Dołącz (topologia)

Połączenie geometryczne dwóch odcinków linii . Oryginalne przestrzenie są pokazane na zielono i niebiesko. Połączenie jest trójwymiarową bryłą w kolorze szarym.

W topologii $A \ ast B}$ dziedzina matematyki , połączenie dwóch przestrzeni topologicznych i często przez $Displaystyle$$lub$ ZA $\ displaystyle A \ star B}$ , jest przestrzenią topologiczną utworzoną przez rozłączne połączenie dwóch przestrzeni i dołączenie segmentów linii łączących każdy punkt w ${\ displaystyle A}$ do każdego punktu w ${\ displaystyle B}$ .

Definicje

Łączenie jest definiowane w nieco inny sposób w różnych kontekstach

Zestawy geometryczne

Jeśli i są podzbiorami przestrzeni euklidesowej $}$$Displaystyle \ mathbb$${ R$ , to:

${\ Displaystyle A \ gwiazda B \ : = \ \ {t \ cdot a + (1-t) \ cdot b ~ | ~ a \ w A, b \ w B,t\w [0,1]\}}$ ,

$znaczy$ zbiór wszystkich odcinków linii między punktem w punktem $.$

Niektórzy autorzy ograniczają definicję do podzbiorów, które można łączyć : dowolne dwa różne odcinki linii, łączące punkt A z punktem B, spotykają się co najwyżej we wspólnym punkcie końcowym (to znaczy nie przecinają się w swoim wnętrzu). Każde dwa podzbiory można „łączyć”. Na przykład, jeśli jest w $\$$Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ i jest w $}$${$$\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {$ , następnie ${\ Displaystyle A \ razy \ {0 ^ {m} \} \ razy \ {0 \}}$ i ${\ Displaystyle \ {0 ^ {n} \} \ razy B \ razy \ {1 \}}$ są łączone w ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n + m + 1}}$ . $Powyższy$$przedstawia$ przykład dla m = n = 1, gdzie są odcinkami liniowymi.

Przestrzenie topologiczne

Jeśli i są dowolnymi przestrzeniami topologicznymi, to: $A$$}$

${\ Displaystyle A \ gwiazda B \: = \ A \ sqcup _ {p_ {0}} (A \ razy B \ razy [0,1])\sqcup _{p_{1}}B,}$

gdzie cylinder jest przymocowany do oryginalnych przestrzeni i wzdłuż naturalnych rzutów $\ razy B$$\ Displaystyle A$$razy$ powierzchnie cylindra:

${\ Displaystyle {A \ razy B \ razy \ {0 \}} \ xrightarrow {p_ {0}} ZA$

${\ Displaystyle {A \ razy B \ razy \ {1 \}} \ xrightarrow {p_ {1}} B.}$

Zwykle domyślnie zakłada się, że $ZA {\ displaystyle A$ nie są puste, w takim przypadku definicja jest często formułowana nieco $inaczej$ : zamiast dołączania ścian cylindra ${\ Displaystyle A \ razy B \ razy [0,1]}$ przestrzeni i $Displaystyle$$B}$ te twarze są po prostu zwinięte w sposób sugerowany przez projekcje załącznika $displaystyle p_ {1}, p_ {2}}$ : tworzymy przestrzeń ilorazową

${\ Displaystyle A \ gwiazda B \: = \ (A \ razy B \ razy [0,1]) / \ sim,}$

gdzie relacja równoważności $generowana$ przez

${\ Displaystyle (a, b_ {1}, 0) \ sim (a, b_ {2} },0)\quad {\mbox{dla wszystkich}}a\in A{\mbox{ i }}b_{1},b_{2}\in B,}$

${\ Displaystyle (a_ {1}, b, 1) \ sim (a_ {2}, b, 1) \ quad {\ mbox {dla wszystkich}} a_ {1}, a_ {2} \ w A {\ mbox { i }}b\w B.}$

W punktach końcowych to się załamuje $\ Displaystyle$ ZA $A\times B\times \{0\}$ 1 $\$ to $B$.

Jeśli $U$ są ograniczonymi podzbiorami przestrzeni euklidesowej $Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$$\$$subseteq U}$ { \ i ${\ Displaystyle B \ subseteq V}$ , gdzie ${\ Displaystyle U, V}$ są rozłącznymi podprzestrzeniami ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ tak, że wymiar ich re ja $dimV + 1} (np$ dwie nie przecinające się nierównoległe linie w ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ } , to definicja topologiczna sprowadza się do definicji geometrycznej, to znaczy „łączenie geometryczne” jest homeomorficzne z „łączeniem topologicznym”:

${\ Displaystyle {\ duży (} (A \ razy B \ razy [0,1]) / \ sim {\ duży)} \ simeq \ {t \ cdot a+(1-t)\cdot b~|~a\in A,b\in B,t\in [0,1]\}}$

Abstrakcyjne uproszczone kompleksy

Jeśli $A$ są dowolnymi abstrakcyjnymi kompleksami uproszczonymi , to ich połączenie jest abstrakcyjnym kompleksem uproszczonym zdefiniowanym w następujący sposób: ZA { \ $}$

• V ${\ Displaystyle V (A \ gwiazda B)}$ jest rozłącznym związkiem ${\ Displaystyle V (A)}$ i ${\ Displaystyle V (B)$ . Jeśli ${\ Displaystyle V (A)}$ i ${\ Displaystyle V (B)}$ są już rozłączne, to można zdefiniować ${\ Displaystyle V (A \ gwiazda B): = V (A) \ kubek V (B)}$ . W przeciwnym razie można zdefiniować na przykład ${\ Displaystyle V (A \ gwiazda B): = (V(A)\razy \{1\})\kielich (V(B)\razy \{2\})}$ (dodanie 1 i 2 zapewnia, że ​​elementy w unii są rozłączne).
• W simplices $star B}$ wszystkie połączenia simpleksu z simpleksem $A$${\ displaystyle$ \ V ${\ Displaystyle V (A)}$ i ${\ Displaystyle V (B)}$ rozłączne, to ${\ Displaystyle A \ gwiazda B: = \ {a \ kubek b: a \ w A, b \ w B \}}$ .

Przykłady:

• Załóżmy, że ${\ Displaystyle A = \ {\ pusty zbiór, \ {1 \} \}}$ i ${\ Displaystyle B = \ {\ pusty zbiór, \ { 2\}\}}$ , czyli dwa zbiory z jednym punktem. Wtedy ${\ Displaystyle A \ gwiazda B = \ {\ pusty zbiór, \ {1 \}, \ {2 \}, \ {1,2 \} \}} ,$ co reprezentuje odcinek linii.
• Załóżmy, że $\ {1 \} \}}$${\ styl wyświetlania B=\{\zbiór pusty ,\{2\},\{3\},\{2,3\}\}}$ i . Wtedy ${\ Displaystyle A \ gwiazda B = P (\ {1,2,3 \})}$ , co reprezentuje trójkąt.
• Załóżmy, że $\ {\ pusty zbiór, \ {1 \}, \ {2 \} \}}$${\ Displaystyle B = \ {\ pusty zbiór, \ {3 \}, \ {4 \} \}}$ i , czyli dwa zbiory z dwoma dyskretnymi punktami. wtedy ${\ Displaystyle A \ gwiazda B = \ {\ {1 \}, \{2\},\{3\},\{4\},\{1,3\},\{1,4\},\{2,3\},\{2,4\}\ }}$ , który reprezentuje „kwadrat”.

Definicja kombinatoryczna jest równoważna definicji topologicznej w następującym sensie: dla każdych dwóch abstrakcyjnych kompleksów uproszczonych i $\ displaystyle A}$${\ Displaystyle || A \ gwiazda B||}$ i ${\ displaystyle B}$ | jest homeomorficzna z ${\ Displaystyle || A||\ gwiazda ||B||}$ , gdzie ${\ displaystyle || X||}$ oznacza geometryczną realizację złożonego ${\ displaystyle X}$ .

Mapy

Biorąc pod uwagę dwie mapy ${\ Displaystyle f: A_ {1} \ do A_ {2}}$ i ${\ Displaystyle g: B_ {1} \ do B_ {2}}$ fa ${\ Displaystyle f \ gwiazda g: A_ {1} \ gwiazda B_ {1} \ do A_ {2} \ gwiazda B_$ } zdefiniowane na podstawie reprezentacji każdego punktu w połączeniu $_$ _ $_$ _ ${\ Displaystyle a \ w A_ {1}, b \ w B_ {1}}$ :

${\ Displaystyle f \ gwiazda g ~ (t \ cdot a + (1- t)\cdot b)~~=~~t\cdot f(a)+(1-t)\cdot f(b)}$

Przypadki specjalne

Stożek przestrzeni topologicznej $_$ oznaczony $,$ połączeniem $z$ pojedynczym

Zawieszenie przestrzeni topologicznej , $displaystyle$ , $jest$ połączeniem z ( 0- $\$ , X $}$ lub dyskretna przestrzeń z dwoma punktami).

Przykłady

• Połączenie dwóch uproszczeń jest simpleksem: połączenie n -wymiarowego i m -wymiarowego simpleksu jest ( m + n +1)-wymiarowym simpleksem. Niektóre szczególne przypadki to:
  • Połączenie dwóch rozłącznych punktów jest przedziałem ( m = n = 0).
  • Połączenie punktu i odcinka to trójkąt (m=0, n=1).
  • Połączenie dwóch odcinków linii jest homeomorficzne z bryłowym czworościanem , zilustrowanym na rysunku powyżej po prawej ( m = n = 1).
  • Złączenie punktu i ( n -1)-wymiarowego simpleksu jest n -wymiarowym simpleksem.
• Połączenie dwóch sfer to kula: połączenie i $Displaystyle S ^ { n+m+1}}$$\ Displaystyle S ^ {m}}$$to$ kula S . (Jeśli ${\ Displaystyle x = (x_ {1}, \ ldots, x_ {n + 1}) \ w S ^ {n}}$ i ${\ Displaystyle y = (y_ {1}, \ ldots, y_ {m + 1}) \ w S ^ {m}}$ to punkty na odpowiednich sferach jednostkowych a parametr $łączącym$$Displaystyle$ punktu na odcinku linii y $}$ następnie ${\ Displaystyle Z = (ax_ {1}, \ ldots, ax_ {n+1},{\sqrt {1-a^{2}}}\;y_{1},\ldots,{\sqrt {1-a^{2}}}\;y_{m+1} )\w S^{n+m+1}}$ .)
• Połączenie dwóch par izolowanych punktów jest kwadratem (bez wnętrza). Połączenie kwadratu z trzecią parą izolowanych punktów to ośmiościan (ponownie bez wnętrza). Ogólnie $biorąc$ , połączenie par izolowanych punktów $ośmiościenną$ kulą

Nieruchomości

Przemienność

Połączenie dwóch przestrzeni jest przemienne aż do homeomorfizmu , tj. ${\ Displaystyle A \ gwiazda B \ cong B \ gwiazda A}$ .

Asocjatywność

Nie jest prawdą, że zdefiniowana powyżej operacja łączenia jest asocjacyjna aż do homeomorfizmu dla dowolnych przestrzeni topologicznych. Jednak ${\ Displaystyle (A \ gwiazda B) \ gwiazda C \ cong A \ gwiazda (B \ gwiazda C).}$ lokalnie przestrzeni mamy $b$

Możliwe jest zdefiniowanie innej operacji łączenia, ${\ Displaystyle A \; {\ kapelusz {\ gwiazda}} \; B},$ wykorzystuje ten sam podstawowy zestaw, co ${\ Displaystyle A \ gwiazda B}$ ale ZA inna topologia, a ta operacja jest asocjacyjna dla wszystkich przestrzeni topologicznych. W przypadku lokalnie zwartych przestrzeni Hausdorffa i $Displaystyle$$B}$ łączenia ${\ Displaystyle A \ gwiazda B$ i ${\ Displaystyle A \; {\ kapelusz {\ gwiazda}} \; B}$ pokrywają się.

Równoważność homotopii

Jeśli $\$ są równoważne homotopii $\ Displaystyle A$ to $}$ ZA $'$ B są również .

Zredukowane łączenie

Biorąc pod uwagę zespoły CW z punktami bazowymi ${\ Displaystyle (A, a_ {0})}$ i ${\ Displaystyle (B, b_ {0})}$ , „zredukowane łączenie”

${\ Displaystyle {\ Frac {A \ gwiazda B} {A \ gwiazda \ {b_ {0} \} \ kubek \ {a_ {0} \} \ gwiazda B}}}$

jest homeomorficzny ze zredukowaną zawiesiną

${\ Displaystyle \ Sigma (A \ klin B)}$

przebojowego produktu . W konsekwencji, ponieważ jest kurczliwy , ${\ Displaystyle {A \ gwiazda \ {b_ {0} \} \ kubek \ {a_ {0} \} \ gwiazda B}}$ równoważność homotopii

${\ Displaystyle A \ gwiazda B \ simeq \ Sigma (A \ klin B).}$

$_ {n}(A\gwiazda B)\cong H_{n-1}(A\klin B)\ {\bigl (}=H_{n-1}(A\razy B/A\vee B){\bigr )}}$ izomorfizm .

Łączność homotopiczna

$\ Displaystyle$ dwie triangulowalne przestrzenie , spójność homotopiczna ( ) łączenia jest co najmniej sumą powiązań jego części: ZA , $A, B$

• ${\ Displaystyle \ eta _ {\ pi} (A * B) \ geq \ eta _ {\ pi} (A) + \ eta _ {\pi}(B)}$ .

Jako przykład $zbiorem$ punktów $\ Displaystyle \ eta _ {\ pi} (A) = \ eta _ {\ pi} (B) = 1}$ 1 . Połączenie $kwadratem , który jest homeomorficzny z okręgiem,$ ma dwuwymiarowy otwór ${\ Displaystyle \ eta _ {\ pi} (A * B) = 2}$ . Połączenie tego kwadratu z trzecią kopią $którego$$ośmiościanem$ , który jest homeomorficzny z , jest trójwymiarowy $($ połączenie n kopii $displaystyle S ^ {0}}$ z i ${\ Displaystyle \ eta _ {\ pi} (S ^ {n-1}) = n}$ .

Zobacz też

• Odwieszenie

•     Hatcher, Allen , Topologia algebraiczna. Cambridge University Press, Cambridge, 2002. xii+544 s. ISBN 0-521-79160-X i ISBN 0-521-79540-0
• Ten artykuł zawiera materiał z Join on PlanetMath , który jest objęty licencją Creative Commons Attribution/Share-Alike License .
• Brown, Ronald , Topology and Groupoids Sekcja 5.7 Łączenia.