Stożek (topologia)

Stożek koła. Oryginalna przestrzeń X jest zaznaczona na niebiesko, a zwinięty punkt końcowy v jest na zielono.

W topologii , zwłaszcza w topologii algebraicznej , stożek przestrzeni topologicznej jest intuicyjnie uzyskiwany przez rozciągnięcie $X$ do cylindra a następnie zwinięcie jednej z jego powierzchni końcowych do punktu . Stożek X jest oznaczony przez ${$ stożek $\ Displaystyle \ operatorname {stożek} (X)$ .

Definicje

Formalnie stożek X jest zdefiniowany jako:

$\ Displaystyle CX = (X \ razy [0 ,1])\cup _{p}v\ =\ \varinjlim {\bigl (}(X\times [0,1])\hookleftarrow (X\times \{0\})\xrightarrow {p} v{ \bigr )},}$

gdzie jest punktem (zwanym $punkt$ stożka) i $jest$ rzutem na ten $}$ wynik mocowania cylindra przez jego czoło do ${\ Displaystyle X$ \ razy [0,1 ] punkt $($ rzutu ${\ Displaystyle p: {\ bigl (} X \ razy \ {0 \} {\ bigr)} \ do v$ .

Jeśli jest niepustą zwartą podprzestrzenią przestrzeni euklidesowej , stożek na jest homeomorficzny do sumy odcinków z dowolnego punktu stałego $} displaystyle v \ nie \ w X}$$X$$\$$\ displaystyle$ tak, że te segmenty przecinają się tylko $siebie$ . Oznacza to, że stożek topologiczny zgadza się ze stożkiem geometrycznym dla przestrzeni zwartych, gdy ten ostatni jest zdefiniowany. Jednak topologiczna konstrukcja stożka jest bardziej ogólna.

Stożek jest szczególnym przypadkiem łączenia : do $\ Displaystyle CX \ simeq X \ gwiazda \ {v \} =}$$łączenie$ z punktem ${\ displaystyle v \ nie \ w X}$ .

Przykłady

$często$ używamy $stożka$ geometrycznego ( gdzie jest niepustą zwartą przestrzeni euklidesowej . Rozważane przestrzenie są zwarte, więc otrzymujemy ten sam wynik aż do homeomorfizmu.

• Stożek nad punktem p linii rzeczywistej jest odcinkiem linii w ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ , ${\ Displaystyle \ {p \} \ razy [0,1]}$ .
• Stożek nad dwoma punktami {0, 1} ma kształt litery „V” z punktami końcowymi w punktach {0} i {1}.
• Stożek na zamkniętym przedziale I linii rzeczywistej jest wypełnionym trójkątem (z jedną krawędzią I ), inaczej znanym jako 2-simplex (patrz ostatni przykład).
• Stożek nad wielokątem P jest ostrosłupem o podstawie P.
• Stożek nad dyskiem to pełny stożek klasycznej geometrii (stąd nazwa pojęcia).
• Stożek nad okręgiem podanym przez

${\ Displaystyle \ {(x, y, z) \ w \ mathbb {R} ^ {3} \ mid x ^ {2}+y^{2}=1{\mbox{ i }}z=0\}}$

to zakrzywiona powierzchnia pełnego stożka:

${\ Displaystyle \ {(x, y, z) \ w \ mathbb {R} ^ {3} \ mid x ^ {2} + y ^ {2} = (z-1) ^ {2} {\ mbox { i }}0\leq z\leq 1\}.}$

To z kolei jest homeomorficzne względem dysku zamkniętego .

Bardziej ogólne przykłady:

• Stożek nad n -kulą jest homeomorficzny z zamkniętą ( n + 1) -kulą .
• Stożek nad kulą n jest również homeomorficzny z kulą zamkniętą ( n + 1) .
• Stożek nad n - simpleksem jest ( n + 1) - simpleksem.

Nieruchomości

Wszystkie stożki są połączone ścieżkami , ponieważ każdy punkt może być połączony z wierzchołkiem. Co więcej, każdy stożek jest kurczliwy do wierzchołka przez homotopię

${\ Displaystyle h_ {t} (x, s) = (x, (1-t) s)}$ .

Stożek jest używany w topologii algebraicznej właśnie dlatego, że osadza przestrzeń jako podprzestrzeń przestrzeni kurczliwej.

Kiedy X jest zwarty , a Hausdorffa (zasadniczo, gdy X można osadzić w przestrzeni euklidesowej), wówczas stożek $wizualizować$ jako zbiór linii łączących każdy punkt X z jednym punktem obraz zawodzi $dokładniejsza$ gdy X nie jest zwarty lub nie jest , ponieważ ogólnie topologia ilorazowa na będzie niż zbiór linii łączących X z punktem.

Funktor stożkowy

Mapa indukuje funktor $Displaystyle$ kategorii $X$ _ spacje Góra . fa ${\ Displaystyle f \ okrężnica X \ do Y}$ jest mapą ciągłą , to jest definiowana przez $do CY}$

${\ Displaystyle (Cf) ([x, t]) = [f (x), t]}$ ,

gdzie nawiasy kwadratowe oznaczają klasy równoważności .

Zredukowany stożek

Jeśli jest spiczastą przestrzenią , istnieje powiązana konstrukcja, zredukowany stożek , podany przez ${\ Displaystyle (X, x_ {0})}$

${\ Displaystyle (X \ razy [0,1]) / (X \ razy \ lewo \ {0 \ prawo \ }\cup \left\{x_{0}\right\}\times [0,1])}$

gdzie przyjmujemy, że punktem bazowym zredukowanego stożka jest klasa równoważności ${\ Displaystyle (x_ {0}, 0)}$ . $Dzięki$ tej naturalna Ta konstrukcja daje również funktor, z kategorii przestrzeni spiczastych, do siebie.

Zobacz też

• Stożek (ujednoznacznienie)
• Zawieszenie (topologia)
• Odwieszenie
• Stożek mapowania (topologia)
• Dołącz (topologia)

•     Allen Hatcher , Topologia algebraiczna. Cambridge University Press, Cambridge, 2002. xii+544 s. ISBN 0-521-79160-X i ISBN 0-521-79540-0
• „Stożek” . Planeta Matematyka .