Powierzchnia sześcienna

W matematyce powierzchnia sześcienna jest powierzchnią w przestrzeni trójwymiarowej zdefiniowaną przez jedno równanie wielomianowe stopnia 3. Powierzchnie sześcienne są podstawowymi przykładami geometrii algebraicznej . Teorię upraszcza się, pracując w przestrzeni rzutowej , a nie w przestrzeni afinicznej , dlatego powierzchnie sześcienne są ogólnie rozważane w przestrzeni rzutowej 3. ${\ Displaystyle \ mathbf {P} ^ {3}$ } Teoria staje się również bardziej jednolita dzięki skupieniu się na powierzchniach liczb zespolonych, a nie na liczbach rzeczywistych ; zwróć uwagę, że złożona powierzchnia ma wymiar rzeczywisty 4. Prostym przykładem jest powierzchnia sześcienna Fermata

{\ Displaystyle x ^ {3} + y ^ {3} + z ^ {3} + w ^ {3} = 0}

w ${\ Displaystyle \ mathbf {P} ^ {3}}$ . Wiele właściwości powierzchni sześciennych odnosi się bardziej ogólnie do powierzchni del Pezzo .

Gładka powierzchnia sześcienna (powierzchnia Clebscha)

Racjonalność powierzchni sześciennych

Główną cechą gładkich powierzchni sześciennych X w algebraicznie zamkniętym polu jest to, że wszystkie są racjonalne , jak wykazał Alfred Clebsch w 1866 r. Oznacza to, że istnieje zgodność jeden do jednego zdefiniowana przez funkcje wymierne między płaszczyzną rzutową ${\ Displaystyle \ mathbf {P} ^ {2}}$ minus podzbiór o niższych wymiarach i X minus podzbiór o niższych wymiarach. Mówiąc bardziej ogólnie, każda nieredukowalna powierzchnia sześcienna (prawdopodobnie pojedyncza) na algebraicznie zamkniętym polu jest wymierna, chyba że jest to rzutowy stożek na krzywej sześciennej. Pod tym względem powierzchnie sześcienne $są znacznie prostsze niż powierzchnie gładkie o$ najmniej 4 w , które nigdy nie są racjonalne. W charakterystycznym zera gładkie powierzchnie o $nawet$ co najmniej 4 w są nieliniowe .

Silniej Clebsch wykazał, że każda gładka powierzchnia sześcienna w algebraicznie zamkniętym polu jest izomorficzna z powiększeniem ${3}}$ 2 { ${2}}$ $mathbf {P} ^$ na 6 punktów. $sześcienna$ rezultacie każda dyfeomorficzna do sumy , gdzie znak minus odnosi się do zmiany orientacji . I odwrotnie, powiększenie $leżą$ punktach jest izomorficzne z powierzchnią sześcienną wtedy i tylko wtedy, gdy punkty znajdują się w położeniu ogólnym, co oznacza, że żadne trzy punkty nie linia i wszystkie 6 nie leżą na stożku . Jako złożona rozmaitość (lub odmiana algebraiczna ), powierzchnia zależy od rozmieszczenia tych 6 punktów.

27 linii na sześciennej powierzchni

Większość dowodów racjonalności dla powierzchni sześciennych zaczyna się od znalezienia linii na powierzchni. (W kontekście geometrii rzutowej linia w jest izomorficzna z $P$ $} ^ {1}}$ .) Dokładniej Arthur Cayley i George Salmon wykazali w 1849 roku, że każda gładka powierzchnia sześcienna na algebraicznie zamkniętym polu zawiera dokładnie 27 linii. Jest to charakterystyczna cecha sześciennych: gładka powierzchnia czworokątna (stopień 2) jest pokryta ciągłą rodziną linii, podczas gdy większość powierzchni o stopniu co najmniej 4 w zawiera ${\ Displaystyle \ mathbf {P} ^ {3}}$ bez linii. Inna przydatna technika znajdowania 27 linii obejmuje rachunek Schuberta , który oblicza liczbę linii przy użyciu teorii $przecięć$ Grassmanna linii

Ponieważ współczynniki gładkiej złożonej powierzchni sześciennej są różne, 27 linii porusza się w sposób ciągły. W rezultacie zamknięta pętla w rodzinie gładkich powierzchni sześciennych określa permutację 27 linii. Powstała w ten sposób grupa permutacji 27 prostych nazywana jest grupą monodromiczną rodziny powierzchni sześciennych. $;$ trywialna , ani cała grupa symetryczna jest to grupa rzędu 51840 , działająca przechodnio na zbiorze prostych. Grupa ${\ displaystyle E_ {6}} refleksje na$ była stopniowo rozpoznawana (przez Élie Cartana (1896), Arthura Coble'a (1915-17) i Patricka du Val (1936)) jako grupa Weyla typu , grupa generowana przez mi grupą Liego ${\ displaystyle E_ {6}}$ 6-wymiarowej rzeczywistej przestrzeni wektorowej, związanej z o wymiarze 78. mi

Tę samą grupę rzędu 51840 można opisać w kategoriach kombinatorycznych, jako grupę automorfizmów wykresu 27 linii, z wierzchołkiem dla każdej linii i krawędzią, gdy spotykają się dwie linie . Ten wykres był analizowany w XIX wieku przy użyciu podgrafów, takich jak konfiguracja podwójnej szóstki Schläfliego . Graf komplementarny (z krawędzią, gdy dwie linie są rozłączne) jest znany jako wykres Schläfliego .

Wykres Schläfliego

$rozwiązać$ za pomocą kombinatoryki systemu korzeniowego . Na przykład 27 linii można utożsamić z wagami podstawowej reprezentacji grupy Liego ${\ displaystyle E_ {6}}$ . Możliwe zestawy osobliwości $,$ mogą wystąpić na powierzchni sześciennej, można opisać w kategoriach podsystemów systemu . Jednym ${\ Displaystyle \ operatorname {Pic} (X) \ cong \ mathbf {Z} ^ {7}}$ wyjaśnień tego związku jest to, że $)$ ${\ Displaystyle E_ {6}$ jako ortogonalne dopełnienie klasy antykanonicznej w grupie Picarda , z jego formą przecięcia (pochodzącą z teorii przecięcia krzywych na powierzchni). $Picarda$ gładkiej, złożonej powierzchni sześciennej można grupą kohomologiczną

Punkt Eckardta to punkt, w którym spotykają się 3 z 27 prostych. Większość powierzchni sześciennych nie ma punktu Eckardta, ale takie punkty występują w kowymiaru -1 rodziny wszystkich gładkich powierzchni sześciennych.

$pod$ uwagę identyfikację między powierzchnią sześcienną na a powiększeniem w 6 punktach w ogólnej , 27 linii na X można postrzegać jako: 6 wyjątkowych krzywe $utworzone$ przez wysadzenie w powietrze, transformacje biracjonalne 15 linii przechodzących przez pary 6 punktów w 6 stożków zawierających wszystkie z wyjątkiem jednego 6 punktów. Daną powierzchnię sześcienną można postrzegać jako powiększenie na więcej niż jeden sposób (w rzeczywistości na 72 różne sposoby), a więc opis jako cios ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {2}}$ -up nie ujawnia symetrii między wszystkimi 27 liniami.

Relacja między powierzchniami sześciennymi a $korzeniowym$ uogólnia się na relację między wszystkimi powierzchniami del Pezzo i systemami korzeniowymi Jest to jedna z wielu klasyfikacji ADE w matematyce. Kontynuując te analogie, $Serganova$ i Alexei Skorobogatov podali bezpośredni związek geometryczny między powierzchniami sześciennymi a grupą .

W fizyce 27 linii można utożsamić z 27 możliwymi ładunkami M-teorii na sześciowymiarowym torusie (6 pędów; 15 membran ; 6 pięciu membran ), a grupa E6 _działa wtedy naturalnie jako grupa U-dwoistości . Ta mapa między powierzchniami del Pezzo a M-teorią na torusie jest znana jako tajemnicza dwoistość .

Specjalne powierzchnie sześcienne

Gładka złożona powierzchnia sześcienna w największej grupie automorfizmów to powierzchnia sześcienna Fermata, zdefiniowana przez ${\ Displaystyle \ mathbf {P} ^ {3}}$

{\ Displaystyle x ^ {3} + y ^ {3} + z ^ {3} + w ^ {3} = 0.}

$Jego$ grupa .

Następną najbardziej symetryczną gładką powierzchnią sześcienną jest powierzchnia Clebscha , którą można zdefiniować za pomocą dwóch równań ${\ Displaystyle \ mathbf {P} ^ {4}}$

{\ Displaystyle x_ {0} + x_ {1} + x_ { 2}+x_{3}+x_{4}=x_{0}^{3}+x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}+x_ {4}^{3}=0.}

Jego grupą automorfizmu jest grupa symetryczna rzędu 120. Po złożonej liniowej zmianie współrzędnych powierzchnię Clebscha można również zdefiniować za pomocą równania ${\ displaystyle S_ {5}}$

{\ Displaystyle x ^ {2} y + y ^ {2} z + z ^ {2} w + w ^ {2} x = 0}

w ${\ Displaystyle \ mathbf {P} ^ {3}}$ .

Węzłowa powierzchnia sześcienna Cayleya

Wśród pojedynczych złożonych powierzchni sześciennych węzłowa powierzchnia sześcienna Cayleya jest unikalną powierzchnią o maksymalnej liczbie węzłów , 4:

{\ Displaystyle wxy + xyz + yzw + zwx = 0.}

Jego grupa automorfizmów to ${\ displaystyle S_ {4}}$ , rzędu 24.

Rzeczywiste powierzchnie sześcienne

W przeciwieństwie do przypadku złożonego, przestrzeń gładkich powierzchni sześciennych nad liczbami rzeczywistymi nie jest spójna w topologii klasycznej (opartej na topologii R ). Jego połączone składowe (innymi słowy, klasyfikacja gładkich rzeczywistych powierzchni sześciennych aż do izotopu ) zostały określone przez Ludwiga Schläfliego (1863), Felixa Kleina (1865) i HG Zeuthena (1875). Mianowicie istnieje 5 klas izotopów gładkich rzeczywistych powierzchni sześciennych X w $($ wyróżnionych topologią przestrzeni rzeczywistych punktów $mathbf {R} )}$ $\ Displaystyle X ($ . Przestrzeń punktów rzeczywistych jest dyfeomorficzna względem albo rozłącznego związku ${\ Displaystyle W_ {1}} i$ $\ Displaystyle W_ {7}, W_ {5}, W_ {3}, W_ {1}}$ $2$ -kula, gdzie oznacza połączoną sumę r kopii rzeczywistej płaszczyzny rzutowej ${2}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {RP$ . Odpowiednio, liczba rzeczywistych linii zawartych w X wynosi 27, 15, 7, 3 lub 3.

Gładka rzeczywista powierzchnia sześcienna jest racjonalna względem R wtedy i tylko wtedy, gdy jej przestrzeń rzeczywistych punktów jest spójna, a więc w pierwszych czterech z poprzednich pięciu przypadków.

Średnia liczba rzeczywistych linii na X wynosi ${\ Displaystyle 6 {\ sqrt {2}} -3}$ , gdy definiujący wielomian dla X jest próbkowany losowo z zespołu Gaussa indukowanego przez iloczyn wewnętrzny Bombieriego .

Przestrzeń modułów powierzchni sześciennych

algebraiczne wtedy i tylko wtedy $, gdy są równoważne przez jakiś$ automorfizm Teoria niezmienników geometrycznych podaje przestrzeń modułów powierzchni sześciennych, z jednym punktem dla każdej klasy izomorfizmu gładkich powierzchni sześciennych. Ta przestrzeń modułów ma wymiar 4. Dokładniej, jest to otwarty podzbiór ważonej przestrzeni rzutowej P (12345) autorstwa Salmona i Clebscha (1860). W szczególności jest to racjonalne 4-krotne.

Stożek krzywych

Linie na sześciennej powierzchni X nad algebraicznie zamkniętym polem $:$ do osadzania X w są one dokładnie (-1) - krzywe na X , co oznacza krzywe izomorficzne z $, które mają$ -1. Również klasy linii w sieci Picarda X (lub równoważnie grupa klas dzielników ) są dokładnie elementami u Pic ( X ) takimi, że ${\ displaystyle u ^ {2} = -1$ } ${\ Displaystyle -K_ {X} \ cdot u = 1}$ . $}$ Wykorzystuje to, że ograniczenie wiązki linii hiperpłaszczyzny O (1) na X jest wiązką linii antykanonicznych $} ^ {3}$ , przez formułę sprzężenia .)

Dla dowolnej odmiany rzutowej X stożek krzywych oznacza stożek wypukły , na którym rozpięte są wszystkie krzywe w X (w rzeczywistej przestrzeni wektorowej 1-cyklowej modulo równoważności numerycznej, ${\ Displaystyle N_ {1} (X)}$ $lub$ w grupie homologii podstawowym W przypadku powierzchni sześciennej stożek krzywych obejmuje 27 linii. $szczególności jest$ stożek wielościenny dużą grupą ${\ displaystyle E_ {6}}$ . Istnieje podobny opis stożka krzywych dla dowolnej powierzchni del Pezzo.

Sześcienne powierzchnie nad polem

Gładka sześcienna powierzchnia X nad polem k , które nie jest algebraicznie domknięte, nie musi być wymierne nad k . W skrajnym przypadku istnieją gładkie sześcienne powierzchnie nad $)$ wymiernymi Q (lub p-adic bez punktów wymiernych , w którym to przypadku X z pewnością nie jest racjonalny. Jeśli X ( k ) jest niepuste, to X jest co najmniej niewymierne względem k , według Beniamino Segre i Jánosa Kollára . Dla k nieskończonego jednoracjonalność implikuje, że zbiór punktów k -racjonalnych jest gęsty Zariskiego w X .

Bezwzględna grupa Galois k permutuje 27 wierszy X nad zamknięciem algebraicznym $E_ {6}$ $}$ przez jakąś podgrupę grupy Weyla mi 6 \ ). Jeśli jakaś orbita tego działania składa się z rozłącznych linii, to X jest powiększeniem „prostszej” powierzchni del Pezzo nad k w punkcie zamkniętym. W przeciwnym razie X ma numer Picarda 1. (Grupa Picarda X jest podgrupą geometrycznej grupy Picarda ${\ Displaystyle \ operatorname {Pic} (X _ {\ overline {k}}) \cong \mathbf {Z} ^{7}}$ .) W tym drugim przypadku Segre pokazał, że X nigdy nie jest racjonalne. Co więcej, Yuri Manin udowodnił birational sztywność: dwie gładkie sześcienne powierzchnie z liczbą Picarda 1 nad doskonałym polem k są biracyjne wtedy i tylko wtedy, gdy są izomorficzne. Na przykład wyniki te dają wiele powierzchni sześciennych nad Q , które są niewymierne, ale nieracjonalne.

Pojedyncze powierzchnie sześcienne

W przeciwieństwie do gładkich powierzchni sześciennych, które zawierają 27 linii, pojedyncze powierzchnie sześcienne zawierają mniej linii. Co więcej, można je sklasyfikować według rodzaju osobliwości, która pojawia się w ich normalnej postaci. Te osobliwości są klasyfikowane za pomocą diagramów Dynkina .

Klasyfikacja

Normalna pojedyncza powierzchnia sześcienna w lokalnych współrzędnych ${\ Displaystyle [x_ {0}: x_ {1}: x_ {2}: x_ {3}]}$ $Displaystyle$ ${\ textbf {P}} _ {\ mathbb {C}} ^$ jest w normalnej postaci , jeśli jest to określone przez ${\ Displaystyle F = x_ {3} f_ {2} (x_ {0}, x_ {1}, x_ {2}) -f_ { 3}(x_{0},x_{1},x_{2})=0}$ . $zawiera$ zależności od rodzaju osobliwości, $jaką$ , jest ona ${\ Displaystyle F = x_ {3} f_ {2} (x_ {0}, x_ {1}, x_ {2}) - f_ {3} (x_ {0}, x_ {1}, x_ {2}) = 0}$ z powierzchnią rzutową przez gdzie ${\ Displaystyle f_ {2}, f_ {3}}$ są jak w poniższej tabeli. Oznacza to, że możemy uzyskać klasyfikację wszystkich pojedynczych powierzchni sześciennych. Parametry poniższej tabeli są następujące: ${\ Displaystyle a, b, c}$ to trzy różne elementy do $\ {0,1 \}}$ , parametry są w do $\$ $Displaystyle \ mathbb {C} \ setminus \ {0, -1 \}}$ { $}$ $Displaystyle$ jest elementem do $0 \}}$ . $osobliwością$ , że istnieją dwie różne osobliwe powierzchnie sześcienne .

Klasyfikacja osobliwych powierzchni sześciennych według typu osobliwości
Osobliwość	${\ Displaystyle f_ {2} (x_ {0}, x_ {1}, x_ {2})}$	${\ Displaystyle f_ {3} (x_ {0}, x_ {1}, x_ {2})}$
${\ displaystyle A_ {1}}$	${\ Displaystyle x_ {0} x_ {2} -x_ {1} ^ {2}}$	${\ Displaystyle (x_ {0} -ax_ {1}) (-x_ {0 }+(b+1)x_{1}-bx_{2})(x_{1}-cx_{2})}$
${\ Displaystyle 2A_ {1}}$	${\ Displaystyle x_ {0} x_ {2} -x_ {1} ^ {2}}$	${\ Displaystyle (x_ {0} -2x_ {1} + x_ {2}) (x_ {0} - ax_{1})(x_{1}-bx_{2})}$
${\ Displaystyle A_ {1} A_ {2}}$	${\ Displaystyle x_ {0} x_ {2} -x_ {1} ^ {2}}$	${\ Displaystyle (x_ {0} -x_ {1}) (-x_ {1} + x_{2})(x_{0}-(a+1)x_{1}+ax_{2})}$
${\ Displaystyle 3A_ {1}}$	${\ Displaystyle x_ {0} x_ {2} -x_ {1} ^ {2}}$	${\ Displaystyle x_ {0} x_ {2} (x_ {0} - (a + 1) x_ {1} + ax_ {2}) }$
${\ Displaystyle A_ {1} A_ {3}}$	${\ Displaystyle x_ {0} x_ {2} -x_ {1} ^ {2}}$	${\ Displaystyle (x_ {0} -x_ {1}) (-x_ {1} + x_ {2}) (x_{0}-2x_{1}+x_{2})}$
${\ Displaystyle 2A_ {1} A_ {2}}$	${\ Displaystyle x_ {0} x_ {2} -x_ {1} ^ {2}}$	${\ Displaystyle x_ {1} ^ {2} (x_ {0} -x_ {1})}$
${\ Displaystyle 4A_ {1}}$	${\ Displaystyle x_ {0} x_ {2} -x_ {1} ^ {2}}$	${\ Displaystyle (x_ {0} -x_ {1}) (x_ {1} -x_ {2}) x_ {1}}$
${\ Displaystyle A_ {1} A_ {4}}$	${\ Displaystyle x_ {0} x_ {2} -x_ {1} ^ {2}}$	${\ displaystyle x_ {0} ^ {2} x_ {1}}$
${\ Displaystyle 2A_ {1} A_ {3}}$	${\ Displaystyle x_ {0} x_ {2} -x_ {1} ^ {2}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {1} ^ {2}}$
${\ Displaystyle A_ {1} 2A_ {2}}$	${\ Displaystyle x_ {0} x_ {2} -x_ {1} ^ {2}}$	${\ displaystyle x_ {1} ^ {3}}$
${\ Displaystyle A_ {1} A_ {5}}$	${\ Displaystyle x_ {0} x_ {2} -x_ {1} ^ {2}}$	${\ displaystyle x_ {0} ^ {3}}$
${\ Displaystyle A_ {2}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {1}}$	${\ Displaystyle x_ {2} (x_ {0} + x_ {1} + x_ {2}) (dx_ { 0}+ex_{1}+dex_{2})}$
${\ Displaystyle 2A_ {2}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {1}}$	${\ Displaystyle x_ {2} (x_ {1} + x_ {2}) (-x_ {1} + dx_ {2})}$
${\ Displaystyle 3A_ {2}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {1}}$	${\ displaystyle x_ {2} ^ {3}}$
${\ Displaystyle A_ {3}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {1}}$	${\ Displaystyle x_ {2} (x_ {0} + x_ {1} + x_ {2}) (x_ {0} -ux_ {1 })}$
${\ Displaystyle A_ {4}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {1}}$	${\ Displaystyle x_ {0} ^ {2} x_ {2} + x_ {1} ^ {3} -x_ {1} x_ {2} ^ {2 }}$
${\ Displaystyle A_ {5}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {1}}$	${\ Displaystyle x_ {0} ^ {3} + x_ {1} ^ {3} -x_ {1} x_ {2} ^ {2}}$
${\ Displaystyle D_ {4} (1)}$	${\ displaystyle x_ {0} ^ {2}}$	${\ Displaystyle x_ {1} ^ {3} + x_ {2} ^ {3}}$
${\ Displaystyle D_ {4} (2)}$	${\ displaystyle x_ {0} ^ {2}}$	${\ Displaystyle x_ {1} ^ {3} + x_ {2} ^ {3} + x_ {0} x_ {1} x_ {2}}$
${\ Displaystyle D_ {5}}$	${\ displaystyle x_ {0} ^ {2}}$	${\ Displaystyle x_ {0} x_ {2} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} x_ {2}}$
${\ Displaystyle E_ {6}}$	${\ displaystyle x_ {0} ^ {2}}$	${\ Displaystyle x_ {0} x_ {2} ^ {2} + x_ {1} ^ {3}}$
${\ Displaystyle {\ tylda {E}} _ {6}}$	${\ styl wyświetlania 0}$	${\ Displaystyle x_ {1} ^ {2} x_ {2} -x_ {0} (x_ {0} -x_ {2} )(x_{0}-ax_{2})}$

$ilekroć$ $postaci ,$ powierzchnia sześcienna $:$ ${\ Displaystyle [0: 0: 0: 1]}$ najmniej jedną miała osobliwość w .

Linie na pojedynczych powierzchniach sześciennych

Zgodnie z klasyfikacją pojedynczych powierzchni sześciennych, poniższa tabela pokazuje liczbę linii , które zawiera każda powierzchnia.

Linie na pojedynczych powierzchniach sześciennych
Osobliwość	${\ displaystyle A_ {1}}$	${\ Displaystyle 2A_ {1}}$	${\ Displaystyle A_ {1} A_ {2}}$	${\ Displaystyle 3A_ {1}}$	${\ Displaystyle A_ {1} A_ {3}}$	${\ Displaystyle 2A_ {1} A_ {2}}$	${\ Displaystyle 4A_ {1}}$	${\ Displaystyle A_ {1} A_ {4}}$	${\ Displaystyle 2A_ {1} A_ {3}}$	${\ Displaystyle A_ {1} 2A_ {2}}$	${\ Displaystyle A_ {1} A_ {5}}$	${\ Displaystyle A_ {2}}$	${\ Displaystyle 2A_ {2}}$	${\ Displaystyle 3A_ {2}}$	${\ Displaystyle A_ {3}}$	${\ Displaystyle A_ {4}}$	${\ Displaystyle A_ {5}}$	${\ Displaystyle D_ {4}}$	${\ Displaystyle D_ {5}}$	${\ Displaystyle E_ {6}}$	${\ Displaystyle {\ tylda {E}} _ {6}}$
Liczba linii	21	16	11	12	7	8	9	4	5	5	2	15	7	3	10	6	3	6	3	1	${\ Displaystyle \ infty}$

Grupy automorfizmów pojedynczych powierzchni sześciennych bez parametrów

Automorfizm normalnej $_$ $_$ $sześciennej$ jest ograniczeniem przestrzeni rzutowej do _ _ Takie automorfizmy zachowują punkty osobliwe. Co więcej, nie permutują osobliwości różnych typów. Jeśli powierzchnia zawiera dwie osobliwości tego samego typu, automorfizm może je permutować. Zbiór automorfizmów na powierzchni sześciennej tworzy grupę , tzw. grupę automorfizmów . Poniższa tabela przedstawia wszystkie grupy automorfizmów pojedynczych powierzchni sześciennych bez parametrów.

Grupy automorfizmów pojedynczych powierzchni sześciennych bez parametrów
Osobliwość	grupa automorfizmów ${\ displaystyle X}$
${\ Displaystyle A_ {1} A_ {3}}$	${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}$
${\ Displaystyle 2A_ {1} A_ {2}}$	${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}$
${\ Displaystyle 4A_ {1}}$	${\ Displaystyle \ Sigma _ {4}}$ symetryczna grupa rzędu ${\ Displaystyle 4!}$
${\ Displaystyle A_ {1} A_ {4}}$	${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {\ razy} = \ mathbb {C} \ setminus \ {0 \}}$
${\ Displaystyle 2A_ {1} A_ {3}}$	${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {\ razy} \ rtimes \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}$
${\ Displaystyle A_ {1} 2A_ {2}}$	${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {\ razy} \ rtimes \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}$
${\ Displaystyle A_ {1} A_ {5}}$	${\ Displaystyle \ mathbb {C} \ rtimes \ mathbb {C} ^ {\ razy}}$
${\ Displaystyle 3A_ {2}}$	${\ Displaystyle (\ mathbb {C}) ^ {2} \ rtimes \ Sigma _ {3}}$
${\ Displaystyle A_ {4}}$	${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / 4 \ mathbb {Z}}$
${\ Displaystyle A_ {5}}$	${\ Displaystyle (\ mathbb {C} \ rtimes \ mathbb {Z} / 3 \ mathbb {Z}) \ rtimes \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z} } }$
${\ Displaystyle D_ {4} (1)}$	${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {\ razy} \ rtimes \ Sigma _ {3}}$
${\ Displaystyle D_ {4} (2)}$	${\ Displaystyle \ Sigma _ {3}}$
${\ Displaystyle D_ {5}}$	${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {\ razy}}$
${\ Displaystyle E_ {6}}$	${\ Displaystyle \ mathbb {C} \ rtimes \ mathbb {C} ^ {\ razy}}$