Spójna topologia

W topologii spójna topologia to topologia , która jest jednoznacznie określona przez rodzinę podprzestrzeni . Mówiąc luźno, przestrzeń topologiczna jest spójna z rodziną podprzestrzeni, jeśli jest topologiczną sumą tych podprzestrzeni. Czasami nazywa się to również słabą topologią generowaną przez rodzinę podprzestrzeni, co jest pojęciem zupełnie innym niż pojęcie słabej topologii generowanej przez zbiór map.

Definicja

Niech ${\ Displaystyle X}$ będzie przestrzenią topologiczną i niech będzie a do $\}}$ rodzina podzbiorów, z których $.$ ma topologię podprzestrzeni (Zazwyczaj będzie to okładka X $X$$\ displaystyle$$}$ .) Następnie się, że jest spójna z $displaystyle$ określona przez do $C}$ \ ) jeśli topologia zostanie odzyskana jako pochodząca z ostatecznej topologii $współindukowanej$ przez inkluzji

$${\ Displaystyle i_ {\ alfa}: C _ {\ alfa} \ do X \ qquad \ alfa \ w A.}$$

Z definicji jest to najlepsza topologia na $dla$ podstawowym zbiorze), której mapy inkluzji są ciągłe . ${\ displaystyle X}$ jest spójny z , jeśli zachodzi jeden z następujących dwóch równoważnych warunków: do { \ displaystyle $}$

• Podzbiór jest otwarty w $X$ wtedy i tylko wtedy, gdy $Displaystyle$$U \ czapka C_ {\ alfa}}$ jest otwarty w do $\ Displaystyle C_ {\ alfa} }$ dla każdego ${\ Displaystyle \ alfa \ w A.}$
• Podzbiór jest zamknięty w ${$ i tylko wtedy, gdy $U$$\ Displaystyle U \ czapka C_ {\ alfa}}$ jest zamknięty w do $}$$\ Displaystyle C_ {\ alfa$ dla każdego ${\ Displaystyle \ alfa \ w A.}$

Biorąc pod uwagę przestrzeń topologiczną i dowolną rodzinę podprzestrzeni $,$ istnieje unikalna topologia na (podstawowym zbiorze) ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle C.}$$która jest$ z Ta topologia będzie generalnie lepsza niż podana topologia na ${\ Displaystyle X.}$

Przykłady

• Przestrzeń topologiczna ${\ displaystyle X.}$$X$ każdym otwartym pokryciem $spójny$ bardziej ogólnie, jest z każdą rodziną podzbiorów, których wnętrza pokrywają ${\ Displaystyle X.}$ Jako przykład tego, słabo lokalnie zwarta przestrzeń jest spójna z rodziną jej zwartych podprzestrzeni . A lokalnie połączona przestrzeń jest spójna z rodziną jej połączonych podzbiorów.
• Przestrzeń topologiczna ${\ Displaystyle X.}$ spójna z każdą $X$ skończoną zamkniętą pokrywą
• Przestrzeń dyskretna jest spójna z każdą rodziną podprzestrzeni (w tym z rodziną pustą ).
• Przestrzeń topologiczna jest spójna z podziałem $\$$displaystyle$$X}$ wtedy i tylko jest z rozłącznym elementów podziału .
• Skończenie generowane przestrzenie to przestrzenie określone przez rodzinę wszystkich skończonych podprzestrzeni .
• Przestrzenie generowane zwartie to przestrzenie określone przez rodzinę wszystkich podprzestrzeni zwartych .
• Kompleks CW jest ${\ displaystyle X_ {n}.}$ ze swoją rodziną -szkieletów $\ displaystyle$$X }$

Unia topologiczna

Niech $przestrzeni$ rodziną ( niekoniecznie topologicznych indukowane topologie każde przecięcie ${\ Displaystyle X_ {\ alfa} \ cap X_ {\ beta}.}$ Załóżmy dalej, że ${\ Displaystyle X_ {\ alfa} \ cap X_ {\ beta}}$ jest zamknięte w ${\ Displaystyle X_ {\ alfa }}$ dla każdego ${\ Displaystyle \ alfa, \ beta \ w A.}$ Wtedy unia topologiczna jest unią teorii mnogości ${\ Displaystyle X}$

$${\ Displaystyle X ^ {zestaw} = \ bigcup _ {\ alfa \ w A} X _ {\ alfa}}$$

obdarzony ostateczną topologią współindukowaną przez mapy inkluzji ${\ Displaystyle i_ {\ alfa}: X _ {\ alfa} \ do X ^ {zbiór}}$ . ${\ displaystyle \ lewo \ {X _ {\ alfa} \ prawo \}.}$ będą wtedy i będą spójne $podprzestrzeniami$

I odwrotnie, jeśli jest przestrzenią topologiczną $}$${C _ {\ alfa} \ prawo \}}$ spójna z rodziną podprzestrzeni, $które$ obejmują $\ displaystyle$${\ Displaystyle \ lewo \ {C _ {\ alfa} \ prawo \}.}$ to jest $homeomorficzne$ z topologicznym związkiem rodziny

Można utworzyć unię topologiczną dowolnej rodziny przestrzeni topologicznych, jak powyżej, ale jeśli topologie nie zgadzają się co do przecięć, to inkluzje niekoniecznie będą osadzaniami.

Unię topologiczną można również opisać za pomocą unii rozłącznej . W szczególności, jeśli jest topologicznym zjednoczeniem rodziny ${\ Displaystyle \ lewo \ {X _ {\ alfa} \ prawo \},}$$}$ jest homeomorficzne z ${\ displaystyle X$ iloraz rozłącznej unii rodziny przez relację równoważności ${\ Displaystyle \ lewo \ {X_ {\ alfa} \ prawo \}}$

$${\ Displaystyle (x, \ alfa) \ sim (y, \ beta) \ Strzałka w lewo x = y}$$

dla wszystkich ${\ Displaystyle \ alfa, \ beta \ w A.}$ ; to jest,

$${\ Displaystyle X \ cong \ coprod _ {\ alfa \ w A} X _ {\ alfa} / \ sim.}$$

$,$ przestrzenie są rozłączne to związek topologiczny jest tylko

Załóżmy teraz, że zbiór A jest skierowany , w sposób zgodny z inkluzją: ${\ Displaystyle \ alfa \ równoważnik \ beta}$ ilekroć ${\ Displaystyle X_ {\ alfa} \ podzbiór X_ {\ beta} }$ . Następnie istnieje unikalna mapa od ${\ Displaystyle \ varinjlim X _ {\ alfa}}$ do ${\ displaystyle X},$ która w rzeczywistości jest homeomorfizmem. Tutaj ${\ Displaystyle \ varinjlim X _ {\ alfa}}$ jest bezpośrednią (indukcyjną) granicą ( colimit ) $X_ {\ alfa} \ prawo \}}$ { kategoria Góra .

Nieruchomości

Niech będzie $podprzestrzeni$ z rodziną ${\ Displaystyle \ lewo \ {C _ {\ alfa} \ prawo \}.}$ Funkcja ${\ Displaystyle f: X \ do Y}$ od ${\ Displaystyle X}$ do przestrzeni topologicznej ${\ Displaystyle Y}$ jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy ograniczenia

$${\ Displaystyle f {\ duży \ vert} _ {C _ {\ alfa}}: C_ {\ alfa} \ do Y \,}$$

są ciągłe dla każdego ${\ displaystyle \ alpha \ in A.}$$C}$ uniwersalna właściwość charakteryzuje spójne topologie w tym sensie, że przestrzeń jest spójna z do {\ $displaystyle$ wtedy i tylko wtedy, gdy ta właściwość obowiązuje dla wszystkich przestrzeni $\ displaystyle X} displaystyle Y}$ i wszystkie funkcje ${\ displaystyle f: X \ do Y.}$

Niech ${\ displaystyle X}$ będzie określone przez okładkę ${\ Displaystyle C = \ lewo \ {C_ {\ alfa} \ prawo \}.}$ Następnie

• Jeśli jest udoskonaleniem okładki $to$ jest $określane$$_$ _ $}$ { $,$$displaystyle$$D.$ szczególności, jeśli podpowłoką re określona przez ${\ Displaystyle D.}$
• Jeśli jest udoskonaleniem $i$ każdy $}$$}$ \ $displaystyle$ D $}$$}$ wtedy określony przez ${\ Displaystyle D.}$
• Niech ${\ displaystyle Y}$ będzie otwartą lub zamkniętą podprzestrzenią X ${\ displaystyle X,}$ lub bardziej ogólnie zamkniętym podzbiorem ${\ Displaystyle X.}$ Następnie ${\ Displaystyle Y}$ jest określony przez ${\ Displaystyle \ lewo \ {Y \ czapka C _ {\ alfa} \ prawo \}.}$
• Niech ${\ displaystyle f: X \ do Y}$ będzie mapą ilorazową . Wtedy ${\ Displaystyle Y}$ jest określany przez ${\ Displaystyle \ lewo \ {f (C _ {\ alfa}) \ prawo \}.}$

Niech będzie $Y$ mapą i załóżmy, że ${\ Displaystyle \ lewo \ {D _ {\ alfa}: \ alfa \ w A \ w prawo \}.}$$}$ określona przez Dla każdego ${\ Displaystyle \ alfa \ w A}$ niech ${\ textstyle f _ {\ alfa}: f ^ {- 1} (D _ {\ alfa}) \ do D _ {\ alfa} \} być ograniczeniem fa {\$ displaystyle $}$ do ${\ Displaystyle f ^ {- 1} (D_ {\ alfa}).}$ Następnie

• Jeśli $jest$$jest$ i każda mapą ilorazową, $to$ ilorazową
• $jest$ mapą (odpowiednio otwartą mapą ) wtedy i tylko wtedy, gdy każda jest zamknięta (odpowiednio otwarta). fa $\ displaystyle f _ {\ alfa}}$

$)}$ uwagę przestrzeń topologiczną i rodzinę podprzestrzeni, topologia ${ \ Displaystyle$${\ Displaystyle \ tau _ {C}}$ na ${\ Displaystyle X}$ , który jest spójny z $}$$}$ Topologia jest dokładniejsza niż oryginalna topologia $Displaystyle$ dokładnie lepsza, jeśli nie była spójna z $\ tau _ {C$${\ displaystyle C.}$ Ale topologie i ${\ displaystyle \ tau _ {$$}}$ indukują tę samą topologię podprzestrzeni na każdym z ${\ displaystyle C _ {\ alfa}$ w rodzina ${\ Displaystyle C.}$$zawsze$ jest spójna z ${\ Displaystyle C.}$

Jako przykład tej ostatniej konstrukcji, jeśli jest zbiorem wszystkich zwartych podprzestrzeni przestrzeni topologicznej ${\ Displaystyle (X, \ tau)}$$)$ do $}}$$} displaystyle \$$}$ C definiuje $fikację$ - $podprzestrzeni$$X.$ Przestrzenie i mają te same zwarte zbiory, z tymi samymi indukowanymi A k-ification $generowany$ zwięźle

Zobacz też

• Topologia końcowa — najlepsza topologia zapewniająca ciągłość niektórych funkcji

Notatki

•   Tanaka, Yoshio (2004). „Przestrzenie ilorazowe i rozkłady”. w KP Hart; J. Nagata; JE Vaughan (red.). Encyklopedia topologii ogólnej . Amsterdam: Elsevier Science. s. 43–46. ISBN 0-444-50355-2 .
•   Willard, Stephen (1970). Topologia ogólna . Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. ISBN 0-486-43479-6 . (wydanie Dover).