystyle d ^ {*}, \ częściowe ^ {*}, {\ bar {\ częściowe}} ^ {*}}$ $metryki$ formalnymi sprzężeniami re w odniesieniu do riemannowskiej rozmaitości Kählera. Te rozkłady zachodzą oddzielnie na każdej zwartej złożonej rozmaitości. Znaczenie rozmaitości będącej Kählerem polega na tym, że istnieje związek między Laplacianami z ${\ displaystyle d, \ częściowy, {\ bar {\ częściowy}}},$ a zatem z powyższymi rozkładami ortogonalnymi. W szczególności na kompaktowym rozgałęźniku Kählera

{\ Displaystyle \ Delta _ {d} = 2 \ Delta _ {\ częściowe} = 2 \ Delta _ {\ bar {\ częściowe}}}

co implikuje rozkład ortogonalny

{\ Displaystyle {\ mathcal {H}} _ {d} ^ {k} = \ bigoplus

$p}}}}$ p $, q} = {\ overline {{\ mathcal {H }} _ {\ bar {\ częściowe}}$ $}$ odnoszące się do przestrzeni ${\ displaystyle \ częściowe$ i - form harmonicznych.

W wyniku powyższych dekompozycji można udowodnić następujący lemat.

Lemat ( ${\ Displaystyle \ częściowy {\ bar {\ częściowy}}} -$ lemat) - Niech ${\ Displaystyle \ alfa \ w \ Omega ^ {p, q} (X )}$ być $($ p, q) -formą na zwartej rozmaitości Kählera ${\ Displaystyle X}$ . Następnie następujące są równoważne:

${\ Displaystyle \ alpha}$ jest dokładnie ${\ Displaystyle d}$ .
${\ Displaystyle \ alpha}$ jest ${\ Displaystyle \ częściowe}$ -dokładne.
${\ Displaystyle \ alfa}$ jest ${\ Displaystyle {\ bar {\ częściowy}}}$ -dokładny.
${\ Displaystyle \ alfa}$ jest ${\ Displaystyle \ częściowe {\ bar {\ częściowe}}}$ -dokładne. To znaczy, że istnieje takie, że $Displaystyle \ alpha = i \ częściowe {\ bar {\ częściowe}} \ beta$ $\$ .
${\ Displaystyle \ alfa}$ jest prostopadły do ${\ Displaystyle {\ mathcal {H}} _ {\ bar {\ częściowe}} ^ {p, q} \ podzbiór \Omega ^{p,q}(X)}$ .

Dowód jest następujący. Niech ${\ Displaystyle \ alfa \ in \ Omega ^ {p, q} (X)}$ będzie formą zamkniętą (p, q) na zwartej rozmaitości Kählera $(X,\omega)$ . Wynika z tego szybko, że (d) implikuje (a), (b) i (c). Co więcej, powyższe dekompozycje ortogonalne implikują, że dowolny z (a), (b) lub (c) implikuje (e). Dlatego główną trudnością jest pokazanie, że (e) implikuje (d).

W tym celu załóżmy, że jest prostopadła do podprzestrzeni $H.$ $\ Displaystyle {\ mathcal {H}} _ {\ bar {\ częściowy$ . Wtedy ${\ Displaystyle \ alfa \ w \ nazwa operatora {im} {\ bar {\ częściowe}} \ oplus \ nazwa operatora {im} {\ bar {\ częściowe}} ^ { *}}$ . Ponieważ jest $-zamknięty$ i $częściowy}}}$ $\ Displaystyle d = \ częściowy$ , jest również ${\ Displaystyle {\ bar {\ częściowy}}}$ -zamknięty (czyli ${\ Displaystyle {\ bar {\ częściowy}} \ alpha = 0}$ ). α ${\ Displaystyle \ alfa = \ alfa '+ \ alfa ''}$ gdzie $Displaystyle \ alpha '\ in \ operatorname {im} {\ bar {\ częściowe }}}$ i ${\ Displaystyle \ alfa '' = {\ bar {\ częściowe}} ^ {*} \ gamma}$ jest zawarte w ${\ Displaystyle \ operatorname {im} {\ bar {\ częściowy}} ^ {*}}$ to skoro ta suma pochodzi z rozkładu ortogonalnego względem iloczynu wewnętrznego ${\ Displaystyle \ langle -, - \ rangle}$ indukowanego przez metrykę Riemanna,

{\ Displaystyle \ langle \ alfa '', \ alfa '' \ rangle = \ langle \alpha ,\alpha ''\rangle =\langle \alpha ,{\bar {\częściowy }}^{*}\gamma \rangle =\langle {\bar {\częściowy }}\alpha ,\gamma \rangle =0}

lub innymi słowy ${\ Displaystyle \|\ alfa '' \|^ {2} = 0}$ i ${\ Displaystyle \ alfa '' = 0}$ . Tak więc jest tak, że ${\ Displaystyle \ alpha = \ alpha '\ in \ operatorname {im} {\ bar {\ częściowe}}}$ . To pozwala $η$ napisać $Displaystyle \ eta \$ pewnej postaci różniczkowej . Zastosowanie rozkładu Hodge'a dla ${\ displaystyle \ częściowy}$ do ${\ displaystyle \ eta}$ ,

{\ Displaystyle \ eta = \ eta _ {0} + \ częściowe \ eta '+ \ częściowe ^ {*} \ eta ''}

gdzie jest ${\ Displaystyle$ $\ Delta _ {\ częściowy}}$ -harmoniczny, ${\ Displaystyle \ eta '$ i ${\ Displaystyle \ eta '' \ w \ Omega ^ {p + 1, q -1}(X)}$ . Równość ${\ Displaystyle \ Delta _ {\ bar {\ częściowy}} = \ Delta _ {\ częściowy}}$ $,$ że jest również ${ \ Displaystyle \ Delta _ {\ bar {\ częściowy}}}$ -harmoniczny, a zatem ${\ Displaystyle {\ bar {\ częściowy}} \ eta _ {0} = {\ bar {\ częściowe }}^{*}\eta _{0}=0}$ . Zatem ${\ Displaystyle \ alpha = {\ bar {\ częściowy}} \ częściowy \ eta '+ {\ bar {\ częściowy}} \ częściowy ^ {*} \ eta ''}$ . Ponieważ jednak jest $-zamknięty$ , $jest$ $_$ Następnie używając podobnej sztuczki jak powyżej,

{\ Displaystyle \ langle {\ bar {\ częściowy}} \ częściowy ^ {*} \ eta '', {\ bar {\ częściowy}} \ częściowy ^ {*} \ eta '' \ rangle = \ langle \ alfa ,{\bar {\częściowy }}\częściowy ^{*}\eta ''\rangle =-\langle \alpha ,\częściowy ^{*}{\bar {\częściowy }}\eta ''\rangle =- \langle \częściowe \alpha ,{\bar {\częściowe }}\eta ''\rangle =0,}

stosując również tożsamość Kählera , która ${\ Displaystyle {\ bar {\ częściowy}} \ częściowy ^ {*} = - \ częściowy ^ {*} {\ bar {\ częściowy}}}$ . Zatem $} \ częściowy \ eta '}$ $i$ ${\ Displaystyle \ częściowy {\ bar {\ częściowy}}}$ ustawienie daje -potencjalny.

Wersja lokalna

Lokalna wersja -lematu zachodzi i można $o$ udowodnić bez konieczności odwoływania się do twierdzenia Hodge'a $operatora$ odpowiednik lematu Poincarégo lematu Dolbeaulta-Grothendiecka dla . Lokalny $wymienione$ obejmuje każdą dziedzinę, w której obowiązują wyżej

Lemat (Lokalny ${\ częściowy}}}$ - lemat) $\$ ${\ Displaystyle \ alpha \in \ Omega ^ {p, q} (X)}$ - Niech będzie złożoną rozmaitością i być różniczkową formą dwustopnia (p, q) dla ${\ displaystyle p, q \ geq 1}$ . Wtedy $\ alpha}$ ${ \$ ${\ Displaystyle U \ podzbiór X p$ jest -zamknięty wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego punktu istnieje otwarte sąsiedztwo ${\ Displaystyle p \ in X}$ ${\ Displaystyle p}$ i formę różniczkową taką, że $\ Displaystyle \ beta \ in \ Omega ^ {p-1, q-1} (U)}$ ∈ ${\ Displaystyle \ alfa = i \ częściowe {\ bar {\ częściowe}} \ beta}$ na ${\ Displaystyle U}$ .

Dowód wynika szybko z wyżej wymienionych lematów. Po pierwsze zauważ, że jeśli lokalnie ma postać $\ Displaystyle \ alpha = i \ częściowe$ $\ bar {\ częściowe}} \ beta}$ dla pewnego ${\ Displaystyle \ beta}$ następnie ${\ Displaystyle d \ alfa = d (i \ częściowe {\ bar {\ częściowe}} \ beta) = i (\ częściowy + {\ bar {\ częściowy}}) (\ częściowy {\ bar {\ częściowy}} \ beta) = 0}, ponieważ ∂ 2 = {\ Displaystyle \ częściowy$ ^ $\partial ^{2}=0$ , ${\bar {\partial }}^{2}=0$ , and $\partial {\bar {\partial }}=-{\bar {\partial }}\partial$ . On the other hand, suppose $\alpha$ is $d$ -closed. Then by the Poincaré lemma there exists an open neighbourhood $U$ of any point $p\in X$ and a form $\gamma \in \Omega ^{p+q-1}(U)$ such that $\alpha =d\gamma$ . Now writing $\gamma =\gamma '+\gamma ''$ for $\gamma '\in \Omega ^{p-1,q}(X)$ and $\gamma ''\in \Omega ^{p,q-1}(X)$ note that $d\alpha =(\partial +{\bar {\partial }})\alpha =0$ and comparing the bidegrees of the forms in $d\alpha$ implies that ${\bar {\partial }}\gamma '=0$ and $\partial \gamma ''=0$ and that $\alpha =\partial \gamma '+{\bar {\partial }}\gamma ''$ . After possibly shrinking the size of the open neighbourhood $U$ , the Dolbeault–Grothendieck lemma may be applied to $\gamma '$ and ${\overline {\gamma ''}}$ (the latter because ${\overline {\partial \gamma ''}}={\bar {\partial }}({\overline {\gamma ''}})=0$ ) to obtain local forms $\eta ',\eta ''\in \Omega ^{p-1,q-1}(X)$ such that $\gamma '={\bar {\partial }}\eta '$ and ${\overline {\gamma ''}}={\bar {\partial }}\eta ''$ . Noting then that $\gamma ''=\partial {\overline {\eta ''}}$ this completes the proof as $\alpha =\partial {\bar {\partial }}\eta '+{\bar {\partial }}\partial {\overline {\eta ''}}=i\partial {\bar {\partial }}\beta$ where $\beta =-i\eta '+i{\overline {\eta ''}}$ .

Kohomologia Botta-Cherna

$zwartych rozmaitości$ $zespolonych$ ${\ Displaystyle \ częściowe {\ bar {\ częściowe}}} -$ zależy od operatorów i i mierzy stopień, w jakim lemat się nie sprawdza. W szczególności, gdy zwarta rozmaitość zespolona jest rozmaitością Kählera, kohomologia Botta-Cherna jest izomorficzna z kohomologią Dolbeaulta , ale generalnie zawiera więcej informacji.

Grupy kohomologii Botta-Cherna zwartej złożonej rozmaitości są zdefiniowane przez

{\ Displaystyle H_ {BC} ^ {p, q} (X) = {\ Frac {\ ker (\ częściowe: \ Omega ^ {p, q} \ do \ Omega ^ {p + 1, q}) \ cap \ker({\bar {\partial }}:\Omega ^{p,q}\to \Omega ^{p,q+1})}{\operatorname {im} (\partial {\bar {\partial} }:\Omega ^{p-1,q-1}\do \Omega ^{p,q})}}.}

Ponieważ forma różniczkowa, która jest zarówno $zamknięta$ $jest$ $i$ -zamknięta -zamknięta istnieje naturalna mapa ${\ Displaystyle H_ {BC} ^ {p, q} (X) \ do H_ {dR} ^ {p + q} (X, \ mathbb {C} )}$ od grup kohomologii Botta-Cherna do grup kohomologii de Rham. Istnieją $do$ ${\ Displaystyle H_ {BC} ^ {p, q} (X) \ do H _ {\ częściowy} ^ {p, q} (X), H _ {\ bar {\ częściowy} }^{p,q}(X)}$ do grup $kohomologii$ . Gdy rozmaitość spełnia -lemmat, na przykład jeśli jest to zwarta rozmaitość Kählera, to powyższe mapy z kohomologii Botta – Cherna $X$ $displaystyle$ do kohomologii Dolbeaulta są izomorfizmami, a ponadto mapa od kohomologii Botta-Cherna do kohomologii de Rhama jest iniekcyjna. W konsekwencji występuje izomorfizm

\ Displaystyle H_ {dR} ^ {k} (X, \ mathbb {C}) = \ bigoplus _ { p+q=k}H_{BC}^{p,q}(X)}

ilekroć spełnia - lemat $} W ten sposób jądro$ X $displaystyle$ $mierzy$ niepowodzenie rozmaitości w spełnianiu lematu, aw szczególności mierzy niepowodzenie $rozmaitości$ .

Konsekwencje dla dwustopnia (1,1)

Najbardziej znacząca konsekwencja $,$ gdy złożona forma różniczkowa ma dwustopniowy (1,1 W tym przypadku lemat stwierdza, że dokładna forma różniczkowa ma ${\ Displaystyle \ alfa \ w \ Omega ^ {1,1} (X)}$ ma ${\ Displaystyle \ częściowy { \ bar {\ częściowy}}}$ -potencjał dany przez gładką funkcję ${\ Displaystyle f \ w C ^ {\ infty} (X, \ mathbb {C})}$ :

{\ Displaystyle \ alfa = i \ częściowe {\ bar {\ częściowe}} f.}

W szczególności dzieje się tak w przypadku, gdy $podzbioru$ formą Kählera ograniczoną do małego otwartego $wynika$ ( lokalna wersja lematu), przy czym wspomniany lemat Poincarégo zapewnia, że jest to zupełna postać różniczkowa. Prowadzi to do pojęcia potencjału Kählera , lokalnie zdefiniowanej funkcji, która całkowicie określa formę Kählera. Innym ${$ przypadkiem jest sytuacja, gdy $\ styl wyświetlania [\ omega ] = [\ omega ']}$ dwóch form Kählera, które należą do tej samej klasy . W tym przypadku ${\ Displaystyle [\ alfa] = [\ omega] - [\ omega '] = 0}$ w kohomologii de Rham, więc ${\ Displaystyle \ częściowy {\bar {\częściowy }}} -$ ma zastosowanie lemat. Pozwalając na pełne opisanie (różnic) form Kählera za pomocą jednej funkcji, która jest automatycznie funkcją plurisubharmoniczną , badanie zwartych rozmaitości Kählera można podjąć przy użyciu technik teorii pluripotencjału, dla których dostępnych jest wiele narzędzi analitycznych . Na przykład $.$ jest używany do przeformułowania równania Kählera-Einsteina w kategoriach potencjałów, przekształcając je w złożone równanie Monge-Ampère'a potencjału .

kolektory ddbar

${\ częściowe}} }}$ Kählera, ale nadal spełniają -lemma znane jako ${\ Displaystyle \ częściowe {\$ -rozmaitości. Na $-lemma,$ zwarte rozmaitości zespolone, które należą do klasy C Fujiki, ale są Kählera.

Zobacz też

Link zewnętrzny

Jean-Pierre, Demailly. „Strona osobista w Grenoble, w tym publikacje” .