Stożek projekcyjny

Stożek rzutowy (lub po prostu stożek ) w geometrii rzutowej to suma wszystkich linii przecinających rzutową podprzestrzeń R (wierzchołek stożka) i dowolny podzbiór A (podstawa) innej podprzestrzeni S , rozłącznej z R .

W szczególnym przypadku, gdy R jest pojedynczym punktem, S jest płaszczyzną, a A jest przekrojem stożkowym na S , stożek rzutowy jest powierzchnią stożkową ; stąd nazwa.

Definicja

Niech X będzie przestrzenią rzutową na jakieś ciało K , a R , S będą rozłącznymi podprzestrzeniami X . Niech A będzie dowolnym podzbiorem S . Następnie definiujemy RA , stożek z górnym R i podstawą A , w następujący sposób:

Kiedy A jest puste, RA = A .
Kiedy A nie jest puste, RA składa się ze wszystkich tych punktów na linii łączącej punkt na R i punkt na A .

Nieruchomości

Ponieważ R i S są rozłączne, można wywnioskować z algebry liniowej i definicji przestrzeni rzutowej, że każdy punkt na RA , który nie jest w R lub A , leży dokładnie na jednej linii łączącej punkt w R i punkt w A .
( RA ) ${\ Displaystyle \ cap}$ S = ZA
Gdy K jest skończonym polem rzędu q , to ${\ Displaystyle | RA|}$ = ${\ Displaystyle q ^ {r + 1}}$ ${\ Displaystyle | A |}$ + ${\ Displaystyle {\ Frac {q ^ {r + 1} -1} {q-1}}}$ gdzie r = dim ( R ).

Zobacz też