Duży pakiet linii

W matematyce charakterystyczną cechą geometrii algebraicznej jest to, że niektóre wiązki linii na rozmaitości rzutowej można uznać za „dodatnie”, podczas gdy inne są „ujemne” (lub połączenie tych dwóch). Najważniejszym pojęciem pozytywności jest pojęcie dużej wiązki linii, chociaż istnieje kilka powiązanych klas wiązek linii. Z grubsza mówiąc, dodatnie właściwości wiązki liniowej są związane z posiadaniem wielu globalnych sekcji . Zrozumienie dużej liczby wiązek linii na danej odmianie X jest równoznaczne ze zrozumieniem różnych sposobów odwzorowywania X w przestrzeni rzutowej . Ze względu na zgodność między wiązkami linii a dzielnikami (zbudowanymi z podrozmaitości o kowymiarze -1), istnieje równoważne pojęcie dzielnika obfitego .

Bardziej szczegółowo, wiązka linii nazywana jest pozbawioną punktu bazowego, jeśli ma wystarczającą liczbę sekcji, aby nadać morfizm przestrzeni rzutowej. Wiązka liniowa jest częściowo wystarczająca, jeśli jakaś jej dodatnia moc jest wolna od punktu bazowego; półobfitość jest rodzajem „nieujemności”. Co więcej, wiązka linii na X jest bardzo obszerna , jeśli ma wystarczającą liczbę sekcji, aby zapewnić zamknięte zanurzenie (lub „osadzenie”) X w przestrzeni rzutowej. Wiązka linii jest wystarczająca , jeśli pewna dodatnia moc jest bardzo duża.

Obszerna wiązka linii na rozmaitości rzutowej X ma dodatni stopień na każdej krzywej w X . Odwrotność nie jest do końca prawdziwa, ale istnieją poprawione wersje odwrotności, kryteria obfitości Nakai-Moishezona i Kleimana.

Wstęp

Wycofanie wiązki linii i dzielników hiperpłaszczyzn

$displaystyle f^{*}E}$$E$ morfizm , wiązka wektorów na Y (lub bardziej ogólnie spójny Y ) ma wycofanie do X , fa ∗ \ (patrz Snop modułów#Operacje ). Wycofanie wiązki wektorowej jest wiązką wektorową tego samego rzędu. W szczególności wycofanie wiązki przewodów jest wiązką przewodów. ( Krótko mówiąc , włókno $x$ w punkcie w X jest włóknem w ( x ) . )

Pojęcia opisane w tym artykule są związane z tą konstrukcją w przypadku morfizmu do przestrzeni rzutowej

${\ Displaystyle f \ dwukropek X \ do \ mathbb {P} ^ {n},}$

gdzie E = O (1) wiązka linii w przestrzeni rzutowej , której globalne przekroje są jednorodnymi wielomianami stopnia 1 (czyli funkcjami liniowymi) w zmiennych ${\ displaystyle x_ {0}, \ ldots, x_ {n.}}$ . Wiązkę linii O (1) można również opisać jako wiązkę linii powiązaną z hiperpłaszczyzną w (ponieważ zbiór zerowy sekcji O (1) to ${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$ hiperpłaszczyzna). Jeśli f jest na przykład zamkniętym zanurzeniem, wynika z $X$ że wycofanie jest wiązką linii na przecięcie X z hiperpłaszczyzną w ${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}})$ .

Wiązki linii bez punktu bazowego

Niech X będzie schematem nad ciałem k (na przykład rozmaitością algebraiczną) z wiązką liniową L . (Wiązkę liniową można również nazwać snopem odwracalnym .) Niech $a_ {n}}$ , być elementami k - przestrzeni wektorowej $H ^ {0} (X, L)}$ globalnego sekcje Ł . _ Zbiór zerowy każdej sekcji jest zamkniętym podzbiorem X ; niech U $.$ w których co najmniej jeden z punktów zera Następnie te sekcje definiują morfizm

${\ Displaystyle f \ dwukropek U \ do \ mathbb {P} _ {k} ^ {n}, \ x \ mapsto [a_ {0} (x), \ ldots, a_ {n} (x)].}$

Bardziej szczegółowo: dla każdego punktu x z U włókno L nad x jest jednowymiarową przestrzenią wektorową nad polem reszt k ( x ). Wybór podstawy dla tego włókna sprawia, że ​​za $\ Displaystyle a_ {0} (x), \ ldots, a_ {n} (x)}$ w sekwencję n + 1 liczb, nie wszystkie zero, a zatem punkt w przestrzeni rzutowej. Zmiana wyboru podstawy skaluje wszystkie liczby o tę samą niezerową stałą, więc punkt w przestrzeni rzutowej jest niezależny od wyboru.

Co więcej, ten morfizm ma tę właściwość, że ograniczenie L do U jest izomorficzne z wycofaniem ${\ Displaystyle f ^ {*} O (1)}$ .

Locus bazowy wiązki linii L na schemacie X jest przecięciem zbiorów zerowych wszystkich globalnych sekcji L . Wiązka linii L nazywana jest pozbawioną punktu bazowego, jeśli jej miejsce bazowe jest puste. Oznacza to, że dla każdego punktu x z X istnieje globalna sekcja L , która jest różna od zera w punkcie x . Jeśli X jest właściwy na polu k , $wektorowa$ przestrzeń globalnych wymiar nazywa się ${\ Displaystyle h ^ {0} (X, L)}$ . Tak więc wiązka linii bez punktu bazowego L ${\ Displaystyle f \ okrężnica X \ do \ mathbb {P} ^ {n}}$ morfizm nad k , gdzie ${\ Displaystyle n = h ^ {0} (X, L) -1}$ , podane przez wybór podstawy dla ${\ Displaystyle H ^ {0} (X, L)}$ . Bez dokonywania wyboru można to opisać jako morfizm

${\ Displaystyle f \ dwukropek X \ do \ mathbb {P} (H ^ {0} (X, L))}$

od X do przestrzeni hiperpłaszczyzn w $powiązanej$ z bez punktu bazowego Ten morfizm ma tę właściwość, że L jest wycofaniem ${\ Displaystyle f ^ {*} O (1)}$ .

I odwrotnie, dla dowolnego morfizmu ${\ Displaystyle f ^ {*} O (1)}$ ze X do przestrzeni rzutowej $nad$ k , wiązka linii wycofania jest wolny od punktu bazowego. Rzeczywiście, O (1 $^ {n}$ jest wolne od punktu bazowego na , ponieważ dla każdego punktu y w istnieje $}$ hiperpłaszczyzna niezawierająca y . Dlatego dla każdego punktu x w X istnieje odcinek s O (1) nad , który nie jest równy zeru $)$ punkcie f ( x wycofanie s $który$ przekrojem, jest w x Krótko mówiąc, wiązki linii bez punktu bazowego to dokładnie te, które można wyrazić jako wycofanie O (1) przez pewien morfizm do przestrzeni rzutowej.

Nef, generowany globalnie, półpełny

Stopień wiązki linii L na krzywej właściwej C nad k jest zdefiniowany jako stopień dzielnika ( dzielników ) dowolnego niezerowego odcinka wymiernego s z L . Współczynniki tego dzielnika są dodatnie w punktach, w których s znika, i ujemne, gdy s ma biegun. Dlatego każda wiązka linii L na krzywej C taka, że $​​ma$ odcinki nad C , przeciwieństwie przekroje wymierne, nie mają biegunów). W szczególności każda wiązka linii bez punktu bazowego na krzywej ma stopień nieujemny. W rezultacie wiązka linii bez punktu bazowego L na dowolnym odpowiednim schemacie X na polu jest nef , co oznacza, że ​​L ma nieujemny stopień na każdej (nieredukowalnej) krzywej w X .

Mówiąc bardziej ogólnie, mówi się, że snop F z $-modułów$ na schemacie jest generowany globalnie jeśli istnieje zbiór I globalnych sekcji ${\$ ∈ takie, że odpowiedni morfizm

${\ Displaystyle \ bigoplus _ {i \ w ja} O_ {X} \ do F}$

snopów jest suriekcją. Wiązka linii jest generowana globalnie wtedy i tylko wtedy, gdy jest wolna od punktu bazowego.

Na przykład każdy quasi-spójny snop w schemacie afinicznym jest generowany globalnie. Analogicznie w geometrii zespolonej twierdzenie Cartana A mówi, że każdy spójny snop na rozmaitości Steina jest generowany globalnie.

Wiązka linii L na odpowiednim $wolna$ nad polem jest półwystarczająca, jeśli istnieje dodatnia liczba całkowita taka , że ​​moc tensora jest punktu bazowego. Półwystarczająca wiązka linii to nef (zgodnie z odpowiednim faktem dla wiązek linii bez punktu bazowego).

Bardzo obszerne pakiety linii

, że wiązka linii L na odpowiednim schemacie X na polu k jest bardzo obszerna , jeśli jest pozbawiona punktu bazowego i związany z nią morfizm

${\ Displaystyle f \ dwukropek X \ do \ mathbb {P} _ {k} ^ {n}}$

jest zanurzeniem zamkniętym. Tutaj ${\ Displaystyle n = h ^ {0} (X, L) -1}$ . Równoważnie, L jest bardzo obszerne, jeśli X można osadzić w przestrzeni rzutowej o pewnym wymiarze nad k w taki sposób, że L jest ograniczeniem wiązki linii O (1) do X . Ta ostatnia definicja jest używana do określenia bardzo obszerności wiązki linii na odpowiednim schemacie na dowolnym pierścieniu przemiennym .

Nazwę „bardzo obfite” wprowadził Alexander Grothendieck w 1961 roku. Wcześniej używano różnych nazw w kontekście liniowych układów dzielników .

Dla bardzo obszernej wiązki linii L na odpowiednim schemacie X na polu z powiązanym morfizmem f , stopień L na krzywej C w X jest stopniem fa ( do ) jako krzywej w ${ P} ^{n}}$ mathbb . Więc L ma stopień dodatni na każdej krzywej w X (ponieważ każda podrozmaitość przestrzeni rzutowej ma stopień dodatni).

Definicje

$.$ wiązka linii L na odpowiednim schemacie X na przemiennym pierścieniu R jest wystarczająca , jeśli istnieje dodatnia liczba całkowita taka , że ​​moc tensorowa bardzo duża W szczególności właściwy schemat na R ma wystarczającą wiązkę linii wtedy i tylko wtedy, gdy jest rzutowy na R . Obszerna wiązka linii na odpowiednim schemacie X nad polem ma dodatni stopień na każdej krzywej w X , zgodnie z odpowiednim stwierdzeniem dla bardzo obszernych wiązek linii.

dzielnik Cartiera D na odpowiednim schemacie X nad polem k jest wystarczający, jeśli odpowiadająca mu wiązka linii O ( D ) jest wystarczająca. (Na przykład, jeśli X jest gładki na k , to dzielnik Cartiera można zidentyfikować za pomocą skończonej liniowej kombinacji podrozmaitości X o zamkniętym kowymiarze-1 ze współczynnikami całkowitymi).

Na dowolnym schemacie X Grothendieck zdefiniował wiązkę linii L jako obszerną, jeśli X jest quasi-zwarty i dla każdego punktu x w X istnieje dodatnia liczba całkowita r i przekrój ${\ Displaystyle s \ w H ^ {0} (X, L ^ {\ otimes r})}$ takie, że s jest niezerowe w punkcie x i otwartym podschemacie ${\ Displaystyle \ {s \ neq 0 \} \ podzbiór X}$ jest afiniczny. Na przykład $X$ wiązka linii jest wystarczająca wtedy i tylko wtedy, gdy quasi - afiniczny . W dalszej części tego artykułu skupimy się na obfitości odpowiednich schematów na polu.

Osłabienie pojęcia „bardzo dużo” na „duże” daje elastyczną koncepcję z szeroką gamą różnych charakterystyk. Pierwszą kwestią jest to, że napinanie dużych mocy obszernej wiązki linii z dowolnym spójnym snopem daje snop z wieloma globalnymi przekrojami. Dokładniej, wiązka linii L na odpowiednim schemacie X nad ciałem (lub ogólniej nad pierścieniem noetherowskim ) jest wystarczająca wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego spójnego snopka F na X istnieje liczba całkowita s taka, że ​​snopek ${\ Displaystyle F \ otimes L ^ {\ otimes r}}$ jest generowany globalnie dla wszystkich ${\ displaystyle r \ geq s}$ . Tutaj s może zależeć od F .

Inna charakterystyka obfitości, znana jako twierdzenie Cartana – Serre – Grothendiecka , dotyczy kohomologii spójnego snopka . Mianowicie, wiązka linii L na odpowiednim schemacie X nad ciałem (lub bardziej ogólnie nad pierścieniem noetherowskim) jest wystarczająca wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego spójnego snopka F na X istnieje liczba całkowita s taka, że

${\ Displaystyle H ^ {i} (X, F \ czasami L ^ {\ czasami r}) = 0}$

dla wszystkich $s$ r $r \ geq s}$ Displaystyle W szczególności wysokie potęgi dużej wiązki linii zabijają kohomologię w dodatnich stopniach. Ta implikacja nazywana jest twierdzeniem Serre'a o znikaniu , udowodnionym przez Jean-Pierre'a Serre'a w jego artykule z 1955 roku Faisceaux algébriques cohérents .

Przykłady/Nie-przykłady

• Trywialna wiązka linii $X$ rozmaitości rzutowej , ale niewystarczająca. $\ displaystyle L=f^{*}O(1)}$ bardziej ogólnie, dla dowolnego morfizmu f od rozmaitości rzutowej X do pewnej przestrzeni rzutowej $nad$ polem, wiązka linii wycofania jest zawsze wolne od punktu bazowego, podczas gdy L jest wystarczające wtedy i tylko wtedy, gdy morfizm f jest skończony (tzn. wszystkie włókna f mają wymiar 0 lub są puste).
• Dla liczby całkowitej d , przestrzeń odcinków wiązki linii O ( re ) nad jest złożoną przestrzenią wektorową jednorodnych wielomianów ${\ Displaystyle \ mathbb {P} _ {\ mathbb {C}} ^ {1}}$ stopnia d w zmiennych x , y . W szczególności ta przestrzeń wynosi zero dla d <0. Dla morfizm do przestrzeni rzutowej określony przez O ( d ) to ${\ displaystyle d \ geq 0}$

${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {1} \ do \ mathbb {P} ^ {d}}$

przez

${\ Displaystyle [x, y] \ mapsto [x ^ {d}, x ^ {d-1} y, \ ldots, y ^ {d}].} To jest zamknięte zanurzenie dla re ≥$

1 $d \ geq 1}$ , z obrazem wymierną krzywą normalną stopnia d w ${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {d}}$ . Dlatego O ( re ) jest wolne od punktu bazowego wtedy i tylko wtedy , gdy i $jest$ bardzo obfite wtedy i tylko wtedy, gdy $d \ geq 1$ . Wynika z tego, że O ( re ) jest wystarczające wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle d \ geq 1}$ .

• Na przykład, w którym „obfite” i „bardzo obfite” są różne, niech X będzie gładką krzywą rzutową rodzaju 1 ( krzywa eliptyczna ) na C i niech p będzie punktem zespolonym X . Niech O ( p ) będzie powiązaną wiązką linii stopnia 1 na X . Wtedy zespolona przestrzeń wektorowa globalnych przekrojów O ( p ) ma wymiar 1, rozpięty przez przekrój, który znika w p . Więc miejsce bazowe O ( p ) jest równe p . Z drugiej strony O ( 2 p ) jest wolne od punktu bazowego, a O ( dp ) jest bardzo wystarczające dla (dając osadzenie $)$ jako krzywej eliptycznej stopnia ${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {d-1}})$ . Dlatego O ( p ) jest obfite, ale niezbyt obfite. Również O (2 p ) jest obfite i wolne od punktu bazowego, ale niezbyt obfite; morfizm związany z przestrzenią rzutową to rozgałęziona podwójna osłona ${\ Displaystyle X \ do \ mathbb {P} ^ {1}}$ .
• Na krzywych wyższego rodzaju istnieje wiele wiązek linii L , dla których każdy globalny przekrój jest równy zeru. (Ale duże wielokrotności L mają z definicji wiele przekrojów). Na przykład niech X będzie gładką płaską krzywą kwartalną (stopnia 4 w ) nad C i P ${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {2}$ niech p i q będą różnymi punktami zespolonymi X . L $\ Displaystyle L = O (2p-q)}$${\ Displaystyle H ^ {0} (X, L) = 0}$ jest obfity, ale ma .

Kryteria obszerności wiązek linii

Teoria przecięcia

Dalsze informacje: teoria przecięć § Teoria przecięć w geometrii algebraicznej

Aby określić, czy dana wiązka linii na rozmaitości rzutowej X jest wystarczająca, często najbardziej przydatne są następujące kryteria liczbowe (pod względem numerów przecięć). Równoważne jest zapytanie, kiedy dzielnik Cartiera D na X jest wystarczający, co oznacza, że ​​powiązana wiązka liniowa O ( D ) jest wystarczająca. Numer przecięcia $można$ zdefiniować jako stopień wiązki linii O ( re ) . Z drugiej strony, dla wiązki liniowej L na rozmaitości rzutowej, pierwsza klasa Cherna oznacza powiązany dzielnik Cartiera (zdefiniowany do równoważności liniowej), dzielnik do $\ Displaystyle c_ {1} (L)}$ dowolnej niezerowej wymiernej sekcji L .

Na gładkiej krzywej rzutowej X na algebraicznie zamkniętym polu k , wiązka linii L jest bardzo obszerna wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle h^{0}(X,L\oraz O(-xy))=h^{0}(X,L)-2}$ dla wszystkich k - punktów wymiernych x , y w X . Niech g będzie rodzajem X . Zgodnie z twierdzeniem Riemanna-Rocha każda wiązka linii stopnia co najmniej 2 g + 1 spełnia ten warunek, a zatem jest bardzo obszerna. W rezultacie wiązka linii na krzywej jest wystarczająca wtedy i tylko wtedy, gdy ma stopień dodatni.

Na przykład wiązka kanoniczna $}$ ma stopień 2 g - 2, a więc jest wystarczająca wtedy i tylko wtedy, gdy $displaystyle g \ geq 2$ \ . Krzywe z dużą wiązką kanoniczną tworzą ważną klasę; na przykład w liczbach zespolonych są to krzywe z metryką ujemnej krzywizny . Wiązka kanoniczna jest bardzo obszerna wtedy i tylko wtedy $krzywa$ nie hipereliptyczna .

Kryterium Nakai-Moishezona (nazwane na cześć Yoshikazu Nakai (1963) i Borisa Moishezona (1964)) stwierdza, że ​​wiązka linii L na odpowiednim schemacie X nad polem jest wystarczająca wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle \ int _ {Y} c_ {1} (L) ^ {{\ text {dim}} (Y)}> 0}$ dla każdej ( nieredukowalnej ) zamkniętej podrozmaitości Y z X ( Y nie może być punktem). Jeśli chodzi o dzielniki, dzielnik Cartiera D jest wystarczający wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle D ^ {{\ tekst {dim}} (Y)} \ cdot Y> 0}$ dla każdego (niezerowego) -wymiarowa) podrozmaitość Y z X . Dla krzywej X oznacza to, że dzielnik jest duży wtedy i tylko wtedy, gdy ma stopień dodatni. Dla powierzchni X kryterium mówi, że dzielnik D jest wystarczający wtedy i tylko wtedy, gdy jego $^ {2}}$ samoprzecięcia jest dodatnia, a każda krzywa C na X ma $displaystyle$ .

Kryterium Kleimana

Aby określić kryterium Kleimana (1966), niech X będzie schematem rzutowym na polu. Niech będzie rzeczywistą przestrzenią wektorową 1-cykli (rzeczywistych liniowych kombinacji krzywych w $X ) modulo$ równoważności numerycznej, co oznacza, ​​dwa 1-cykle B są równe N 1 ( X ( X } w ${\ Displaystyle N_ {1} (X)}$ wtedy i tylko wtedy, gdy każda wiązka linii ma ten sam stopień na A i na B . Zgodnie z twierdzeniem Nerona – Severiego rzeczywista przestrzeń wektorowa ma wymiar skończony. ${\ Displaystyle N_ {1} (X)}$ Kryterium Kleimana stwierdza, że ​​​​wiązka linii L na X jest wystarczająca wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle N_ {1} (X)}$ ma dodatni stopień na każdym niezerowym elemencie C zamknięcia stożka krzywych NE ( X ) w X . (Jest to nieco silniejsze niż stwierdzenie, że L ma dodatni stopień na każdej krzywej). Równoważnie, wiązka linii jest wystarczająca wtedy i tylko wtedy, gdy jej klasa w podwójnej przestrzeni wektorowej ${\ Displaystyle N ^ {1} (X )}$ znajduje się we wnętrzu stożka nef .

Kryterium Kleimana generalnie zawodzi dla właściwych (a nie rzutowych) schematów X na polu, chociaż obowiązuje, jeśli X jest gładki lub, bardziej ogólnie, Q -silnia.

Wiązka linii na rozmaitości rzutowej nazywa się ściśle nef , jeśli ma dodatni stopień na każdej krzywej Nagata (1959) . a David Mumford skonstruował wiązki linii na gładkich powierzchniach rzutowych, które są ściśle nef, ale niewystarczające. To pokazuje $,$ że warunku nie można w kryterium Nakai-Moishezona i X ) zamiast NE( X ) w kryterium Kleimana. Każda wiązka linii $c_{1}(L)^{2}=0}$ na powierzchni ma $L$ Mumforda mają $\$ .

CS Seshadri wykazał, że wiązka linii L na odpowiednim schemacie na algebraicznie zamkniętym ciele jest wystarczająca wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje dodatnia liczba rzeczywista ε taka, że ​​deg( L | _C ) ≥ ε m ( C ) dla wszystkich (nieredukowalnych) krzywych C w X , gdzie m ( C ) jest maksimum krotności w punktach C .

Kilka charakterystyk obfitości dotyczy bardziej ogólnie wiązek linii we właściwej przestrzeni algebraicznej nad polem k . W szczególności kryterium Nakai-Moishezon jest ważne w tej ogólności. Kryterium Cartana-Serre-Grothendiecka obowiązuje jeszcze bardziej ogólnie dla właściwej przestrzeni algebraicznej nad pierścieniem Noetherowskim R . (Jeśli właściwa przestrzeń algebraiczna nad R ma obszerną wiązkę linii, to w rzeczywistości jest to schemat rzutowy na R .) Kryterium Kleimana zawodzi dla odpowiednich przestrzeni algebraicznych X nad ciałem, nawet jeśli X jest gładkie.

Otwartość obfitości

Na schemacie rzutowym X na polu kryterium Kleimana implikuje, że obfitość jest warunkiem otwartym na klasie dzielnika R ( R -liniowej kombinacji dzielników Cartiera) w ${\ Displaystyle N ^ {1} (X)}$ , z topologią opartą na topologii liczb rzeczywistych. ( R - dzielnik definiuje się jako wystarczający, jeśli można go zapisać jako dodatnią kombinację liniową wystarczających dzielników Cartiera.) Elementarnym przypadkiem szczególnym jest: dla dużego dzielnika H i dowolnego dzielnika E , istnieje dodatnia liczba rzeczywista b taka że jest $mniejszej$ dla wszystkich liczb rzeczywistych a o b . Jeśli chodzi o dzielniki ze współczynnikami całkowitymi (lub wiązkami liniowymi), oznacza to, że nH + E jest wystarczające dla wszystkich wystarczająco dużych dodatnich liczb całkowitych n .

Obfitość jest również stanem otwartym w zupełnie innym sensie, gdy rozmaitość lub wiązka linii jest zróżnicowana w rodzinie algebraicznej. $schematów$ , niech i niech będzie linii X . $L jest wystarczający na włóknie$ zbiór punktów y w Y takich, że jest otwarty ( w topologii Zariskiego ) Silniej, jeśli L jest wystarczające na jednym włóknie $y$ to istnieje afiniczne otwarte sąsiedztwo U od takie, że L jest wystarczające na $- 1}(U)}$ { nad U .

Inne charakterystyki obfitości Kleimana

Kleiman udowodnił również następujące charakterystyki obfitości, które można postrzegać jako etapy pośrednie między definicją obfitości a kryteriami liczbowymi. Mianowicie, dla wiązki linii L na odpowiednim schemacie X nad polem, następujące są równoważne:

• L jest wystarczająca.
• r Dla każdej (nieredukowalnej) podrozmaitości $i$ wymiarze istnieje dodatnia liczba całkowita ${\ Displaystyle s \ w H ^ {$ sekcja which is not identically zero but vanishes at some point of Y.
• Dla każdej (nieredukowalnej) podrozmaitości o wymiarze dodatnim holomorficzna charakterystyka Eulera potęg L na Y dąży do nieskończoności: ${\ Displaystyle Y \ podzbiór X}$

${\ Displaystyle \ chi (Y, {\ mathcal {L}} ^ {\ czasami r}) \ do \ infty}$ as ${\ Displaystyle r \ do \ infty}$ .

Uogólnienia

Obszerne pakiety wektorowe

Robin Hartshorne zdefiniował wiązkę wektorów F na schemacie rzutowym X na polu, aby była $Displaystyle {\ mathcal {$ jeśli wiązka linii w przestrzeni $} (1)}$ hiperpłaszczyzn w F jest wystarczająca.

Kilka właściwości obszernych wiązek liniowych rozciąga się na obszerne wiązki wektorowe. Na przykład wiązka wektorów F $,$ gdy wysokie potęgi symetryczne $.$ zabijają kohomologię spójnych snopów dla Również $wiązki$ Cherna $\ displaystyle 1 \ równoważnik r \ równoważnik {\ tekst {ranga}} (F)}$ ma dodatni stopień na każdej r -wymiarowej podrozmaitości X dla .

Duże wiązki linii

Główny artykuł: wymiar Iitaka

Użytecznym osłabieniem obfitości, zwłaszcza w geometrii biracjonalnej , jest pojęcie dużej wiązki liniowej . Mówi się, że wiązka linii L na rozmaitości rzutowej X wymiaru n nad polem jest duża, jeśli istnieje dodatnia liczba rzeczywista a $całkowita$ dodatnia liczba taka, że ${\ Displaystyle h ^ {0} (X, L ^ {\ otimes j}) \ geq aj ^ {n}}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle j \ geq j_ {0}}$ . Jest to maksymalna możliwa stopa wzrostu dla przestrzeni odcinków potęg L , w tym sensie, że dla każdej wiązki linii L na X istnieje liczba dodatnia b z ${\ Displaystyle h^{0}(X,L^{\otimes j})\leq bj^{n}}$ dla wszystkich j > 0.

Istnieje kilka innych charakterystyk wiązek dużych linii. Po pierwsze, wiązka liniowa jest duża wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje dodatnia liczba całkowita r taka, że ​​wymierne odwzorowanie od X do $)}$${\ Displaystyle \ mathbb {P} (H ^ {0} (X,$$otimes r}$ podane przez sekcje jest birational na swoim obrazie. Ponadto wiązka linii L jest duża wtedy i tylko wtedy, gdy ma dodatnią moc tensorową, która jest iloczynem tensorowym dużej wiązki linii A i efektywnej wiązki linii B (co oznacza, że ${\ Displaystyle H ^ {0}(X,B)\neq 0}$ ). $jest$ duża wtedy i tylko wtedy, gdy jej klasa w we wnętrzu stożka efektywnych

Wielkość można postrzegać jako biracjonalnie niezmienny analog obfitości. Na przykład, jeśli $gładkimi$ wymierną mapą między rzutowymi tego samego wymiaru, to wycofanie wiązki dużych linii na duże X . (Na pierwszy rzut oka wycofanie jest tylko wiązką liniową w otwartym podzbiorze X , gdzie f jest morfizmem, ale rozciąga się to jednoznacznie na wiązkę liniową na całym X .) W przypadku dużej liczby wiązek liniowych można tylko powiedzieć, że wycofanie obszernej wiązki linii przez skończony morfizm jest wystarczająca.

$Przykład$ : Niech X będzie powiększeniem płaszczyzny rzutowej nad liczbami zespolonymi. Niech H będzie cofnięciem do $pi \colon X\to \mathbb {P} ^{2}}$ linii na i niech E będzie wyjątkową krzywą powiększenia $P$ . Wtedy dzielnik H + E jest duży, ale niewystarczający (lub nawet nef) na X , ponieważ

${\ Displaystyle (H + E) \ cdot E = E ^ {2} = -1 <0.}$

Ta ujemność implikuje również, że miejsce bazowe H + E (lub dowolnej dodatniej wielokrotności) zawiera krzywą E . W rzeczywistości to miejsce bazowe jest równe E .

Względna obfitość

${\ displaystyle f: X \ to S$ -zwarty morfizm schematów , mówi się, że odwracalny snop L na X jest wystarczający w stosunku do f lub f -ample , jeśli spełnione są następujące równoważne warunki: fa :

1. Dla $_$$podzbioru$ ograniczenie wystarczające ) _ _ _
2. f jest quasi-oddzielone i istnieje otwarte zanurzenie ${\ Displaystyle X \ hookrightarrow \ operatorname {Proj} _ {S} ({\ Displaystyle X \ hookrightarrow \ operatorname {Proj} _ {S} ({\ mathcal {R}}),\,{\mathcal {R}}:=f_{*}\left(\bigoplus _{0}^{\infty }L^{\otimes n}\right)} wywołane$ przez mapa pomocnicza :

   ${\ Displaystyle f ^ {*} {\ mathcal {R}} \ do \ bigoplus _ {0} ^ {\ infty} L ^ {\ otimes n}}$ .

3. Warunek 2. bez „otwarty”.

Warunek 2 mówi (z grubsza), że $)$ można otwarcie skompresować do z ( nie do właściwego

Zobacz też

Ogólna geometria algebraiczna

• Geometria algebraiczna przestrzeni rzutowych
• Odmiana Fano : odmiana, której wiązka kanoniczna jest anty-obfita
• Wielkie twierdzenie Matsusaki
• Schemat podziału : schemat dopuszczający obszerną rodzinę wiązek linii

Obszerność w złożonej geometrii

• Wiązka wektorów holomorficznych
• Twierdzenie Kodairy o osadzeniu : na zwartej złożonej rozmaitości obfitość i pozytywność pokrywają się.
• Twierdzenie o znikaniu Kodairy
• Twierdzenie Lefschetza o hiperpłaszczyźnie : duży dzielnik w złożonej rozmaitości rzutowej X jest topologicznie podobny do X .

Źródła

•   Fujino, Osamu (2005), „Na stożku Kleimana-Mori”, Proceedings of the Japan Academy , Series A, Mathematical Sciences , 81 (5): 80–84, arXiv : math / 0501055 , Bibcode : 2005math .... ..1055F , doi : 10.3792/pjaa.81.80 , MR 2143547
•   Grothendieck, Aleksandr ; Dieudonné, Jean (1961). „Éléments de géométrie algébrique: II. Étude globale élémentaire de quelquesclass de morphismes” . Publikacje Mathématiques de l'IHÉS . 8 . doi : 10.1007/bf02699291 . MR 0217084 .
•    Hartshorne, Robin (1970), Ample Subvarieties of Algebraic Varieties , Lecture Notes in Mathematics, tom. 156, Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag , doi : 10.1007/BFb0067839 , ISBN 978-3-540-05184-8 , MR 0282977
•    Hartshorne, Robin (1977), Geometria algebraiczna , Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9 , MR 0463157
•     Kleiman, Steven L. (1966), „Ku numerycznej teorii obfitości”, Annals of Mathematics , druga seria, 84 (3): 293–344, doi : 10.2307/1970447 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970447 , MR 0206009
•   Kollár, János (1990), „Rzutowanie modułów całkowitych”, Journal of Differential Geometry , 32 , doi : 10.4310/jdg/1214445046 , MR 1064874
•    Kollár, János (1996), Racjonalne krzywe rozmaitości algebraicznych , Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-662-03276-3 , ISBN 978-3-642-08219-1 , MR 1440180
•    Lazarsfeld, Robert (2004), Pozytywność w geometrii algebraicznej (2 tomy) , Berlin: Springer-Verlag, doi : 10.1007/978-3-642-18808-4 , ISBN 3-540-22533-1 , MR 2095471
•    Nagata, Masayoshi (1959), „O 14. problemie Hilberta”, American Journal of Mathematics , 81 (3): 766–772, doi : 10,2307/2372927 , JSTOR 2372927 , MR 0154867
• „Sekcja 29.37 (01VG): Stosunkowo obfite snopy - projekt The Stacks” .
• Projekt Stacks, Tag 01AM .
• Projekt Stacks, Tag 01PS .
• Projekt stosów, znacznik 01QE .
• Projekt stosów, znacznik 01VU .
• Projekt stosów, znacznik 02NP .
• Projekt stosów, znacznik 02O6
• Projekt stosów, znacznik 0D38 .

Linki zewnętrzne

• Projekt Stosy