Racjonalna różnorodność

W matematyce rozmaitość wymierna to rozmaitość algebraiczna nad danym polem K , która jest biracjonalnie równoważna przestrzeni rzutowej pewnego wymiaru nad K. Oznacza to, że jego pole funkcyjne jest izomorficzne

{\ Displaystyle K (U_ {1}, \ kropki, U_ {d}),}

pole wszystkich funkcji $_$ dla gdzie . _ _ _ _

Racjonalność i parametryzacja

₀ Niech V będzie afiniczną rozmaitością algebraiczną wymiaru d określoną przez ideał pierwszy ja = ⟨ fa ₁ , ..., fa _k ⟩ w ${\ Displaystyle K [X_ {1}, \ kropki ,X_{n}]}$ . Jeśli V jest wymierne, to istnieje n + 1 wielomianów g , ..., g _n w ${\ Displaystyle K (U_ {1}, \ kropki, U_ {d})}$ takie, że ${\ Displaystyle f_ { i}(g_{1}/g_{0},\ldots ,g_{n}/g_{0})=0.}$ W kolejności słów mamy racjonalną parametryzację $.$ _

$_$ racjonalna homomorfizm funkcji V do _ Ale ten homomorfizm niekoniecznie jest na . Jeśli taka parametryzacja istnieje, mówi się, że różnorodność jest niewymierna . Twierdzenie Lürotha (patrz poniżej) sugeruje, że niewymierne krzywe są racjonalne. Twierdzenie Castelnuovo implikuje również, że dla charakterystycznego zera każda niewymierna powierzchnia jest racjonalna.

Kwestie racjonalności

Pytanie o racjonalność dotyczy tego, czy dane rozszerzenie pola jest racjonalne w tym sensie, że jest (z dokładnością do izomorfizmu) polem funkcyjnym rozmaitości wymiernej; takie rozszerzenia pola są również opisywane jako czysto transcendentalne . Dokładniej, pytanie o racjonalność rozszerzenia pola jest następujące: czy jest izomorficzne z polem funkcji wymiernej nad $podzbiór$ ${\ Displaystyle$ $}$ w liczbie nieokreślonych podanych przez stopień transcendencji ?

$.$ kilka różnych odmian tego pytania, wynikających ze sposobu budowy pól i ${\ displaystyle L}$

Na przykład $polem$ i niech

{\ Displaystyle \ {y_ {1}, \ kropki, y_ {n} \}}

niech będą nieokreślone nad K i niech L będzie polem generowanym przez nie nad K. Rozważ skończoną $permutującą$ te nieokreślone nad K . Zgodnie ze standardową teorią Galois , zbiór stałych punktów tego $L ^ {G}}$ grupowego jest podpolem , zwykle oznaczanym L $displaystyle$ . Kwestia racjonalności dla ${\ Displaystyle K \ podzbiór L ^ {G}}$ nazywa się problemem Noether i pyta, czy to pole punktów stałych jest, czy nie jest czysto transcendentalnym rozszerzeniem K . W pracy ( Noether 1918 ) na temat teorii Galois zajmowała się problemem parametryzacji równań z zadaną grupą Galois, którą sprowadziła do „problemu Noether”. (Po raz pierwszy wspomniała o tym problemie w ( Noether 1913 ), gdzie przypisała go E. Fischerowi.) Wykazała, że jest to prawdą dla n = 2, 3 lub 4. RG Swan ( 1969 ) znalazł kontrprzykład dla problemu Noether, gdzie n = 47 i G grupa cykliczna rzędu 47.

Twierdzenie Lürotha

Znanym przypadkiem jest problem Lürotha , który Jacob Lüroth rozwiązał w XIX wieku. Problem Lürotha dotyczy podrozszerzeń L od K ( X ), funkcji wymiernych w pojedynczym nieokreślonym X . Każde takie pole jest albo równe K, albo też jest wymierne, tj. L = K ( F ) dla jakiejś funkcji wymiernej F . W kategoriach geometrycznych oznacza to, że niestała wymierna mapa z linia rzutowa na krzywą C może wystąpić tylko wtedy, gdy C ma również rodzaj 0. Fakt ten można odczytać geometrycznie ze wzoru Riemanna – Hurwitza .

Chociaż twierdzenie Lürotha jest często uważane za wynik nieelementarny, od dawna odkryto kilka elementarnych krótkich dowodów. Te proste dowody wykorzystują tylko podstawy teorii pola i lematu Gaussa dla prymitywnych wielomianów (patrz np.).

Uniracjonalność

Uniracjonalna rozmaitość V nad polem K to taka, w której dominuje rozmaitość wymierna, tak że jej pole funkcyjne K ( V ) leży w czystym transcendentalnym polu skończonego typu (które można wybrać jako skończonego stopnia nad K ( V ) jeśli K jest nieskończona). Rozwiązanie problemu Lürotha pokazuje, że dla krzywych algebraicznych krzywe wymierne i niewymierne są takie same, a twierdzenie Castelnuovo implikuje, że dla złożonych powierzchni niewymierne oznacza racjonalne, ponieważ oba charakteryzują się zanikiem zarówno rodzaju arytmetycznego , jak i drugiego rodzaju plurigenus . Zariski znalazł kilka przykładów ( powierzchnie Zariski ) w charakterystyce p > 0, które są niewymierne, ale nieracjonalne. Clemens i Griffiths (1972) wykazali, że potrójność sześcienna na ogół nie jest rozmaitością racjonalną, dając przykład dla trzech wymiarów, że jednoracjonalność nie implikuje racjonalności. W ich pracy wykorzystano pośredni jakobian . Iskovskih i Manin (1971) wykazali, że wszystkie nieosobliwe trojaczki kwartalne są irracjonalne, chociaż niektóre z nich są nieracjonalne. Artin i Mumford (1972) znaleźli pewne nieracjonalne 3-krotne z nietrywialnym skręcaniem w swojej trzeciej grupie kohomologicznej, co sugeruje, że nie są one racjonalne.

Dla dowolnego pola K János Kollár udowodnił w 2000 r . , że gładka sześcienna hiperpowierzchnia o wymiarze co najmniej 2 jest niewymierna, jeśli ma punkt określony nad K . Jest to ulepszenie wielu klasycznych wyników, poczynając od przypadku powierzchni sześciennych (które są wymiernymi odmianami domknięcia algebraicznego). Inne przykłady rozmaitości, które okazały się niewymierne, to wiele przypadków przestrzeni modułów krzywych.

Racjonalnie powiązana różnorodność

Racjonalnie spójna rozmaitość ( lub rozmaitość nieliniowa ) V jest rzutową rozmaitością algebraiczną na algebraicznie zamkniętym polu , taką, że przez każde dwa punkty przechodzi obraz mapy regularnej z prostej rzutowej do V. Równoważnie, rozmaitość jest racjonalnie połączona, jeśli każde dwa punkty są połączone wymierną krzywą zawartą w rozmaitości.

Ta definicja różni się od definicji powiązań ścieżek tylko charakterem ścieżki, ale jest bardzo różna, ponieważ jedynymi krzywymi algebraicznymi, które są racjonalnie połączone, są krzywe wymierne.

Każda rozmaitość racjonalna, w tym przestrzenie rzutowe , jest racjonalnie połączona, ale odwrotność jest fałszywa. Klasa rozmaitości racjonalnie powiązanych jest więc uogólnieniem klasy rozmaitości rozumnych. Uniracjonalne odmiany są racjonalnie powiązane, ale nie wiadomo, czy zachodzi sytuacja odwrotna.

Stabilnie racjonalne odmiany

Odmiana V $,$ jest racjonalną jeśli $_$ niektórych _ Każda racjonalna różnorodność jest więc z definicji stabilnie racjonalna. Przykłady skonstruowane przez Beauville i in. (1985) pokazują, że odwrotność jest jednak fałszywa.

$,$ (2018) błąd harvtxt że bardzo ogólne hiperpowierzchnie nie są stabilnie racjonalne, pod warunkiem stopień V wynosi co najmniej ${2} N + 2}$ \ Displaystyle \ log _ .

Zobacz też

Notatki

Artin, Michał ; Mumford, David (1972), „Niektóre elementarne przykłady rozmaitości niewymiernych, które nie są racjonalne”, Proceedings of the London Mathematical Society , Third Series, 25 : 75–95, CiteSeerX 10.1.1.121.2765 , doi : 10.1112/plms/s3 -25.1.75 , ISSN 0024-6115 , MR 0321934
Beauville, Arnaud; Colliot-Thélène, Jean-Louis; Sansuc, Jean-Jacques; Swinnerton-Dyer, Peter (1985), „Variétés stablement rationnelles non rationnelles”, Annals of Mathematics , druga seria, 121 (2): 283–318, doi : 10.2307/1971174 , JSTOR 1971174 , MR 0786350
Klemens, C. Herbert ; Griffiths, Phillip A. (1972), „Pośredni Jakobian potrójnego sześciennego”, Annals of Mathematics , druga seria, 95 (2): 281–356, CiteSeerX 10.1.1.401.4550 , doi : 10.2307/1970801 , ISSN 0003 -486X , JSTOR 1970801 , MR 0302652
Iskovskih, Wirginia; Manin, Ju. I. (1971), „Trójwymiarowe kwartyki i kontrprzykłady problemu Lürotha”, Matematicheskii Sbornik , Novaya Seriya, 86 (1): 140–166, Bibcode : 1971SbMat..15..141I , doi : 10.1070/SM1971v015n01ABEH001536 , MR 0291172
Kollár, János ; Smith, Karen E .; Corti, Alessio (2004), Racjonalne i prawie racjonalne odmiany , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, tom. 92, Cambridge University Press , doi : 10.1017/CBO9780511734991 , ISBN 978-0-521-83207-6 , MR 2062787
Noether, Emmy (1913), „Rationale Funkionenkorper”, J. Ber. D. DMV , 22 : 316–319 .
Noether, Emmy (1918), "Gleichungen mit vorgeschriebener Gruppe", Mathematische Annalen , 78 (1–4): 221–229, doi : 10.1007/BF01457099 , S2CID 122353858 .
Swan, RG (1969), „Niezmienne funkcje wymierne i problem Steenroda”, Inventiones Mathematicae , 7 (2): 148–158, Bibcode : 1969 InMat… 7..148S , doi : 10.1007/BF01389798 , S2CID 121951942
Martinet, J. (1971), "Exp. 372 Un contre-exmple à une conjecture d'E. Noether (d'après R. Swan);", Séminaire Bourbaki. Tom. 1969/70: Exposés 364–381 , Notatki z wykładów z matematyki, tom. 189, Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , MR 0272580
Schreieder, Stefan (2019), „Stabilnie irracjonalne hiperpowierzchnie małych zboczy”, Journal of the American Mathematical Society , 32 (4): 1171–1199, arXiv : 1801,05397 , doi : 10,1090/jams/928 , S2CID 119326067