Stożek krzywych

W matematyce stożek krzywych (czasami $.$$)$ -Mori odmiany algebraicznej jest niezmiennikiem kombinatorycznym mającym znaczenie dla geometrii biracyjnej

Definicja

Niech będzie odpowiednią $odmianą$ . Z definicji (rzeczywisty) $i$ na jest formalną kombinacją liniową nieredukowalnych, zredukowanych $}$ właściwe krzywe do $\ Displaystyle C_ {i}}$ , ze współczynnikami ${\ Displaystyle a_ {i} \ in \ mathbb {R}}$ . Liczbowa równoważność $\ displaystyle C \ cdot D = C'\ cdot D}$ -cykli jest definiowana przez przecięcia: dwa 1-cykle i do $displaystyle C'}$$\$ są liczbowo równoważne, jeśli do dla każdego dzielnika $displaystyle$ na $X}$ . Oznacz rzeczywistą przestrzeń wektorową 1-cyklowej numerycznej równoważności modulo przez ${\ Displaystyle N_ {1} (X)}$ .

Definiujemy stożek krzywych jako ${\ displaystyle X$ }

${\ Displaystyle NE (X) = \ lewo \ {\ suma a_ {i} [C_ {i}], \ 0 \ równoważnik a_{i}\w \mathbb {R} \right\}}$

gdzie $są$${\ Displaystyle N_ {1} (X)}$ właściwymi krzywymi na ${\ Displaystyle [C_ {i}]}$ w $)$ i . Nietrudno zauważyć, że $.$ jest wypukłym sensie

Aplikacje

Użytecznym zastosowaniem pojęcia stożka krzywych jest $mówi$ Kleimana , który , że dzielnik (Cartiera) $pełnej$ rozmaitości jest wystarczający wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle D \ cdot x> 0}$$\ overline {NE (X)}}}$ dowolnego niezerowego elementu w $X$ , zamknięcie stożka krzywych w zwykła rzeczywista topologia. (Ogólnie rzecz biorąc, $tutaj$ musi być zamknięte, więc zamknięcie

Bardziej złożonym przykładem jest rola stożka krzywych w teorii minimalnych modeli rozmaitości algebraicznych. W skrócie, cel tej teorii jest następujący: biorąc pod uwagę (łagodnie pojedynczą) rozmaitość rzutową $)$ rozmaitość , która jest biracjonalna do $}$$}$${\$$dzielnikiem$ i kanonicznym jest . _ Wielkim przełomem wczesnych lat 80. (za sprawą Moriego i innych) było skonstruowanie (przynajmniej moralnie) niezbędnej mapy biational od do $displaystyle$$X'}$ jako sekwencji kroków, z których co można traktować jako skurcz -ujemnego skrajnego promienia ${\ displaystyle NE (X$$)$ Proces ten napotyka jednak trudności, których rozwiązanie wymaga wprowadzenia przewrotu .

Twierdzenie o strukturze

Powyższy proces skróceń nie mógłby przebiegać bez fundamentalnego wyniku dotyczącego struktury stożka krzywych, zwanego twierdzeniem o stożku . Pierwsza wersja tego twierdzenia, dla rozmaitości gładkich, pochodzi od Moriego ; został później uogólniony na większą klasę odmian przez Kawamatę , Kollára , Reida , Shokurova i innych. Wersja twierdzenia Moriego jest następująca:

Twierdzenie stożkowe. Niech będzie $rzutową$ odmianą . Następnie

1. Istnieje policzalnie wiele racjonalnych krzywych na $,$$\ Displaystyle X}$ satysfakcjonujących ${X} \cdot C_{i}\leq \operatorname {dim} X+1}$ , i

${\ Displaystyle {\ overline {NE (X)}} = {\ overline {NE (X)}} _ {K_ {X} \ geq 0} + \ suma _ {i} \ mathbf {R} _ {\ geq 0}[C_{i}].}$

2. Dla dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej $epsilon$ dowolnego dzielnika liczby rzeczywistej ${\ displaystyle \$ }

${\ Displaystyle {\ overline {NE (X)}} = {\ overline {NE (X) }}_{K_{X}+\epsilon H\geq 0}+\sum \mathbf {R} _{\geq 0}[C_{i}],}$

gdzie suma w ostatnim wyrazie jest skończona.

Pierwsze twierdzenie mówi, że w zamkniętej półprzestrzeni, gdzie przecięcie z $Displaystyle K_$ nie wiemy, ale $X}}$ { w komplementarnej półprzestrzeni stożek jest rozpięty przez jakiś policzalny zbiór krzywych, które są dość szczególne: są one $,$ a ich „stopień” jest bardzo ściśle ograniczony wymiarem . Drugie twierdzenie mówi nam wtedy więcej: mówi, że z dala od hiperpłaszczyzny ekstremalne promienie stożka ${\ Displaystyle \ {C: K_ {X} \ cdot C = 0 \}}$ nie może się gromadzić. Kiedy jest odmianą Fano, $N$$\ Displaystyle {\ overline {NE (X)}} _ {K_ {X} \ geq 0} = 0}$${\ Displaystyle -K_ {X}}$ ponieważ jest wystarczająca. Tak więc twierdzenie o stożku pokazuje, że stożek krzywych rozmaitości Fano jest generowany przez krzywe wymierne.

Jeśli dodatkowo rozmaitość jest zdefiniowana na polu o charakterystyce 0, mamy następujące twierdzenie, czasami nazywane twierdzeniem o skróceniu : ${\ displaystyle X }$

3. Niech $X$$Displaystyle K_ {X$ krzywych, na którym się negatywny. $displaystyle (\ nazwa operatora {cont} _ {F}) _ {*} {\ mathcal {O}} _ {X} = {\ mathcal {O}} _ {Z}} i nieredukowalna krzywa do {\$ istnieje unikalny cont $F$ rzutowej taki, cont ${$ displaystyle $C$ w jest odwzorowywany na punkt przez ${\ displaystyle \ operatorname {cont} _ {F}}$$[$ i tylko wtedy, gdy $\ Displaystyle [C] \ in F}$ . (Zobacz też: morfizm skurczu ).

•   Lazarsfeld, R., Pozytywność w geometrii algebraicznej I , Springer-Verlag, 2004. ISBN 3-540-22533-1
•   Kollár, J. i Mori, S., Birational Geometria odmian algebraicznych , Cambridge University Press, 1998. ISBN 0-521-63277-3