Pakiet linii Nef

W geometrii algebraicznej wiązka linii na rozmaitości rzutowej jest nef , jeśli ma nieujemny stopień na każdej krzywej w rozmaitości. Klasy wiązek linii nef są opisane stożkiem wypukłym , a możliwe skurcze odmiany odpowiadają pewnym ścianom stożka nef. Ze względu na zgodność między wiązkami linii a dzielnikami (zbudowanymi z podrozmaitości o kowymiarze -1) istnieje równoważne pojęcie dzielnika nef .

Definicja

Mówiąc bardziej ogólnie, mówi się, że wiązka linii L na odpowiednim schemacie X nad polem k jest nef , jeśli ma nieujemny stopień na każdej (zamkniętej nierozkładalnej ) krzywej w X . ( Stopień wiązki linii L na właściwej krzywej C nad k jest stopniem dzielnika ( s ) dowolnego niezerowego odcinka wymiernego s z L .) Wiązkę linii można również nazwać krążek odwracalny .

Termin „nef” został wprowadzony przez Milesa Reida jako zamiennik dla starszych terminów „skuteczny arytmetycznie” ( Zariski 1962 , definicja 7.6) i „efektywny numerycznie”, a także dla wyrażenia „numerycznie ostatecznie wolny”. Starsze terminy były mylące, biorąc pod uwagę poniższe przykłady.

Każda wiązka linii L na właściwej krzywej C nad k , której przekrój globalny nie jest identycznie zerowy, ma stopień nieujemny. W rezultacie bez punktu bazowego na odpowiednim schemacie X nad k ma nieujemny stopień na każdej krzywej w X ; to znaczy nie. Mówiąc bardziej ogólnie, wiązka linii L nazywana jest półwystarczającą , jeśli pewna dodatnia moc tensorowa ${\ Displaystyle L ^ {\ czasami a}}$ jest wolny od punktu bazowego. Wynika z tego, że półpełna wiązka liniowa to nef. Półpełne wiązki linii można uznać za główne geometryczne źródło wiązek linii nef, chociaż te dwie koncepcje nie są równoważne; patrz przykłady poniżej.

O dzielniku Cartiera D na odpowiednim schemacie X nad ciałem mówi się, że jest nef, jeśli związana z nim wiązka linii O ( D ) jest nef na X. Równoważnie D jest nef , jeśli numer przecięcia jest nieujemny dla każdej $C$ w

Aby wrócić od wiązek liniowych do dzielników, pierwszą klasą Cherna jest izomorfizm z grupy wiązek liniowych Picarda na rozmaitości X do grupy dzielników Cartiera modulo równoważności liniowej . Wyraźnie , pierwsza klasa Cherna $)$ dzielnikiem s dowolnej s L .

Stożek nef

Aby pracować z nierównościami, wygodnie jest wziąć pod uwagę dzielniki R , czyli skończone kombinacje liniowe dzielników Cartiera ze współczynnikami rzeczywistymi . R $-$ dzielniki modulo równoważności liczbowej tworzą rzeczywistą przestrzeń wektorową o skończonym wymiarze, – Severi liczbami rzeczywistymi (Wyraźnie: dwa R Mówimy, że -dzielniki są liczbowo równoważne, jeśli mają ten sam numer przecięcia ze wszystkimi krzywymi w X .) Dzielnik R nazywamy nef, jeśli ma nieujemny stopień na każdej krzywej. Dzielniki nef R tworzą zamknięty stożek wypukły w stożku nef Nef ( X ). ${\ Displaystyle N ^ {1} ($ X ) }

Stożek krzywych $jest$ definiowany jako wypukły stożek liniowych kombinacji krzywych z nieujemnymi współczynnikami rzeczywistymi w rzeczywistej przestrzeni wektorowej równoważności numerycznej Przestrzenie wektorowe $X)}$ N $Displaystyle$ ( podwójne do siebie przez parowanie przecięć, a stożek nef jest (z definicji) podwójnym stożkiem stożka krzywych.

Istotnym problemem w geometrii algebraicznej jest analiza, które wiązki linii są wystarczające , ponieważ sprowadza się to do opisywania różnych sposobów osadzania różnorodności w przestrzeni rzutowej. Jedną z odpowiedzi jest kryterium Kleimana (1966): dla rzutowego schematu X na polu wiązka linii (lub R -divisor) jest wystarczająca wtedy i tylko wtedy, gdy jej klasa w ${\ Displaystyle N ^ {1} ( X)}$ leży we wnętrzu stożka nef. ( R - dzielnik nazywamy wystarczającym, jeśli można go zapisać jako dodatnią kombinację liniową wystarczających dzielników Cartiera.) Z kryterium Kleimana wynika, że ​​dla rzutowej X każdy nef R - dzielnik na X jest granicą wystarczających dzielników R w ${\ Displaystyle N ^ {1} (X)}$ . Rzeczywiście, dla D nef i A ample, D + cA jest wystarczające dla wszystkich liczb rzeczywistych c > 0.

Metryczna definicja wiązek linii nef

Niech X będzie zwartą rozmaitością zespoloną ze stałą metryką hermitowską , widzianą jako postać dodatnia (1,1) ${\ displaystyle \ omega}$ . Idąc za Jean-Pierre Demailly , Thomasem Peternellem i Michaelem Schneiderem, $holomorficzna$ się, że wiązka linii L na X jest nef , jeśli dla każdego gładka hermitowska metryka ${\ Displaystyle h _ {\ epsilon}}$ na L , którego krzywizna spełnia ${\ Displaystyle \ Theta _ {h_ {\ epsilon}} (L) \ geq - \ epsilon \ omega}$ . Kiedy X jest rzutowe na C , jest to równoważne z poprzednią definicją (że L ma nieujemny stopień na wszystkich krzywych w X ).

Nawet dla X rzutującego na C , wiązka linii nef L nie musi mieć hermitowskiej metryki h z krzywizną , co wyjaśnia bardziej skomplikowaną definicję ${\ Displaystyle \ Theta _ {h} (L) \ geq 0}$ właśnie dane.

Przykłady

• Jeśli X $,$ gładką powierzchnią rzutową, a to C jest nef X , ponieważ dowolne dwie różne krzywe na powierzchni mają nieujemny numer przecięcia. Jeśli do ${\ displaystyle C ^ {2}<0}$ , to C jest skuteczne, ale nie nef X . Na przykład, jeśli X jest powiększenie gładkiej powierzchni rzutowej Y w $^{2}=-1}$$mi$ wyjątkowa krzywa E powiększenia ma ${$ .
• Każdy efektywny dzielnik na rozmaitości flagowej lub rozmaitości abelowej jest nef, używając tego, że te rozmaitości mają działanie przechodnie połączonej grupy algebraicznej .
• Każda wiązka liniowa L stopnia 0 na gładkiej zespolonej rzutowej krzywej X jest nef, ale L jest półpełna wtedy i tylko wtedy, gdy L jest skręcaniem w grupie Picarda X . Dla X z rodzaju g co najmniej 1 większość wiązek linii stopnia 0 nie jest skręcana, przy czym jakobian X jest abelową odmianą wymiaru g .
• Każda półpełna wiązka liniowa jest nef, ale nie każda wiązka liniowa nef jest nawet liczbowo równoważna wiązce półpełnej. Na przykład David Mumford skonstruował wiązkę linii L na odpowiedniej powierzchni prostoliniowej X , tak że L ma dodatni stopień na wszystkich krzywych, ale numer przecięcia ${\ Displaystyle c_ {1} (L) ^ {2} }$ wynosi zero. Wynika z tego, że L jest nef, ale nie dodatnią wielokrotnością ${\ displaystyle c_ {1} (L)}$ jest liczbowo równoważne efektywnemu dzielnikowi. $W$ szczególności przestrzeń dla wszystkich dodatnich

Skurcze i stożek nef

Skrócenie normalnej rozmaitości rzutowej X na polu k $,$ morfizmem suriekcyjnym, gdzie jest rozmaitością k takim że ${ \displaystyle f_{*}O_{X}=O_{Y}}$ . (Ten ostatni warunek implikuje, że f ma połączone włókna i jest równoważny z f ma połączone włókna, jeśli k ma charakterystyczne zero.) Skurcz nazywamy fibracją, jeśli dim( Y ) < dim( X ). Skrócenie z dim( Y ) = dim ( X ) jest automatycznie morfizmem birational . (Na przykład X może być powiększeniem gładkiej powierzchni rzutowej Y w punkcie).

Ściana F wypukłego stożka N oznacza wypukły podstożek taki, że dowolne dwa punkty N , których suma jest w F , same muszą znajdować się w F . Skrócenie X wyznacza ścianę F stożka nef X , a mianowicie przecięcie Nef( X ) z cofnięciem ${\ Displaystyle f ^ {*} (N ^ {1} (Y)} \ podzbiór N ^ {1} (X)}$ . $izomorfizmu$ biorąc pod uwagę rozmaitość X , ściana F stożka nef określa do Rzeczywiście , istnieje półpełna wiązka linii L na X , której klasa w $F ($ wnętrzu weź L jako wycofanie X dowolnej obszernej wiązki linii na Y ). Każda taka wiązka linii określa Y przez konstrukcję Proj :

${\ Displaystyle Y = {\ tekst {Proj.}} \ bigoplus _ {a \ geq 0} H ^ {0} (X, L ^ {\ czasami a}).}$

Aby opisać Y w kategoriach geometrycznych: krzywa C w X odwzorowuje punkt w Y wtedy i tylko wtedy, gdy L ma stopień zero na C .

W rezultacie istnieje zgodność jeden do jednego między skurczami X i niektórymi ścianami stożka nef X . (Ta zgodność może być również sformułowana podwójnie, w kategoriach ścian stożka krzywych.) Wiedząc, które wiązki linii NEF są półpełne, można określić, które ściany odpowiadają skurczom. Twierdzenie o stożku opisuje znaczącą klasę ścian, które odpowiadają skurczom, a hipoteza obfitości dałaby więcej.

Przykład: Niech X będzie powiększeniem złożonej płaszczyzny $w$ punkcie . Niech H będzie cofnięciem do $pi \colon X\to \mathbb {P} ^{2}}$ linii na i niech E będzie wyjątkową krzywą powiększenia $P$ . następnie X $Picarda$ 2, co oznacza, że ​​rzeczywista przestrzeń wektorowa wypukłych stożków o wymiarze 2, stożek nef musi być rozpięty promienie; wyraźnie są to promienie rozpięte przez H i H - E . W tym przykładzie oba promienie odpowiadają skurczom X : H daje morfizm biracyjny ${\ Displaystyle X \ do \ mathbb {P} ^ {2}}$ i H - E $_$ fibrację $z$ z ( ${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {2}}$ przez punkt p ). Ponieważ stożek nef X nie ma innych nietrywialnych ścian, są to jedyne nietrywialne skurcze X ; byłoby to trudniejsze do zobaczenia bez związku z wypukłymi stożkami.

Notatki

•   Demailly, Jean-Pierre ; Peternell, Tomasz; Schneider, Michael (1994), „Kompaktowe złożone rozmaitości z numerycznie efektywnymi wiązkami stycznymi” (PDF) , Journal of Algebraic Geometry , 3 : 295–345, MR 1257325
•   Kollár, János ; Mori, Shigefumi (1998), biracyjna geometria rozmaitości algebraicznych , Cambridge University Press , doi : 10.1017 / CBO9780511662560 , ISBN 978-0-521-63277-5  
•    Lazarsfeld, Robert (2004), Pozytywność w geometrii algebraicznej , tom. 1, Berlin: Springer-Verlag, doi : 10.1007/978-3-642-18808-4 , ISBN 3-540-22533-1 , MR 2095471
•    Reid, Miles (1983), „Minimalne modele kanonicznych 3-krotności”, odmiany algebraiczne i odmiany analityczne (Tokio, 1981) , Advanced Studies in Pure Mathematics, tom. 1, Holandia Północna, s. 131–180, doi : 10.2969/aspm/00110131 , ISBN 0-444-86612-4 , MR 0715649
•   Zariski, Oscar (1962), „Twierdzenie Riemanna-Rocha o wysokich wielokrotnościach efektywnego dzielnika na powierzchni algebraicznej”, Annals of Mathematics , 2, 76 : 560–615, doi : 10,2307/1970376 , MR 0141668