Tożsamości Kählera

W złożonej geometrii tożsamości Kählera są zbiorem tożsamości między operatorami na rozmaitości Kählera , odnoszącymi się do operatorów Dolbeaulta i ich sprzężeń , operatorów kontrakcji i klina postaci Kählera oraz Laplacianów metryki Kählera. Tożsamości Kählera łączą się z wynikami teorii Hodge'a , tworząc szereg relacji dotyczących kohomologii de Rhama i Dolbeaulta zwartych rozmaitości Kählera, takich jak Twierdzenie Lefschetza o hiperpłaszczyznach , twarde twierdzenie Lefschetza , dwuliniowe relacje Hodge'a-Riemanna i twierdzenie o indeksie Hodge'a . Są one również, ponownie połączone z teorią Hodge'a, ważne $rozmaitości$ , Kählera, takich jak -lemma nierówności Nakano i Kodaira . znikające twierdzenie .

Historia

Tożsamości Kählera zostały po raz pierwszy udowodnione przez WVD Hodge'a , który pojawił się w jego książce o całkach harmonicznych w 1941 roku. Współczesny zapis ${\ displaystyle \ Lambda}$ został wprowadzony przez André Weila w pierwszym podręczniku geometrii Kählera, Introduction à L'Étude des Variétés Kähleriennes.

Operatorzy

Rozmaitość Kählera dopuszcza dużą liczbę operatorów w swojej algebrze złożonych form różniczkowych ${\ Displaystyle (X, \ omega, J)}$

$${\ Displaystyle \ Omega (X): = \ bigoplus _ {k \ geq 0} \ Omega ^{k}(X,\mathbb {C} )=\bigoplus _{p,q\geq 0}\Omega ^{p,q}(X)}$$

zbudowany z gładkiej struktury ( S ), złożonej struktury ( do ) i struktury Riemanna ( R ) z ${\ displaystyle X}$ . Konstrukcja tych operatorów jest standardem w literaturze dotyczącej złożonej geometrii różniczkowej. Poniżej pogrubione litery w nawiasach wskazują, które struktury są potrzebne do zdefiniowania operatora.

Operatory różniczkowe

Następujące operatory są operatorami różniczkowymi i wynikają z gładkiej i złożonej struktury ${\ displaystyle X}$ :

• ${\ Displaystyle d: \ Omega ^ {k} (X \ mathbb {C}) \ do \ Omega ^ {k + 1} ( X,\mathbb {C} )}$ , pochodna zewnętrzna . ( S )
• ${\ Displaystyle \ częściowe: \ Omega ^ {p, q} (X) \ do \ Omega ^ {p + 1, q} (X )}$ , operator Dolbeaulta ${\ Displaystyle (1,0)}$ . ( C )
• ${\ Displaystyle {\ bar {\ częściowy}}: \ Omega ^ {p, q} (X) \ do \ Omega ^ {p q + 1} (X)}$ , operator Dolbeaulta ( $\ Displaystyle (0,1)$ } ( C )

$pochodną$ zewnętrzną wzorem Charakterystyczna właściwość pochodnej zewnętrznej, która ${\ Displaystyle \ częściowe ^ {2} = {\ bar {\ częściowe$ implikuje $∂$ i ${\ Displaystyle \ częściowy {\ bar {\ częściowy}} = - {\ bar {\ częściowy}} \ częściowy}$ .

Niektóre źródła wykorzystują następujący operator do sformułowania tożsamości Kählera.

• ${\ Displaystyle d ^ {c} = - {\frac {i}{2}}(\częściowo -{\bar {\częściowo}}):\Omega ^{p,q}(X)\to \Omega ^{p+1,q}(X) \oplus \Omega ^{p,q+1}(X)}$ . ( C )

$}$ ponieważ tożsamości Kählera dla wywnioskować z bardziej zwięźle sformułowanych tożsamości przez ${\ Displaystyle \ częściowe, {\ bar {\ częściowe}}$ porównywanie dwustopni. Jest to również przydatne dla właściwości, że $} = i \ częściowe {\ bar {\ częściowe}}}$ . Można to zdefiniować w kategoriach złożonej struktury $wzoru$ pomocą

$${\ Displaystyle d ^ {c} = J ^ {- 1} \ circ d \ circ J = - J \ circ d \ circ J.}$$

Operatory tensoryczne

Następujące operatory mają naturę tensoryczną , to znaczy są operatorami, które zależą tylko od wartości zespolonej postaci różniczkowej w punkcie. W szczególności każdy z nich można zdefiniować jako operatory między przestrzeniami wektorowymi form ${\ Displaystyle \ Lambda _ {x} ^ {p ,q}:=\Lambda ^{p}T_{1,0}^{*}X_{x}\otimes \Lambda ^{q}T_{0,1}^{*}X_{x}}$ w każdym punkcie indywidualnie ${\ displaystyle x \ in X}$ .

• ${\ Displaystyle {\ bar {\ cdot}}: \ Omega ^ {p, q} (X) \ do \ Omega ^ {q, p }(X)}$ , złożony operator koniugatu. ( C )
• ${\ Displaystyle L: \ Omega ^ {p, q} (X) \ do \ Omega ^ {p + 1, q + 1 } (X)}$ , operator Lefschetza zdefiniowany przez ${\ Displaystyle L (\ alfa): = \ omega \ klin alfa}$$jest$ formą Kählera. ( CR )
• ${\ Displaystyle \ gwiazda: \ Omega ^ {p, q} (X) \ do \ Omega ^ {nq, np} (X )}$ , operator gwiazdy Hodge'a . ( R )

Bezpośredni rozkład sumy zespolonych form różniczkowych na formy dwustopniowe (p, q) przejawia szereg operatorów projekcji.

• ${\ Displaystyle \ Pi _ {k}: \ Omega (X) \ do \ Omega ^ {k} (X, \ mathbb {C})$ } rzut na część stopnia k. ( S )
• ${\ Displaystyle \ Pi _ {p, q}: \ Omega ^ {k} (X, \ mathbb {C}) \ do \ Omega ^{p,q}(X)}$ , rzut na część dwustopniową (p,q). ( C )
• ${\ Displaystyle \ Pi = \ suma _ {k = 0} ^ {2n} (kn) \ Pi _ {k }:\Omega (X)\to \Omega (X)}$ , znany jako operator zliczania . ( S )
• ${\ Displaystyle J = \ suma _ {p, q = 0} ^ {n} i ^ {pq} \ Pi _ {p, q}}$ , operator struktury zespolonej w zespolonej przestrzeni wektorowej ${\ Displaystyle \ Omega (X)}$ . ( C )

Zauważ, że ostatni operator jest rozszerzeniem prawie złożonej struktury rozmaitości Kählera na złożone formy różniczkowe wyższego stopnia, gdzie przypomina się, że $J$$Displaystyle J (\ alfa) = i \ alfa }$ dla za ${\ Displaystyle (1,0)}$ - forma i ${\ Displaystyle J (\ alfa) = -i \ alfa}$ dla ${\ Displaystyle (0,1)}$ -forma, więc działa z czynnikiem $\$$Displaystyle i ^ {pq}}$ na za ${\ Displaystyle (p ,q)}$ -formularz.

Dodatki

Metryka Riemanna na $formalnych$ jak również jej naturalna orientacja wynikająca ze złożonej struktury, mogą być użyte do zdefiniowania sprzężeń powyższych operatorów różniczkowych i tensorycznych. Te sprzężenia można zdefiniować albo przez całkowanie przez części , albo przez jawne formuły $Hodge'a$ użyciu operatora gwiazdy .

Aby zdefiniować sprzężenia przez integrację, zauważ, że metryka Riemanna $na$${p,q}(X)}$$\$ na Ω p , $\ Omega$ zgodnie ze wzorem

$${\ Displaystyle \ langle \ langle \ alfa, \ beta \ rangle \ rangle _ {L ^ {2}} = \ int _ {X} \ langle \ alfa, \ beta \ rangle {\ Frac {\ omega ^ {n} }{N!}}}$$

gdzie $iloczynem$$Riemanna$ zewnętrznych kostycznej przestrzeni . Korzystając z tego - iloczynu wewnętrznego, formalne spójniki dowolnego z powyższych operatorów (oznaczone przez ) można zdefiniować za pomocą wzoru $^ {2} }$$\ displaystyle L$

$${\ Displaystyle \ langle \ langle T \ alfa, \ beta \ rangle \ rangle _ {L ^ {2}} = \ langle \ langle \ alfa, T ^ {*} \ beta \ rangle \ rangle _ {L ^ {2 }}.}$$

$, pod warunkiem$ zwarta, $, że$ wewnętrzny ma przynajmniej jedna z form różniczkowych zwarta .

W szczególności otrzymuje się następujące formalne operatory sprzężone powyższych operatorów różniczkowych i tensorycznych. Uwzględniono wyraźne wzory na te sprzężenia w kategoriach operatora gwiazdy Hodge'a ${\ displaystyle \ star}$ .

• ${\ Displaystyle d ^ {*}: \ Omega ^ {k} (X, \ mathbb {C}) \ do \ Omega ^ { k-1} (X, \ mathbb {C})}$ wyraźnie podane przez ${\ Displaystyle d ^ {*} = - \ gwiazda \ circ d \ circ \ gwiazda}$ . ( SR )
• $∗ =$${\ Displaystyle \ częściowe ^ {*}: \ Omega ^ {p, q} (X) \ do \ Omega ^ {p-1$$\ Displaystyle \ częściowe ^ {*} = - \ gwiazda \ circ {\ bar {\ częściowe}} \ circ \$ ∂ . ( CR )
• $X)}$${\ Displaystyle {\ bar {\ częściowe}} ^ {*}: \ Omega ^ {p, q} (X) \ do \$$^$ przez . ( CR )
• ${\ Displaystyle {d ^ {c}} ^ {*}: \ Omega ^ {k} (X, \ mathbb {C} ) \ do \ Omega ^ {k + 1} (X, \ mathbb {C})}$ wyraźnie podane przez ${\ Displaystyle {d ^ {c}} ^ {*} = -\star \circ d^{c}\circ \star }$ . ( CR )
• ${\ Displaystyle L ^ {*} = \ Lambda: \ Omega ^ {p, q} (X) \ do \ Omega ^ {p-1, q-1} (X)}$ wyraźnie podane przez ${\ Displaystyle \ Lambda = \ gwiazda ^ {-1} \ circ L \ circ \ star}$ . ( CR )

Ostatni operator, sprzężenie operatora Lefschetza, jest znany jako operator kontrakcji z formą Kählera i jest powszechnie oznaczany przez $}$$displaystyle \$ .

Laplacianie

Z operatorów i ich formalnych sprzężeń zbudowano szereg operatorów Laplace'a odpowiadających ${\ Displaystyle d, \ częściowy}$ i ${\ Displaystyle {\ bar {\ częściowy}}}$ :

• ${\ Displaystyle \ Delta _ {d}: = dd ^ {*} + d ^ {*} d :\Omega ^{k}(X,\mathbb {C} )\to \Omega ^{k}(X,\mathbb {C} )} , inaczej znany jako operator Laplace'a-$ de Rhama . ( SR )
• ${\ Displaystyle \ Delta _ {\ częściowe}: = \ częściowe \ częściowe ^ {*} + \ częściowe ^{*}\częściowe :\Omega ^{p,q}(X)\to \Omega ^{p,q}(X)}$ . ( CR )
• ${\ Displaystyle \ Delta _ {\ bar {\ częściowy}}: = {\ bar {\częściowo}}{\bar {\częściowo}}^{*}+{\bar {\częściowo}}^{*}{\bar {\częściowo}}:\Omega ^{p,q}(X )\do \Omega ^{p,q}(X)}$ . ( CR )

Każdy z powyższych Laplace'ów jest operatorem samosprzężonym .

Operatory rzeczywiste i złożone

Nawet jeśli złożona struktura ( do ) jest niezbędna do zdefiniowania powyższych operatorów, można je jednak zastosować do rzeczywistych form różniczkowych ${\ Displaystyle \ alpha \ in \ Omega ^{k}(X,\mathbb {R} )\podzbiór \Omega ^{k}(X,\mathbb {C} )}$ . Gdy wynikowa postać ma również rzeczywiste współczynniki, mówi się, że operator jest operatorem rzeczywistym . Można to dalej scharakteryzować na dwa $sposoby$ : jeśli złożony koniugat operatora jest sam lub jeśli operator dojeżdża do pracy z prawie złożoną strukturą działającą na złożone formy różniczkowe Skład dwóch rzeczywistych operatorów jest prawdziwy.

Złożony koniugat powyższych operatorów jest następujący:

• ${\ Displaystyle {\ bar {d}} = d}$ i ${\ Displaystyle {\ overline {d ^ {*}}} = d ^ {*}}$ .
• ${\ Displaystyle {\ overline {(\ częściowe)}} = {\ bar {\ częściowe}}}$ i ${\ Displaystyle {\ overline {({\ bar {{\ bar { \ częściowy}}}}} = \ częściowy}$ i podobnie dla ${\ Displaystyle \ częściowy ^ {*}}$ i ∂ $\ Displaystyle {\ bar {\ częściowy}} ^ {*}}$
• ${\ Displaystyle {\ overline {d ^ {c}}} = d ^ {c}}$$^ {c}} ^{*}}}={d^{c}}^{*}}$ \ .
• ${\ Displaystyle {\ bar {\ gwiazda}} = \ gwiazda}$ .
• ${\ Displaystyle {\ bar {J}} = - J}$ .
• ${\ Displaystyle {\ bar {L}} = L}$ i ${\ Displaystyle {\ bar {\ Lambda}} = \ Lambda}$ .
• ${\ Displaystyle {\ bar {\ Delta}} _ {d} = \ Delta _ {d}}$ .
• ${\ Displaystyle {\ bar {\ Delta}} _ {\ częściowy} = \ Delta _ {\ częściowy}}$ .
• ${\ Displaystyle {\ bar {\ Delta}} _ {\ bar {\ częściowy}} = \ Delta _ {\ bar {\ częściowy}}}$ .

Zatem ${\ Displaystyle d, d ^ {*}, d ^ {c}, {d ^ {c}} ^ {*}, \ gwiazda, L, \ Lambda, \ Delta _ {d}, \ Delta _ {\ częściowe},} i wszystkie są prawdziwe Δ ∂ ¯ {\ Displaystyle \$ Delta _ ${\ częściowe}}}$ operatorzy. W szczególności, jeśli którykolwiek z tych operatorów jest oznaczony przez ${\ displaystyle T}$ , $.$ komutator $_$ _

Tożsamości

Tożsamości Kählera to lista relacji komutatorów między powyższymi operatorami. Wyraźnie oznaczamy przez ${\ Displaystyle [T, S] = T \ circ SS \ circ T}$ operatora w ${ \ Displaystyle \ Omega (X) = \ Omega ^ {\ punktor} (X, \ mathbb {C})}$ uzyskany poprzez złożenie powyższych operatorów w różnym stopniu.

Tożsamości Kählera są zasadniczo tożsamościami lokalnymi na rozmaitości Kählera i zachowują się nawet w przypadku niezwartym. Rzeczywiście można je udowodnić w modelowym przypadku metryki Kählera na $displaystyle d \omega =0}$ przenieść do dowolnej rozmaitości Kählera przy użyciu kluczowej właściwości, że warunek Kählera $re$ oznacza, że ​​metryka Kählera przyjmuje postać standardową aż do drugiego rzędu. Ponieważ tożsamości Kählera są tożsamościami pierwszego rzędu w metryce Kählera, odpowiednie relacje komutatora na ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$ implikują tożsamości Kählera lokalnie na dowolnej rozmaitości Kählera.

Kiedy rozmaitość Kählera jest zwarta, tożsamości można połączyć z teorią Hodge'a, aby wyciągnąć wiele wniosków dotyczących kohomologii rozmaitości.

Tożsamości $_$ - Niech _ Wtedy zachodzą następujące tożsamości:

• ${\ Displaystyle [{\ bar {\ częściowy}}, L] = 0}$ .
• ${\ Displaystyle [\ częściowy, L] = 0}$ .
• ${\ Displaystyle [{\ bar {\ częściowy}} ^ {*}, \ Lambda ] = 0}$ .
• ${\ Displaystyle [\ częściowy ^ {*}, \ Lambda ] = 0}$ .
• ${\ Displaystyle [{\ bar {\ częściowy}} ^ {*}, L] = i \ częściowy}$ .
• ${\ Displaystyle [\ częściowy ^ {*}, L] = -i {\ bar {\ częściowy}}}$ .
• ${\ Displaystyle [\ Lambda, {\ bar {\ częściowy}}] = -i \ częściowy ^ {*}}$ .
• ${\ Displaystyle [\ Lambda, \ częściowe] = ja {\ bar {\ częściowe}} ^ {*}}$ .
• ${\ Displaystyle \ Delta _ {d} = 2 \ Delta _ {\ częściowe} = 2 \ Delta _ {\ bar {\ częściowe}}}$ .
• $}$$_ \ częściowe}}, \ częściowe ^ {*}, {\ bar {\ częściowe}} ^ {*}, L,}$ wszystkimi i ${\ Displaystyle \ Lambda}$ . Dojeżdża również z ${\ Displaystyle \ Pi ^ {p, q}},$ a zatem ${\ Displaystyle \ Delta _ {d}}$ zachowuje dwustopniowy (p, q).

Ponadto operatory i spełniają tożsamości: ${c}}$${ \ displaystyle d$

• ${\ Displaystyle [\ Lambda, d] = - 2 {d ^ {c}} ^ {*}}$ .
• ${\ Displaystyle [L, d] = 0}$ .
• ${\ Displaystyle [\ Lambda, d ^ {c}] = 0}$ .
• ${\ Displaystyle [L, d ^ {*}] = 2d ^ {c}}$ .

$Kählera$ można uaktualnić w przypadku, gdy operatory różniczkowe połączeniem ${\ displaystyle E \ do X}$ wiązce wektorów . Jeśli jest metryką hermitowską na $E$$}$ i $_ {E}}$$E}$${\ Displaystyle \ częściowe _ {E}}$ Dolbeaulta definiującym holomorficzną strukturę $}$ a następnie unikalne kompatybilne połączenie Cherna $∂$ -część displaystyle zaspokoić re $} = \ częściowe _ {E} + {\ bar {\ częściowe}} _ {E}}$ . Oznacz postać krzywizny połączenia Chern przez ${\ displaystyle F}$ . Formalne sprzężenia można zdefiniować podobnie jak powyżej, używając $iloczynu wewnętrznego,$ którym metryka hermitowska jest połączona z iloczynem wewnętrznym na formularzach W tym przypadku wszystkie tożsamości Kählera, czasami nazywane tożsamościami Nakano , pozostają bez zmian, z wyjątkiem następujących:

• ${\ Displaystyle [L, \ Delta _ {{\ bar {\ częściowy}} _ {E}}] = -iF \ klin -}$ .
• ${\ Displaystyle [L, \ Delta _ {\ częściowe _ {E}}] = iF \ klin -}$ .
• ${\ Displaystyle \ Delta _ {{\ bar {\ częściowy}} _ {E}} + \ Delta _ {\ częściowy _ {E}} = \ Delta _ {D_ {E}}}$ .
• ${\ Displaystyle \ Delta _ {{\ bar {\ częściowy}} _ {E}} - \ Delta _ {\ częściowy _ {E}} = [iF\klin -,\Lambda]}$ , znany jako tożsamość Bochnera-Kodairy-Nakano .

$szczególności$$mi =$ gdy połączenie Chern związane z $jest$ połączeniem płaskim tak $}=2\Delta _{{\bar {\częściowy}}_{E}}}$${\ Displaystyle \ Delta _ {D_ {E}} = 2 \ Delta _ {\ częściowe _$ { .

Kohomologia pierwotna i reprezentacja sl(2,C)

Oprócz relacji komutacji zawartych w tożsamościach Kählera, niektóre z powyższych operatorów spełniają inne interesujące relacje komutacji. $i$$powyżej$ operatora Lefschetza $liczenia$ operatora kontrakcji operatora . Wtedy można pokazać następujące relacje komutacyjne:

• ${\ Displaystyle [\ Pi, L] = 2L}$ .
• ${\ Displaystyle [\ Pi, \ Lambda] = - 2 \ Lambda}$ .
• ${\ Displaystyle [L, \ Lambda] = \ Pi}$ .

${\$ z ${$ Liego widać, że tworzą potrójną sl2 , a zatem algebra złożonych form różniczkowych na rozmaitości Kählera staje się reprezentacją ${\ Displaystyle \ Omega (X)}$$(2, \ mathbb {C})}$ . ${\ styl wyświetlania \Omega (X)}$${\ Displaystyle$ że operatorzy wszyscy dojeżdżają do pracy z $Delta _ {d}}$ zachowują formy harmoniczne wewnątrz . W szczególności, gdy rozmaitość Kählera jest zwarta, stosując rozkład Hodge'a potrójną liczbę operatorów ${\ Displaystyle \ {\ Pi, L, \ Lambda \}}$ schodzić, dając potrójną sl2 w kohomologii de Rham X.

W języku teorii reprezentacji ${\ Displaystyle {\ mathfrak {sl}} (2, \ mathbb {C})$${ \displaystyle \Lambda }$ operator jest operatorem $podnoszącym$ i jest operatorem obniżającym . Kiedy $zwarty$ , konsekwencją teorii Hodge'a jest to, że grupy kohomologii ${\ Displaystyle H ^ {i} (X, \ mathbb {C})}$ są skończone. Dlatego kohomologia

$${\ Displaystyle H (X) = \ bigoplus _ {k = 0} ^ {2n} H^{i}(X,\mathbb {C} )=\bigoplus _{p,q\geq 0}H^{p,q}(X)}$$

dopuszcza bezpośredni rozkład sumy na nieredukowalne skończenie wymiarowe reprezentacje ${\ Displaystyle {\ mathfrak {sl}} (2, \ mathbb {C})}$ . $\ Lambda \ alpha = 0}$ taka nieredukowalna reprezentacja ma element pierwotny , który jest elementem takim, że $Displaystyle$ . Prymitywna kohomologia $dana$ przez _

$${\ Displaystyle P ^ {k} (X, \ mathbb {C}) = \ {\ alfa \ w H ^ {k} (X, \ mathbb {C}) \ mid \ Lambda \ alfa = 0 \}, \ quad P^{p,q}(X)=P^{k}(X,\mathbb {C} )\cap H^{p,q}(X).}$$

Pierwotna kohomologia dopuszcza również bezpośredni podział sumy

$${\ Displaystyle P ^ {k} (X, \ mathbb {C}) = \ bigoplus _ {p + q = k} P ^ {p, q} (X).}$$

Twardy rozkład Lefschetza

Teoria reprezentacji $.$ całkowicie nieredukowalną Jeśli $pierwotnym$ , to ${ \displaystyle 2n}$ , łańcuch ${\ Displaystyle \ alfa, L (\ alfa), L ^ {2} (\ alfa), \ kropki}$ ostatecznie kończy się po skończenie wielu potęgach ${\ Displaystyle L}$ . To definiuje skończoną wymiarową przestrzeń wektorową

$${\ Displaystyle V (\ alfa) = \ operatorname {rozpiętość} \ langle \ alfa, L (\ alfa), L ^ {2}(\alpha ),\kropki \rangle }$$

s $)}$ -działanie wywołane potrójnym ${\ Displaystyle \ {\ Pi ,L,\Lambda \}}$ . Jest to nieredukowalna reprezentacja odpowiadająca ${\ displaystyle \ alpha}$ . Stosując to jednocześnie do każdej pierwotnej grupy kohomologii, rozszczepienie kohomologii ${\ Displaystyle H (X)}$ na jego nieredukowalne reprezentacje staje się znany jako twardy rozkład Lefschetza zwartej rozmaitości Kählera.

Twardy $_$ - Niech _ Wtedy kohomologia de Rhama $bezpośredniej$ ortogonalny rozkład sumy

$${\ Displaystyle H ^ {k} (X, \ mathbb {C}) = \ bigoplus _ {i \ geq 0} L ^ {i} (P ^ {k-2i} (X, \ mathbb {C})) .}$$

Ten rozkład jest zgodny z rozkładem Hodge'a na grupy kohomologii Dolbeaulta:

$${\ Displaystyle H ^ {p, q} (X) = \ bigoplus _ {i \ geq 0} L ^ {i} (P ^ {pi, qi} (X)).}$$

Ponadto

• Jeśli ${\ Displaystyle k> n}$ , to ${\ Displaystyle P ^ {k} (X, \ mathbb {C}) = 0}$ .
• L ${\ Displaystyle L ^ {nk}: P ^ {k} (X, \ mathbb {C}) \$ jest iniekcyjne dla ${\ Displaystyle k \ równoważnik n}$ i ogranicza do wstrzyknięcia ${\ Displaystyle L ^ {nk}: P ^ {p, q} (X) \ do H ^ {p + nk, q + nk } (X, \ mathbb {C})}$ dla każdego (p, q) takiego, że ${\ displaystyle p + q = k}$ .
• L $H ^ {k} (X, \ mathbb {C}) \ do H ^ {2n-k} (X, \ mathbb {C})}$ jest bijekcją dla ${\ Displaystyle k \ leq n}$ i ogranicza się do nadania bijekcji ${\ Displaystyle L ^ {nk}: H ^ {p, q} (X, \ mathbb {C}) \ do H ^ {p + nk, q + nk} (X, \ mathbb {C})}$ dla każdego (p, q) takiego, że ${\ displaystyle p + q = k}$ .
• ${\ Displaystyle k \ równoważnik n}$ , to P $\ Displaystyle P ^ {k} (X,\mathbb {C} )=\{\alpha \in H^{k}(X,\mathbb {C} )\mid L^{n-k+1}\alpha =0\}}$ i ponadto ${\ Displaystyle P ^ {p, q} (X) = \ {\ alfa \ w H ^ {p, q }(X)\mid L^{np-q+1}\alpha =0\}}$ .

Dzięki tożsamościom Kählera sparowanym z holomorficzną wiązką wektorów, w przypadku, gdy wiązka holomorficzna jest płaska, rozkład Hodge'a rozciąga się na skręcone grupy kohomologii de Rham ${\ Displaystyle H_ {dR} ^ {k } (X, E)}$ i grupy kohomologii Dolbeaulta ${\ Displaystyle H ^ {p, q} (X, E)}$ . Trójka ${\ Displaystyle \ {\ Pi, L, \ Lambda \}}$ nadal działa jako trójka sl2 w kohomologii z wartościami pakietów, a wersja rozkładu Hard Lefschetza obowiązuje w tym przypadku.

Nierówności Nakano

Nierówności Nakano to para nierówności związanych z iloczynami wewnętrznymi form różniczkowych harmonicznych z krzywizną połączenia Cherna na holomorficznej wiązce wektorów na zwartej rozmaitości Kählera. W szczególności niech będzie hermitowską wiązką wektorów holomorficznych nad zwartą rozmaitością Kählera $($$X, \ omega)$ niech ${\ displaystyle F (h)}$ oznaczają krzywiznę powiązanego połączenia Chern. Nierówności Nakano stwierdzają, $to$$_{\bar {\częściowy}}\alpha =0}$ znaczy $Displaystyle$ , zatem

• ${\ Displaystyle i \ langle \ langle F (h) \ klin \ Lambda (\ alfa), \ alfa \ rangle \ rangle _ {L ^ {2}}\równik 0}$ i
• ${\ Displaystyle i \ langle \ langle \ Lambda (F (h) \ klin \ alfa), \ alfa \ rangle \ rangle _ {L ^ {2}}\geq 0}$ .

Nierówności te można udowodnić, stosując tożsamości Kählera sprzężone z wiązką wektorów holomorficznych, jak opisano powyżej. W przypadku, gdy $jest sama$ wiązką $linii$ , Cherna sobie metryką Kählera na $}$ . Zastosowanie nierówności Nakano w tym przypadku dowodzi twierdzenia Kodairy – Nakano o znikaniu dla zwartych rozmaitości Kählera.