Unia rozłączna (topologia)

W topologii ogólnej i pokrewnych dziedzinach matematyki rozłączna suma (zwana także sumą bezpośrednią , sumą swobodną , ​​sumą swobodną , ​​sumą topologiczną lub koproduktem ) rodziny przestrzeni topologicznych jest przestrzenią utworzoną przez wyposażenie rozłącznej sumy podstawowych zbiorów z naturalną topologią zwaną rozłączną topologią unii . Z grubsza mówiąc, w rozłącznym związku dane przestrzenie są uważane za część jednej nowej przestrzeni, w której każda wygląda tak, jak wyglądałaby osobno i są od siebie odizolowane.

Nazwa koprodukt wywodzi się stąd, że związek rozłączny jest kategorycznym dualizmem konstrukcji przestrzeni produktowej .

Definicja

Niech { X _i : i ∈ I } będzie rodziną przestrzeni topologicznych indeksowanych przez I . Pozwalać

${\ Displaystyle X = \ koprod _ {i} X_ {i}}$

będzie rozłączną sumą zbiorów bazowych. Dla każdego i w I , niech

${\ Displaystyle \ varphi _ {i}: X_ {i} \ do X \,}$

być iniekcją kanoniczną (zdefiniowaną przez ${\ Displaystyle \ varphi _ {i} (x) = (x, i)})$ . Rozłączna topologia unii na X jest zdefiniowana jako najlepsza topologia na X , dla której wszystkie iniekcje kanoniczne są ciągłe (tj.: jest to ostateczna topologia na X indukowana przez iniekcje kanoniczne) ${\ displaystyle \ varphi _ {i}}$ .

Jawnie, rozłączną topologię unii można opisać w następujący sposób. Podzbiór U z X jest otwarty w X _wtedy i tylko wtedy $ja$ gdy jego praobraz otwarty X każdego ∈ . Jeszcze inne sformułowanie mówi, że podzbiór V z X jest otwarty względem X , jeśli jego przecięcie z _Xi jest otwarte względem Xi _i dla każdego .

Nieruchomości

Rozłączną przestrzeń sumy X , razem z iniekcjami kanonicznymi, można scharakteryzować za pomocą następującej uniwersalnej własności : Jeśli Y jest przestrzenią topologiczną, a f _i : X _i → Y jest odwzorowaniem ciągłym dla każdego i ∈ I , to istnieje dokładnie jedna ciągła mapa f : X → Y taka, że ​​następujący zestaw diagramów dojeżdża :

To pokazuje, że związek rozłączny jest produktem ubocznym w kategorii przestrzeni topologicznych . Z powyższej uniwersalnej własności wynika, że ​​odwzorowanie f : X → Y jest ciągłe , jeśli f _i = f o φ _i jest ciągłe dla wszystkich i w I .

Oprócz tego, że są ciągłe, iniekcje kanoniczne φ _i : X _i → X są mapami otwartymi i zamkniętymi . Wynika z tego, że iniekcje są osadzaniami topologicznymi, tak że każdy X _i może być kanonicznie traktowany jako podprzestrzeń X .

Przykłady

Jeśli każdy X _i jest homeomorficzny ze stałą przestrzenią A , to rozłączna suma X jest homeomorficzna z przestrzenią iloczynu A × I , gdzie I ma topologię dyskretną .

Zachowanie właściwości topologicznych

• Każdy rozłączny związek przestrzeni dyskretnych jest dyskretny
• Separacja
  • Każda suma rozłączna ₀ T przestrzeni to T ₀
  • Każda suma rozłączna przestrzeni T ₁ to T ₁
  • Każdy rozłączny związek przestrzeni Hausdorffa jest Hausdorffem
• Spójność
  • Rozłączna suma dwóch lub więcej niepustych przestrzeni topologicznych jest rozłączona

Zobacz też

• topologia produktu , konstrukcja dualna
• topologia podprzestrzeni i jej topologia podwójnego ilorazu
• unia topologiczna , uogólnienie na przypadek, w którym elementy nie są rozłączne